কেলকুলাছক চাবিচ হিচাপে লৈ, গণিতক প্ৰকৃতিৰ গতিৰ ব্যাখ্যাৰ বাবে সফলভাৱে প্ৰয়োগ কৰিব পাৰি - ৱাইটহেড

12.1 ভূমিকা

এই অধ্যায়টো কেলকুলাছৰ এক পৰিচয়। কেলকুলাছ হৈছে গণিতৰ সেই শাখা যিয়ে প্ৰধানকৈ ড’মেইনৰ বিন্দুবোৰ সলনি হোৱাৰ লগে লগে এটা ফাংচনৰ মানৰ পৰিৱৰ্তনৰ অধ্যয়নৰ সৈতে জড়িত। প্ৰথমে, আমি অন্তৰকলনৰ (ইয়াক সংজ্ঞায়িত নকৰাকৈয়ে) এক স্বজ্ঞাত ধাৰণা দিওঁ। তাৰ পিছত আমি সীমাৰ এক সহজ সংজ্ঞা দিওঁ আৰু সীমাৰ কিছুমান বীজগণিত অধ্যয়ন কৰোঁ। তাৰ পিছত আমি অন্তৰকলনৰ সংজ্ঞালৈ ঘূৰি আহোঁ আৰু অন্তৰকলনৰ কিছুমান বীজগণিত অধ্যয়ন কৰোঁ। আমি কিছুমান মানক ফাংচনৰ অন্তৰকলনো নিৰ্ণয় কৰোঁ।

ছাৰ আইজাক নিউটন (১৬৪২-১৭২৭ খ্ৰীষ্টাব্দ)

12.2 অন্তৰকলনৰ স্বজ্ঞাত ধাৰণা

পদাৰ্থবিজ্ঞানৰ পৰীক্ষাই নিশ্চিত কৰিছে যে ওখ পৰ্বতৰ পৰা এৰি দিয়া শৰীৰটোৱে ছাৰ আইজাক নিউটন $(1642-1727)$ ওখ পৰ্বতৰ পৰা এৰি দিয়া শৰীৰটোৱে $4.9 t^{2}$ ছেকেণ্ডত $t$ মিটাৰ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে, অৰ্থাৎ, শৰীৰটোৱে অতিক্ৰম কৰা মিটাৰত দূৰত্ব $s$ সময় $t$ ছেকেণ্ডৰ ফাংচন হিচাপে $s=4.9 t^{2}$ দ্বাৰা দিয়া হয়।

সংলগ্ন তালিকা 13.1-এ ওখ পৰ্বতৰ পৰা এৰি দিয়া শৰীৰ এটাৰ ছেকেণ্ডত সময়ৰ বিভিন্ন ব্যৱধানত মিটাৰত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব দিয়ে।

উদ্দেশ্য হৈছে এই তথ্যৰ পৰা $t=2$ ছেকেণ্ড সময়ত শৰীৰটোৰ বেগ উলিওৱা। এই সমস্যাটো সমাধান কৰাৰ এটা উপায় হৈছে $t=2$ ছেকেণ্ডত শেষ হোৱা সময়ৰ বিভিন্ন ব্যৱধানৰ বাবে গড় বেগ উলিওৱা আৰু আশা কৰা যে এইবোৰে $t=2$ ছেকেণ্ডত বেগৰ ওপৰত কিছু আভাস দিয়ে।

$t=t_1$ আৰু $t=t_2$ ৰ মাজৰ গড় বেগ $t=t_l$ আৰু $t=t_2$ ছেকেণ্ডৰ মাজত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বক $(t_2-t_1)$ ৰে হৰণ কৰাৰ সমান। গতিকে প্ৰথম দুছেকেণ্ডৰ গড় বেগ

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

একেদৰে, $t=1$ আৰু $t=2$ ৰ মাজৰ গড় বেগ হৈছে

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

একেদৰে আমি বিভিন্ন $t_1$ ৰ বাবে $t=t_1$ আৰু $t=2$ ৰ মাজৰ গড় বেগ গণনা কৰোঁ। তলৰ তালিকা 13.2-এ $(v), t=t_1$ ছেকেণ্ড আৰু $t=2$ ছেকেণ্ডৰ গড় বেগ দিয়ে।

তালিকা 12.1

তালিকা 12.2

তালিকা 12.2 ৰ পৰা, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে গড় বেগ ক্ৰমে বৃদ্ধি পাই আছে। আমি $t=2$ ত শেষ হোৱা সময়ৰ ব্যৱধানবোৰ সৰু কৰাৰ লগে লগে আমি দেখো যে আমি $t=2$ ত বেগৰ এক ভাল ধাৰণা পাইছো। 1.99 ছেকেণ্ড আৰু 2 ছেকেণ্ডৰ মাজত একো বিশেষ নঘটে বুলি আশা কৰি, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে $t=2$ ছেকেণ্ডত গড় বেগ $19.551 m / s$ তকৈ অলপ বেছি।

এই সিদ্ধান্তটো তলৰ গণনাৰ ছেটটোৰ দ্বাৰা কিছু প্ৰবল হয়। $t=2$ ছেকেণ্ডত আৰম্ভ হোৱা বিভিন্ন সময়ৰ ব্যৱধানৰ বাবে গড় বেগ গণনা কৰা। আগৰ দৰেই $v$ ছেকেণ্ড আৰু $t=2$ ছেকেণ্ডৰ মাজৰ গড় বেগ $t=t_2$ হৈছে

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ 2 ছেকেণ্ড আৰু } t_2 \text{ ছেকেণ্ডৰ মাজত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ } t_2 \text{ ছেকেণ্ডত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব }- \text{ 2 ছেকেণ্ডত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ } t_2 \text{ ছেকেণ্ডত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব }-19.6}{t_2-2} $

তলৰ তালিকা 12.3-এ $v$ ছেকেণ্ড আৰু $t=2$ ছেকেণ্ডৰ মাজৰ মিটাৰ প্ৰতি ছেকেণ্ডত গড় বেগ $t_2$ দিয়ে।

তালিকা 12.3

ইয়াত আকৌ আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে যদি আমি $t=2$ ত আৰম্ভ হোৱা সৰু সময়ৰ ব্যৱধান লওঁ, তেন্তে আমি $t=2$ ত বেগৰ ভাল ধাৰণা পাওঁ।

প্ৰথম ছেট গণনাত, আমি যি কৰিছোঁ সেয়া হৈছে $t=2$ ত শেষ হোৱা বৃদ্ধি হোৱা সময়ৰ ব্যৱধানত গড় বেগ উলিওৱা আৰু তাৰ পিছত আশা কৰা যে $t=2$ ৰ ঠিক আগতে একো বিশেষ নঘটে। দ্বিতীয় ছেট গণনাত, আমি $t=2$ ত শেষ হোৱা সময়ৰ ব্যৱধানত হ্ৰাস হোৱা গড় বেগ উলিওৱা আৰু তাৰ পিছত আশা কৰা যে $t=2$ ৰ ঠিক পিছত একো বিশেষ নঘটে। সম্পূৰ্ণৰূপে ভৌতিক ভিত্তিত, গড় বেগৰ এই দুয়োটা ক্ৰমে এক সাধাৰণ সীমালৈ আগবাঢ়িব লাগিব। আমি নিৰাপদে সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰোঁ যে $t=2$ ত শৰীৰটোৰ বেগ $19.551 m / s$ আৰু $19.649 m / s$ ৰ মাজত আছে। কাৰিকৰীভাৱে, আমি কওঁ যে $t=2$ ত তৎক্ষণাৎ বেগ $19.551 m / s$ আৰু $19.649 m / s$ ৰ মাজত আছে। যিদৰে সুপৰিচিত, বেগ হৈছে সৰণৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ। গতিকে আমি যি সফলতা অৰ্জন কৰিছোঁ সেয়া হৈছে তলৰ দৰে। বিভিন্ন সময়ত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বৰ দিয়া তথ্যৰ পৰা আমি দিয়া সময় মুহূৰ্তত দূৰত্বৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ অনুমান কৰিছোঁ। আমি কওঁ যে দূৰত্ব ফাংচন $s=4.9 t^{2}$ ৰ $t=2$ ত অন্তৰকলন 19.551 আৰু 19.649 ৰ মাজত আছে।

এই সীমা প্ৰক্ৰিয়াটো চোৱাৰ আন এটা বিকল্প উপায় চিত্ৰ 12.1 ত দেখুওৱা হৈছে। এইটো হৈছে শৰীৰটোৰ পৰ্বতৰ শীৰ্ষৰ পৰা দূৰত্ব $s$ বনাম অতিবাহিত সময় $t$ ৰ প্লট। সীমাত যেতিয়া সময়ৰ ব্যৱধানৰ ক্ৰম $h_1, h_2, \ldots$, শূন্যলৈ আগবাঢ়ে, গড় বেগৰ ক্ৰমটোৱে একে সীমালৈ আগবাঢ়ে যিদৰে অনুপাতৰ ক্ৰমটোৱে আগবাঢ়ে

চিত্ৰ 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

য’ত $C_1 B_1=s_1-s_0$ হৈছে সময়ৰ ব্যৱধান $h_1=AC_1$ ত শৰীৰটোৱে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব, ইত্যাদি। চিত্ৰ 12.1 ৰ পৰা এইটো নিৰাপদে সিদ্ধান্ত কৰিব পাৰি যে এই শেষৰ ক্ৰমটোৱে বিন্দু $A$ ত বক্ৰৰ স্পৰ্শকৰ ঢাললৈ আগবাঢ়ে। অন্য কথাত, সময় $t=2$ ত শৰীৰ এটাৰ তৎক্ষণাৎ বেগ $v(t)$ বক্ৰ $s=4.9 t^{2}$ ৰ $t=2$ ত স্পৰ্শকৰ ঢালৰ সমান।

12.3 সীমা

ওপৰৰ আলোচনাই স্পষ্টকৈ সেই কথালৈ ইংগিত কৰে যে আমি সীমা প্ৰক্ৰিয়াটো অধিক স্পষ্টতাৰে বুজিব লাগিব। আমি সীমাৰ ধাৰণাৰ সৈতে কিছু পৰিচয় পাবলিকে কিছুমান দৃষ্টান্তমূলক উদাহৰণ অধ্যয়ন কৰোঁ।

ফাংচন $f(x)=x^{2}$ বিবেচনা কৰা। লক্ষ্য কৰা যে যেতিয়া $x$ 0 ৰ খুব ওচৰৰ মান লয়, $f(x)$ ৰ মানটোৱেও 0 ৰ ফালে গতি কৰে (চিত্ৰ 2.10, অধ্যায় 2 চোৱা)। আমি কওঁ

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

($f(x)$ ৰ সীমা যেতিয়া $x$ শূন্যলৈ আগবাঢ়ে শূন্যৰ সমান হিচাপে পঢ়িব লাগিব)। $f(x)$ ৰ সীমা যেতিয়া $x$ শূন্যলৈ আগবাঢ়ে তাক $f(x)$ ৰ মান হিচাপে ভাবিব লাগিব যিটো $x=0$ ত ধাৰণ কৰিব লাগিব।

সাধাৰণতে যেতিয়া $x \to a, f(x) \to l$, তেতিয়া $l$ ক ফাংচন $f(x)$ ৰ সীমা বুলি কোৱা হয় যাক চিহ্নাত্মকভাৱে $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ হিচাপে লিখা হয়।

তলৰ ফাংচন $g(x)=|x|, x \neq 0$ বিবেচনা কৰা। লক্ষ্য কৰা যে $g(0)$ সংজ্ঞায়িত নহয়। $x$ ৰ 0 ৰ খুব ওচৰৰ মানৰ বাবে $g(x)$ ৰ মান গণনা কৰি, আমি দেখো যে $g(x)$ ৰ মান 0 ৰ ফালে গতি কৰে। গতিকে, $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$। $x \neq 0$ ৰ বাবে $y=|x|$ ৰ গ্ৰাফৰ পৰা এইটো স্বজ্ঞাতভাৱে স্পষ্ট (চিত্ৰ 2.13, অধ্যায় 2 চোৱা)।

তলৰ ফাংচনটো বিবেচনা কৰা।

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$x$ ৰ 2 ৰ খুব ওচৰৰ মানৰ বাবে $h(x)$ ৰ মান গণনা কৰা (কিন্তু 2 ত নহয়)। নিজকে প্ৰত্যয়িত কৰা যে এই মানবোৰ সকলো 4 ৰ ওচৰত। ফাংচন $y=h(x)$ ৰ গ্ৰাফটো ইয়াত (চিত্ৰ 12.2) দিয়া হৈছে বিবেচনা কৰি এইটো কিছু প্ৰবল হয়।

চিত্ৰ 12.2

এই সকলো দৃষ্টান্তত ফাংচনটোৱে দিয়া বিন্দু $x=a$ ত যি মান ধাৰণ কৰিব লাগিছিল সেয়া প্ৰকৃততে $x$ কেনেকৈ $a$ লৈ আগবাঢ়িছে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰিছিল। লক্ষ্য কৰা যে মূলতঃ দুটা উপায় আছে $x$ এটা সংখ্যা $a$ লৈ আগবাঢ়িব পাৰে বাওঁফালৰ পৰা বা সোঁফালৰ পৰা, অৰ্থাৎ, $a$ ৰ ওচৰৰ $x$ ৰ সকলো মান $a$ তকৈ কম হ’ব পাৰে বা $a$ তকৈ বেছি হ’ব পাৰে। ই স্বাভাৱিকভাৱে দুটা সীমালৈ লৈ যায় - সোঁহাতৰ সীমা আৰু বাওঁহাতৰ সীমা। ফাংচন $f(x)$ ৰ সোঁহাতৰ সীমা হৈছে $f(x)$ ৰ সেই মান যিটো $f(x)$ ৰ মানৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত হয় যেতিয়া $x$ $a$ লৈ সোঁফালৰ পৰা আগবাঢ়ে। একেদৰে, বাওঁহাতৰ সীমা। ইয়াক বুজাবলৈ, ফাংচনটো বিবেচনা কৰা

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

এই ফাংচনৰ গ্ৰাফটো চিত্ৰ 12.3 ত দেখুওৱা হৈছে। ই স্পষ্ট যে 0 ত $f$ ৰ মান $f(x)$ সৈতে $x \leq 0$ ৰ মানৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত হয় যি 1 ৰ সমান, অৰ্থাৎ, 0 ত $f(x)$ ৰ বাওঁহাতৰ সীমা হৈছে $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

একেদৰে, 0 ত $f$ ৰ মান $f(x)$ সৈতে $x>0$ ৰ মানৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত হয় যি 2 ৰ সমান, অৰ্থাৎ, 0 ত $f(x)$ ৰ সোঁহাতৰ সীমা হৈছে

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

এই ক্ষেত্ৰত সোঁ আৰু বাওঁ হাতৰ সীমা বেলেগ বেলেগ, আৰু সেয়েহে আমি কওঁ যে $f(x)$ ৰ সীমা যেতিয়া $x$ শূন্যলৈ আগবাঢ়ে নাথাকে (যদিও ফাংচনটো 0 ত সংজ্ঞায়িত)।

সাৰাংশ

আমি কওঁ $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ হৈছে $f$ ৰ $x=a$ ত প্ৰত্যাশিত মান যিটো $f$ ৰ $x$ ৰ ওচৰৰ মানবোৰে $a$ ৰ বাওঁফালে দিয়ে। এই মানটোক $f$ ৰ $a$ ত বাওঁহাতৰ সীমা বুলি কোৱা হয়।

আমি কওঁ $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ হৈছে $f$ ৰ $x=a$ ত প্ৰত্যাশিত মান যিটো $f$ ৰ $x$ ৰ ওচৰৰ মানবোৰে $a$ ৰ সোঁফালে দিয়ে। এই মানটোক $f(x)$ ৰ $a$ ত সোঁহাতৰ সীমা বুলি কোৱা হয়।

যদি সোঁ আৰু বাওঁ হাতৰ সীমা মিলি যায়, আমি সেই সাধাৰণ মানটোক $f(x)$ ৰ $x=a$ ত সীমা বুলি কওঁ আৰু ইয়াক $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ ৰ দ্বাৰা সূচাওঁ।

দৃষ্টান্ত 1 ফাংচন $f(x)=x+10$ বিবেচনা কৰা। আমি এই ফাংচনৰ সীমা $x=5$ ত বিচাৰো। ফাংচন $f(x)$ ৰ মান $x$ ৰ বাবে 5 ৰ খুব ওচৰত গণনা কৰোঁ। 5 ৰ ওচৰৰ আৰু বাওঁফালৰ কিছুমান বিন্দু হৈছে $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$, ইত্যাদি। এই বিন্দুবোৰত ফাংচনৰ মান তলৰ তালিকাত দিয়া হৈছে। একেদৰে, বাস্তৱ সংখ্যা 5.001,

5.01, 5.1 ও 5 ৰ ওচৰৰ আৰু সোঁফালৰ বিন্দু। এই বিন্দুবোৰত ফাংচনৰ মানো তালিকা 12.4 ত দিয়া হৈছে।

তালিকা 12.4

তালিকা 12.4 ৰ পৰা, আমি অনুমান কৰোঁ যে $f(x)$ ৰ মান $x=5$ ত 14.995 তকৈ বেছি আৰু 15.001 তকৈ কম হ’ব লাগিব যদি $x=4.995$ আৰু 5.001 ৰ মাজত একো বিশেষ নঘটে। ই যুক্তিসংগত যে $f(x)$ ৰ মান $x=5$ ত 5 ৰ বাওঁফালৰ সংখ্যাবোৰে নিৰ্ধাৰিত কৰাৰ দৰে হৈছে 15, অৰ্থাৎ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=15 . $$

একেদৰে, যেতিয়া $x$ সোঁফালৰ পৰা 5 লৈ আগবাঢ়ে, $f(x)$ ৰ মান 15 ধাৰণ কৰিব লাগিব, অৰ্থাৎ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=15 \text{. } $$

গতিকে, ই সম্ভৱ যে $f(x)$ ৰ বাওঁহাতৰ সীমা আৰু $f(x)$ ৰ সোঁহাতৰ সীমা দুয়োটা 15 ৰ সমান। গতিকে,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5} f(x)=15 . $$

সীমাটো 15 ৰ সমান হোৱাৰ এই সিদ্ধান্তটো এই ফাংচনৰ গ্ৰাফটো চিত্ৰ 2.16, অধ্যায় 2 ত দেখি কিছু প্ৰবল হয়। এই চিত্ৰত, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে যেতিয়া $x$ সোঁ বা বাওঁ যিকোনো ফালৰ পৰা 5 লৈ আগবাঢ়ে, ফাংচন $f(x)=x+10$ ৰ গ্ৰাফটোৱে বিন্দু $(5,15)$ লৈ আগবাঢ়ে।

আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে $x=5$ ত ফাংচনৰ মানটোও 15 ৰ সমান হোৱা দেখা যায়।

দৃষ্টান্ত 2 ফাংচন $f(x)=x^{3}$ বিবেচনা কৰা। এই ফাংচনৰ সীমা $x=1$ ত বিচাৰিবলৈ চাওঁ। আগৰ ক্ষেত্ৰৰ দৰেই আগবাঢ়ি, আমি $x$ ৰ 1 ৰ ওচৰত $f(x)$ ৰ মান তালিকাভুক্ত কৰোঁ। এইটো তালিকা 12.5 ত দিয়া হৈছে।

তালিকা 12.5

এই তালিকাৰ পৰা, আমি অনুমান কৰোঁ যে $f(x)$ ৰ মান $x=1$ ত 0.997002999 তকৈ বেছি আৰু 1.003003001 তকৈ কম হ’ব লাগিব যদি $x=0.999$ আৰু 1.001 ৰ মাজত একো বিশেষ নঘটে। ই যুক্তিসংগত যে $f(x)$ ৰ মান $x=1$ ত 1 ৰ বাওঁফালৰ সংখ্যাবোৰে নিৰ্ধাৰিত কৰাৰ দৰে হৈছে 1, অৰ্থাৎ,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=1 \text{. } $$

একেদৰে, যেতিয়া $x$ সোঁফালৰ পৰা 1 লৈ আগবাঢ়ে, $f(x)$ ৰ মান 1 ধাৰণ কৰিব লাগিব, অৰ্থাৎ,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1 \text{. } $$

গতিকে, ই সম্ভৱ যে $f(x)$ ৰ বাওঁহাতৰ সীমা আৰু $f(x)$ ৰ সোঁহাতৰ সীমা দুয়োটা 1 ৰ সমান। গতিকে,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=1 . $$

সীমাটো 1 ৰ সমান হোৱাৰ এই সিদ্ধান্তটো এই ফাংচনৰ গ্ৰাফটো চিত্ৰ 2.11, অধ্যায় 2 ত দেখি কিছু প্ৰবল হয়। এই চিত্ৰত, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে যেতিয়া $x$ সোঁ বা বাওঁ যিকোনো ফালৰ পৰা 1 লৈ আগবাঢ়ে, ফাংচন $f(x)=x^{3}$ ৰ গ্ৰাফটোৱে বিন্দু $(1,1)$ লৈ আগবাঢ়ে।

আমি আকৌ লক্ষ্য কৰোঁ যে $x=1$ ত ফাংচনৰ মানটোও 1 ৰ সমান হোৱা দেখা যায়।

দৃষ্টান্ত 3 ফাংচন $f(x)=3 x$ বিবেচনা কৰা। এই ফাংচনৰ সীমা $x=2$ ত বিচাৰিবলৈ চাওঁ। তলৰ তালিকা 12.6 এতিয়া স্ব-ব্যাখ্যামূলক।

তালিকা 12.6

আগৰ দৰেই আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে যেতিয়া $x$ বাওঁ বা সোঁ যিকোনো ফালৰ পৰা 2 লৈ আগবাঢ়ে, $f(x)$ ৰ মান 6 ৰ ফালে আগবাঢ়ে যেন লাগে। আমি এইটো এনেদৰে লিপিবদ্ধ কৰোঁ

$$ \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2} f(x)=6 $$

ইয়াৰ গ্ৰাফটো চিত্ৰ 12.4 ত দেখুওৱা হৈছে যিয়ে এই কথাটো প্ৰবল কৰে।

চিত্ৰ 12.4

ইয়াত আকৌ আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে $x=2$ ত ফাংচনৰ মান $x=2$ ত সীমাৰ সৈতে মিলি যায়।

দৃষ্টান্ত 4 ধ্ৰুৱক ফাংচন $f(x)=3$ বিবেচনা কৰা। ইয়াৰ সীমা $x=2$ ত বিচাৰিবলৈ চাওঁ। এই ফাংচনটো ধ্ৰুৱক ফাংচন হোৱাৰ বাবে সকলো ঠাইতে একে মান (এই ক্ষেত্ৰত 3) লয়, অৰ্থাৎ, 2 ৰ ওচৰৰ বিন্দুবোৰত ইয়াৰ মান 3। গতিকে

$ \lim\limits_{x \to 2} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2} f(x)=3 $

$f(x)=3$ ৰ গ্ৰাফ যিকোনো উপায়ে $x$-অক্ষৰ সমান্তৰাল ৰেখা যি $(0,3)$ ৰ মাজেৰে পাৰ হয় আৰু চিত্ৰ 2.9, অধ্যায় 2 ত দেখুওৱা হৈছে। ইয়াৰ পৰাও ই স্পষ্ট যে প্ৰয়োজনীয় সীমাটো 3। প্ৰকৃততে, ই সহজে লক্ষ্য কৰা যায় যে $\lim\limits_{x \to a} f(x)=3$ যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা $a$ ৰ বাবে।

দৃষ্টান্ত 5 ফাংচন $f(x)=x^{2}+x$ বিবেচনা কৰা। আমি $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ বিচাৰো। আমি $x=1$ ৰ ওচৰত $f(x)$ ৰ মানবোৰ তালিকা 12.7 ত তালিকাভুক্ত কৰোঁ।

তালিকা 12.7

ইয়াৰ পৰা ই যুক্তিসংগত যে $\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=2$।

$f(x)=x^{2}+x$ ৰ গ্ৰাফটো চিত্ৰ 12.5 ত দেখুওৱা হৈছে, ইয়াৰ পৰা স্পষ্ট যে যেতিয়া $x$ 1 লৈ আগবাঢ়ে, গ্ৰাফটোৱে $(1,2)$ লৈ আগবাঢ়ে।

চিত্ৰ 12.5

ইয়াত, আকৌ আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে

$ \lim\limits_{x \to 1} f(x)=f(1) $

এতিয়া, তলৰ তিনিটা কথাত নিজকে প্ৰত্যয়িত কৰা:

$ \lim\limits_{x \to 1} x^{2}=1, \lim\limits_{x \to 1} x=1 \text{ and } \lim\limits_{x \to 1} x+1=2 $

তেতিয়া $ \quad\quad\quad\quad \lim\limits_{x \to 1} x^{2}+\lim\limits_{x \to 1} x=1+1=2=\lim\limits_{x \to 1}[x^{2}+x] \text{. } $

আৰু $ \quad\quad\quad\quad\lim\limits_{x \to 1} x . \lim\limits_{x \to 1}(x+1)=1 \cdot 2=2=\lim\limits_{x \to 1}[x(x+1)]=\lim\limits_{x \to 1}[x^{2}+x] . $

দৃষ্টান্ত 6 ফাংচন $f(x)=\sin x$ বিবেচনা কৰা। আমি $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x$ ত স্বাৰ্থপৰ, য’ত কোণটো ৰেডিয়ানত জোখা হয়।

ইয়াত, আমি $\frac{\pi}{2}$ ৰ ওচৰত $f(x)$ ৰ (আনুমানিক) মান তালিকাভুক্ত কৰোঁ (তালিকা 12.8)। ইয়াৰ পৰা, আমি অনুমান কৰিব পাৰোঁ যে

$ \lim\limits_{x \to \frac{\pi^{-}}{2}} f(x)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi^{+}}{2}} f(x)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)=1 $

অধিকন্তু, এইটো $f(x)=\sin x$ ৰ গ্ৰাফৰ দ্বাৰা সমৰ্থিত যিটো চিত্ৰ 3.8 (অধ্যায় 3) ত দিয়া হৈছে। এই ক্ষেত্ৰতো, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x=1$।

তালিকা 12.8

দৃষ্টান্ত 7 ফাংচন $f(x)=x+\cos x$ বিবেচনা কৰা। আমি $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ বিচাৰো। ইয়াত আমি 0 ৰ ওচৰত $f(x)$ ৰ (আনুমানিক) মান তালিকাভুক্ত কৰোঁ (তালিকা 12.9)।

তালিকা 12.9

তালিকা 12.9 ৰ পৰা, আমি অনুমান কৰিব পাৰোঁ যে

$ \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 $

এই ক্ষেত্ৰতো, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=f(0)=1$।

এতিয়া, আপুনি নিজকে প্ৰত্যয়িত কৰিব পাৰেনে যে

$ \lim\limits_{x \to 0}[x+\cos x]=\lim\limits_{x \to 0} x+\lim\limits_{x \to 0} \cos x \text{ সঁচাকৈয়ে সত্য? } $

দৃষ্টান্ত 8 ফাংচন $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ বিবেচনা কৰা $x>0$ ৰ বাবে। আমি $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ জানিব বিচাৰো।

ইয়াত, লক্ষ্য কৰা যে ফাংচনৰ ড’মেইনটো সকলো ধনাত্মক বাস্তৱ সংখ্যা হিচাপে দিয়া হৈছে। গতিকে, যেতিয়া আমি $f(x)$ ৰ মানবোৰ তালিকাভুক্ত কৰো, $x$ বাওঁফালৰ পৰা 0 লৈ আগবাঢ়াৰ কথা কোৱাৰ অৰ