গণিত হৈছে সকলো ভৌতিক গৱেষণাৰ অপৰিহাৰ্য্য সা-সৰঞ্জাম। - বাৰ্থেলট

২.১ ভূমিকা

গণিতৰ বেছিভাগেই হৈছে এটা নমুনা বিচাৰি উলিওৱা - পৰিৱৰ্তনশীল পৰিমাণবোৰৰ মাজত থকা চিনাকি সম্পৰ্ক। আমাৰ দৈনন্দিন জীৱনত, আমি বহুতো নমুনা লগ পাইছো যিবোৰে ভাই-ভনী, দেউতা-পুত্ৰ, শিক্ষক-ছাত্ৰ আদি সম্পৰ্কক চিহ্নিত কৰে। গণিততো আমি বহুতো সম্পৰ্ক লগ পাওঁ যেনে সংখ্যা $m$ সংখ্যা $n$তকৈ সৰু, ৰেখা $l$ ৰেখা $m$ৰ সমান্তৰাল, সংহতি $A$ সংহতি $B$ৰ উপসংহতি। এই সকলোবোৰত আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে এটা সম্পৰ্কত নিৰ্দিষ্ট ক্ৰমত বস্তুৰ যোৰা জড়িত হৈ থাকে। এই অধ্যায়ত, আমি দুটা সংহতিৰ পৰা বস্তুৰ যোৰা কেনেকৈ সংযোগ কৰিব লাগে শিকিম আৰু তাৰ পিছত যোৰাটোৰ দুয়োটা বস্তুৰ মাজৰ সম্পৰ্কৰ বিষয়ে আলোচনা কৰিম। শেষত, আমি বিশেষ ধৰণৰ সম্পৰ্কবোৰৰ বিষয়ে শিকিম যিবোৰ ফাংচন হ’বলৈ যোগ্য।

জি.ডব্লিউ. লাইবনিজ (১৬৪৬-১৭১৬ খ্ৰীষ্টাব্দ)

ফাংচনৰ ধাৰণাটো গণিতত অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ কাৰণ ই এটা পৰিমাণৰ সৈতে আনটো পৰিমাণৰ মাজৰ গাণিতিকভাৱে সঠিক চৰ্ত্তান্তৰ ধাৰণাক ধৰি ৰাখে।

২.২ সংহতিৰ কাৰ্টেজিয়ান গুণফল

ধৰা হওক A হৈছে ২টা ৰঙৰ সংহতি আৰু B হৈছে ৩টা বস্তুৰ সংহতি, অৰ্থাৎ,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

য’ত $b, c$ আৰু $s$-এ ক্ৰমে এটা বিশেষ বেগ, কোট আৰু চাৰ্টক সূচায়।

এই দুটা সংহতিৰ পৰা কিমানটা ৰঙীন বস্তুৰ যোৰা তৈয়াৰ কৰিব পাৰি?

অতি নিয়মীয়াকৈ আগবাঢ়ি গৈ আমি দেখিব পাৰোঁ যে তলত দিয়া ধৰণে ৬টা পৃথক যোৰা থাকিব:

(ৰঙা, $b$ ), (ৰঙা, $c$ ), (ৰঙা, $s$ ), (নীলা, $b$ ), (নীলা, $c$ ), (নীলা, $s$ )।

এইদৰে আমি ৬টা পৃথক বস্তু পাওঁ (চিত্ৰ ২.১)।

চিত্ৰ ২.১

আমি আমাৰ আগৰ শ্ৰেণীবোৰৰ পৰা সোঁৱৰণ কৰোঁ যে যিকোনো দুটা সংহতি $P$ আৰু $Q$ৰ পৰা লোৱা উপাদানবোৰৰ এটা ক্ৰমিক যোৰা হৈছে সৰু বন্ধনীত লিখা আৰু এটা নিৰ্দিষ্ট ক্ৰমত একেলগে গোট খোৱা উপাদানৰ যোৰা, অৰ্থাৎ, $(p, q), p \in P$ আৰু $q \in Q$। ইয়াক লৈ তলৰ সংজ্ঞাটো পোৱা যায়:

সংজ্ঞা ১ দুটা অশূন্য সংহতি $P$ আৰু $Q$ দিয়া আছে। কাৰ্টেজিয়ান গুণফল $P \times Q$ হৈছে $P$ আৰু $Q$ৰ পৰা লোৱা সকলো ক্ৰমিক যোৰাৰ সংহতি, অৰ্থাৎ,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

যদি $P$ বা $Q$ কোনোটো শূন্য সংহতি হয়, তেন্তে $P \times Q$-ও শূন্য সংহতি হ’ব, অৰ্থাৎ, $P \times Q=\phi$

ওপৰত দিয়া চিত্ৰণৰ পৰা আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে

$A \times B=\{(red, b),($ ৰঙা,$c),($ ৰঙা,$s),($ নীলা,$b),($ নীলা,$c),($ নীলা,$s)\}$।

আকৌ, দুটা সংহতি বিবেচনা কৰা:

$A=\{DL, MP, KA\}$, য’ত DL, MP, KA-এ ক্ৰমে দিল্লী, মধ্য প্ৰদেশ আৰু কৰ্ণাটকক সূচায় আৰু B $=\{01,02, 03 \}$-এ DL, MP আৰু KA-ৰ দ্বাৰা জাৰি কৰা বাহনৰ লাইচেন্স প্লেটৰ ক’ডবোৰক সূচায়।

যদি তিনিটা ৰাজ্য, দিল্লী, মধ্য প্ৰদেশ আৰু কৰ্ণাটকে বাহনৰ লাইচেন্স প্লেটৰ ক’ড তৈয়াৰ কৰিছিল, এই সীমাবদ্ধতাৰে যে ক’ডটো সংহতি $A$ৰ এটা উপাদানৰ পৰা আৰম্ভ হয়, তেন্তে এই সংহতিবোৰৰ পৰা কি কি যোৰা উপলব্ধ আৰু এনেকুৱা কিমানটা যোৰা থাকিব (চিত্ৰ ২.২)?

চিত্ৰ ২.২

উপলব্ধ যোৰাবোৰ হৈছে: $(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ আৰু সংহতি $A$ আৰু সংহতি $B$ৰ গুণফল $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ দ্বাৰা দিয়া হয়

ইয়াক সহজে দেখা পোৱা যায় যে কাৰ্টেজিয়ান গুণফলত এনেকুৱা ৯টা যোৰা থাকিব, কাৰণ A আৰু B সংহতি দুটাৰ প্ৰতিটোত ৩টা উপাদান আছে। ই আমাক ৯টা সম্ভাব্য ক’ড দিয়ে। ইয়াকো লক্ষ্য কৰা যে এই উপাদানবোৰ যোৰ হোৱা ক্ৰমটো গুৰুত্বপূৰ্ণ। উদাহৰণস্বৰূপে, ক’ড (DL, 01 ) ক’ড $(01, DL)$ৰ দৰে একে নহ’ব।

এটা চূড়ান্ত চিত্ৰণ হিচাপে, দুটা সংহতি $A=\{a_1, a_2\}$ আৰু $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ বিবেচনা কৰা (চিত্ৰ ২.৩)।

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

এইদৰে গঠন হোৱা ৮টা ক্ৰমিক যোৰাই সমতলত বিন্দুবোৰৰ অৱস্থানক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰে যদি A আৰু B বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতিৰ উপসংহতি হয় আৰু ই স্পষ্ট যে $(a_1, b_2)$ অৱস্থানৰ বিন্দুটো $(b_2, a_1)$ অৱস্থানৰ বিন্দুটোৰ পৰা পৃথক হ’ব।

চিত্ৰ ২.৩

মন্তব্য

(i) দুটা ক্ৰমিক যোৰা সমান হ’ব যদি আৰু কেৱল যদি সংগতিপ্ৰথম উপাদানবোৰ সমান হয় আৰু দ্বিতীয় উপাদানবোৰো সমান হয়।

(ii) যদি $p$ উপাদান $A$ত থাকে আৰু $q$ উপাদান $B$ত থাকে, তেন্তে $p q$ উপাদান $A \times B$ত থাকিব, অৰ্থাৎ, যদি $n(A)=p$ আৰু $n(B)=q$, তেন্তে $n(A \times B)=p q$।

(iii) যদি $A$ আৰু $B$ অশূন্য সংহতি হয় আৰু হয় $A$ বা $B$ অসীম সংহতি হয়, তেন্তে $A \times B$-ও তেনেকুৱা হ’ব।

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$। ইয়াত $(a, b, c)$-ক ক্ৰমিক ত্ৰয়ী বোলা হয়।

উদাহৰণ ১ যদি $(x+1, y-2)=(3,1)$, $x$ আৰু $y$ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান ক্ৰমিক যোৰাবোৰ সমান হোৱা হেতুকে, সংগতিপ্ৰ উপাদানবোৰ সমান।

সেয়েহে

$ x+1=3 \text { and } y-2=1 \text {. } $

সমাধান কৰি আমি $\quad x=2$ আৰু $y=3$ পাওঁ।

উদাহৰণ ২ যদি $P=\{a, b, c\}$ আৰু $Q=\{r\}$, সংহতি $P \times Q$ আৰু $Q \times P$ গঠন কৰা।

এই দুটা গুণফল সমানে নে?

সমাধান কাৰ্টেজিয়ান গুণফলৰ সংজ্ঞা অনুসৰি,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

ক্ৰমিক যোৰাৰ সমতাৰ সংজ্ঞা অনুসৰি, যোৰা $(a, r)$ যোৰা $(r, a)$ৰ সমান নহয়, গতিকে আমি সিদ্ধান্ত লওঁ যে $P \times Q \neq Q \times P$।

অৱশ্যে, প্ৰতিটো সংহতিত থকা উপাদানৰ সংখ্যা একে হ’ব।

উদাহৰণ ৩ ধৰা হওক $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ আৰু $C=\{4,5,6\}$। নিৰ্ণয় কৰা

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

সমাধান (i) দুটা সংহতিৰ ছেদৰ সংজ্ঞা অনুসৰি, $(B \cap C)=\{4\}$।

সেয়েহে, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$।

(ii) এতিয়া $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ আৰু $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

সেয়েহে, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$।

(iii) যিহেতু, $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

আমাৰ আছে $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$।

(iv) অংশ (ii) ৰ পৰা সংহতি $A \times B$ আৰু $A \times C$ ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$।

উদাহৰণ ৪ যদি $P=\{1,2\}$, সংহতি $P \times P \times P$ গঠন কৰা।

সমাধান আমাৰ আছে, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $।

উদাহৰণ ৫ যদি $\mathbf{R}$ সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি হয়, কাৰ্টেজিয়ান গুণফল $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ আৰু $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$-এ কি প্ৰতিনিধিত্ব কৰে?

সমাধান কাৰ্টেজিয়ান গুণফল $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$-এ সংহতি $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে যিয়ে দ্বি-মাত্ৰিক স্থানৰ সকলো বিন্দুৰ স্থানাংক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে আৰু কাৰ্টেজিয়ান গুণফল $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$-এ সংহতি $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে যিয়ে ত্ৰি-মাত্ৰিক স্থানৰ সকলো বিন্দুৰ স্থানাংক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

উদাহৰণ ৬ যদি $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$, $A$ আৰু $B$ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

২.১ সম্পৰ্ক

দুটা সংহতি $P=\{a, b, c\}$ আৰু $Q=\{$ আলী, ভানু, বিনয়, চন্দ্ৰা, দিব্যা $\}$ বিবেচনা কৰা।

$P$ আৰু $Q$ৰ কাৰ্টেজিয়ান গুণফলত ১৫টা ক্ৰমিক যোৰা আছে যিবোৰ $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, ভানু), (a, বিনয়), …, (c, দিব্যা) $\}$ হিচাপে তালিকাভুক্ত কৰিব পাৰি।

চিত্ৰ ২.৪

আমি এতিয়া $P \times Q$ৰ এটা উপসংহতি পাব পাৰোঁ প্ৰতিটো ক্ৰমিক যোৰা $(x, y)$ৰ প্ৰথম উপাদান $x$ আৰু দ্বিতীয় উপাদান $y$ৰ মাজত এটা সম্পৰ্ক $R$ প্ৰৱৰ্তন কৰি

$R=\{(x, y): x$ নাম $y, x \in P, y \in Q\}$ৰ প্ৰথম আখৰ।

তেতিয়া $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, চন্দ্ৰা $)\}$

এই সম্পৰ্ক $R$ৰ এটা দৃশ্য প্ৰতিনিধিত্ব (এৰো চিত্ৰ বুলি কোৱা হয়) চিত্ৰ ২.৪ত দেখুওৱা হৈছে।

সংজ্ঞা ২ এটা অশূন্য সংহতি $A$ৰ পৰা আন এটা অশূন্য সংহতি $B$লৈ এটা সম্পৰ্ক $R$ হৈছে কাৰ্টেজিয়ান গুণফল $A \times B$ৰ এটা উপসংহতি। উপসংহতিটো $A \times B$ত থকা ক্ৰমিক যোৰাবোৰৰ প্ৰথম উপাদান আৰু দ্বিতীয় উপাদানৰ মাজৰ সম্পৰ্ক বৰ্ণনা কৰি পোৱা হয়। দ্বিতীয় উপাদানটোক প্ৰথম উপাদানটোৰ প্ৰতিবিম্ব বোলা হয়।

সংজ্ঞা ৩ এটা সংহতি Aৰ পৰা সংহতি $B$লৈ এটা সম্পৰ্ক $R$ত থকা ক্ৰমিক যোৰাবোৰৰ সকলো প্ৰথম উপাদানৰ সংহতিক সম্পৰ্ক $R$ৰ প্ৰদেশ বোলা হয়।

সংজ্ঞা ৪ সংহতি $A$ৰ পৰা সংহতি $B$লৈ এটা সম্পৰ্ক $R$ত থকা সকলো দ্বিতীয় উপাদানৰ সংহতিক সম্পৰ্ক $R$ৰ পৰিসৰ বোলা হয়। সমগ্ৰ সংহতি $B$ক সম্পৰ্ক $R$ৰ সহপ্ৰদেশ বোলা হয়। লক্ষ্য কৰা যে পৰিসৰ $\subset$ সহপ্ৰদেশ।

মন্তব্য (i) এটা সম্পৰ্কক বীজগণিতীয়ভাৱে হয় ৰোষ্টাৰ পদ্ধতিৰে বা সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী পদ্ধতিৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি।

(ii) এৰো চিত্ৰ হৈছে সম্পৰ্কৰ এটা দৃশ্য প্ৰতিনিধিত্ব।

উদাহৰণ ৭ ধৰা হওক $A=\{1,2,3,4,5,6\}$। এটা সম্পৰ্ক $R$ সংজ্ঞায়িত কৰা $A$ৰ পৰা $A$লৈ $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) এৰো চিত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি এই সম্পৰ্কটো চিত্ৰিত কৰা।

(ii) $R$ৰ প্ৰদেশ, সহপ্ৰদেশ আৰু পৰিসৰ লিখা।

সমাধান (i) সম্পৰ্কৰ সংজ্ঞা অনুসৰি,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$।

সংগতিপ্ৰ এৰো চিত্ৰ চিত্ৰ ২.৫ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ২.৫

(ii) আমি দেখিব পাৰোঁ যে প্ৰদেশ $=\{1,2,3,4,5\}$

একেদৰে, পৰিসৰ $=\{2,3,4,5,6\}$ আৰু সহপ্ৰদেশ $=\{1,2,3,4,5,6\}$।

উদাহৰণ ৮ চিত্ৰ ২.৬-এ সংহতি $P$ আৰু $Q$ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক এটা দেখুৱাইছে। এই সম্পৰ্কটো (i) সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী ৰূপত, (ii) ৰোষ্টাৰ ৰূপত লিখা। ইয়াৰ প্ৰদেশ আৰু পৰিসৰ কি?

চিত্ৰ ২.৬

সমাধান ই স্পষ্ট যে সম্পৰ্ক $R$ হৈছে “$x$ হৈছে $y$ৰ বৰ্গ”।

(i) সংহতি-নিৰ্মাণকাৰী ৰূপত, $R=\{(x, y): x$ হৈছে $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$ৰ বৰ্গ

(ii) ৰোষ্টাৰ ৰূপত, $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

এই সম্পৰ্কৰ প্ৰদেশ হৈছে $\{4,9,25\}$।

এই সম্পৰ্কৰ পৰিসৰ হৈছে $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$।

লক্ষ্য কৰা যে উপাদান 1 সংহতি $P$ৰ কোনো উপাদানৰ সৈতে সম্পৰ্কিত নহয়। সংহতি $Q$ হৈছে এই সম্পৰ্কৰ সহপ্ৰদেশ।

টোকা - সংহতি $A$ৰ পৰা সংহতি $B$লৈ সংজ্ঞায়িত কৰিব পৰা মুঠ সম্পৰ্কৰ সংখ্যা হৈছে $A \times B$ৰ সম্ভাব্য উপসংহতিৰ সংখ্যা। যদি $n(A)=p$ আৰু $n(B)=q$, তেন্তে $n(A \times B)=p q$ আৰু মুঠ সম্পৰ্কৰ সংখ্যা হৈছে $2^{p q}$।

উদাহৰণ ৯ ধৰা হওক $A=\{1,2\}$ আৰু $B=\{3,4\}$। Aৰ পৰা Bলৈ সম্পৰ্কৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান আমাৰ আছে,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

যিহেতু $n(A \times B)=4$, $A \times B$ৰ উপসংহতিৰ সংখ্যা হৈছে $2^{4}$। সেয়েহে, $A$ৰ পৰা $B$লৈ সম্পৰ্কৰ সংখ্যা হ’ব $2^{4}$।

মন্তব্য $A$ৰ পৰা $A$লৈ এটা সম্পৰ্ক $R$ক $A$ৰ ওপৰত এটা সম্পৰ্ক বুলিও কোৱা হয়।

২.৪ ফাংচন

এই অংশত, আমি সম্পৰ্কৰ এক বিশেষ প্ৰকাৰ ফাংচন অধ্যয়ন কৰিম। ই গণিতৰ আটাইতকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণাবোৰৰ ভিতৰত এটা। আমি এটা ফাংচনক এটা নিয়ম হিচাপে কল্পনা কৰিব পাৰোঁ, যিয়ে কিছুমান দিয়া উপাদানৰ পৰা নতুন উপাদান উৎপন্ন কৰে। ফাংচনক সূচাবলৈ ‘মেপ’ বা ‘মেপিং’ আদি বহুতো শব্দ ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

সংজ্ঞা ৫ সংহতি $A$ৰ পৰা সংহতি $B$লৈ এটা সম্পৰ্ক $f$ক ফাংচন বুলি কোৱা হয় যদি সংহতি $A$ৰ প্ৰতিটো উপাদানৰ সংহতি $B$ত এটা আৰু কেৱল এটাকৈ প্ৰতিবিম্ব থাকে।

অন্য কথাত, এটা ফাংচন $f$ হৈছে এটা অশূন্য সংহতি $A$ৰ পৰা আন এটা অশূন্য সংহতি $B$লৈ এনে এটা সম্পৰ্ক যাতে $f$ৰ প্ৰদেশ হৈছে $A$ আৰু $f$ত থকা দুটা পৃথক ক্ৰমিক যোৰাৰ একে প্ৰথম উপাদান নাথাকে।

যদি $f$ Aৰ পৰা Bলৈ এটা ফাংচন হয় আৰু $(a, b) \in f$, তেন্তে $f(a)=b$, য’ত $b$-ক $a$ৰ $f$ৰ অধীনত প্ৰতিবিম্ব বোলা হয় আৰু $a$-ক $b$ৰ $f$ৰ অধীনত পূৰ্বপ্ৰতিবিম্ব বোলা হয়।

$A$ৰ পৰা $B$লৈ ফাংচন $f$ক $f: A \rightarrow B$ দ্বাৰা সূচোৱা হয়।

আগৰ উদাহৰণবোৰলৈ চালে আমি সহজে দেখিব পাৰোঁ যে

উদাহৰণ ৭ৰ সম্পৰ্কটো ফাংচন নহয় কাৰণ উপাদান 6ৰ কোনো প্ৰতিবিম্ব নাই।

আকৌ,

উদাহৰণ ৮ৰ সম্পৰ্কটো ফাংচন নহয় কাৰণ প্ৰদেশৰ উপাদানবোৰ একাধিক প্ৰতিবিম্বৰ সৈতে সংযুক্ত। একেদৰে,

উদাহৰণ ৯ৰ সম্পৰ্কটোও ফাংচন নহয়। (কিয়?) তলত দিয়া উদাহৰণবোৰত, আমি আৰু বহুতো সম্পৰ্ক দেখিম যিবোৰৰ কিছুমান ফাংচন আৰু বাকীবোৰ নহয়।

উদাহৰণ ১০ ধৰা হওক $\mathbf{N}$ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি আৰু সম্পৰ্ক $R$ক $N$ৰ ওপৰত সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে যাতে $R=\{(x, y): y=2 x, x, y \in \mathbf{N}\}$।

$R$ৰ প্ৰদেশ, সহপ্ৰদেশ আৰু পৰিসৰ কি? এই সম্পৰ্কটো ফাংচনে নে?

সমাধান $R$ৰ প্ৰদেশ হৈছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি $\mathbf{N}$। সহপ্ৰদেশো $\mathbf{N}$। পৰিসৰ হৈছে যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি।

যিহেতু প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যা $n$ৰ এটা আৰু কেৱল এটাকৈ প্ৰতিবিম্ব আছে, গতিকে এই সম্পৰ্কটো এটা ফাংচন।

উদাহৰণ ১১ তলত দিয়া প্ৰতিটো সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰা আৰু প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত কাৰণ দৰ্শাই ই ফাংচন নে নহয় উল্লেখ কৰা?

(i) $R=\{(2,1),(3,1),(4,2)\}$,

(ii) $R=\{(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)\}$

(iii) $R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)\}$

সমাধান (i) যিহেতু 2, 3, 4 হৈছে Rৰ প্ৰদেশৰ উপাদান যিবোৰৰ নিজা অনন্য প্ৰতিবিম্ব আছে, গতিকে এই সম্পৰ্ক $R$ এটা ফাংচন।

(ii) যিহেতু একে প্ৰথম উপাদান 2 দুটা ভিন্ন প্ৰতিবিম্ব 2 আৰু 4ৰ সৈতে সংগতিপ্ৰ, গতিকে এই সম্পৰ্কটো ফাংচন নহয়।

(iii) যিহেতু প্ৰতিটো উপাদানৰ এটা আৰু কেৱল এটাকৈ প্ৰতিবিম্ব আছে, গতিকে এই সম্পৰ্কটো ফাংচন।

সংজ্ঞা ৬ এটা ফাংচন যাৰ পৰিসৰ হয় $R$ বা ইয়াৰ এটা উপসংহতি তাক বাস্তৱ মানযুক্ত ফাংচন বোলা হয়। আৰু যদি ইয়াৰ প্ৰদেশও হয় $R$ বা $R$ৰ এটা উপসংহতি, তাক বাস্তৱ ফাংচন বোলা হয়।

উদাহৰণ ১২ ধৰা হওক $\mathbf{N}$ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি। এটা বাস্তৱ মানযুক্ত ফাংচন

$f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে $f(x)=2 x+1$ দ্বাৰা। এই সংজ্ঞা ব্যৱহাৰ কৰি, তলত দিয়া তালিকাখন পূৰ্ণ কৰা।

সমাধান পূৰ্ণ কৰা তালিকাখন তলত দিয়া ধৰণৰ:

২.৪.১ কিছুমান ফাংচন আৰু সেইবোৰৰ লেখ

(i) অভেদ ফাংচন ধৰা হওক $\mathbf{R}$ বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি। বাস্তৱ মানযুক্ত ফাংচন $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে $y=f(x)=x$ দ্বাৰা প্ৰতিটো $x \in \mathbf{R}$ৰ বাবে। এনে ফাংচনক অভেদ ফাংচন বোলা হয়। ইয়াত $f$ৰ প্ৰদেশ আৰু পৰিসৰ $\mathbf{R}$। লেখডাল এডাল সৰল ৰেখা যেনে চিত্ৰ ২.৮ত দেখুওৱা হৈছে। ই মূলবিন্দুৰ মাজেৰে পাৰ হয়।

চিত্ৰ ২.৮

(ii) ধ্ৰুৱক ফাংচন ফাংচন $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে $y=f(x)=c, x \in \mathbf{R}$ দ্বাৰা য’ত $c$ এটা ধ্ৰুৱক আৰু প্ৰতিটো $x \in \mathbf{R}$। ইয়াত $f$ৰ প্ৰদেশ হৈছে $\mathbf{R}$ আৰু ইয়াৰ পৰিসৰ হৈছে $\{c\}$।

চিত্ৰ ২.৯

লেখডাল $x$-অক্ষৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখা। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি $f(x)=3$ প্ৰতিটো $x \in \mathbf{R}$ৰ বাবে, তেন্তে ইয়াৰ লেখ চিত্ৰ ২.৯ত দেখুওৱাৰ দৰে এডাল ৰেখা হ’ব।

(iii) বহুপদ ফাংচন এটা ফাংচন $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ক বহুপদ ফাংচন বুলি কোৱা হয় যদি প্ৰতিটো $x$ৰ বাবে $\mathbf{R}, y=f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$ত, য’ত $n$ এটা অঋণাত্মক পূৰ্ণাংক আৰু $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n} \in \mathbf{R}$।

$f(x)=x^{3}-x^{2}+2$, আৰু $g(x)=x^{4}+\sqrt{2} x$ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত ফাংচনবোৰ হৈছে বহুপদ ফাংচনৰ কিছুমান উদাহৰণ, আনহাতে $h$ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত ফাংচন $h(x)=x^{\frac{2}{3}}+2 x$ এটা বহুপদ ফাংচন নহয়।(কিয়?)

উদাহৰণ ১৩ ফাংচন $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে $y=f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ দ্বাৰা। এই সংজ্ঞা ব্যৱহাৰ কৰি তলত দিয়া তালিকাখন পূৰ্ণ কৰা। এই ফাংচনটোৰ প্ৰদেশ আৰু পৰিসৰ কি? $f$ৰ লেখ অংকন কৰা।

সমাধান পূৰ্ণ কৰা তালিকাখন তলত দিয়া ধৰণৰ:

$f=\{x: x \in \mathbf{R}\}$ৰ প্ৰদেশ। $f=\{x^{2}: x \in \mathbf{R}\}$ৰ পৰিসৰ। $f$ৰ লেখ চিত্ৰ ২.১০ত দিয়া হৈছে

চিত্ৰ ২.১০

উদাহৰণ ১৪ ফাংচন $\boldsymbol{f}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ৰ লেখ অংকন কৰা যাক $f(x)=x^{3}, x \in \mathbf{R}$ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে।

সমাধান আমাৰ আছে

$f(0)=0, f(1)=1, f(-1)=-1, f(2)=8, f(-2)=-8, f(3)=27 ; f(-3)=-27$, ইত্যাদি।

সেয়েহে, $f=\{(x, x^{3}): x \in \mathbf{R}\}$।

$f$ৰ লেখ চিত্ৰ ২.১১ত দিয়া হৈছে।

চিত্ৰ ২.১১

(iv) পৰিমেয় ফাংচন হৈছে $\frac{f(x)}{g(x)}$ ধৰণৰ ফাংচন, য’ত $f(x)$ আৰু $g(x)$ হৈছে $x$ৰ বহুপদ ফাংচন যিবোৰ এটা প্ৰদেশত সংজ্ঞায়িত, য’ত $g(x) \neq 0$।

উদাহৰণ ১৫ বাস্তৱ মানযুক্ত ফাংচন $f: \mathbf{R}-\{0\} \rightarrow \mathbf{R}$ সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে $f(x)=\frac{1}{x}$, $x \in \mathbf{R}-\{0\}$ দ্বাৰা। এই সংজ্ঞা ব্যৱহাৰ কৰি তলত দিয়া তালিকাখন পূৰ্ণ কৰা। এই ফাংচনটোৰ প্ৰদেশ আৰু পৰিসৰ কি?

সমাধান পূৰ্ণ কৰা তালিকাখন তলত দিয়া ধৰণৰ:

প্ৰদেশ হৈছে 0 বাদে সকলো বাস্তৱ সংখ্যা আৰু ইয়াৰ পৰিসৰো 0 বাদে সকলো বাস্তৱ সংখ্যা। $f$ৰ লেখ চিত্ৰ ২.১২ত দিয়া হৈছে।

চিত্ৰ ২.১২

(v) মডুলাছ ফাংচন ফাংচন $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ক সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে $f(x)=|x|$ দ্বাৰা প্ৰতিটো $x \in \mathbf{R}$ৰ বাবে তাক মডুলাছ ফাংচন বোলা হয়। $x, f(x)$ৰ প্ৰতিটো অঋণাত্মক মানৰ বাবে $x$ৰ সম