গণিত হৈছে সকলো বিজ্ঞানৰ ৰাণী আৰু সেৱিকা - ই.টি. বেল

১১.১ পৰিচয়

আপুনি মনত পেলাব পাৰে যে সমতলত এটা বিন্দুৰ অৱস্থান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ, আমাক সমতলত দুডাল পৰস্পৰ লম্ব আৰু ছেদী ৰেখাৰ প্ৰয়োজন। এই ৰেখাকেই স্থানাংক অক্ষ বোলে আৰু দুটা সংখ্যাক অক্ষৰ সাপেক্ষে বিন্দুটোৰ স্থানাংক বোলে। প্ৰকৃত জীৱনত, আমাক কেৱল সমতলত অৱস্থিত বিন্দুবোৰৰ সৈহে ব্যৱহাৰ কৰিবলগীয়া নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, মহাকাশত দলিয়াই দিয়া বল এটাৰ বিভিন্ন সময়ত অৱস্থান বা এৰ’প্লেন এখনে তাৰ উৰণৰ সময়ত বিভিন্ন সময়ত এঠাইৰ পৰা আন ঠাইলৈ উৰাৰ সময়ত তাৰ অৱস্থান বিবেচনা কৰক।

এনেদৰেই, যদি আমি কোঠাৰ চালৰ পৰা ওলমি থকা বৈদ্যুতিক বাল্বৰ সৰ্বনিম্ন মূৰটোৰ অৱস্থান বা কোঠাৰ চালৰ ফেনৰ কেন্দ্ৰীয় মূৰটোৰ অৱস্থান নিৰ্ণয় কৰিবলগীয়া হয়, তেন্তে আমাক কেৱল বিন্দুটোৰ পৰা কোঠাৰ দুটা লম্ব দেৱাললৈ লম্ব দূৰত্বহে নহয়, লগতে মজিয়াৰ পৰা বিন্দুটোৰ উচ্চতাও প্ৰয়োজন হ’ব। গতিকে, আমাক কেৱল দুটা নহয়, তিনিটা সংখ্যাৰ প্ৰয়োজন, যিয়ে বিন্দুটোৰ পৰা তিনিটা পৰস্পৰ লম্ব সমতললৈ লম্ব দূৰত্বক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, যেনে কোঠাৰ মজিয়া আৰু কোঠাৰ দুটা সংলগ্ন দেৱাল। তিনিটা দূৰত্বক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা তিনিটা সংখ্যাক তিনিটা স্থানাংক সমতলৰ সাপেক্ষে বিন্দুটোৰ স্থানাংক বোলে। গতিকে, মহাকাশত থকা বিন্দু এটাৰ তিনিটা স্থানাংক থাকে। এই অধ্যায়ত, আমি ত্ৰিমাতিক মহাকাশত জ্যামিতিৰ মৌলিক ধাৰণাবোৰ অধ্যয়ন কৰিম।*

১১.২ ত্ৰিমাতিক মহাকাশত স্থানাংক অক্ষ আৰু স্থানাংক সমতল

$O$ বিন্দুত ছেদ কৰা তিনিটা সমতল বিবেচনা কৰক যাতে এই তিনিটা সমতল পৰস্পৰ লম্ব (চিত্ৰ ১১.১)। এই তিনিটা সমতলে $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ আৰু $Z^{\prime} OZ$ ৰেখাৰ বৰাবৰ ছেদ কৰে, যাক ক্ৰমে $x, y$ আৰু $z$-অক্ষ বোলে। আমি লক্ষ্য কৰিব পাৰো যে এই ৰেখাবোৰ পৰস্পৰ লম্ব। এই ৰেখাবোৰে আয়তাকাৰ স্থানাংক ব্যৱস্থা গঠন কৰে। XOY, YOZ আৰু ZOX সমতলবোৰক ক্ৰমে XY-সমতল, YZ-সমতল আৰু ZX-সমতল বুলি কোৱা হয়, এইবোৰ তিনিটা স্থানাংক সমতল হিচাপে জনাজাত। আমি XOY সমতলক কাগজৰ সমতল হিচাপে আৰু

চিত্ৰ ১১.১ ৰেখা $Z^{\prime} OZ$ ক সমতল $XOY$ ৰ লম্ব হিচাপে লওঁ। যদি কাগজৰ সমতলখনক অনুভূমিক বুলি বিবেচনা কৰা হয়, তেন্তে ৰেখা $Z^{\prime} OZ$ টো উলম্ব হ’ব। XY-সমতলৰ পৰা $OZ$ ৰ দিশত ওপৰলৈ জোখা দূৰত্ববোৰ ধনাত্মক হিচাপে আৰু $OZ^{\prime}$ ৰ দিশত তললৈ জোখা দূৰত্ববোৰ ঋণাত্মক হিচাপে লোৱা হয়। একেদৰে, $ZX$-সমতলৰ সোঁফালে $OY$ বৰাবৰ জোখা দূৰত্ববোৰ ধনাত্মক, ZX-সমতলৰ বাঁওফালে আৰু $O Y^{\prime}$ বৰাবৰ ঋণাত্মক, YZ-সমতলৰ সন্মুখত $O X$ বৰাবৰ ধনাত্মক আৰু তাৰ পিছফালে $OX^{\prime}$ বৰাবৰ ঋণাত্মক হিচাপে লোৱা হয়। বিন্দু $O$ ক স্থানাংক ব্যৱস্থাৰ মূলবিন্দু বোলে। তিনিটা স্থানাংক সমতলে মহাকাৰখনক আঠটা ভাগত বিভক্ত কৰে যাক অষ্টাংশ বোলে। এই অষ্টাংশবোৰক $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ আৰু $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ নামেৰে নামকৰণ কৰিব পাৰি। আৰু ক্ৰমে I, II, III, …, VIII দ্বাৰা সূচোৱা হয়।

১১.৩ মহাকাশত বিন্দু এটাৰ স্থানাংক

মহাকাশত স্থানাংক অক্ষ, স্থানাংক সমতল আৰু মূলবিন্দুৰে গঠিত এটা স্থিৰ স্থানাংক ব্যৱস্থা বাছনি কৰাৰ পিছত, আমি এতিয়া ব্যাখ্যা কৰিম যে, মহাকাশত এটা বিন্দু দিয়া হ’লে, আমি তাৰ সৈতে কেনেকৈ তিনিটা স্থানাংক $(x, y, z)$ সংযুক্ত কৰো আৰু বিপৰীতকৈ, তিনিটা সংখ্যাৰ এটা ত্ৰয়ী $(x, y, z)$ দিয়া হ’লে, আমি কেনেকৈ মহাকাশত এটা বিন্দু স্থান নিৰ্ণয় কৰো।

চিত্ৰ ১১.২

মহাকাশত এটা বিন্দু $P$ দিয়া হ’লে, আমি XY-সমতলত M ক লম্বটোৰ ভৰি হিচাপে লৈ এডাল $\mathbf{X}$ লম্ব PM পেলাওঁ (চিত্ৰ ১১.২)। তাৰ পিছত, M বিন্দুৰ পৰা, আমি $x$-অক্ষলৈ এডাল লম্ব ML টানি, L ত ইয়াক লগ কৰাওঁ। OL ক $x, LM$ আৰু MP ক $y$ হ’বলৈ দিয়ক। তেতিয়া $x, y$ আৰু $z$ ক ক্ৰমে বিন্দু $P$ ৰ মহাকাশত $x, y$ আৰু $z$ স্থানাংক বোলে। চিত্ৰ ১১.২ ত, আমি লক্ষ্য কৰিব পাৰো যে বিন্দু $P(x, y, z)$ টো XOYZ অষ্টাংশত অৱস্থিত আৰু গতিকে সকলো $x, y$, $z$ ধনাত্মক। যদি $P$ আন কোনো অষ্টাংশত থাকে, তেন্তে $x, y$ আৰু $z$ ৰ চিনবোৰ সেইমতে সলনি হ’ব। এইদৰে, মহাকাশৰ প্ৰতিটো বিন্দু $P$ ৰ বাবে বাস্তৱ সংখ্যাৰ এটা ক্ৰমবদ্ধ ত্ৰয়ী $(x, y, z)$ থাকে।

বিপৰীতকৈ, যিকোনো ত্ৰয়ী $(x, y, z)$ দিয়া হ’লে, আমি প্ৰথমে $x$-অক্ষত $x$ ৰ সৈতে সংগতি থকা বিন্দু $L$ স্থিৰ কৰিম, তাৰ পিছত XY-সমতলত বিন্দু $M$ স্থান নিৰ্ণয় কৰিম যাতে $(x, y)$ হৈছে XY-সমতলত M বিন্দুটোৰ স্থানাংক। লক্ষ্য কৰক যে LM ৰেখাডাল $x$-অক্ষৰ লম্ব বা $y$-অক্ষৰ সমান্তৰাল। M বিন্দুলৈ গৈ পোৱাৰ পিছত, আমি XY-সমতললৈ এডাল লম্ব MP টানি আৰু ইয়াৰ ওপৰত $z$ ৰ সৈতে সংগতি থকা বিন্দু $P$ স্থান নিৰ্ণয় কৰো। এইদৰে পোৱা বিন্দু $P$ ৰ তেতিয়া স্থানাংক $(x, y, z)$ থাকে। গতিকে, মহাকাশৰ বিন্দুবোৰ আৰু বাস্তৱ সংখ্যাৰ ক্ৰমবদ্ধ ত্ৰয়ী $(x, y, z)$ ৰ মাজত এক-এক প্ৰতিচ্ছবি আছে।

ইয়াৰ বিপৰীতে, মহাকাশৰ বিন্দু $P$ ৰ মাজেৰে, আমি স্থানাংক সমতলবোৰৰ সমান্তৰালকৈ তিনিটা সমতল টানি, ক্ৰমে $x$-অক্ষ, $y$-অক্ষ আৰু $z$-অক্ষক বিন্দু $A, B$ আৰু $C$ ত লগ কৰাওঁ (চিত্ৰ ১১.৩)। $OA=x, OB=y$ আৰু $OC=z$ হ’বলৈ দিয়ক। তেতিয়া, বিন্দু $P$ ৰ স্থানাংক $x, y$ আৰু $z$ হ’ব আৰু আমি $P(x, y, z)$ লিখো। বিপৰীতকৈ, $x, y$ আৰু $z$ দিয়া হ’লে, আমি তিনিটা স্থানাংক অক্ষত তিনিটা বিন্দু $A, B$ আৰু $C$ স্থান নিৰ্ণয় কৰো। বিন্দু $A, B$ আৰু $C$ ৰ মাজেৰে আমি ক্ৰমে YZ-সমতল, ZX-সমতল আৰু XY-সমতলৰ সমান্তৰালকৈ সমতল টানো,

চিত্ৰ ১১.৩

এই তিনিটা সমতলৰ ছেদ বিন্দু, অৰ্থাৎ ADPF, BDPE আৰু CEPF স্পষ্টতেই বিন্দু $P$, যি ক্ৰমবদ্ধ ত্ৰয়ী $(x, y, z)$ ৰ সৈতে সংগতি ৰাখে। আমি লক্ষ্য কৰো যে যদি $P(x, y, z)$ মহাকাশৰ যিকোনো বিন্দু হয়, তেন্তে $x, y$ আৰু $z$ হৈছে ক্ৰমে YZ, ZX আৰু XY সমতলৰ পৰা লম্ব দূৰত্ব।

টোকা - মূলবিন্দু $O$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(0,0,0)$। $x$-অক্ষৰ যিকোনো বিন্দুৰ স্থানাংক $(x, 0,0)$ ৰ দৰে হ’ব আৰু YZ-সমতলৰ যিকোনো বিন্দুৰ স্থানাংক $(0, y, z)$ ৰ দৰে হ’ব।

টোকা বিন্দু এটাৰ স্থানাংকবোৰৰ চিনে বিন্দুটো যি অষ্টাংশত অৱস্থিত সেইটো নিৰ্ধাৰণ কৰে। তলৰ তালিকাখনে আঠটা অষ্টাংশত স্থানাংকবোৰৰ চিন দেখুৱাইছে।

তালিকা ১১.১

উদাহৰণ ১ চিত্ৰ ১১.৩ ত, যদি $P$ হৈছে $(2,4,5)$, তেন্তে $F$ ৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান বিন্দু $F$ ৰ বাবে, OY বৰাবৰ জোখা দূৰত্ব শূন্য। গতিকে, $F$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(2,0,5)$।

উদাহৰণ ২ বিন্দু $(-3,1,2)$ আৰু $(-3,1,-2)$ যি অষ্টাংশত অৱস্থিত সেইটো নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান তালিকা ১১.১ ৰ পৰা, বিন্দু $(-3,1,2)$ দ্বিতীয় অষ্টাংশত অৱস্থিত আৰু বিন্দু $(-3,1,-2)$ অষ্টাংশ VI ত অৱস্থিত।

১১.৪ দুটা বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব

আমি দ্বিমাতিক স্থানাংক ব্যৱস্থাত দুটা বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্বৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছো। এতিয়া এই অধ্যয়নক ত্ৰিমাতিক ব্যৱস্থালৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰোঁ আহক।

$P(x_1, y_1, z_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2, z_2)$ ক $OX, OY$ আৰু $OZ$ আয়তাকাৰ অক্ষৰ ব্যৱস্থাৰ সাপেক্ষে দুটা বিন্দু হ’বলৈ দিয়ক। বিন্দু $P$ আৰু $Q$ ৰ মাজেৰে স্থানাংক সমতলবোৰৰ সমান্তৰালকৈ সমতল টানি এটা আয়তাকাৰ সমান্তৰাল পাইপ গঠন কৰক যিৰ এটা কৰ্ণ PQ (চিত্ৰ ১১.৪)।

চিত্ৰ ১১.৪

এতিয়া, যিহেতু $\angle PAQ$ হৈছে এটা সমকোণ $\quad \mathbf{X}$, গতিকে, ত্ৰিভুজ PAQ ত,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

আকৌ, ত্ৰিভুজ ANQ হৈছে সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle ANQ$ এটা সমকোণ।

গতিকে $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) আৰু (2) ৰ পৰা, আমি পাইছো

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

এতিয়া $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ আৰু $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

গতিকে $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

সেয়েহে $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

এইটোৱে আমাক দুটা বিন্দু $(x_1, y_1, z_1)$ আৰু $(x_2, y_2, z_2)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব দিয়ে।

বিশেষকৈ, যদি $x_1=y_1=z_1=0$, অৰ্থাৎ বিন্দু $P$ হৈছে মূলবিন্দু $O$, তেন্তে $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, যিয়ে মূলবিন্দু $O$ আৰু যিকোনো বিন্দু $Q(x_2, y_2, z_2)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব দিয়ে।

উদাহৰণ ৩ বিন্দু $P(1,-3,4)$ আৰু $Q(-4,1,2)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান বিন্দু $P(1,-3,4)$ আৰু $Q(-4,1,2)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব PQ হৈছে

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ একক } \end{aligned} $

উদাহৰণ ৪ দেখুওৱা যে বিন্দু $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ আৰু $R(7,0,-1)$ সমৰেখীয়।

সমাধান আমি জানো যে বিন্দুবোৰক সমৰেখীয় বুলি কোৱা হয় যদি সিহঁত এডাল ৰেখাত অৱস্থিত হয়।

এতিয়া,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

আৰু

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

এইদৰে, $PQ+QR=PR$। গতিকে, $P, Q$ আৰু $R$ সমৰেখীয়।

উদাহৰণ ৫ A $(3,6,9), B(10,20,30)$ আৰু C $(25,-41,5)$ বিন্দুবোৰ সমকোণী ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু নেকি?

সমাধান দূৰত্বৰ সূত্ৰৰ দ্বাৰা, আমি পাইছো

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

আমি পাইছো যে $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$।

গতিকে, ত্ৰিভুজ $ABC$ সমকোণী ত্ৰিভুজ নহয়।

উদাহৰণ ৬ বিন্দুবোৰৰ সমষ্টিৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰক $P$ যাতে $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, য’ত $A$ আৰু $B$ হৈছে ক্ৰমে বিন্দু $(3,4,5)$ আৰু $(-1,3,-7)$।

সমাধান বিন্দু $P$ ৰ স্থানাংক $(x, y, z)$ হ’বলৈ দিয়ক।

ইয়াত

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

দিয়া চৰ্ত $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ অনুসৰি, আমি পাইছো

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ অৰ্থাৎ, } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

বিবিধ উদাহৰণ

উদাহৰণ ৭ দেখুওৱা যে বিন্দু A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) আৰু $D(4,7,6)$ হৈছে এটা সামান্তৰিক $ABCD$ ৰ শীৰ্ষবিন্দু, কিন্তু ই আয়ত নহয়।

সমাধান ABCD এটা সামান্তৰিক হোৱা দেখুৱাবলৈ আমাক বিপৰীত বাহুবোৰ সমান হোৱা দেখুৱাব লাগিব। লক্ষ্য কৰক যে।

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

যিহেতু $A B=C D$ আৰু $B C=A D, A B C D$ এটা সামান্তৰিক।

এতিয়া, ইয়াক প্ৰমাণ কৰিবলগীয়া আছে যে $ABCD$ আয়ত নহয়। ইয়াৰ বাবে, আমি দেখুওৱা যে কৰ্ণবোৰ $AC$ আৰু $BD$ অসমান। আমি পাইছো

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

যিহেতু $A C \neq B D, A B C D$ আয়ত নহয়।

টোকা - আমি $ABCD$ এটা সামান্তৰিক হোৱাও দেখুৱাব পাৰো, এই ধৰ্মটো ব্যৱহাৰ কৰি যে কৰ্ণবোৰ $AC$ আৰু $BD$ পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।

উদাহৰণ ৮ বিন্দুবোৰৰ সমষ্টিৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰক $P$ যাতে ইয়াৰ দূৰত্ব বিন্দু $A(3,4,-5)$ আৰু $B(-2,1,4)$ ৰ পৰা সমান।

সমাধান যদি $P(x, y, z)$ যিকোনো বিন্দু হয় যাতে $PA=PB$।

এতিয়া $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

বা $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

বা $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$।

উদাহৰণ ৯ ত্ৰিভুজ $ABC$ ৰ কেন্দ্ৰভৰ বিন্দু বিন্দু $(1,1,1)$ ত অৱস্থিত। যদি $A$ আৰু $B$ ৰ স্থানাংক ক্ৰমে $(3,-5,7)$ আৰু $(-1,7,-6)$ হয়, তেন্তে বিন্দু $C$ ৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান $C$ ৰ স্থানাংক $(x, y, z)$ হ’বলৈ দিয়ক আৰু কেন্দ্ৰভৰ $G$ ৰ স্থানাংক $(1,1,1)$ হ’বলৈ দিয়ক। তেতিয়া

সেয়েহে $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$, বা $x=1$ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { বা } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { বা } z=2 . \end{array} $

গতিকে, $C$ ৰ স্থানাংক হৈছে $(1,1,2)$।

সাৰাংশ

ত্ৰিমাতিকত, আয়তাকাৰ কাৰ্টেচিয়ান স্থানাংক ব্যৱস্থাৰ স্থানাংক অক্ষবোৰ হৈছে তিনিডাল পৰস্পৰ লম্ব ৰেখা। অক্ষবোৰক $x$, $y$ আৰু $z$-অক্ষ বোলে।

অক্ষৰ যোৰৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত তিনিটা সমতল হৈছে স্থানাংক সমতল, যাক XY, YZ আৰু ZX-সমতল বোলে।

তিনিটা স্থানাংক সমতলে মহাকাৰখনক আঠটা ভাগত বিভক্ত কৰে যাক অষ্টাংশ বোলে। ত্ৰিমাতিক জ্যামিতিত বিন্দু এটা $P$ ৰ স্থানাংক সদায় $(x, y, z)$ ৰ দৰে ত্ৰয়ীৰ ৰূপত লিখা হয়। ইয়াত $x, y$ আৰু $z$ হৈছে YZ, ZX আৰু XY-সমতলৰ পৰা দূৰত্ব।

(i) $x$-অক্ষৰ যিকোনো বিন্দুৰ ৰূপ $(x, 0,0)$

(ii) $y$-অক্ষৰ যিকোনো বিন্দুৰ ৰূপ $(0, y, 0)$

(iii) $z$-অক্ষৰ যিকোনো বিন্দুৰ ৰূপ $(0,0, z)$।

দুটা বিন্দু $P(x_1, y_1, z_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2, z_2)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব দিয়া হয়

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ঐতিহাসিক টোকা

ৰেনে ডেকাৰ্টে (১৫৯৬-১৬৫০), বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিৰ জনক, মূলতঃ ১৬৩৭ চনত কেৱল সমতলীয় জ্যামিতিৰ সৈহে ব্যৱহাৰ কৰিছিল। তেওঁৰ সহ-আৱিষ্কাৰক পিয়েৰ ফাৰ্মাট (১৬০১-১৬৬৫) আৰু লা হিৰে (১৬৪০-১৭১৮) ৰ বাবেও একেই কথা। যদিও তেওঁলোকৰ কামত ত্ৰিমাতিক স্থানাংক জ্যামিতিৰ পৰামৰ্শ পোৱা যায় কিন্তু কোনো বিৱৰণ নাই। ডেকাৰ্টৰ ত্ৰিমাতিকত স্থানাংকৰ ধাৰণা আছিল কিন্তু ইয়াক বিকশিত কৰা নাছিল। জে. বাৰ্নুলি (১৬৬৭-১৭৪৮) এ ১৭১৫ চনত লেইবনিজলৈ লিখা চিঠি এখনত আমি আজি ব্যৱহাৰ কৰা তিনিটা স্থানাংক সমতলৰ পৰিচয় দিছিল। এন্টইন পেৰেন্ট (১৬৬৬-১৭১৬) আছিল, যিয়ে ১৭০০ চনত ফৰাচী একাডেমীত দাখিল কৰা এখন কাকতত প্ৰথমবাৰৰ বাবে বিশ্লেষণাত্মক ঘন জ্যামিতিৰ এক প্ৰণালীবদ্ধ বিকাশ দিছিল।

এল. অইলাৰ (১৭০৭-১৭৮৩) এ ১৭৪৮ চনত তেওঁৰ “জ্যামিতিৰ পৰিচয়"ৰ দ্বিতীয় খণ্ডৰ পৰিশিষ্টৰ অধ্যায় ৫ ত প্ৰণালীবদ্ধভাৱে ত্ৰিমাতিক স্থানাংক জ্যামিতিৰ বিষয়টো গ্ৰহণ কৰিছিল।

ঊনবিংশ শতিকাৰ মাজভাগলৈকে জ্যামিতিক তিনিটাতকৈ অধিক মাতিলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰা হোৱা নাছিল, যাৰ সুপৰিচিত প্ৰয়োগ হৈছে আইনষ্টাইনৰ আপেক্ষিকতা তত্ত্বৰ মহাকাশ-কালৰ ধাৰাবাহিকতাত।