Determinants Matrices Question 114
Question: If $ A= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} $ , then what is $ A^{n} $ equal to-
Options:
A) $ \begin{bmatrix} 2^{n} & 2^{n} \\ 2^{n} & 2^{n} \\ \end{bmatrix} $
B) $ \begin{bmatrix} 2n & 2n \\ 2n & 2n \\ \end{bmatrix} $
C) $ \begin{bmatrix} {2^{2n-1}} & {2^{2n-1}} \\ {2^{2n-1}} & {2^{2n-1}} \\ \end{bmatrix} $
D) $ \begin{bmatrix} {2^{2n+1}} & {2^{2n+1}} \\ {2^{2n+1}} & {2^{2n+1}} \\ \end{bmatrix} $
Show Answer
Answer:
Correct Answer: C
Solution:
- [c] Given matrix is: $ A= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} $
$ A^{2}= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+4 & 4+4 \\ 4+4 & 4+4 \\ \end{bmatrix} $
$ = \begin{bmatrix} 2^{3} & 2^{3} \\ 2^{3} & 2^{3} \\ \end{bmatrix} $
$ A^{3}= \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 8 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16+16 & 16+16 \\ 16+16 & 16+16 \\ \end{bmatrix} $
$ = \begin{bmatrix} 32 & 32 \\ 32 & 32 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^{5} & 2^{5} \\ 2^{5} & 2^{5} \\ \end{bmatrix} $ Going this way we get $ A^{4}= \begin{bmatrix} 2^{7} & 2^{7} \\ 2^{7} & 2^{7} \\ \end{bmatrix} $
$ \Rightarrow A^{n}= \begin{bmatrix} {2^{2n-1}} & {2^{2n-1}} \\ {2^{2n-1}} & {2^{2n-1}} \\ \end{bmatrix} $
BETA
