“পৰিসংখ্যাক সঠিকভাৱে গড় আৰু ইয়াৰ অনুমানৰ বিজ্ঞান বুলি কোৱা হ’ব পাৰে।” - এ.এল.বাউলি & এ.এল. বডিংটন

ভূমিকা

আমি জানো যে পৰিসংখ্যাই নিৰ্দিষ্ট উদ্দেশ্যৰ বাবে সংগ্ৰহ কৰা তথ্যৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰে। ইয়াক বিশ্লেষণ আৰু ব্যাখ্যা কৰি আমি তথ্যৰ ওপৰত সিদ্ধান্ত গ্ৰহণ কৰিব পাৰো। আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি তথ্যক চিত্ৰাত্মকভাৱে আৰু তালিকাৰ ৰূপত প্ৰতিনিধিত্ব কৰাৰ পদ্ধতিসমূহ অধ্যয়ন কৰিছিলো। এই প্ৰতিনিধিত্বই তথ্যৰ কিছুমান মুখ্য বৈশিষ্ট্য বা চৰিত্ৰ প্ৰকাশ কৰে। আমি দিয়া তথ্যৰ বাবে এটা প্ৰতিনিধিত্বমূলক মান বিচাৰি উলিওৱাৰ পদ্ধতিও অধ্যয়ন কৰিছিলো। এই মানটোক কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপ বুলি কোৱা হয়। মনত পেলাওক যে গড় (পাটীগণিতীয় গড়), মধ্যমা আৰু বহুলক হৈছে কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ তিনিটা মাপ। কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ এটা মাপে আমাক এটা খহটা ধাৰণা দিয়ে যে তথ্যবিন্দুবোৰ ক’ত কেন্দ্ৰীভূত হৈ আছে। কিন্তু,

কাৰ্ল পিয়াৰছন (১৮৫৭-১৯৩৬ খ্ৰীষ্টাব্দ)

তথ্যৰ পৰা ভাল ব্যাখ্যা কৰিবলৈ, আমাৰ তথ্যবোৰ কেনেকৈ বিচ্ছুৰিত হৈ আছে বা কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ এটা মাপৰ চাৰিওফালে সিহঁত কিমান গুচ্ছ হৈ আছে সেই বিষয়ে এটা ধাৰণাও থাকিব লাগিব।

এতিয়া দুজন বেটছমেনে তেওঁলোকৰ শেষৰ দহটা খেলত কৰা ৰানসমূহ বিবেচনা কৰা:

বেটছমেন A : $30,91,0,64,42,80,30,5,117,71$

বেটছমেন B : $53,46,48,50,53,53,58,60,57,52$

স্পষ্টতেই, তথ্যৰ গড় আৰু মধ্যমা হৈছে

মনত পেলাওক যে, আমি এটা তথ্যৰ গড় ($\bar{x}$ ৰে চিহ্নিত) গণনা কৰো পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যাৰে পৰ্যবেক্ষণৰ সমষ্টিক ভাগ কৰি, অৰ্থাৎ,

$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i $

আনহাতে, মধ্যমা পোৱা যায় প্ৰথমে তথ্যবোৰ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত বা অধঃক্ৰমত সজাই আৰু তলৰ নিয়ম প্ৰয়োগ কৰি।

যদি পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা অযুগ্ম হয়, তেন্তে মধ্যমা হৈছে $(\frac{n+1}{2})^{\text{th }}$ তম পৰ্যবেক্ষণ।

যদি পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা যুগ্ম হয়, তেন্তে মধ্যমা হৈছে $(\frac{n}{2})^{\text{th }}$ তম আৰু $(\frac{n}{2}+1)^{\text{th }}$ তম পৰ্যবেক্ষণৰ গড়।

আমি দেখো যে দুয়ো বেটছমেন $A$ আৰু B ৰ কৰা ৰানৰ গড় আৰু মধ্যমা একে অৰ্থাৎ 53। আমি ক’ব পাৰোনে যে দুয়ো খেলুৱৈৰ কাৰ্যক্ষমতা একে? স্পষ্টতেই নহয়, কাৰণ বেটছমেন A ৰ স্কোৰৰ পৰিৱৰ্তনশীলতা ০ (ন্যূনতম) ৰ পৰা ১১৭ (সৰ্বোচ্চ) লৈ। আনহাতে, বেটছমেন B ৰ কৰা ৰানৰ পৰিসৰ ৪৬ ৰ পৰা ৬০ লৈ।

এতিয়া ওপৰৰ স্কোৰবোৰক সংখ্যা ৰেখাত বিন্দু হিচাপে প্লট কৰো। আমি তলৰ চিত্ৰসমূহ পাম:

বেটছমেন A ৰ বাবে

চিত্ৰ 13.1

বেটছমেন B ৰ বাবে

চিত্ৰ 13.2

আমি দেখিব পাৰো যে বেটছমেন B ৰ সৈতে জড়িত বিন্দুবোৰ ইটোৱে সিটোৰ ওচৰত আছে আৰু কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপ (গড় আৰু মধ্যমা)ৰ চাৰিওফালে গুচ্ছ হৈ আছে, আনহাতে বেটছমেন A ৰ সৈতে জড়িতবোৰ বিচ্ছুৰিত বা বেছি বিস্তৃত হৈ আছে।

এইদৰে, কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপবোৰ এটা দিয়া তথ্যৰ সম্পূৰ্ণ তথ্য দিবলৈ যথেষ্ট নহয়। পৰিৱৰ্তনশীলতা হৈছে আন এটা কাৰক যিটো পৰিসংখ্যাৰ অধীনত অধ্যয়ন কৰাৰ প্ৰয়োজন। ‘কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপ’ৰ দৰে আমি পৰিৱৰ্তনশীলতা বৰ্ণনা কৰিবলৈ এটা মাত্ৰ সংখ্যা বিচাৰো। এই একক সংখ্যাটোক ‘বিচ্ছুৰণৰ মাপ’ বুলি কোৱা হয়। এই অধ্যায়ত, আমি বিচ্ছুৰণৰ কিছুমান গুৰুত্বপূৰ্ণ মাপ আৰু অগোটাকৃত আৰু গোটাকৃত তথ্যৰ বাবে ইহঁতৰ গণনাৰ পদ্ধতি শিকিম।

13.2 বিচ্ছুৰণৰ মাপ

এটা তথ্যৰ বিচ্ছুৰণ বা বিক্ষেপণ পৰ্যবেক্ষণৰ ভিত্তিত আৰু তাত ব্যৱহৃত কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপৰ প্ৰকাৰৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি জোখা হয়। বিচ্ছুৰণৰ তলৰ মাপবোৰ আছে:

(i) পৰিসৰ, (ii) চতুর্থক বিচ্যুতি, (iii) গড় বিচ্যুতি, (iv) প্ৰমাণ বিচ্যুতি।

এই অধ্যায়ত, আমি চতুর্থক বিচ্যুতি বাদ দি বিচ্ছুৰণৰ এই সকলোবোৰ মাপ অধ্যয়ন কৰিম।

13.3 পৰিসৰ

মনত পেলাওক যে, দুজন বেটছমেন A আৰু B ৰ কৰা ৰানৰ উদাহৰণত, আমি প্ৰতিটো শৃংখলাত ন্যূনতম আৰু সৰ্বোচ্চ ৰানৰ ভিত্তিত পৰিৱৰ্তনশীলতাৰ বিষয়ে কিছু ধাৰণা পাইছিলো। ইয়াৰ বাবে এটা মাত্ৰ সংখ্যা পাবলৈ, আমি প্ৰতিটো শৃংখলাৰ সৰ্বোচ্চ আৰু ন্যূনতম মানৰ পাৰ্থক্য বিচাৰো। এই পাৰ্থক্যক তথ্যৰ ‘পৰিসৰ’ বুলি কোৱা হয়।

বেটছমেন A ৰ ক্ষেত্ৰত, পৰিসৰ $=117-0=117$ আৰু বেটছমেন B ৰ বাবে, পৰিসৰ $=60-46=14$। স্পষ্টতেই, A ৰ পৰিসৰ $>$ $B$ ৰ পৰিসৰ। গতিকে, A ৰ ক্ষেত্ৰত স্কোৰবোৰ বিচ্ছুৰিত বা বিক্ষিপ্ত হৈ আছে আনহাতে B ৰ বাবে এইবোৰ ইটোৱে সিটোৰ ওচৰত আছে।

এইদৰে, এটা শৃংখলাৰ পৰিসৰ $=$ সৰ্বোচ্চ মান - ন্যূনতম মান।

তথ্যৰ পৰিসৰে আমাক পৰিৱৰ্তনশীলতা বা বিক্ষেপণৰ এটা খহটা ধাৰণা দিয়ে কিন্তু কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ পৰা তথ্যৰ বিচ্ছুৰণৰ বিষয়ে নকয়। এই উদ্দেশ্যৰ বাবে, আমাক পৰিৱৰ্তনশীলতাৰ আন কিছুমান মাপৰ প্ৰয়োজন। স্পষ্টতেই, এনে মাপে কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ পৰা মানবোৰৰ পাৰ্থক্য (বা বিচ্যুতি)ৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰিব লাগিব।

বিচ্ছুৰণৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ মাপবোৰ, যিবোৰ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ পৰা পৰ্যবেক্ষণবোৰৰ বিচ্যুতিৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল, সেয়া হৈছে গড় বিচ্যুতি আৰু প্ৰমাণ বিচ্যুতি। আহক আমি ইহঁতক বিস্তাৰিতভাৱে আলোচনা কৰো।

13.4 গড় বিচ্যুতি

মনত পেলাওক যে এটা পৰ্যবেক্ষণ $x$ ৰ এটা স্থিৰ মান ‘$a$’ ৰ পৰা বিচ্যুতি হৈছে পাৰ্থক্য $x-a$। ‘$a$’ কেন্দ্ৰীয় মানৰ পৰা $x$ ৰ মানবোৰৰ বিচ্ছুৰণ বিচাৰিবলৈ, আমি $a$ ৰ সাপেক্ষে বিচ্যুতি বিচাৰো। বিচ্ছুৰণৰ এটা নিৰপেক্ষ মাপ হৈছে এই বিচ্যুতিবোৰৰ গড়। গড় বিচাৰিবলৈ, আমি বিচ্যুতিবোৰৰ সমষ্টি পাব লাগিব। কিন্তু, আমি জানো যে কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ এটা মাপ পৰ্যবেক্ষণৰ সংহতিটোৰ সৰ্বোচ্চ আৰু ন্যূনতম মানৰ মাজত থাকে। গতিকে, কিছুমান বিচ্যুতি ঋণাত্মক আৰু কিছুমান ধনাত্মক হ’ব। এইদৰে, বিচ্যুতিবোৰৰ সমষ্টি লোপ পাব পাৰে। ইয়াৰ উপৰি, গড় $(\bar{x})$ ৰ পৰা বিচ্যুতিবোৰৰ সমষ্টি শূন্য।

আনহাতে $\quad \quad \quad $ বিচ্যুতিবোৰৰ গড় $=\frac{\text{ Sum of deviations }}{\text{ Number of observations }}=\frac{0}{n}=0$

এইদৰে, বিচ্ছুৰণৰ মাপ হিচাপে আমাৰ বাবে গড়ৰ সাপেক্ষে বিচ্যুতিবোৰৰ গড় বিচাৰি উলিওৱা কোনো কামৰ নহয়।

মনত ৰাখিব যে, বিচ্ছুৰণৰ এটা উপযুক্ত মাপ বিচাৰি উলিওৱাত, আমি প্ৰতিটো মানৰ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতা বা এটা স্থিৰ সংখ্যা ‘$a$’ ৰ পৰা দূৰত্ব বিচাৰো। মনত পেলাওক যে, দুটা সংখ্যাৰ পাৰ্থক্যৰ নিৰপেক্ষ মানই সংখ্যা ৰেখাত প্ৰতিনিধিত্ব কৰোতে সংখ্যাবোৰৰ মাজৰ দূৰত্ব দিয়ে। এইদৰে, স্থিৰ সংখ্যা ‘$a$’ ৰ পৰা বিচ্ছুৰণৰ মাপ বিচাৰিবলৈ আমি কেন্দ্ৰীয় মানৰ পৰা বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰৰ গড় ল’ব পাৰো। এই গড়টোক ‘গড় বিচ্যুতি’ বুলি কোৱা হয়। এইদৰে কেন্দ্ৰীয় মান ‘$a$’ ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি হৈছে ‘$a$’ ৰ পৰা পৰ্যবেক্ষণবোৰৰ বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰৰ গড়। ‘$a$’ ৰ পৰা গড় বিচ্যুতিক M.D. (a) ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। গতিকে,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\text{ Sum of absolute values of deviations from ’ } a \text{ ’ }}{\text{ Number of observations }} . $

টোকা গড় বিচ্যুতি যিকোনো কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ পৰা পোৱা যাব পাৰে। কিন্তু, গড় আৰু মধ্যমাৰ পৰা গড় বিচ্যুতি পৰিসংখ্যামূলক অধ্যয়নত সাধাৰণতে ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

13.4.1 অগোটাকৃত তথ্যৰ বাবে গড় বিচ্যুতি

ধৰা হওক $n$টা পৰ্যবেক্ষণ হৈছে $x_1, x_2, x_3, \ldots ., x_n$। গড় বা মধ্যমাৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি গণনা কৰাত তলৰ পদক্ষেপসমূহ জড়িত:

পদক্ষেপ 1 কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ মাপ গণনা কৰা যিটোৰ সাপেক্ষে আমি গড় বিচ্যুতি বিচাৰিব লাগিব। ইয়াক ‘$a$’ বুলি ধৰা হওক।

পদক্ষেপ 2 প্ৰতিটো $x_i$ ৰ $a$ ৰ পৰা বিচ্যুতি বিচাৰা, অৰ্থাৎ, $x_1-a, x_2-a, x_3-a, \ldots, x_n-a$

পদক্ষেপ 3 বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰ বিচাৰা, অৰ্থাৎ, ঋণ চিহ্ন (-) বাদ দিয়া, যদি থাকে, অৰ্থাৎ, $|x_1-a|,|x_2-a|,|x_3-a|, \ldots .,|x_n-a|$

পদক্ষেপ 4 বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰৰ গড় বিচাৰা। এই গড়টো $a$ ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি, অৰ্থাৎ,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-a|}{n} $

এইদৰে $\quad\quad\quad$ M.D. $(\bar{x})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-\bar{x}|$, য’ত $\bar{x}=$ গড়

আৰু $\quad\quad\quad$ M.D. $(M)=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-M|$, য’ত $M=$ মধ্যমা

টোকা - এই অধ্যায়ত, আমি মধ্যমাক চিহ্নিত কৰিবলৈ M চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰিম যদি অন্যথা উল্লেখ নাথাকে।

এতিয়া ওপৰৰ পদ্ধতিৰ পদক্ষেপবোৰ তলৰ উদাহৰণসমূহত চাওঁ আহক।

উদাহৰণ 1 তলৰ তথ্যৰ বাবে গড়ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি নিৰ্ণয় কৰা:

$ 6,7,10,12,13,4,8,12 $

সমাধান আমি পদক্ষেপ অনুসৰি আগবাঢ়ি তলৰবোৰ পাম:

পদক্ষেপ 1 দিয়া তথ্যৰ গড় হৈছে

$ \bar{x}=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}=9 $

পদক্ষেপ 2 গড় $\bar{x}$, অৰ্থাৎ, $x_i-\bar{x}$ ৰ পৰা সংশ্লিষ্ট পৰ্যবেক্ষণবোৰৰ বিচ্যুতিবোৰ হৈছে

$\quad\quad\quad\quad 6-9,7-9,10-9,12-9,13-9,4-9,8-9,12-9$,

বা $ \quad\quad\quad\quad -3,-2,1,3,4,-5,-1,3 $

পদক্ষেপ 3 বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰ, অৰ্থাৎ, $|x_i-\bar{x}|$ হৈছে

$ 3,2,1,3,4,5,1,3 $

পদক্ষেপ 4 গড়ৰ সাপেক্ষে প্ৰয়োজনীয় গড় বিচ্যুতি হৈছে

$ \text{ M.D. } \begin{aligned} (\bar{x}) & =\frac{\sum\limits_{i=1}^{8}|x_i-\bar{x}|}{8} \\ & =\frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8}=\frac{22}{8}=2.75 \end{aligned} $

টোকা - প্ৰতিবাৰ পদক্ষেপবোৰ কৰি ননেও, আমি পদক্ষেপৰ উল্লেখ নকৰাকৈয়ে পদক্ষেপ অনুসৰি গণনা কৰি যাব পাৰো।

উদাহৰণ 2 তলৰ তথ্যৰ বাবে গড়ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি নিৰ্ণয় কৰা:

$ 12,3,18,17,4,9,17,19,20,15,8,17,2,3,16,11,3,1,0,5 $

সমাধান আমাক প্ৰথমে দিয়া তথ্যৰ গড় $(\bar{x})$ বিচাৰিব লাগিব

$ \bar{x}=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} x_i=\frac{200}{20}=10 $

গড়ৰ পৰা বিচ্যুতিবোৰৰ সংশ্লিষ্ট নিৰপেক্ষ মানবোৰ, অৰ্থাৎ, $|x_i-\bar{x}|$ হৈছে

$ 2,7,8,7,6,1,7,9,10,5,2,7,8,7,6,1,7,9,10,5 $

গতিকে $\quad \sum\limits_{i=1}^{20}|x_i-\bar{x}|=124$

আৰু $ \quad\quad\quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{124}{20}=6.2 $

উদাহৰণ 3 তলৰ তথ্যৰ বাবে মধ্যমাৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি নিৰ্ণয় কৰা:

$ 3,9,5,3,12,10,18,4,7,19,21 \text{. } $

সমাধান ইয়াত পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা 11 যিটো অযুগ্ম। তথ্যবোৰ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজাই, আমি পাইছো $3,3,4,5,7,9,10,12,18,19,21$

এতিয়া

$ \text{ Median }=(\frac{11+1}{2})^{\text{th }} \text{ or } 6^{\text{th }} \text{ observation }=9 $

মধ্যমাৰ পৰা সংশ্লিষ্ট বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰ, অৰ্থাৎ, $|x_i-\mathbf{M}|$ হৈছে $6,6,5,4,2,0,1,3,9,10,12$

গতিকে $ \quad\quad\quad\quad\quad \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=58 $

আৰু $ \quad\quad\quad\text{ M.D. }(M)=\frac{1}{11} \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=\frac{1}{11} \times 58=5.27 $

13.4.2 গোটাকৃত তথ্যৰ বাবে গড় বিচ্যুতি

আমি জানো যে তথ্যক দুটা ধৰণে গোটাব পাৰি:

(a) বিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণ,

(b) অবিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণ।

আহক আমি দুয়ো ধৰণৰ তথ্যৰ বাবে গড় বিচ্যুতি বিচাৰি উলিওৱাৰ পদ্ধতি আলোচনা কৰো।

(a) বিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণ ধৰা হওক দিয়া তথ্যই $n$টা পৃথক মান $x_1, x_2, \ldots, x_n$ নিয়ে যিবোৰ যথাক্ৰমে $f_1, f_2, \ldots, f_n$ বাৰংবাৰতাৰ সৈতে ঘটে। এই তথ্যক তলত দিয়া ধৰণে তালিকাৰ ৰূপত প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি, আৰু ইয়াক বিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণ বুলি কোৱা হয়:

$ \begin{matrix} x: x_1 & x_2 & x_3 \ldots x_n \\ f: f_1 & f_2 & f_3 \ldots f_n \end{matrix} $

(i) গড়ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি

প্ৰথমে আমি দিয়া তথ্যৰ গড় $\bar{x}$ তলৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি বিচাৰো

$ \bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i $

য’ত $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i$ ৱে পৰ্যবেক্ষণ $x_i$ বোৰক তেওঁলোকৰ সংশ্লিষ্ট বাৰংবাৰতা $f_i$ ৰ সৈতে গুণ কৰি পোৱা গুণফলবোৰৰ সমষ্টি সূচায় আৰু $N=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i$ হৈছে বাৰংবাৰতাবোৰৰ সমষ্টি।

তাৰ পিছত, আমি পৰ্যবেক্ষণ $x_i$ ৰ গড় $\bar{x}$ ৰ পৰা বিচ্যুতি বিচাৰো আৰু ইহঁতৰ নিৰপেক্ষ মান লওঁ, অৰ্থাৎ, সকলো $i=1,2, \ldots, n$ ৰ বাবে $|x_i-\bar{x}|$।

ইয়াৰ পিছত, বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰৰ গড় বিচাৰা, যিটো হৈছে গড়ৰ সাপেক্ষে প্ৰয়োজনীয় গড় বিচ্যুতি। এইদৰে

$ \quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}| $

(ii) মধ্যমাৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি মধ্যমাৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি বিচাৰিবলৈ, আমি দিয়া বিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণৰ মধ্যমা বিচাৰো। ইয়াৰ বাবে পৰ্যবেক্ষণবোৰ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজোৱা হয়। ইয়াৰ পিছত সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতাবোৰ পোৱা যায়। তাৰ পিছত, আমি সেই পৰ্যবেক্ষণটো চিনাক্ত কৰো যাৰ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা $\frac{N}{2}$ ৰ সমান বা ঠিক তাতকৈ বেছি, য’ত $N$ হৈছে বাৰংবাৰতাবোৰৰ সমষ্টি। পৰ্যবেক্ষণৰ এই মানটো তথ্যৰ মাজভাগত থাকে, গতিকে, ই হৈছে প্ৰয়োজনীয় মধ্যমা। মধ্যমা বিচাৰি পোৱাৰ পিছত, আমি মধ্যমাৰ পৰা বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰৰ গড় পোৱা।এইদৰে,

$ \text{ M.D.(M) }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-M| $

উদাহৰণ 4 তলৰ তথ্যৰ বাবে গড়ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি নিৰ্ণয় কৰা:

সমাধান আহক আমি দিয়া তথ্যৰ বাবে তালিকা 13.1 বনাওঁ আৰু গণনাৰ পিছত আন স্তম্ভসমূহ সংযুক্ত কৰো।

তালিকা 13.1

$ N=\sum\limits_{i=1}^{6} f_i=40, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=300, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=92 $

গতিকে $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=\frac{1}{40} \times 300=7.5 $

আৰু $\quad \quad \quad$ M. D. $(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 92=2.3$

উদাহৰণ 5 তলৰ তথ্যৰ বাবে মধ্যমাৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি নিৰ্ণয় কৰা:

সমাধান দিয়া পৰ্যবেক্ষণবোৰ ইতিমধ্যে ঊৰ্ধ্বক্ৰমত আছে। দিয়া তথ্যত সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতাৰ সৈতে জড়িত এটা শাৰী যোগ কৰি, আমি পাম (তালিকা 13.2)।

তালিকা 13.2

এতিয়া, $N=30$ যিটো যুগ্ম।

মধ্যমা হৈছে $15^{\text{th }}$ তম আৰু $16^{\text{th }}$ তম পৰ্যবেক্ষণৰ গড়। এই দুয়োটা পৰ্যবেক্ষণ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা 18 ত থাকে, যাৰ বাবে সংশ্লিষ্ট পৰ্যবেক্ষণ হৈছে 13।

গতিকে, মধ্যমা $M=\frac{15^{\text{th }} \text{ observation }+16^{\text{th }} \text{ observation }}{2}=\frac{13+13}{2}=13$

এতিয়া, মধ্যমাৰ পৰা বিচ্যুতিবোৰৰ নিৰপেক্ষ মানবোৰ, অৰ্থাৎ, $|x_i-M|$ তালিকা 13.3 ত দেখুওৱা হৈছে। আমি পাইছো

তালিকা 13.3

$ \quad \quad \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{8} f_i=30 \text{ and } \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M|=149 $

গতিকে

$ \begin{aligned} \text{ M. D. }(M) & =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M| \\ & =\frac{1}{30} \times 149=4.97 \end{aligned} $

(b) অবিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণ অবিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণ হৈছে এটা শৃংখলা য’ত তথ্যবোৰ খালী ঠাই নোহোৱাকৈ বিভিন্ন শ্ৰেণী-ব্যৱধানত তেওঁলোকৰ সংশ্লিষ্ট বাৰংবাৰতাৰ সৈতে শ্ৰেণীবদ্ধ কৰা হয়।

উদাহৰণস্বৰূপে, 100 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে পোৱা নম্বৰবোৰ তলৰ ধৰণে অবিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণত দাঙি ধৰা হৈছে:

(i) গড়ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি অবিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণৰ গড় গণনা কৰোতে, আমি ধাৰণা কৰিছিলো যে প্ৰতিটো শ্ৰেণীত বাৰংবাৰতা ইয়াৰ মধ্যবিন্দুত কেন্দ্ৰীভূত হৈ থাকে। ইয়াতো, আমি প্ৰতিটো দিয়া শ্ৰেণীৰ মধ্যবিন্দু লিখো আৰু গড় বিচ্যুতি বিচাৰিবলৈ বিচ্ছিন্ন বাৰংবাৰতা বিতৰণৰ বাবে কৰাৰ দৰে আগবাঢ়ো।

আহক আমি তলৰ উদাহৰণটো লওঁ।

উদাহৰণ 6 তলৰ তথ্যৰ বাবে গড়ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান আমি দিয়া তথ্যৰ পৰা তলৰ তালিকা 13.4 বনাওঁ:

তালিকা 13.4

ইয়াত $ \quad \quad \quad N=\sum\limits_{i=1}^{7} f_i=40, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=1800, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=400 $

গতিকে $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=\frac{1800}{40}=45 $

আৰু $ \quad \quad \quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 400=10 $

গড়ৰ সাপেক্ষে গড় বিচ্যুতি গণনাৰ বাবে চুটকাট পদ্ধতি

আমি $\bar{x}$ গণনা