Determinants Matrices Question 110
Question: If $ \omega $ is a complex cube root of unity, then value of $ \Delta = \begin{vmatrix} a_1+b_1\omega & a_1{{\omega }^{2}}+b_1 & c_1+b_1\bar{\omega } \\ a_2+b_2\omega & a_2{{\omega }^{2}}+b_2 & c_2+b_2\bar{\omega } \\ a_3+b_3\omega & a_3{{\omega }^{2}}+b_3 & c_3+b_3\bar{\omega } \\ \end{vmatrix} $ is
Options:
A) $ 0 $
B) $ -1 $
C) $ 2 $
D) None of these
Show Answer
Answer:
Correct Answer: A
Solution:
- [a] $ \Delta = \begin{vmatrix} a_1+b_1\omega & a_1{{\omega }^{2}}+b_1 & c_1+b_1\overline{\omega } \\ a_2+b_2\omega & a_2{{\omega }^{2}}+b_2 & c_2+b_2\overline{\omega } \\ a_3+b_3\omega & a_3{{\omega }^{2}}+b_3 & c_3+b_3\overline{\omega } \\ \end{vmatrix} $ Using $ C_2\to \omega C_2 $ We have $ \Delta =\frac{1}{\omega } \begin{vmatrix} a_1+b_1\omega & a_1{{\omega }^{3}}+b_1\omega & c_1+b_1\overline{\omega } \\ a_2+b_2\omega & a_2{{\omega }^{3}}+b_2\omega & c_2+b_2\overline{\omega } \\ a_3+b_3\omega & a_3{{\omega }^{2}}+b_3\omega & c_3+b_3\overline{\omega } \\ \end{vmatrix} $
$ =\frac{1}{\omega } \begin{vmatrix} a_1+b_1\omega & a_1+b_1\omega & c_1+b_1\overline{\omega } \\ a_2+b_2\omega & a_2+b_2\omega & c_2+b_2\overline{\omega } \\ a_3+b_3\omega & a_3+b_3\omega & c_3+b_3\overline{\omega } \\ \end{vmatrix}=0 $
BETA
