যেতিয়া গাণিতিক যুক্তিৰ ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি, তেতিয়া আন যিকোনো পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰাটো তেনেই এটা বৃহৎ মূৰ্খামি, যেনেকৈ হাতত চাকি থকাৰ পিছতো আন্ধাৰত হাত ফুৰাই কোনো বস্তু বিচাৰি উলিওৱা। - জন আৰ্বাথনট

১৪.১ ঘটনা

আমি ইতিমধ্যে প্ৰায়োগিক পৰীক্ষণ আৰু ইয়াৰ সৈতে জড়িত নমুনা স্থানৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছোঁ। পৰীক্ষণটোৰ সৈতে জড়িত সকলো প্ৰশ্নৰ বাবে নমুনা স্থানটোৱে এক বিশ্বজনীন সংহতি হিচাপে কাম কৰে।

এখন নাণমুদ্রা দুবাৰ টছ কৰা পৰীক্ষণটো বিবেচনা কৰা হ’ল। ইয়াৰ সৈতে জড়িত নমুনা স্থান হ’ল $S=\{HH, HT, TH, TT\}$।

এতিয়া ধৰি লোৱা হ’ল যে আমি সেই ফলাফলবোৰত মনোনিৱেশ কৰিছোঁ যিবোৰত ঠিক এটা মুৰৰ উপস্থিতি হয়। আমি দেখোঁ যে $HT$ আৰু $TH$ হৈছে $S$ ৰ একমাত্ৰ উপাদান যিবোৰে এই ঘটনাৰ (ঘটনা) উপস্থিতি সূচায়। এই দুটা উপাদানে $E=\{HT, TH\}$ সংহতিটো গঠন কৰে।

আমি জানো যে $E$ সংহতিটো নমুনা স্থান $S$ ৰ এটা উপসংহতি। একেদৰে, আমি S ৰ উপসংহতি আৰু ঘটনাবোৰৰ মাজত নিম্নলিখিত মিলবোৰ পাইছোঁ।

ওপৰৰ আলোচনাই সূচায় যে নমুনা স্থানৰ এটা উপসংহতি এটা ঘটনাৰ সৈতে জড়িত আৰু এটা ঘটনা নমুনা স্থানৰ এটা উপসংহতিৰ সৈতে জড়িত। ইয়াক মনত ৰাখি আমি এটা ঘটনাৰ সংজ্ঞা তলত দিয়া ধৰণেৰে দিওঁ।

সংজ্ঞা নমুনা স্থান $S$ ৰ যিকোনো উপসংহতি $E$ ক এটা ঘটনা বুলি কোৱা হয়।

১৪.১.১ এটা ঘটনাৰ উপস্থিতি

এটা ডাই এৰি দিয়া পৰীক্ষণটো বিবেচনা কৰা হ’ল। ধৰি লোৱা হ’ল $E$ য়ে “৪ তকৈ সৰু সংখ্যা এটা ওলায়” এই ঘটনাটো সূচায়। যদি ডাইটোত প্ৰকৃততে ‘১’ ওলাইছে তেন্তে আমি ক’ব পাৰোঁ যে ঘটনা $E$ ঘটিছে। প্ৰকৃততে যদি ফলাফলবোৰ ২ বা ৩ হয়, আমি ক’ব পাৰোঁ যে ঘটনা $E$ ঘটিছে।

সেয়েহে, নমুনা স্থান $S$ ৰ ঘটনা $E$ টো ঘটিছে বুলি কোৱা হয় যদি পৰীক্ষণটোৰ ফলাফল $\omega$ এনে হয় যে $\omega \in E$। যদি ফলাফল $\omega$ এনে হয় যে $\omega \notin E$, তেন্তে আমি ক’ব পাৰোঁ যে ঘটনা $E$ ঘটা নাই।

১৪.১.২ ঘটনাৰ প্ৰকাৰ

ঘটনাবোৰক ইহঁতৰ উপাদানৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি বিভিন্ন প্ৰকাৰত শ্ৰেণীবিভক্ত কৰিব পাৰি।

১. অসম্ভৱ আৰু নিশ্চিত ঘটনা শূন্য সংহতি $\phi$ আৰু নমুনা স্থান $S$ য়ে ঘটনাবোৰ বৰ্ণনা কৰে। প্ৰকৃততে $\phi$ ক অসম্ভৱ ঘটনা বুলি কোৱা হয় আৰু S, অৰ্থাৎ সমগ্ৰ নমুনা স্থানটোক নিশ্চিত ঘটনা বুলি কোৱা হয়।

ইয়াক বুজিবলৈ আহক আমি এটা ডাই বগোৱা পৰীক্ষণটো বিবেচনা কৰোঁ। ইয়াৰ সৈতে জড়িত নমুনা স্থান হ’ল $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

ধৰি লোৱা হ’ল $E$ হৈছে “ডাইটোত ওলোৱা সংখ্যাটো ৭ ৰ গুণিতক” এই ঘটনাটো। আপুনি ঘটনা $E$ ৰ সৈতে জড়িত উপসংহতিটো লিখিব পাৰেনে?

স্পষ্টতেই ঘটনাটোত দিয়া চৰ্তটো কোনো ফলাফলে পূৰণ নকৰে, অৰ্থাৎ নমুনা স্থানৰ কোনো উপাদানে ঘটনা $E$ ৰ উপস্থিতি নিশ্চিত নকৰে। সেয়েহে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে শূন্য সংহতিটোৱে কেৱল ঘটনা $E$ ৰ সৈতেহে মিল খায়। আন কথাত ক’ব পাৰোঁ যে ডাইটোৰ ওপৰৰ ফালে ৭ ৰ গুণিতক পোৱাটো অসম্ভৱ। সেয়েহে, ঘটনা $E=\phi$ হৈছে এটা অসম্ভৱ ঘটনা।

এতিয়া আহক আমি আন এটা ঘটনা $F$ “ওলোৱা সংখ্যাটো বিজোড় বা যুগ্ম” বিবেচনা কৰোঁ। স্পষ্টতেই $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, অৰ্থাৎ পৰীক্ষণটোৰ সকলো ফলাফলে ঘটনা $F$ ৰ উপস্থিতি নিশ্চিত কৰে। সেয়েহে, ঘটনা $F=S$ হৈছে এটা নিশ্চিত ঘটনা।

২. সৰল ঘটনা যদি এটা ঘটনা $E$ ৰ নমুনা স্থানত কেৱল এটা নমুনা বিন্দু থাকে, তেন্তে ইয়াক সৰল (বা প্ৰাথমিক) ঘটনা বুলি কোৱা হয়। $n$ ভিন্ন উপাদান থকা নমুনা স্থানত, ঠিক $n$ টা সৰল ঘটনা থাকে।

উদাহৰণস্বৰূপে, দুখন নাণমুদ্রা টছ কৰা পৰীক্ষণত, এটা নমুনা স্থান হ’ল

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

এই নমুনা স্থানৰ সৈতে মিল খোৱা চাৰিটা সৰল ঘটনা আছে। এইবোৰ হ’ল

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

৩. যৌগিক ঘটনা যদি এটা ঘটনাৰ এটাতকৈ বেছি নমুনা বিন্দু থাকে, তেন্তে ইয়াক যৌগিক ঘটনা বুলি কোৱা হয়।

উদাহৰণস্বৰূপে, “এখন নাণমুদ্রা তিনিবাৰ টছ কৰা” পৰীক্ষণত ঘটনাবোৰ

E: ‘ঠিক এটা মুৰ ওলাল’

F: ‘কমেও এটা মুৰ ওলাল’

G: ‘বেছিৰ পৰা এটা মুৰ ওলাল’ আদি।

সকলোবোৰেই যৌগিক ঘটনা। $S$ ৰ সৈতে জড়িত এই ঘটনাবোৰৰ উপসংহতিবোৰ হ’ল

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

ওপৰৰ প্ৰতিটো উপসংহতিত এটাতকৈ বেছি নমুনা বিন্দু থাকে, সেয়েহে এইবোৰ সকলোবোৰ যৌগিক ঘটনা।

১৪.১.৩ ঘটনাৰ বীজগণিত

সংহতি অধ্যায়ত, আমি দুটা বা ততোধিক সংহতিক একত্ৰিত কৰাৰ বিভিন্ন পদ্ধতি, যেনে সংযোগ, ছেদ, পাৰ্থক্য, সংহতিৰ পূৰক আদিৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ। সেইদৰে আমি দুটা বা ততোধিক ঘটনাক অনুষংগী সংহতি চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰি একত্ৰিত কৰিব পাৰোঁ।

ধৰি লোৱা হ’ল A, B, C হৈছে এটা পৰীক্ষণৰ সৈতে জড়িত ঘটনা যিৰ নমুনা স্থান হৈছে S।

১. পূৰকীয় ঘটনা প্ৰতিটো ঘটনা A ৰ বাবে, এটা আন ঘটনা $A^{\prime}$ আছে যাক $A$ ৰ পূৰকীয় ঘটনা বুলি কোৱা হয়। ইয়াক ‘$A$ নহয়’ ঘটনাটোও বুলি কোৱা হয়।

উদাহৰণস্বৰূপে, ‘তিনিখন নাণমুদ্রা টছ কৰা’ পৰীক্ষণটো লোৱা হ’ল। ইয়াৰ সৈতে জড়িত নমুনা স্থান হ’ল $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

ধৰি লোৱা হ’ল $A=\{HTH, HHT, THH\}$ হৈছে ‘ঠিক এটা নেজ ওলাল’ ঘটনাটো। স্পষ্টতেই HTT ফলাফলটোৰ বাবে, ঘটনা A ঘটা নাই। কিন্তু আমি ক’ব পাৰোঁ যে ‘A নহয়’ ঘটনাটো ঘটিছে। সেয়েহে, A ত নথকা প্ৰতিটো ফলাফলৰ বাবে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে ‘A নহয়’ ঘটিছে।

সেয়েহে ঘটনা A ৰ পূৰকীয় ঘটনা ‘A নহয়’ হ’ল

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

বা $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ and } \omega \notin A\}=S-A . $

২. ‘A বা B’ ঘটনা মনত পেলাওক যে দুটা সংহতি A আৰু B ৰ সংযোগ A $\cup$ B ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয় যিয়ে A ত বা B ত বা দুয়োটাতে থকা সকলো উপাদানক সামৰি লয়।

যেতিয়া সংহতিবোৰ $A$ আৰু $B$ এটা নমুনা স্থানৰ সৈতে জড়িত দুটা ঘটনা হয়, তেতিয়া ‘A $\cup B$’ হৈছে ‘হয় $A$ বা $B$ বা দুয়োটাই’ ঘটনাটো। এই ‘A $\cup B$’ ঘটনাটোক ‘A বা B’ বুলিও কোৱা হয়। সেয়েহে

$ \begin{aligned} \text{ ঘটনা }^{\prime} A \text{ বা } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ বা } \omega \in B\} \end{aligned} $

৩. ‘A আৰু B’ ঘটনা আমি জানো যে দুটা সংহতি $A \cap B$ ৰ ছেদ হৈছে সেই উপাদানবোৰৰ সংহতি যিবোৰ A আৰু B দুয়োটাতে সাধাৰণ, অৰ্থাৎ যিবোৰ ‘A আৰু B’ দুয়োটাতে থাকে।

যদি $A$ আৰু $B$ দুটা ঘটনা হয়, তেন্তে সংহতি $A \cap B$ য়ে ‘$A$ আৰু $B$’ ঘটনাটো সূচায়।

সেয়েহে, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

উদাহৰণস্বৰূপে, ‘এটা ডাই দুবাৰ দলিওৱা’ পৰীক্ষণত ধৰি লোৱা হ’ল $A$ হৈছে ‘প্ৰথম দলিয়াত স্কোৰ ছয়’ ঘটনাটো আৰু B হৈছে ‘দুটা স্কোৰৰ যোগফল কমেও ১১’ ঘটনাটো তেন্তে

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ আৰু } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

সেয়েহে $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

মন কৰক যে সংহতি $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ য়ে ‘প্ৰথম দলিয়াত স্কোৰ ছয় আৰু স্কোৰবোৰৰ যোগফল কমেও ১১’ ঘটনাটো সূচাব পাৰে।

৪. ‘A কিন্তু B নহয়’ ঘটনা আমি জানো যে A-B হৈছে সেই সকলো উপাদানৰ সংহতি যিবোৰ A ত আছে কিন্তু B ত নাই। সেয়েহে, সংহতি A-B য়ে ‘A কিন্তু B নহয়’ ঘটনাটো সূচাব পাৰে। আমি জানো যে $ A-B=A \cap B^{\prime} $

উদাহৰণ ১ এটা ডাই বগোৱা পৰীক্ষণটো বিবেচনা কৰা হ’ল। ধৰি লোৱা হ’ল A হৈছে ‘মৌলিক সংখ্যা পোৱা’ ঘটনাটো, B হৈছে ‘বিজোড় সংখ্যা পোৱা’ ঘটনাটো। (i) A বা B (ii) A আৰু B (iii) A কিন্তু B নহয় (iv) ‘A নহয়’ ঘটনাবোৰ সূচোৱা সংহতিবোৰ লিখা।

সমাধান ইয়াত $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ আৰু $B=\{1,3,5\}$

স্পষ্টতেই

(i) ‘A বা $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ‘$A$ আৰু $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$

(iii) ‘A কিন্তু $B$ নহয়’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ‘$A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$ নহয়’

১৪.১.৪ পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল ঘটনা

এটা ডাই বগোৱা পৰীক্ষণত, এটা নমুনা স্থান হ’ল $S=\{1,2,3,4,5,6\}$। ঘটনাবোৰ বিবেচনা কৰা হ’ল, $A$ ‘এটা বিজোড় সংখ্যা ওলায়’ আৰু $B$ ‘এটা যুগ্ম সংখ্যা ওলায়’

স্পষ্টতেই ঘটনা A য়ে ঘটনা B ক বৰ্জন কৰে আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটোও হয়। আন কথাত, এনে কোনো ফলাফল নাই যিয়ে ঘটনা A আৰু B ৰ একেলগে উপস্থিতি নিশ্চিত কৰে। ইয়াত

$A=\{1,3,5\}$ আৰু $B=\{2,4,6\}$

স্পষ্টতেই $A \cap B=\phi$, অৰ্থাৎ $A$ আৰু $B$ হৈছে অসংযুক্ত সংহতি।

সাধাৰণতে, দুটা ঘটনা $A$ আৰু $B$ ক পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল ঘটনা বুলি কোৱা হয় যদি ইহঁতৰ যিকোনো এটাৰ উপস্থিতিয়ে আনটোৰ উপস্থিতিক বৰ্জন কৰে, অৰ্থাৎ যদি ইহঁত একেলগে ঘটিব নোৱাৰে। এই ক্ষেত্ৰত সংহতি A আৰু B অসংযুক্ত।

আকৌ ডাই বগোৱা পৰীক্ষণত, ঘটনা A ‘এটা বিজোড় সংখ্যা ওলায়’ আৰু ঘটনা $B$ ‘৪ তকৈ সৰু সংখ্যা এটা ওলায়’ বিবেচনা কৰা হ’ল।

স্পষ্টতেই $A=\{1,3,5\}$ আৰু $B=\{1,2,3\}$

এতিয়া $3 \in A$ লগতে $3 \in B$

সেয়েহে, A আৰু B পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল ঘটনা নহয়।

টোকা নমুনা স্থানৰ সৰল ঘটনাবোৰ সদায় পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল।

১৪.১.৫ সম্পূৰ্ণকাৰী ঘটনা

এটা ডাই দলিওৱা পৰীক্ষণটো বিবেচনা কৰা হ’ল। আমাৰ আছে $S=\{1,2,3,4,5,6\}$। আহক আমি তলৰ ঘটনাবোৰ সংজ্ঞায়িত কৰোঁ

A: ‘৪ তকৈ সৰু সংখ্যা এটা ওলায়’,

B: ‘২ তকৈ ডাঙৰ কিন্তু ৫ তকৈ সৰু সংখ্যা এটা ওলায়’

আৰু C: ‘৪ তকৈ ডাঙৰ সংখ্যা এটা ওলায়’।

তেন্তে $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ আৰু $C=\{5,6\}$। আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

এনে ঘটনাবোৰ $A, B$ আৰু $C$ ক সম্পূৰ্ণকাৰী ঘটনা বুলি কোৱা হয়। সাধাৰণতে, যদি $E_1, E_2, \ldots, E_n$ হৈছে নমুনা স্থান $S$ ৰ $n$ টা ঘটনা আৰু যদি

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

তেন্তে $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ক সম্পূৰ্ণকাৰী ঘটনা বুলি কোৱা হয়। আন কথাত, ঘটনাবোৰ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ক সম্পূৰ্ণকাৰী বুলি কোৱা হয় যদি পৰীক্ষণটো কৰোঁতে ইহঁতৰ কমেও এটাৰ উপস্থিতি অৱশ্যম্ভাৱী হয়।

আৰু, যদি $E_i \cap E_j=\phi$ হয় $i \neq j$ ৰ বাবে, অৰ্থাৎ ঘটনাবোৰ $E_i$ আৰু $E_j$ যোৰ হিচাপে অসংযুক্ত আৰু $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$, তেন্তে ঘটনাবোৰ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ক পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল আৰু সম্পূৰ্ণকাৰী ঘটনা বুলি কোৱা হয়।

এতিয়া আমি কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ ২ দুটা ডাই দলিওৱা হৈছে আৰু ডাইবোৰত ওলোৱা সংখ্যাবোৰৰ যোগফল টোকা কৰা হৈছে। আহক আমি এই পৰীক্ষণৰ সৈতে জড়িত তলৰ ঘটনাবোৰ বিবেচনা কৰোঁ

A: ‘যোগফল যুগ্ম’।

B: ‘যোগফল ৩ ৰ গুণিতক’।

C: ‘যোগফল ৪ তকৈ সৰু’।

$D$ : ‘যোগফল ১১ তকৈ ডাঙৰ’।

এই ঘটনাবোৰৰ কোনবোৰ যোৰ পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল?

সমাধান নমুনা স্থান $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$ ত ৩৬ টা উপাদান আছে।

তেন্তে $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ and } D=\{(6,6)\} $

আমি পাইছোঁ যে

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)\} \neq \phi $

সেয়েহে, $A$ আৰু $B$ পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল ঘটনা নহয়।

একেদৰে $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ আৰু $B \cap D \neq \phi$।

সেয়েহে, ঘটনাবোৰৰ যোৰ, $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল ঘটনা নহয়।

আৰু $C \cap D=\phi$ সেয়েহে $C$ আৰু $D$ পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল ঘটনা।

উদাহৰণ ৩ $A$ খন নাণমুদ্রা তিনিবাৰ টছ কৰা হৈছে, তলৰ ঘটনাবোৰ বিবেচনা কৰা হ’ল। ওলায়’।

$\mathrm{A}$ : ‘কোনো মুৰ নোলায়’, $\mathrm{B}$ : ‘ঠিক এটা মুৰ ওলায়’ আৰু $\mathrm{C}$ : ‘কমেও দুটা মুৰ ওলায়’

ইহঁতে পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল আৰু সম্পূৰ্ণকাৰী ঘটনাৰ সংহতি এটা গঠন কৰেনে?

সমাধান পৰীক্ষণটোৰ নমুনা স্থান হ’ল

$S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

আৰু $A=\{TTT\}, B=\{HTT, THT, TTH\}, C=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

এতিয়া $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\}=\mathrm{S}$

সেয়েহে, $A, B$ আৰু $C$ সম্পূৰ্ণকাৰী ঘটনা।

আৰু, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ আৰু $B \cap C=\phi$

সেয়েহে, ঘটনাবোৰ যোৰ হিচাপে অসংযুক্ত, অৰ্থাৎ ইহঁত পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল।

গতিকে, A, B আৰু C য়ে পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল আৰু সম্পূৰ্ণকাৰী ঘটনাৰ সংহতি এটা গঠন কৰে।

১৪.২ সম্ভাৱনিতাৰ স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতি

আগৰ অংশবোৰত, আমি প্ৰায়োগিক পৰীক্ষণ, নমুনা স্থান আৰু এই পৰীক্ষণবোৰৰ সৈতে জড়িত ঘটনাবোৰ বিবেচনা কৰিছিলোঁ। আমাৰ দৈনন্দিন জীৱনত আমি ঘটনাৰ উপস্থিতিৰ সম্ভাৱনাৰ বিষয়ে বহুতো শব্দ ব্যৱহাৰ কৰোঁ। সম্ভাৱনিতা তত্ত্বই ঘটনাৰ উপস্থিতি বা অনুপস্থিতিৰ এই সম্ভাৱনাবোৰ পৰিমাণকৰণ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰে।

আগৰ শ্ৰেণীবোৰত, আমি মুঠ ফলাফলৰ সংখ্যা জনা পৰীক্ষণৰ সৈতে জড়িত এটা ঘটনালৈ সম্ভাৱনিতা নিয়োজিত কৰাৰ কিছুমান পদ্ধতি অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ।

স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতি হৈছে ঘটনা এটাৰ সম্ভাৱনিতা বৰ্ণনা কৰাৰ আন এটা উপায়। এই পদ্ধতিত সম্ভাৱনিতা নিয়োজিত কৰিবলৈ কিছুমান স্বতঃসিদ্ধ বা নিয়ম দেখুওৱা হয়।

ধৰি লোৱা হ’ল $S$ হৈছে এটা প্ৰায়োগিক পৰীক্ষণৰ নমুনা স্থান। সম্ভাৱনিতা $P$ হৈছে এটা বাস্তৱ মানযুক্ত ফলন যাৰ প্ৰদেশ হৈছে $S$ ৰ শক্তি সংহতি আৰু পৰিসৰ হৈছে অন্তৰাল $[0,1]$ যিয়ে তলৰ স্বতঃসিদ্ধবোৰ পূৰণ কৰে

$\begin{matrix} \text{ (i) For any event } E, P(E) \geq 0 & \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) যদি $E$ আৰু $F$ পাৰস্পৰিক বৰ্জনশীল ঘটনা হয়, তেন্তে $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$।

(iii) ৰ পৰা ইয়াক পোৱা যায় যে $P(\phi)=0$। ইয়াক প্ৰমাণ কৰিবলৈ, আমি $F=\phi$ লওঁ আৰু মন কৰোঁ যে $E$ আৰু $\phi$ অসংযুক্ত ঘটনা। সেয়েহে, স্বতঃসিদ্ধ (iii) ৰ পৰা, আমি পাওঁ

$ P(E \cup \phi)=P(E)+P(\phi) \text{ বা } \quad P(E)=P(E)+P(\phi) \text{ অৰ্থাৎ } P(\phi)=0 \text{. } $

ধৰি লোৱা হ’ল $S$ হৈছে ফলাফল $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ থকা নমুনা স্থান, অৰ্থাৎ,

$$ S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} $$

ইয়াক সম্ভাৱনিতাৰ স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞাৰ পৰা পোৱা যায় যে

(i) $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$ প্ৰতিটো $\omega_i \in S$ ৰ বাবে

(ii) $P(\omega_1)+P(\omega_2)+\ldots+P(\omega_n)=1$

(iii) যিকোনো ঘটনা $A, P(A)=\sum P(\omega_i), \omega_i \in A$ ৰ বাবে।

টোকা - মন কৰিব লাগিব যে একক সংহতি $\{\omega_i\}$ ক প্ৰাথমিক ঘটনা বুলি কোৱা হয় আৰু চিহ্নৰ সুবিধাৰ বাবে, আমি $P(\{\omega_i\})$ ৰ বাবে $P(\omega_i)$ লিখোঁ।

উদাহৰণস্বৰূপে, ‘এখন নাণমুদ্রা টছ কৰা’ পৰীক্ষণত আমি ফলাফলবোৰ $H$ আৰু $T$ ৰ প্ৰতিটোলৈ $\frac{1}{2}$ সংখ্যাটো নিয়োজিত কৰিব পাৰোঁ।

অৰ্থাৎ $ \quad \quad \quad \quad P(H)=\frac{1}{2} \text{ আৰু } P(T)=\frac{1}{2} $

স্পষ্টতেই এই নিয়োজন দুয়োটা চৰ্ত পূৰণ কৰে, অৰ্থাৎ প্ৰতিটো সংখ্যা শূন্যতকৈ কম নহয় বা ১ তকৈ বেছি নহয়

আৰু $ P(H)+P(T)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 $

সেয়েহে, এই ক্ষেত্ৰত আমি ক’ব পাৰোঁ যে $H=\frac{1}{2}$ ৰ সম্ভাৱনিতা, আৰু $T=\frac{1}{2}$ ৰ সম্ভাৱনিতা

যদি আমি $P(H)=\frac{1}{4}$ আৰু $P(T)=\frac{3}{4}\quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ লওঁ

এই নিয়োজনে স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিৰ চৰ্তবোৰ পূৰণ কৰেনে?

হয়, এই ক্ষেত্ৰত, $H=\frac{1}{4}$ ৰ সম্ভাৱনিতা আৰু $T=\frac{3}{4}$ ৰ সম্ভাৱনিতা।

আমি পাইছোঁ যে নিয়োজন (১) আৰু (২) দুয়োটা $H$ আৰু $T$ ৰ সম্ভাৱনিতাৰ বাবে বৈধ।

প্ৰকৃততে, আমি সংখ্যাবোৰ $p$ আৰু $(1-p)$ দুয়োটা ফলাফললৈ নিয়োজিত কৰিব পাৰোঁ যাতে $0 \leq p \leq 1$ আৰু $P(H)+P(T)=p+(1-p)=1$

এই নিয়োজনটোৱেও সম্ভাৱনিতাৰ স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিৰ দুয়োটা চৰ্ত পূৰণ কৰে। গতিকে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে পৰীক্ষণ এটাৰ ফলাফলবোৰলৈ সম্ভাৱনিতা নিয়োজিত কৰাৰ বহুতো (বৰং অসংখ্য) উপায় আছে। এতিয়া আমি কেইটামান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ ৪ ধৰি লোৱা হ’ল এটা নমুনা স্থান হ’ল $S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_6\}$। প্ৰতিটো ফলাফললৈ তলৰ সম্ভাৱনিতা নিয়োজনবোৰৰ কোনবোৰ বৈধ?

সমাধান (ক) চৰ্ত (i): প্ৰতিটো সংখ্যা $p(\omega_i)$ ধনাত্মক আৰু একতকৈ কম। চৰ্ত (ii): সম্ভাৱনিতাবোৰৰ যোগফল

$$ =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1 $$

সেয়েহে, নিয়োজনটো বৈধ

(খ) চৰ্ত (i): প্ৰতিটো সংখ্যা $p(\omega_i)$ হয় ০ বা ১।

চৰ্ত (ii) সম্ভাৱনিতাবোৰৰ যোগফল $=1+0+0+0+0+0=1$

সেয়েহে, নিয়োজনটো বৈধ

(গ) চৰ্ত (i) সম্ভাৱনিতাবোৰৰ দুটা $p(\omega_5)$ আৰু $p(\omega_6)$ ঋণাত্মক, নিয়োজনটো বৈধ নহয়

(ঘ) যিহেতু $p(\omega_6)=\frac{3}{2}>1$, নিয়োজনটো বৈধ নহয়

(ঙ) যিহেতু, সম্ভাৱনিতাবোৰৰ যোগফল $=0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2.1$, নিয়োজনটো বৈধ নহয়।

১৪.২.১ এটা ঘটনাৰ সম্ভাৱনিতা

ধৰি লোৱা হ’ল $S$ হৈছে ‘এটা যন্ত্ৰৰ দ্বাৰা উৎপাদিত তিনিটা ক্ৰমিক কলম পৰীক্ষা কৰি ভাল (অ-ত্রুটিপূৰ্ণ) আৰু বেয়া (ত্রুটিপূৰ্ণ) হিচাপে শ্ৰেণীবিভক্ত কৰা’ পৰীক্ষণটোৰ সৈতে জড়িত নমুনা স্থান। আমি এই পৰীক্ষণৰ ফলাফল হিচাপে $0,1,2$ বা ৩ টা ত্রুটিপূৰ্ণ কলম পাব পাৰোঁ।

এই পৰীক্ষণৰ সৈতে জড়িত এটা নমুনা স্থান হ’ল

$ S=\{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\} $

য’ত $B$ য়ে ত্রুটিপূৰ্ণ বা বেয়া কলম সূচায় আৰু $G$ য়ে অ-ত্রুটিপূৰ্ণ বা ভাল কলম সূচায়।

ধৰি লোৱা হ’ল ফলাফলবোৰলৈ নিয়োজিত সম্ভাৱনিতাবোৰ তলত দিয়া ধৰণৰ

$\begin{array}{lllllllll} \text{নমুনা বিন্দু:} & BBB & BBG & BGB & GBB & BGG & GBG & GGB & GGG \\ \\ \text{সম্ভাৱনিতা: } & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{array} $

ধৰি লোৱা হ’ল ঘটনা A: ঠিক এটা ত্রুটিপূৰ্ণ কলম আছে আৰু ঘটনা B: কমেও দুটা ত্রুটিপূৰ্ণ কলম আছে।

সেয়েহে $A=\{BGG, GBG, GGB\}$ আৰু $B=\{BBG, BGB, GBB, BBB\}$

এতিয়া $\quad P(A)=\sum P(\omega_i), \forall \omega_i \in A$

$ =P(BGG)+P(GBG)+P(GGB)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} $

আৰু

$\mathrm{P}(\mathrm{B})=\sum \mathrm{P}\left(\omega _{i}\right), \forall \omega _{i} \in \mathrm{B}$ $$ =\mathrm{P}(\mathrm{BBG})+\mathrm{P}(\mathrm{BGB})+\mathrm{P}(\mathrm{GBB})+\mathrm{P}(\mathrm{BBB})=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$

আহক আমি “এখন নাণমুদ্রা” দুবাৰ টছ কৰা" আন এটা পৰীক্ষণ বিবেচনা কৰোঁ

এই পৰীক্ষণৰ নমুনা স্থান হ’ল $S=\{HH, HT, TH, TT\}$

ধৰি লোৱা হ’ল ফলাফলবোৰলৈ তলৰ সম্ভাৱনিতাবোৰ নিয়োজিত কৰা হৈছে

$ P(HH)=\frac{1}{4}, P(HT)=\frac{1}{7}, P(TH)=\frac{2