Integral Calculus Question 452
Question: $ I_1=\int{{{\sin }^{-1}}xdx} $ and $ I_2=\int{{{\sin }^{-1}}\sqrt{1-x^{2}}}dx $ then
[Kerala (Engg.) 2005]
Options:
A) $ I_1=I_2 $
B) $ I_2=\pi /2I_1 $
C) $ I_1+I_2=\pi /2x $
D) $ I_1+I_2=\pi /2 $
E) $ I_1-I_2=\pi /2x $
Show Answer
Answer:
Correct Answer: C
Solution:
$ I_1=\int{{{\sin }^{-1}}xdx} $ Let $ {{\sin }^{-1}}x=\theta $
Þ $ x=\sin \theta $
Þ $ dx=\cos \theta ,d\theta $ $ I_1=\int{\theta \cos \theta d\theta } $ $ =\theta \sin \theta -\int{\sin \theta d\theta } $ $ =\theta \sin \theta +\cos \theta $ $ =x{{\sin }^{-1}}x+\sqrt{1-x^{2}} $ $ I_2=\int{{{\sin }^{-1}}\sqrt{1-x^{2}}}dx $ $ =\int{{{\cos }^{-1}}xdx} $ Let $ \cos \varphi =x, $ Hence $ -\sin \varphi ,d\varphi =dx $ $ I_2=-\int{\varphi \sin \varphi d\varphi } $ $ =\varphi \cos \varphi +\int{-\cos \varphi d\varphi } $ $ =\varphi \cos \varphi -\sin \varphi $ $ =x{{\cos }^{-1}}x-\sqrt{1-x^{2}} $ $ I_1+I_2=x({{\cos }^{-1}}x+{{\sin }^{-1}}x)=\frac{\pi }{2}x $ .
BETA
