Determinants Matrices Question 52
Question: The value of the determinant $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ ^{m}C_1 & ^{m+1}C_1 & ^{m+2}C_1 \\ ^{m}C_2 & ^{m+1}C_2 & ^{m+2}C_2 \\ \end{vmatrix} $
Options:
A) 1
B) -1
C) 0
D) none of these
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Answer:
Correct Answer: A
Solution:
- [a] $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ ^{m}C_1 & ^{m+1}C_1 & ^{m+2}C_1 \\ ^{m}C_2 & ^{m+1}C_2 & ^{m+2}C_2 \\ \end{vmatrix} $ = $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ ^{m}C_1 & ^{m+1}C_1 & ^{m+1}C_0{{+}^{m+2}}C_1 \\ ^{m}C_2 & ^{m+1}C_2 & ^{m+1}C_1{{+}^{m+1}}C_2 \\ \end{vmatrix} $
$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ ^{m}C_1 & ^{m+1}C_1 & ^{m+1}C_0 \\ ^{m}C_2 & ^{m+1}C_2 & ^{m+1}C_1 \\ \end{vmatrix} $ [Applying $ C_3\to C_3-C_2 $ ] $ = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ ^{m}C_1 & ^{m}C_0{{+}^{m}}C_1 & ^{m+1}C_0 \\ ^{m}C_2 & ^{m}C_1{{+}^{m}}C_2 & ^{m+1}C_1 \\ \end{vmatrix} $
$ = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ ^{m}C_1 & ^{m}C_0 & ^{m+1}C_0 \\ ^{m}C_2 & ^{m}C_1 & ^{m+1}C_1 \\ \end{vmatrix} $ [Applying $ C_2\to C_2-C_1 $ ] $ ={}^{m}C_0^{m+1}C_1-{}^{m+1}C_0^{m}C_1=m+1-m=1 $
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