• প্ৰাচীন আৰু আধুনিক অধ্যয়নৰ মাজৰ সংঘৰ্ষৰ এই দিনবোৰত; এনে এটা অধ্যয়নৰ বাবে নিশ্চয়ভাৱে কিবা ক’বলগীয়া আছে যি পাইথাগোৰাছৰ সৈতে আৰম্ভ হোৱা নাছিল আৰু আইনষ্টাইনৰ সৈতে শেষ নহ’ব; কিন্তু সেয়া হৈছে আটাইতকৈ পুৰণি আৰু আটাইতকৈ ডেকা। - জি.এইচ. হাৰ্ডি

১.১ পৰিচয়

সংহতিৰ ধাৰণাটো বৰ্তমানৰ গণিতৰ এক মৌলিক অংশ হিচাপে কাম কৰে। আজি এই ধাৰণাটো প্ৰায় গণিতৰ প্ৰতিটো শাখাতে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে। সম্পৰ্ক আৰু ফাংচনৰ ধাৰণা সংজ্ঞায়িত কৰিবলৈ সংহতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়। জ্যামিতি, অনুক্ৰম, সম্ভাৱিতা আদিৰ অধ্যয়নৰ বাবে সংহতিৰ জ্ঞানৰ প্ৰয়োজন।

জৰ্জ কেণ্টৰ (১৮৪৫-১৯১৮ খ্ৰীষ্টাব্দ)

সংহতিৰ তত্ত্ব জাৰ্মান গণিতজ্ঞ জৰ্জ কেণ্টৰ (১৮৪৫-১৯১৮) ৰ দ্বাৰা বিকশিত হৈছিল। তেওঁ “ত্রিকোণমিতিক শ্রেণীৰ সমস্যা"ৰ ওপৰত কাম কৰোঁতে প্ৰথমবাৰৰ বাবে সংহতিৰ সৈতে মুখামুখি হৈছিল। এই অধ্যায়ত, আমি সংহতিৰ সৈতে জড়িত কিছুমান মৌলিক সংজ্ঞা আৰু ক্ৰিয়া আলোচনা কৰিম।

১.২ সংহতি আৰু ইয়াৰ উপস্থাপন

দৈনন্দিন জীৱনত, আমি প্ৰায়ে এক নিৰ্দিষ্ট ধৰণৰ বস্তুৰ সংগ্ৰহৰ কথা কওঁ, যেনে, তাচৰ পেক এটা, মানুহৰ ভিৰ, ক্ৰিকেট দল ইত্যাদি। গণিততো আমি সংগ্ৰহৰ সৈতে মুখামুখি হওঁ, উদাহৰণস্বৰূপে, স্বাভাৱিক সংখ্যা, বিন্দু, মৌলিক সংখ্যা আদি। অধিক বিশেষভাৱে, আমি নিম্নলিখিত সংগ্ৰহবোৰ পৰীক্ষা কৰোঁ:

(i) ১০ তকৈ কম অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যা, অৰ্থাৎ ১, ৩, ৫, ৭, ৯

(ii) ভাৰতৰ নদীসমূহ

(iii) ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ স্বৰবৰ্ণসমূহ, অৰ্থাৎ $a, e, i, o, u$

(iv) বিভিন্ন ধৰণৰ ত্ৰিভুজ

(v) ২১০ ৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহ, অৰ্থাৎ ২,৩,৫ আৰু ৭

(vi) সমীকৰণৰ সমাধান: $x^{2}-5 x+6=0$, অৰ্থাৎ ২ আৰু ৩।

আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে ওপৰৰ প্ৰতিটো উদাহৰণ হৈছে বস্তুৰ এক সু-সংজ্ঞায়িত সংগ্ৰহ অৰ্থত যে আমি নিশ্চিতভাৱে সিদ্ধান্ত ল’ব পাৰোঁ যে এটা নিৰ্দিষ্ট বস্তু এটা নিৰ্দিষ্ট সংগ্ৰহৰ অন্তৰ্গত হয় নে নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে নীল নদী ভাৰতৰ নদীৰ সংগ্ৰহৰ অন্তৰ্গত নহয়। আনহাতে, গংগা নদী এই সংগ্ৰহৰ অন্তৰ্গত হয়।

আমি তলত গণিতত বিশেষকৈ ব্যৱহাৰ কৰা সংহতিৰ আৰু কেইটামান উদাহৰণ দিওঁ, যেনে

$\mathbf{N}$ : সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি

$\mathbf{Z}$ : সকলো পূৰ্ণাংকৰ সংহতি

$\mathbf{Q}$ : সকলো পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংহতি

$\mathbf{R}$ : বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি

$\mathbf{Z^{+}} $: ধনাত্মক পূৰ্ণাংকৰ সংহতি

$\mathbf{Q^{+}} $: ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংহতি, আৰু

$\mathbf{R^{+}} $: ধনাত্মক বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি।

ওপৰত দিয়া বিশেষ সংহতিসমূহৰ চিহ্নসমূহ এই পাঠ্য জুৰি উল্লেখ কৰা হ’ব।

আকৌ বিশ্বৰ পাঁচগৰাকী আটাইতকৈ প্ৰসিদ্ধ গণিতজ্ঞৰ সংগ্ৰহটো সু-সংজ্ঞায়িত নহয়, কাৰণ এজন গণিতজ্ঞক আটাইতকৈ প্ৰসিদ্ধ হিচাপে নিৰ্ধাৰণ কৰাৰ নিকষ ব্যক্তিৰ পৰা ব্যক্তিৰ লৰাবৰ হ’ব পাৰে। গতিকে, ই এক সু-সংজ্ঞায়িত সংগ্ৰহ নহয়।

আমি ক’ম যে এটা সংহতি হৈছে বস্তুৰ এক সু-সংজ্ঞায়িত সংগ্ৰহ।

নিম্নলিখিত কথাবোৰ লক্ষ্য কৰিব পাৰি:

(i) সংহতিৰ বস্তু, উপাদান আৰু সদস্য সমাৰ্থক শব্দ।

(ii) সংহতিসমূহ সাধাৰণতে ডাঙৰ আখৰ A, B, C, X, Y, Z আদিৰে সূচোৱা হয়।

(iii) সংহতিৰ উপাদানসমূহ সৰু আখৰ $a, b, c, x, y, z$ আদিৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়।

যদি $a$ হৈছে সংহতি A ৰ এটা উপাদান, আমি কওঁ যে “$a$ A ৰ অন্তৰ্গত” গ্ৰীক চিহ্ন $\in$ (এপচিলন) ‘অন্তৰ্গত’ বাক্যাংশটো সূচাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। গতিকে, আমি লিখোঁ $a \in A$। যদি ‘$b$’ সংহতি $A$ ৰ উপাদান নহয়, আমি লিখোঁ $b \notin A$ আৰু পঢ়ো “$b$ A ৰ অন্তৰ্গত নহয়”।

গতিকে, ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ স্বৰবৰ্ণৰ সংহতি $V$ ত, $a \in V$ কিন্তু $b \notin V$। $P$ ৰ মৌলিক উৎপাদকৰ সংহতি $30,3 \in P$ ত, কিন্তু $15 \notin P$।

সংহতি প্ৰতিনিধিত্ব কৰাৰ দুটা পদ্ধতি আছে:

(i) ৰোষ্টাৰ বা তালিকা প্ৰকাৰ

(ii) সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী প্ৰকাৰ।

(i) ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত, সংহতিৰ সকলো উপাদান তালিকাভুক্ত কৰা হয়, উপাদানসমূহ কমাৰে পৃথক কৰা হয় আৰু ব্ৰেচ { } ৰ ভিতৰত আবদ্ধ কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ৭ তকৈ কম সকলো যুগ্ম ধনাত্মক পূৰ্ণাংকৰ সংহতিটো ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত এনেদৰে বৰ্ণনা কৰা হয় $\{2,4,6\}$। ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত সংহতি প্ৰতিনিধিত্ব কৰাৰ আৰু কেইটামান উদাহৰণ তলত দিয়া হৈছে:

(ক) ৪২ ক ভাগ কৰা সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি হৈছে $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$।

টোকা - ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত, উপাদানসমূহ তালিকাভুক্ত কৰা ক্ৰমটো অগুৰুত্বপূৰ্ণ। গতিকে, ওপৰৰ সংহতিটোক $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ হিচাপেও প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি।

(খ) ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ সকলো স্বৰবৰ্ণৰ সংহতি হৈছে $\{a, e, i, o, u\}$।

(গ) অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতিটো $\{1,3,5, \ldots\}$ ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। বিন্দুবোৰে আমাক কয় যে অযুগ্ম সংখ্যাৰ তালিকাটো অনিৰ্দিষ্টকাললৈ চলি থাকে।

টোকা - লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত সংহতি লিখোঁতে এটা উপাদান সাধাৰণতে পুনৰাবৃত্তি কৰা নহয়, অৰ্থাৎ সকলো উপাদান পৃথক হিচাপে লোৱা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ‘SCHOOL’ শব্দটো গঠন কৰা আখৰৰ সংহতিটো হৈছে $\{S, C, H, O, L\}$ বা $\{H, O, L, C, S\}$। ইয়াত, উপাদান তালিকাভুক্ত কৰাৰ ক্ৰমৰ কোনো প্ৰাসংগিকতা নাই।

(ii) সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী প্ৰকাৰত, সংহতিৰ সকলো উপাদানে এটা একক সাধাৰণ ধৰ্মৰ অধিকাৰী হয় যিটো সংহতিৰ বাহিৰৰ কোনো উপাদানে অধিকাৰী নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, সংহতি $\{a, e, i, o, u\}$ ত, সকলো উপাদানে এটা সাধাৰণ ধৰ্মৰ অধিকাৰী, অৰ্থাৎ ইয়াৰ প্ৰতিটো ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ এটা স্বৰবৰ্ণ, আৰু আন কোনো আখৰে এই ধৰ্মৰ অধিকাৰী নহয়। এই সংহতিটোক $V$ ৰে সূচাই, আমি লিখোঁ

$V=\{x: x$ ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ এটা স্বৰবৰ্ণ $\}$

লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে আমি সংহতিৰ উপাদানবোৰ এটা চিহ্ন $x$ (আখৰ $y, z$ আদিৰ দৰে আন যিকোনো চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি) ব্যৱহাৰ কৰি বৰ্ণনা কৰোঁ যিটো কোলন " : " ৰ দ্বাৰা অনুসৰণ কৰা হয়। কোলনৰ চিহ্নৰ পিছত, আমি সংহতিৰ উপাদানসমূহে অধিকাৰ কৰা বৈশিষ্ট্যপূৰ্ণ ধৰ্মটো লিখোঁ আৰু তাৰ পিছত গোটেই বৰ্ণনাটো ব্ৰেচৰ ভিতৰত আবদ্ধ কৰোঁ। $V$ সংহতিৰ ওপৰৰ বৰ্ণনাটো “$x$ সকলোৰ সংহতি যেনে $x$ ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ এটা স্বৰবৰ্ণ” হিচাপে পঢ়া হয়। এই বৰ্ণনাত ব্ৰেচবোৰে “সকলোৰ সংহতি” বুজায়, কোলনে “যেনে” বুজায়। উদাহৰণস্বৰূপে, সংহতি

$A=\{x: x$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা আৰু $3<x<10\}$ “$x$ সকলোৰ সংহতি যেনে $x$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা আৰু $x$ ৩ আৰু ১০ ৰ মাজত থাকে” হিচাপে পঢ়া হয়। গতিকে, সংখ্যা ৪, ৫, ৬, ৭,৮ আৰু ৯ হৈছে সংহতি $A$ ৰ উপাদান।

যদি আমি ওপৰত $(a),(b)$ আৰু $(c)$ ত বৰ্ণনা কৰা সংহতিসমূহক ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত ক্ৰমে $A, B$, $C$ ৰে সূচাওঁ, তেন্তে $A, B, C$ ক সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী প্ৰকাৰত নিম্নলিখিত ধৰণেৰেও প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি:

$A=\{x: x$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা যিয়ে ৪২ ক ভাগ কৰে $\}$

$B=\{y: y$ ইংৰাজী বৰ্ণমালাৰ এটা স্বৰবৰ্ণ $\}$

$C=\{z: z$ এটা অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যা $\}$

উদাহৰণ ১ সমীকৰণ $x^{2}+x-2=0$ ৰ সমাধান সংহতিটো ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত লিখা।

সমাধান দিয়া সমীকৰণটো এনেদৰে লিখিব পাৰি

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

গতিকে, দিয়া সমীকৰণৰ সমাধান সংহতিটো ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত $\{1,-2\}$ হিচাপে লিখিব পাৰি।

উদাহৰণ ২ সংহতি $\{x: x$ এটা ধনাত্মক পূৰ্ণাংক আৰু $x^{2}<40\}$ ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত লিখা।

সমাধান প্ৰয়োজনীয় সংখ্যাবোৰ হৈছে $1,2,3,4,5,6$। গতিকে, দিয়া সংহতিটো ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত হৈছে $\{1,2,3,4,5,6\}$।

উদাহৰণ ৩ সংহতি $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী প্ৰকাৰত লিখা।

সমাধান আমি সংহতি A ক এনেদৰে লিখিব পাৰোঁ

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

বিকল্পভাৱে, আমি লিখিব পাৰোঁ

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

উদাহৰণ ৪ সংহতি $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী প্ৰকাৰত লিখা।

সমাধান আমি দেখোঁ যে দিয়া সংহতিৰ প্ৰতিজন সদস্যৰ লৱটো হৰতকৈ এক কম। আকৌ, লৱটো ১ ৰ পৰা আৰম্ভ হয় আৰু ৬ অতিক্ৰম নকৰে। গতিকে, সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী প্ৰকাৰত দিয়া সংহতিটো হৈছে

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

উদাহৰণ ৫ ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত বৰ্ণনা কৰা বাওঁফালৰ প্ৰতিটো সংহতিক সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী প্ৰকাৰত বৰ্ণনা কৰা সোঁফালৰ একে সংহতিৰ সৈতে মিলোৱা:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

সমাধান কিয়নো (d) ত, PRINCIPAL শব্দটোত ৯টা আখৰ আছে আৰু P আৰু I আখৰ দুটা পুনৰাবৃত্তি হৈছে, গতিকে (i) (d) ৰ সৈতে মিলে। একেদৰে, (ii) (c) ৰ সৈতে মিলে কিয়নো $x+1=1$ ৰ অৰ্থ $x=0$। আকৌ, ১, ২ ,৩, ৬, ৯, ১৮ সকলোৱে ১৮ ৰ ভাজক, গতিকে (iii) (a) ৰ সৈতে মিলে। শেষত, $x^{2}-9=0$ ৰ অৰ্থ $x=3,-3$, গতিকে (iv) (b) ৰ সৈতে মিলে।

১.৩ ৰিক্ত সংহতি

সংহতিটো বিবেচনা কৰা

$A=\{x: x$ এটা বিদ্যালয়ত বৰ্তমান একাদশ শ্ৰেণীত পঢ়ি থকা শিক্ষাৰ্থী $\}$

আমি বিদ্যালয়লৈ গৈ বিদ্যালয়ত বৰ্তমান একাদশ শ্ৰেণীত পঢ়ি থকা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা গণনা কৰিব পাৰোঁ। গতিকে, সংহতি A ৰ সসীম সংখ্যক উপাদান আছে।

আমি এতিয়া আন এটা সংহতি $B$ নিম্নলিখিত ধৰণে লিখোঁ:

$B = \{x: x$ বৰ্তমান দশম আৰু একাদশ দুয়োটা শ্ৰেণীত পঢ়ি থকা শিক্ষাৰ্থী $\}$

আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে এজন শিক্ষাৰ্থীয়ে একে সময়তে দশম আৰু একাদশ দুয়োটা শ্ৰেণীত পঢ়িব নোৱাৰে। গতিকে, সংহতি B ৰ একোটা উপাদান নাই।

সংজ্ঞা ১ যি সংহতিত কোনো উপাদান নাথাকে তাক ৰিক্ত সংহতি বা নাল সংহতি বা শূন্য সংহতি বোলা হয়।

এই সংজ্ঞা অনুসৰি, B হৈছে এটা ৰিক্ত সংহতি আনহাতে A ৰিক্ত সংহতি নহয়। ৰিক্ত সংহতিক চিহ্ন $\phi$ বা { } ৰে সূচোৱা হয়।

আমি তলত ৰিক্ত সংহতিৰ কেইটামান উদাহৰণ দিওঁ।

(i) ধৰা হওক $A=\{x: 1<x<2, x$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা $\}$। তেন্তে A হৈছে ৰিক্ত সংহতি, কাৰণ ১ আৰু ২ ৰ মাজত কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা নাই।

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ আৰু $x$ পৰিমেয় সংখ্যা $\}$। তেন্তে $B$ হৈছে ৰিক্ত সংহতি কাৰণ সমীকৰণ $x^{2}-2=0$ $x$ ৰ কোনো পৰিমেয় মানৰ দ্বাৰা সিদ্ধ নহয়।

(iii) $C =$ $\{x: x$ ২ তকৈ ডাঙৰ যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা $\}$। তেন্তে $C$ হৈছে ৰিক্ত সংহতি, কাৰণ ২ হৈছে একমাত্ৰ যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা।

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ অযুগ্ম $\}$। তেন্তে $D$ হৈছে ৰিক্ত সংহতি, কাৰণ সমীকৰণ $x^{2}=4$ $x$ ৰ কোনো অযুগ্ম মানৰ দ্বাৰা সিদ্ধ নহয়।

১.৪ সসীম আৰু অসীম সংহতি

ধৰা হওক $\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ আৰু $\quad C=\{$ বিশ্বৰ বিভিন্ন ঠাইত বৰ্তমান বাস কৰা মানুহ $\}$

আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে A ৰ ৫টা উপাদান আছে আৰু B ৰ ৬টা উপাদান আছে। $C$ ৰ কিমানটা উপাদান আছে? যিদৰে আছে, আমি $C$ ৰ উপাদানৰ সংখ্যা নাজানো, কিন্তু ই হৈছে কিছুমান স্বাভাৱিক সংখ্যা যিবোৰ বৰ ডাঙৰ হ’ব পাৰে। সংহতি $S$ ৰ উপাদানৰ সংখ্যাৰ দ্বাৰা, আমি সংহতিৰ পৃথক উপাদানৰ সংখ্যা বুজোঁ আৰু ইয়াক $n$ (S) ৰে সূচাওঁ। যদি $n$ (S) এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, তেন্তে $S$ হৈছে অ-ৰিক্ত সসীম সংহতি।

স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতিটো বিবেচনা কৰা। আমি দেখোঁ যে এই সংহতিৰ উপাদানৰ সংখ্যা সসীম নহয় কিয়নো অসীম সংখ্যক স্বাভাৱিক সংখ্যা আছে। আমি কওঁ যে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতিটো এটা অসীম সংহতি। ওপৰত দিয়া A, B আৰু C সংহতিসমূহ সসীম সংহতি আৰু $n(A)=5, n(B)=6$ আৰু $n(C)=$ কিছুমান সসীম সংখ্যা।

সংজ্ঞা ২ যি সংহতি ৰিক্ত বা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক উপাদানৰে গঠিত তাক সসীম বোলা হয় নহ’লে, সংহতিটোক অসীম বোলা হয়।

কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰা:

(i) ধৰা হওক $W$ সপ্তাহৰ দিনবোৰৰ সংহতি। তেন্তে $W$ সসীম।

(ii) ধৰা হওক $S$ সমীকৰণ $x^{2}-16=0$ ৰ সমাধানৰ সংহতি। তেন্তে $S$ সসীম।

(iii) ধৰা হওক $G$ এডাল ৰেখাৰ ওপৰৰ বিন্দুবোৰৰ সংহতি। তেন্তে $G$ অসীম।

যখন আমি ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত সংহতি প্ৰতিনিধিত্ব কৰোঁ, আমি সংহতিৰ সকলো উপাদান ব্ৰেচ { } ৰ ভিতৰত লিখোঁ। অসীম সংহতিৰ সকলো উপাদান ব্ৰেচ { } ৰ ভিতৰত লিখাটো সম্ভৱ নহয় কিয়নো এনে সংহতিৰ উপাদানৰ সংখ্যা সসীম নহয়। গতিকে, আমি কিছু অসীম সংহতিক ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত সংহতিৰ গঠন স্পষ্টকৈ সূচোৱা কেইটামান উপাদান লিখি তাৰ পিছত (বা আগত) তিনিটা বিন্দু দি প্ৰতিনিধিত্ব কৰোঁ।

উদাহৰণস্বৰূপে, $\{1,2,3 \ldots\}$ হৈছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি, $\{1,3,5,7, \ldots\}$ হৈছে অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি, $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ হৈছে পূৰ্ণাংকৰ সংহতি। এই সংহতিসমূহ সকলো অসীম।

টোকা - সকলো অসীম সংহতি ৰোষ্টাৰ প্ৰকাৰত বৰ্ণনা কৰিব নোৱাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতিটো এই প্ৰকাৰত বৰ্ণনা কৰিব নোৱাৰি, কাৰণ এই সংহতিৰ উপাদানবোৰে কোনো নিৰ্দিষ্ট নমুনা অনুসৰণ নকৰে।

উদাহৰণ ৬ নিম্নলিখিত সংহতিসমূহৰ কোনবোৰ সসীম বা অসীম কোৱা:

(i) $\{x: x \in N$ আৰু $(x-1)(x-2)=0\}$

(ii) $\{x: x \in N.$ আৰু $.x^{2}=4\}$

(iii) $\{x: x \in N$ আৰু $2 x-1=0\}$

(iv) $\quad\{x: x \in N$ আৰু $x$ মৌলিক সংখ্যা $\}$

(v) $\{x: x \in N$ আৰু $x$ অযুগ্ম $\}$

সমাধান (i) দিয়া সংহতি $=\{1,2\}$। গতিকে, ই সসীম।

(ii) দিয়া সংহতি $=\{2\}$। গতিকে, ই সসীম।

(iii) দিয়া সংহতি $=\phi$। গতিকে, ই সসীম।

(iv) দিয়া সংহতিটো হৈছে সকলো মৌলিক সংখ্যাৰ সংহতি আৰু যিহেতু মৌলিক সংখ্যাৰ সংহতি অসীম। গতিকে দিয়া সংহতিটো অসীম

(v) যিহেতু অসীম সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যা আছে, গতিকে, দিয়া সংহতিটো অসীম।

১.৫ সমান সংহতি

দুটা সংহতি A আৰু B দিয়া থাকিলে, যদি A ৰ প্ৰতিটো উপাদান B ৰো উপাদান হয় আৰু যদি B ৰ প্ৰতিটো উপাদান A ৰো উপাদান হয়, তেন্তে সংহতি A আৰু B সমান বুলি কোৱা হয়। স্পষ্টভাৱে, দুয়োটা সংহতিৰ একে উপাদান থাকে।

সংজ্ঞা ৩ দুটা সংহতি A আৰু B সমান বুলি কোৱা হয় যদি ইহঁতৰ একে উপাদান থাকে আৰু আমি লিখোঁ $A=B$। নহ’লে, সংহতিসমূহ অসমান বুলি কোৱা হয় আৰু আমি লিখোঁ $A \neq B$।

আমি নিম্নলিখিত উদাহৰণবোৰ বিবেচনা কৰোঁ:

(i) ধৰা হওক $A=\{1,2,3,4\}$ আৰু $B=\{3,1,4,2\}$। তেন্তে $A=B$।

(ii) ধৰা হওক $A$ ৬ তকৈ কম মৌলিক সংখ্যাৰ সংহতি আৰু $P$ ৩০ ৰ মৌলিক উৎপাদকৰ সংহতি। তেন্তে A আৰু P সমান, কিয়নো ২, ৩ আৰু ৫ হৈছে ৩০ ৰ একমাত্ৰ মৌলিক উৎপাদক আৰু এইবোৰ ৬ তকৈও কম।

টোকা - সংহতিৰ এটা বা ততোধিক উপাদান পুনৰাবৃত্তি হ’লে সংহতিটো সলনি নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, সংহতি $A=\{1,2,3\}$ আৰু $B=\{2,2,1,3,3\}$ সমান, কিয়নো A ৰ প্ৰতিটো উপাদান B ত আছে আৰু বিপৰীতভাৱে। সেয়েহে আমি সাধাৰণতে সংহতি বৰ্ণনা কৰোঁতে কোনো উপাদান পুনৰাবৃত্তি নকৰোঁ।

উদাহৰণ ৭ সমান সংহতিৰ যোৰবোৰ নিৰ্ণয় কৰা, যদি থাকে, কাৰণ দিয়া:

$$ \begin{aligned} & A=\{0\}, \quad B=\{x: x>15 \text { and } x<5\}, \\ & C=\{x: x-5=0\}, \quad D=\{x: x^{2}=25\}, \\ & E=\{x: x \text { is an integral positive root of the equation } x^{2}-2 x-15=0\} \end{aligned} $$

সমাধান যিহেতু $0 \in A$ আৰু $0$ $B, C, D$ আৰু $E$ সংহতিৰ কোনোটাৰে অন্তৰ্গত নহয়, ইয়াৰ পৰা অনুসৰণ কৰে যে, $A \neq B, A \neq C, A \neq D, A \neq E$।

যিহেতু $B=\phi$ কিন্তু আন সংহতিসমূহৰ কোনোটা ৰিক্ত নহয়। গতিকে $B \neq C, B \neq D$ আৰু $B \neq E$। আকৌ $C=\{5\}$ কিন্তু $-5 \in D$, গতিকে $C \neq D$।

যিহেতু $E=\{5\}, C=E$। অধিকন্তু, $D=\{-5,5\}$ আৰু $E=\{5\}$, আমি পাইছোঁ যে, $D \neq E$। গতিকে, একমাত্ৰ সমান সংহতিৰ যোৰ হৈছে $C$ আৰু $E$।

উদাহৰণ ৮ নিম্নলিখিত সংহতিৰ যোৰবোৰৰ কোনবোৰ সমান? তোমাৰ উত্তৰ সমৰ্থন কৰা।

(i) X, “ALLOY” ৰ আখৰবোৰৰ সংহতি আৰু B, “LOYAL” ৰ আখৰবোৰৰ সংহতি।

(ii) $A=\{n: n \in Z.$ আৰু $.n^{2} \leq 4\}$ আৰু $B=\{x: x \in R.$ আৰু $.x^{2}-3 x+2=0\}$।

সমাধান (i) আমাৰ আছে, $X=\{A, L, L, O, Y\}, B=\{L, O, Y, A, L\}$। তেন্তে $X$ আৰু $B$ সমান সংহতি কিয়নো সংহতিত উপাদানৰ পুনৰাবৃত্তিয়ে সংহতি সলনি নকৰে। গতিকে,

$$ X=\{A, L, O, Y\}=B $$

(ii) $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2\}$। যিহেতু $0 \in A$ আৰু $0 \notin B, A$ আৰু $B$ সমান সংহতি নহয়।

১.৬ উপসংহতি

সংহতিসমূহ বিবেচনা কৰা: $X=$ তোমাৰ বিদ্যালয়ৰ সকলো শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি, $Y=$ তোমাৰ শ্ৰেণীৰ সকলো শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি।

আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে $Y$ ৰ প্ৰতিটো উপাদান $X$ ৰো উপাদান; আমি কওঁ যে $Y$ হৈছে $X$ ৰ এটা উপসংহতি। $Y$ হৈছে $X$ ৰ উপসংহতি এই কথাটো চিহ্নত $Y \subset X$ ৰে প্ৰকাশ কৰা হয়। চিহ্ন $\subset$ ৰ অৰ্থ ‘উপসংহতি’ বা ‘অন্তৰ্ভুক্ত’।

সংজ্ঞা ৪ $A$ সংহতি $A$ ক সংহতি $B$ ৰ উপসংহতি বুলি কোৱা হয় যদি $A$ ৰ প্ৰতিটো উপাদান B ৰো উপাদান হয়।

অন্য কথাত, $A \subset B$ যদি যেতিয়াই $a \in A$, তেতিয়া $a \in B$। “$\Rightarrow$” চিহ্নটো ব্যৱহাৰ কৰাটো প্ৰায়ে সুবিধাজনক যি অৰ্থ কৰে। এই চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰি, আমি উপসংহতিৰ সংজ্ঞা নিম্নলিখিত ধৰণে লিখিব পাৰোঁ:

$$ A \subset B \text { if } a \in A \Rightarrow a \in B $$

আমি ওপৰৰ বাক্যটো “$A$ হৈছে $B$ ৰ উপসংহতি যদি $a$ $A$ ৰ উপাদান হয় ইয়াৰ অৰ্থ $a$ $B$ ৰো উপাদান হয়” হিচাপে পঢ়োঁ। যদি $A$ $B$ ৰ উপসংহতি নহয়, আমি লিখোঁ $A \not \subset B$।

আমি লক্ষ্য কৰিব পাৰোঁ যে $A$ $B$ ৰ উপসংহতি হ’বলৈ, প্ৰয়োজনীয় একমাত্ৰ কথা হৈছে A ৰ প্ৰতিটো উপাদান B ত থাকে। ই সম্ভৱ যে B ৰ প্ৰতিটো উপাদান A ত থাকিব পাৰে বা নাথাকিব পাৰে। যদি এনেকুৱা হয় যে $B$ ৰ প্ৰতিটো উপাদান $A$ তো থাকে, তেন্তে আমাৰ $B \subset A$ ও থাকিব। এই ক্ষেত্ৰত, $A$ আৰু $B$ একে সংহতি হয় যাতে আমাৰ $A \subset B$ আৰু $B \subset A \Leftrightarrow A=B$ থাকে, য’ত “$\Leftrightarrow$” হৈছে দুয়োফালৰ প্ৰভাৱৰ চিহ্ন, আৰু সাধাৰণতে যদি আৰু কেৱল যদি (সংক্ষেপত “iff”) হিচাপে পঢ়া হয়।

ওপৰৰ সংজ্ঞাৰ পৰা ইয়াৰ পৰা অনুসৰণ কৰে যে প্ৰতিটো সংহতি $A$ ইয়াৰ নিজৰ উপসংহতি, অৰ্থাৎ $A \subset A$। যিহেতু ৰিক্ত সংহতি $\phi$ ৰ কোনো উপাদান নাই, আমি সন্মত হওঁ যে $\phi$ প্ৰতিটো সংহতিৰ উপসংহতি। আমি এতিয়া কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ:

(i) পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংহতি $\mathbf{Q}$ হৈছে বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি $\mathbf{R}$ ৰ উপসংহতি, আৰু আমি লিখোঁ $\mathbf{Q} \subset R$।

(ii) যদি $A$ হৈছে ৫৬ ৰ সকলো ভাজকৰ সংহতি আৰু $B$ ৫৬ ৰ সকলো মৌলিক ভাজকৰ সংহতি, তেন্তে $B$ হৈছে $A$ ৰ উপসংহতি আৰু আমি লিখোঁ $B \subset A$।

(iii) ধৰা হওক $A=\{1,3,5\}$ আৰু $B=\{x: x$ ৬ তকৈ কম অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যা $\}$। তেন্তে $A \subset B$ আৰু $B \subset A$ আৰু গতিকে $A=B$।

(iv) ধৰা হওক $A=\{a, e, i, o, u\}$ আৰু $B=\{a, b, c, d\}$। তেন্তে $A$ $B$ ৰ উপসংহতি নহয়, আকৌ $B$ $A$ ৰ উপসংহতি নহয়।

ধৰা হওক $A$ আৰু $B$ দুটা সংহতি। যদি $A \subset B$ আৰু $A \neq B$, তেন্তে $A$ ক $B$ ৰ এটা সঠিক উপসংহতি বোলা হয় আৰু $B$