Integral Calculus Question 483
Question: . If $ \int{f(x)dx=g(x),} $ then $ \int{{f^{-1}}(x)}dx $ is equal to
[MP PET 2003]
Options:
A) $ {g^{-1}}(x) $
B) $ x{f^{-1}}(x)-g({f^{-1}}(x)) $
C) $ x{f^{-1}}(x)-{g^{-1}}(x) $
D) $ {f^{-1}}(x) $
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Answer:
Correct Answer: B
Solution:
$ \int{f(x)dx}=g(x) $ $ \int{{f^{-1}}(x)}.1dx={f^{-1}}(x)\int{dx}-\int{{ \frac{d}{dx}{f^{-1}}(x)\int{dx} }dx} $ $ =x{f^{-1}}(x)-\int{x\frac{d}{dx}{f^{-1}}(x)dx} $ $ =x{f^{-1}}(x)-\int{xd{{f^{-1}}(x)}} $ Let $ {f^{-1}}(x)=t $
Þ $ x=f(t) $ and $ d{{f^{-1}}(x)}=dt $ $ =x{f^{-1}}(x)-\int{f(t)dt}=x{f^{-1}}(x)-g(t)=x{f^{-1}}(x)-g{{f^{-1}}(x)} $ . Trick : Put $ f(x)=x^{2} $ , then option is correct.
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