Integral Calculus Question 220
Question: $ \int_{{}}^{{}}{{e^{-2x}}\sin 3x\ dx=} $
Options:
A) $ \frac{1}{13}{e^{-2x}}[\sin 3x+\cos 3x]+c $
B) $ -\frac{1}{13}{e^{-2x}}[\sin 3x+\cos 3x]+c $
C) $ \frac{1}{13}{e^{-2x}}[2\sin 3x+3\cos 3x]+c $
D) $ -\frac{1}{13}{e^{-2x}}[2\sin 3x+3\cos 3x]+c $
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Answer:
Correct Answer: D
Solution:
Let $ I=\int_{{}}^{{}}{{e^{-2x}}\sin 3x,dx} $ $ =-\frac{{e^{-2x}}\cos 3x}{3}-\int_{{}}^{{}}{\frac{2{e^{-2x}}\cos 3x}{3},dx} $ $ =-\frac{{e^{-2x}}\cos 3x}{3}-\frac{2}{3}[ \frac{{e^{-2x}}\sin 3x}{3}+\int_{{}}^{{}}{\frac{2{e^{-2x}}\sin 3x}{3},dx} ] $
$ \Rightarrow I=-\frac{{e^{-2x}}\cos 3x}{3}-\frac{2{e^{-2x}}\sin 3x}{9}-\frac{4}{9}I $
$ \Rightarrow \frac{13}{9}I=-{e^{-2x}}[ \frac{3\cos 3x+2\sin 3x}{9} ] $ Hence $ I=-\frac{1}{13}{e^{-2x}}[3\cos 3x+2\sin 3x] $ .
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