তোমাৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলৰ বাবে জ্ঞান আৰু প্ৰকৃত জীৱনৰ মাজৰ সম্পৰ্কটো অতি স্পষ্টকৈ দেখুৱা আৰু তেওঁলোকক বুজাবলৈ দিয়া যে কেনেকৈ জ্ঞানৰ দ্বাৰা পৃথিৱীটো পৰিৱৰ্তন কৰিব পাৰি। - বাৰ্ট্ৰেণ্ড ৰাছেল

১০.১ পৰিচয়

পূৰ্বৰ অধ্যায় ১০ত, আমি এডাল ৰেখাৰ সমীকৰণৰ বিভিন্ন ৰূপ অধ্যয়ন কৰিছিলো। এই অধ্যায়ত, আমি আন কিছুমান বক্ৰৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিম, যেনে- বৃত্ত, উপবৃত্ত, পৰাবোলা আৰু অধিবৃত্ত। পৰাবোলা আৰু অধিবৃত্তৰ নামকৰণ এপ’ল’নিয়াছে কৰিছিল। এই বক্ৰসমূহ প্রকৃততে, শংকুচ্ছেদ বা সাধাৰণতে কনিক হিচাপে জনা যায় কাৰণ এইবোৰ এটা সমতলৰ সৈতে এটা দ্বি-নেপযুক্ত সমকোণীয় বৃত্তাকাৰ শংকুৰ ছেদনৰ ফলত পোৱা যায়। এই বক্ৰসমূহৰ গ্ৰহীয় গতি, দূৰবীক্ষণ আৰু এণ্টেনাৰ নক্সা, ফ্লাছলাইট আৰু অট’ম’বাইল হেডলাইটৰ প্ৰতিফলক আদি ক্ষেত্ৰত অতি বহুল প্ৰয়োগ আছে।

এপ’ল’নিয়াছ (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ২৬২ - খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ১৯০)

এতিয়া, পৰৱৰ্তী অংশসমূহত আমি দেখিম যে কেনেকৈ এটা সমতলৰ সৈতে এটা দ্বি-নেপযুক্ত সমকোণীয় বৃত্তাকাৰ শংকুৰ ছেদনে বিভিন্ন ধৰণৰ বক্ৰৰ সৃষ্টি কৰে।

১০.২ শংকুৰ ছেদন

ধৰা হওক $l$ এটা স্থিৰ উলম্ব ৰেখা আৰু $m$ আন এডাল ৰেখাই ইয়াক এটা স্থিৰ বিন্দু $V$ত ছেদ কৰে আৰু ইয়াৰ সৈতে $\alpha$ কোণ কৰি হেলে (চিত্ৰ ১০.১)।

চিত্ৰ ১০.১

ধৰা হওক আমি $m$ ৰেখাডাল $l$ ৰেখাডালৰ চাৰিওফালে এনেদৰে ঘূৰাও যে $\alpha$ কোণটো স্থিৰ হৈ থাকে। তেতিয়া উৎপন্ন হোৱা পৃষ্ঠটো হৈছে এটা দ্বি-নেপযুক্ত সমকোণীয় বৃত্তাকাৰ ফোপোলা শংকু যাক ইয়াত শংকু বুলি কোৱা হৈছে আৰু দুয়ো দিশত অসীমলৈকে বিস্তৃত (চিত্ৰ ১০.২)।

চিত্ৰ ১০.২

বিন্দুটো $V$ ক শীৰ্ষ বুলি কোৱা হয়; ৰেখাডাল $l$ হৈছে শংকুৰ অক্ষ। ঘূৰ্ণনশীল ৰেখাডাল $m$ ক শংকুৰ এটা উৎপাদক বুলি কোৱা হয়। শীৰ্ষবিন্দুটোৱে শংকুটোক দুটা অংশত বিভক্ত কৰে যাক নেপ বুলি কোৱা হয়।

যদি আমি শংকুৰ সৈতে এটা সমতলৰ ছেদন লওঁ, তেন্তে এনেদৰে পোৱা ছেদনটোক শংকুচ্ছেদ বুলি কোৱা হয়। গতিকে, শংকুচ্ছেদসমূহ হৈছে এটা সমকোণীয় বৃত্তাকাৰ শংকুৰ সৈতে এটা সমতলৰ ছেদনৰ দ্বাৰা পোৱা বক্ৰসমূহ।

শংকুৰ সাপেক্ষে ছেদনকাৰী সমতলটোৰ অৱস্থান আৰু ইয়াৰ দ্বাৰা শংকুৰ উলম্ব অক্ষৰ সৈতে কৰা কোণৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি আমি বিভিন্ন ধৰণৰ শংকুচ্ছেদ পাওঁ। ধৰা হওক $\beta$ হৈছে ছেদনকাৰী সমতলটোৱে শংকুৰ উলম্ব অক্ষৰ সৈতে কৰা কোণ (চিত্ৰ ১০.৩)।

চিত্ৰ ১০.৩

সমতলটোৰ সৈতে শংকুৰ ছেদন শংকুৰ শীৰ্ষত বা শীৰ্ষৰ তলৰ বা ওপৰৰ নেপৰ অন্য যিকোনো অংশত হ’ব পাৰে।

১০.২.১ বৃত্ত, উপবৃত্ত, পৰাবোলা আৰু অধিবৃত্ত

যখন সমতলটোৱে শংকুৰ নেপটো (শীৰ্ষৰ বাহিৰে) কাটে, তেতিয়া আমি তলত দিয়া অৱস্থাসমূহ পাম:

(ক) যেতিয়া $\beta=90^{\circ}$, ছেদনটো এটা বৃত্ত (চিত্ৰ ১০.৪)।

চিত্ৰ ১০.৪

(খ) যেতিয়া $\alpha<\beta<90^{\circ}$, ছেদনটো এটা উপবৃত্ত (চিত্ৰ ১০.৫)।

চিত্ৰ ১০.৫

(গ) যেতিয়া $\beta=\alpha$; ছেদনটো এটা পৰাবোলা (চিত্ৰ ১০.৬)।

চিত্ৰ ১০.৬

(ওপৰৰ তিনিটা অৱস্থাৰ প্ৰতিটোতে, সমতলটোৱে শংকুৰ এটা নেপ সম্পূৰ্ণৰূপে অতিক্ৰম কৰি কাটে)।

(ঘ) যেতিয়া $0 \leq \beta<\alpha$; সমতলটোৱে দুয়োটা নেপ কাটি পাৰ হৈ যায় আৰু ছেদনৰ বক্ৰটো হৈছে এটা অধিবৃত্ত (চিত্ৰ ১০.৭)।

চিত্ৰ ১০.৭

১০.২.২ অপভ্ৰষ্ট শংকুচ্ছেদ

যখন সমতলটোৱে শংকুৰ শীৰ্ষত কাটে, তেতিয়া আমি তলত দিয়া বিভিন্ন ক্ষেত্ৰ পাম:

(ক) যেতিয়া $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$, তেতিয়া ছেদনটো এটা বিন্দু (চিত্ৰ ১০.৮)।

চিত্ৰ ১০.৮

(খ) যেতিয়া $\beta=\alpha$, সমতলটোৱে শংকুৰ এটা উৎপাদক ধৰি ৰাখে আৰু ছেদনটো এডাল সৰল ৰেখা (চিত্ৰ ১০.৯)।

চিত্ৰ ১০.৯

ই হৈছে পৰাবোলাৰ এটা অপভ্ৰষ্ট ক্ষেত্ৰ।

(গ) যেতিয়া $0 \leq \beta<\alpha$, ছেদনটো হৈছে ছেদী সৰল ৰেখাৰ এটা যোৰ (চিত্ৰ ১০.১০)। ই হৈছে অধিবৃত্তৰ এটা অপভ্ৰষ্ট ক্ষেত্ৰ।

চিত্ৰ ১০.৮ (ক)

চিত্ৰ ১০.৮ (খ)

পৰৱৰ্তী অংশসমূহত, আমি এই শংকুচ্ছেদসমূহৰ প্ৰতিটোৰ সমীকৰণ জ্যামিতিক ধৰ্মৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি সংজ্ঞায়িত কৰি প্ৰামাণিক ৰূপত পাম।

১০.৩ বৃত্ত

সংজ্ঞা ১ এটা বৃত্ত হৈছে সমতলৰ সকলো বিন্দুৰ সংহতি যিবোৰ সমতলৰ এটা স্থিৰ বিন্দুৰ পৰা সমদূৰত্বত অৱস্থিত।

স্থিৰ বিন্দুটোক বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ বুলি কোৱা হয় আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তৰ এটা বিন্দুলৈ দূৰত্বটোক বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ বুলি কোৱা হয় (চিত্ৰ ১০.১১)।

চিত্ৰ ১০.১১

বৃত্তটোৰ সমীকৰণটো সবাতোকৈ সহজ যদি বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ মূলবিন্দুত থাকে। কিন্তু, আমি তলত দিয়া কেন্দ্ৰ আৰু ব্যাসাৰ্ধৰ সৈতে বৃত্তটোৰ সমীকৰণ উলিয়াম (চিত্ৰ ১০.১২)।

চিত্ৰ ১০.১২

ধৰা হওক $C(h, k)$ কেন্দ্ৰ হ’ব আৰু $r$ বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ। ধৰা হওক $P(x, y)$ বৃত্তটোৰ যিকোনো বিন্দু (চিত্ৰ ১০.১২)। তেতিয়া, সংজ্ঞামতে, $|CP|=r$। দূৰত্বৰ সূত্ৰৰ দ্বাৰা, আমি পাম

অৰ্থাৎ

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+-k)^{2}}=r \\ & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

এইটোৱেই হৈছে কেন্দ্ৰ $(h, k)$ আৰু ব্যাসাৰ্ধ $r$ থকা বৃত্তটোৰ প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণ।

উদাহৰণ ১ কেন্দ্ৰ $(0,0)$ আৰু ব্যাসাৰ্ধ $r$ থকা বৃত্তটোৰ এটা সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান ইয়াত $h=k=0$। গতিকে, বৃত্তটোৰ সমীকৰণ হৈছে $x^{2}+y^{2}=r^{2}$।

উদাহৰণ ২ কেন্দ্ৰ $(-3,2)$ আৰু ব্যাসাৰ্ধ ৪ থকা বৃত্তটোৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান ইয়াত $h=-3, k=2$ আৰু $r=4$। গতিকে, প্ৰয়োজনীয় বৃত্তটোৰ সমীকৰণ হৈছে

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

উদাহৰণ ৩ বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ আৰু ব্যাসাৰ্ধ নিৰ্ণয় কৰা $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$

সমাধান দিয়া সমীকৰণটো হৈছে

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

এতিয়া, বন্ধনীৰ ভিতৰত বৰ্গ পূৰণ কৰি, আমি পাম

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

অৰ্থাৎ

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

অৰ্থাৎ

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

গতিকে, দিয়া বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ $(-4,-5)$ত আৰু ব্যাসাৰ্ধ ৭।

উদাহৰণ ৪ বৃত্তটোৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যিয়ে বিন্দু $(2,-2)$, আৰু $(3,4)$ৰ মাজেৰে পাৰ হয় আৰু যাৰ কেন্দ্ৰ ৰেখা $x+y=2$ৰ ওপৰত অৱস্থিত।

সমাধান ধৰা হওক বৃত্তটোৰ সমীকৰণ হৈছে $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$।

যিহেতু বৃত্তটোৱে $(2,-2)$ আৰু $(3,4)$ৰ মাজেৰে পাৰ হয়, আমি পাম

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

আৰু $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

আৰু যিহেতু কেন্দ্ৰটো ৰেখা $x+y=2$ৰ ওপৰত অৱস্থিত, আমি পাম

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (১), (২) আৰু (৩) সমাধান কৰি, আমি পাম

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ and } r^{2}=12.58 $

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় বৃত্তটোৰ সমীকৰণ হৈছে

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

১০.৪ পৰাবোলা

সংজ্ঞা ২ এটা পৰাবোলা হৈছে সমতলৰ সকলো বিন্দুৰ সংহতি যিবোৰ সমতলৰ এটা স্থিৰ ৰেখা আৰু এটা স্থিৰ বিন্দু (ৰেখাডালত নথকা)ৰ পৰা সমদূৰত্বত অৱস্থিত।

স্থিৰ ৰেখাডালক পৰাবোলাটোৰ দিক্ৰেখা বুলি কোৱা হয় আৰু স্থিৰ বিন্দুটো $F$ ক নাভি বুলি কোৱা হয় (চিত্ৰ ১০.১৩)। (‘পেৰা’ৰ অৰ্থ ‘বাবে’ আৰু ‘বোলা’ৰ অৰ্থ ‘দলিয়োৱা’, অৰ্থাৎ যেতিয়া তুমি এটা বল বতাহলৈ দলিয়াই দিয়া তেতিয়া বৰ্ণনা কৰা আকৃতি)।

চিত্ৰ ১০.১৩

টোকা - যদি স্থিৰ বিন্দুটো স্থিৰ ৰেখাডালৰ ওপৰত অৱস্থিত, তেতিয়া সমতলৰ বিন্দুসমূহৰ সংহতি, যিবোৰ স্থিৰ বিন্দু আৰু স্থিৰ ৰেখাৰ পৰা সমদূৰত্বত অৱস্থিত, সেইটো হৈছে স্থিৰ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা আৰু স্থিৰ ৰেখালৈ লম্ব সৰল ৰেখা। আমি এই সৰল ৰেখাটোক পৰাবোলাৰ অপভ্ৰষ্ট ক্ষেত্ৰ বুলি কওঁ।

নাভিৰ মাজেৰে যোৱা আৰু দিক্ৰেখালৈ লম্ব ৰেখাডালক পৰাবোলাটোৰ অক্ষ বুলি কোৱা হয়। পৰাবোলাৰ সৈতে অক্ষৰ ছেদন বিন্দুটোক পৰাবোলাটোৰ শীৰ্ষ বুলি কোৱা হয় (চিত্ৰ ১০.১৪)।

চিত্ৰ ১০.১৪

১০.৪.১ পৰাবোলাৰ প্ৰামাণিক সমীকৰণ

পৰাবোলাৰ সমীকৰণটো সবাতোকৈ সহজ যদি শীৰ্ষ মূলবিন্দুত থাকে আৰু সমমিতিৰ অক্ষটো $x$-অক্ষ বা $y$-অক্ষৰ লগত সমান্তৰালভাৱে থাকে। পৰাবোলাৰ এনেধৰণৰ চাৰিটা সম্ভাব্য অৱস্থান তলৰ চিত্ৰ ১০.১৫ (ক) ৰ পৰা (ঘ) ত দেখুওৱা হৈছে।

(ক)

(খ)

$x^{2}=4 a y$

(গ)

$x^{2}=-4 a y$

(ঘ)

আমি ওপৰৰ চিত্ৰ ১০.১৫ (ক) ত দেখুওৱা পৰাবোলাটোৰ সমীকৰণ নাভি $(a, 0) a>0$; আৰু দিক্ৰেখা $x=-a$ হিচাপে তলত দিয়া ধৰণে উলিয়াম:

ধৰা হওক $F$ নাভি হ’ব আৰু $l$ দিক্ৰেখা। ধৰা হওক FM দিক্ৰেখালৈ লম্ব আৰু FM ক O বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত কৰক। MO ক X লৈ বঢ়াওক। $(-a, y)$ B সংজ্ঞামতে, মধ্যবিন্দু $O$ পৰাবোলাৰ ওপৰত থাকে আৰু ইয়াক পৰাবোলাটোৰ শীৰ্ষ বুলি কোৱা হয়। $O$ ক মূলবিন্দু হিচাপে লওক, $OX$ $x$-অক্ষ হিচাপে লওক আৰু $OY$ ইয়াৰ লম্ব হৈ থকাটোক $y$-অক্ষ হিচাপে লওক। ধৰা হওক দিক্ৰেখাৰ পৰা নাভিলৈ দূৰত্ব $2 a$। তেতিয়া, নাভিৰ স্থানাংক হৈছে $(a, 0)$, আৰু দিক্ৰেখাৰ সমীকৰণ হৈছে $x+a=0$ যেনেকৈ চিত্ৰ ১০.১৬ ত আছে।

চিত্ৰ $\mathbf{1 0 . 1 6}$

ধৰা হওক $P(x, y)$ পৰাবোলাৰ ওপৰত যিকোনো বিন্দু যেনে

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

য’ত $PB$ $l$ লৈ লম্ব। $B$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(-a, y)$। দূৰত্বৰ সূত্ৰৰ দ্বাৰা, আমি পাম

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ and } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

যিহেতু $PF=PB$, আমি পাম

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

অৰ্থাৎ $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

বা $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

বা $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$।

গতিকে, পৰাবোলাৰ ওপৰত যিকোনো বিন্দুৱে পূৰণ কৰে

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

বিপৰীতক্ৰমে, ধৰা হওক $P(x, y)$ সমীকৰণ (২) পূৰণ কৰে

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \\ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

আৰু গতিকে $P(x, y)$ পৰাবোলাৰ ওপৰত অৱস্থিত।

এনেদৰে, (২) আৰু (৩) ৰ পৰা আমি প্ৰমাণ কৰিলো যে শীৰ্ষ মূলবিন্দুত, নাভি $(a, 0)$ত আৰু দিক্ৰেখা $x=-a$ থকা পৰাবোলাটোৰ সমীকৰণ হৈছে $y^{2}=4 a x$।

আলোচনা সমীকৰণ (২) ত, যিহেতু $a>0, x$ যিকোনো ধনাত্মক মান বা শূন্য গ্ৰহণ কৰিব পাৰে কিন্তু কোনো ঋণাত্মক মান নহয় আৰু বক্ৰটো প্ৰথম আৰু চতুৰ্থ চৰণত অসীমলৈকে বিস্তৃত হৈ থাকে। পৰাবোলাটোৰ অক্ষটো হৈছে ধনাত্মক $x$-অক্ষ।

এনেদৰে, আমি পৰাবোলাসমূহৰ সমীকৰণ উলিয়াব পাৰো:

চিত্ৰ ১১.১৫ (খ) ত $y^{2}=-4 a x$,

চিত্ৰ ১১.১৫ (গ) ত $x^{2}=4 a y$,

চিত্ৰ $11.15(d)$ ত $x^{2}=-4 a y$,

এই চাৰিটা সমীকৰণক পৰাবোলাৰ প্ৰামাণিক সমীকৰণ বুলি জনা যায়।

টোকা - পৰাবোলাৰ প্ৰামাণিক সমীকৰণসমূহৰ নাভি এটা স্থানাংক অক্ষৰ ওপৰত থাকে; শীৰ্ষ মূলবিন্দুত থাকে আৰু ইয়াৰ ফলত দিক্ৰেখাডাল আন স্থানাংক অক্ষৰ লগত সমান্তৰাল হয়। কিন্তু, যিকোনো বিন্দুত নাভি আৰু যিকোনো ৰেখাক দিক্ৰেখা হিচাপে লৈ পৰাবোলাৰ সমীকৰণৰ অধ্যয়ন ইয়াত আলোচনাৰ সীমাৰ বাহিৰত।

পৰাবোলাৰ প্ৰামাণিক সমীকৰণসমূহৰ পৰা, চিত্ৰ ১০.১৫, আমি তলৰ নিৰীক্ষণসমূহ পাম:

১. পৰাবোলাটো পৰাবোলাৰ অক্ষৰ সাপেক্ষে সমমিত। যদি সমীকৰণটোত $y^{2}$ পদ থাকে, তেতিয়া সমমিতিৰ অক্ষটো $x$-অক্ষৰ লগত থাকে আৰু যদি সমীকৰণটোত $x^{2}$ পদ থাকে, তেতিয়া সমমিতিৰ অক্ষটো $y$-অক্ষৰ লগত থাকে।

২. যেতিয়া সমমিতিৰ অক্ষটো $x$-অক্ষৰ লগত থাকে পৰাবোলাটো খোল খায়

(ক) সোঁফালে যদি $x$ ৰ সহগ ধনাত্মক,

(খ) বাওঁফালে যদি $x$ ৰ সহগ ঋণাত্মক।

৩. যেতিয়া সমমিতিৰ অক্ষটো $y$-অক্ষৰ লগত থাকে পৰাবোলাটো খোল খায়

(গ) ওপৰলৈ যদি $y$ ৰ সহগ ধনাত্মক।

(ঘ) তললৈ যদি $y$ ৰ সহগ ঋণাত্মক।

১০.৪.২ নাভিলম্ব

সংজ্ঞা ৩ পৰাবোলাৰ নাভিলম্ব হৈছে পৰাবোলাৰ অক্ষলৈ লম্ব এডাল ৰেখাখণ্ড, যি নাভিৰ মাজেৰে যায় আৰু যাৰ অন্তবিন্দু দুটা পৰাবোলাৰ ওপৰত থাকে (চিত্ৰ ১০.১৭)।

চিত্ৰ ১০.১৭

পৰাবোলা $ y^{2}= 4 a x $ ৰ নাভিলম্বৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা (চিত্ৰ ১০.১৮)।

চিত্ৰ ১০.১৮

পৰাবোলাৰ সংজ্ঞামতে, $AF=AC$।

কিন্তু $ \mathrm{AC}=\mathrm{FM}=2 a $

গতিকে $ \mathrm{AF}=2 a $

আৰু যিহেতু পৰাবোলাটো $x$-অক্ষৰ সাপেক্ষে সমমিত $AF=FB$ আৰু গতিকে

$AB=$ নাভিলম্বৰ দৈৰ্ঘ্য $=4 a$।

উদাহৰণ ৫ পৰাবোলা $y^{2}=8 x$ ৰ নাভিৰ স্থানাংক, অক্ষ, দিক্ৰেখাৰ সমীকৰণ আৰু নাভিলম্ব নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান দিয়া সমীকৰণটোত $y^{2}$ জড়িত হৈ আছে, গতিকে সমমিতিৰ অক্ষটো $x$-অক্ষৰ লগত থাকে।

$x$ ৰ সহগটো ধনাত্মক গতিকে পৰাবোলাটো সোঁফালে খোল খায়। দিয়া সমীকৰণ $y^{2}=4 a x$ ৰ সৈতে তুলনা কৰি, আমি পাম যে $a=2$।

এনেদৰে, পৰাবোলাটোৰ নাভি হৈছে $(2,0)$ আৰু পৰাবোলাটোৰ দিক্ৰেখাৰ সমীকৰণ হৈছে $x=-2$ (চিত্ৰ ১০.১৯)।

চিত্ৰ ১০.১৯

নাভিলম্বৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $4 a=4 \times 2=8$।

উদাহৰণ ৬ নাভি $(2,0)$ আৰু দিক্ৰেখা $x=-2$ থকা পৰাবোলাটোৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান যিহেতু নাভি $(2,0)$ $x$-অক্ষৰ ওপৰত অৱস্থিত, $x$-অক্ষটোৱেই পৰাবোলাটোৰ অক্ষ। গতিকে পৰাবোলাটোৰ সমীকৰণ হয় $y^{2}=4 a x$ বা $y^{2}=-4 a x$ ৰ ৰূপৰ। যিহেতু দিক্ৰেখা হৈছে $x=-2$ আৰু নাভি হৈছে $(2,0)$, পৰাবোলাটো $y^{2}=4 a x$ ৰ ৰূপৰ হ’ব লাগে য’ত $a=2$। গতিকে প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণ হৈছে

$ y^{2}=4(2) x=8 x $

উদাহৰণ ৭ শীৰ্ষ $(0,0)$ত আৰু নাভি $(0,2)$ত থকা পৰাবোলাটোৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান যিহেতু শীৰ্ষ $(0,0)$ত আৰু নাভি $(0,2)$ত অৱস্থিত যি $y$-অক্ষৰ ওপৰত থাকে, $y$-অক্ষটো পৰাবোলাটোৰ অক্ষ। গতিকে, পৰাবোলাটোৰ সমীকৰণ হৈছে $x^{2}=4 a y$ ৰ ৰূপৰ। এনেদৰে, আমি পাম

$ x^{2}=4(2) y \text{, i.e., } x^{2}=8 y \text{. } $

উদাহৰণ ৮ পৰাবোলাটোৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যি $y$-অক্ষৰ সাপেক্ষে সমমিত, আৰু বিন্দু $(2,-3)$ৰ মাজেৰে পাৰ হয়।

সমাধান যিহেতু পৰাবোলাটো $y$-অক্ষৰ সাপেক্ষে সমমিত আৰু ইয়াৰ শীৰ্ষ মূলবিন্দুত, সমীকৰণটো $x^{2}=4 a y$ বা $x^{2}=-4 a y$ ৰ ৰূপৰ, য’ত চিহ্নটো পৰাবোলাটো ওপৰলৈ নে তললৈ খোল খায় তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। কিন্তু পৰাবোলাটোৱে $(2,-3)$ৰ মাজেৰে পাৰ হয় যি চতুৰ্থ চৰণত অৱস্থিত, ই তললৈ খোল খাব লাগিব। এনেদৰে সমীকৰণটো $x^{2}=-4 a y$ ৰ ৰূপৰ।

যিহেতু পৰাবোলাটোৱে $(2,-3)$ৰ মাজেৰে পাৰ হয়, আমি পাম

$ 2^{2}=-4 a(-3) \text{, i.e., } a=\frac{1}{3} $

গতিকে, পৰাবোলাটোৰ সমীকৰণ হৈছে

$ x^{2}=-4(\frac{1}{3}) y \text{, i.e., } 3 x^{2}=-4 y $

১০.৫ উপবৃত্ত

সংজ্ঞা ৪ এটা উপবৃত্ত হৈছে সমতলৰ সকলো বিন্দুৰ সংহতি, যিবোৰৰ সমতলৰ দুটা স্থিৰ বিন্দুৰ পৰা দূৰত্বৰ যোগফল এটা ধ্ৰুৱক।

দুটা স্থিৰ বিন্দুক উপবৃত্তটোৰ নাভি (ফ’কাছৰ বহুবচন) বুলি কোৱা হয় (চিত্ৰ ১০.২০)।

চিত্ৰ ১০.২০

টোকা - ধ্ৰুৱকটো যি হৈছে উপবৃত্তৰ এটা বিন্দুৰ দুটা স্থিৰ বিন্দুৰ পৰা দূৰত্বৰ যোগফল সদায় দুটা স্থিৰ বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্বতকৈ ডাঙৰ।

নাভি দুটা সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দুটোক উপবৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ বুলি কোৱা হয়। উপবৃত্তটোৰ নাভিৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাখণ্ডটোক গুৰু অক্ষ বুলি কোৱা হয় আৰু কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যোৱা আৰু গুৰু অক্ষলৈ লম্ব ৰেখাখণ্ডটোক লঘু অক্ষ বুলি কোৱা হয়। গুৰু অক্ষৰ অন্তবিন্দু দুটাক উপবৃত্তটোৰ শীৰ্ষ বুলি কোৱা হয় (চিত্ৰ ১০.২১)।

চিত্ৰ ১০.২১

আমি গুৰু অক্ষৰ দৈৰ্ঘ্যক $2 a$ৰে, লঘু অক্ষৰ দৈৰ্ঘ্যক $2 b$ৰে আৰু নাভি দুটাৰ মাজৰ দূৰত্বক $2 c$ৰে সূচাও। এনেদৰে, অৰ্ধ-গুৰু অক্ষৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $a$ আৰু অৰ্ধ-লঘু অক্ষৰ দৈৰ্ঘ্য হৈছে $b$ (চিত্ৰ ১০.২২)।

চিত্ৰ ১০.২২

১০.৫.১ অৰ্ধ-গুৰু অক্ষ, অৰ্ধ-লঘু অক্ষ আৰু উপবৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা নাভিলৈ দূৰত্বৰ মাজৰ সম্পৰ্ক (চিত্ৰ ১০.২৩)

চিত্ৰ ১০.২৩

লঘু অক্ষৰ এটা মূৰত এটা বিন্দু $P$ লওক।

বিন্দু $P$ ৰ পৰা নাভিলৈ দূৰত্বৰ যোগফল হৈছে

$F_1P + F_2P = F_1O + OP + F_2P$

(কাৰণ, $F_1P = F_1O + OP$)

$\quad \quad \quad \quad \quad = c + a +a - c = 2a$

লঘু অক্ষৰ এটা মূৰত Q বিন্দু এটা লওক।

বিন্দু Q ৰ পৰা নাভিলৈ দূৰত্বৰ যোগফল হৈছে

$F_1 P+F_2 Q=\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}=2 \sqrt{b^{2}+c^{2}}$

যিহেতু $P$ আৰু $Q$ দুয়োটা উপবৃত্তৰ ওপৰত থাকে।

উপবৃত্তৰ সংজ্ঞামতে, আমি পাম

$ \begin{aligned} 2 \sqrt{b^{2}+c^{2}} & =2 a, \text{ i.e., } \quad a=\sqrt{b^{2}+c^{2}} \\ \text{or} \quad \quad \quad \quad a^{2} & =b^{2}+c^{2}, \text{ i.e., } c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} \end{aligned} $

১০.৫.২ উৎকেন্দ্ৰতা

সংজ্ঞা ৫ উপবৃত্তৰ উৎকেন্দ্ৰতা হৈছে উপবৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা এটা নাভিলৈ আৰু এটা শীৰ্ষলৈ দূৰত্বৰ অনুপাত (উৎকেন্দ্ৰতাক $e$ৰে সূচোৱা হয়) অৰ্থাৎ, $e=\frac{c}{a}$।

তেতিয়া যিহেতু নাভিটো কেন্দ্ৰৰ পৰা $c$ দূৰত্বত অৱস্থিত, উৎকেন্দ্ৰতাৰ পৰিভাষাত নাভিটো কেন্দ্ৰৰ পৰা ae দূৰত্বত অৱস্থিত।

১০.৫.৩ উপবৃত্তৰ প্ৰামাণিক সমীকৰণ

উপবৃত্তৰ সমীকৰণটো সবাতোকৈ সহজ যদি উপবৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ মূলবিন্দুত থাকে আৰু নাভিসমূহ $x$-অক্ষ বা $y$-অক্ষৰ ওপৰত থাকে। এনেধৰণৰ দুটা সম্ভাব্য অৱস্থান চিত্ৰ ১০.২৪ ত দেখুওৱা হৈছে।

আমি ওপৰৰ চিত্ৰ ১০.২৪ (ক) ত দেখুওৱা উপবৃত্তটোৰ সমীকৰণ নাভিসমূহ $x$-অক্ষৰ ওপৰত থকা হিচাপে উলিয়াম।

<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/conic_sections/ncert_m11_ch10_figure_10_24.png" width=“400px