এজন গণিতজ্ঞে এটা সমস্যা কেনেকৈ সমাধান কৰিব লাগে জানে, তেওঁ সেইটো সমাধান কৰিব নোৱাৰে। - মিলন

৩.১ ভূমিকা

‘ত্ৰিকোণমিতি’ শব্দটো গ্ৰীক শব্দ ‘ট্ৰাইগন’ আৰু ‘মেট্ৰন’ৰ পৰা আহৰণ কৰা হৈছে আৰু ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে ‘ত্ৰিভুজৰ বাহুবোৰ জোখা’। প্ৰকৃততে ত্ৰিভুজৰ সৈতে জড়িত জ্যামিতিক সমস্যাসমূহ সমাধান কৰিবলৈ এই বিষয়টো বিকশিত হৈছিল। নেভিগেছনৰ বাবে ইয়াক সমুদ্ৰৰ কেপ্টেইনসকলে, নতুন ভূমি মেপ কৰিবলৈ চাৰ্ভেয়াৰসকলে, ইঞ্জিনিয়াৰ আৰু অন্যান্যসকলে অধ্যয়ন কৰিছিল। বৰ্তমান, ত্ৰিকোণমিতি বহু ক্ষেত্ৰত ব্যৱহাৰ কৰা হয় যেনে ভূকম্পন বিজ্ঞান, বৈদ্যুতিক বৰ্তনীৰ নক্সা কৰা, এটা পৰমাণুৰ অৱস্থা বৰ্ণনা কৰা, সাগৰত জোৱাৰ-ভাটাৰ উচ্চতা ভৱিষ্যৎবাণী কৰা, এটা সংগীতৰ স্বৰ বিশ্লেষণ কৰা আৰু অন্যান্য বহু ক্ষেত্ৰত।

আৰ্য ভট্ট (৪৭৬-৫৫০ খ্ৰীষ্টপূৰ্ব)

পূৰ্বৰ শ্ৰেণীত, আমি সূক্ষ্ম কোণৰ ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ অনুপাত হিচাপে অধ্যয়ন কৰিছোঁ। আমি ত্ৰিকোণমিতিক অভেদসমূহ আৰু উচ্চতা আৰু দূৰত্বৰ সৈতে জড়িত সমস্যাসমূহ সমাধান কৰাত ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ প্ৰয়োগও অধ্যয়ন কৰিছোঁ। এই অধ্যায়ত, আমি ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ ধাৰণাটো ত্ৰিকোণমিতিক ফলনলৈ সাধাৰণীকৰণ কৰিম আৰু ইহঁতৰ ধৰ্মসমূহ অধ্যয়ন কৰিম।

৩.২ কোণ

চিত্ৰ ৩.১

কোণ হৈছে দিয়াৰশ্মি এটাৰ প্ৰাৰম্ভিক বিন্দুৰ চাৰিওফালে ঘূৰণৰ জোখ। মূল ৰশ্মিটোক প্ৰাৰম্ভিক বাহু বোলে আৰু ঘূৰণৰ পিছত ৰশ্মিটোৰ অন্তিম অৱস্থানটোক কোণটোৰ অন্তিম বাহু বোলে। ঘূৰণৰ বিন্দুটোক শীৰ্ষবিন্দু বোলে। যদি ঘূৰণৰ দিশ ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীত দিশত হয়, তেন্তে কোণটোক ধনাত্মক বুলি কোৱা হয় আৰু যদি ঘূৰণৰ দিশ ঘড়ীৰ কাঁটাৰ দিশত হয়, তেন্তে কোণটো ঋণাত্মক হয় (চিত্ৰ ৩.১)।

এটা কোণৰ জোখ হৈছে প্ৰাৰম্ভিক বাহুৰ পৰা অন্তিম বাহু পাবলৈ কৰা ঘূৰণৰ পৰিমাণ। কোণ জোখাৰ বাবে কেইবাটাও একক আছে। এটা কোণৰ সংজ্ঞা

চিত্ৰ ৩.২

চিত্ৰ ৩.২-এ এটা এককৰ ইংগিত দিয়ে, অৰ্থাৎ চিত্ৰ ৩.২-ত দেখুওৱাৰ দৰে প্ৰাৰম্ভিক বাহুৰ অৱস্থানৰ পৰা এটা সম্পূৰ্ণ ঘূৰণ।

ডাঙৰ কোণৰ বাবে ইয়াক প্ৰায়ে সুবিধাজনক। উদাহৰণস্বৰূপে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে দ্ৰুতগতিত ঘূৰি থকা চকৰী এটাই প্ৰতি ছেকেণ্ডত ১৫ ঘূৰণৰ কোণ এটা সৃষ্টি কৰিছে। আমি কোণ জোখাৰ আন দুটা এককৰ বিষয়ে বৰ্ণনা কৰিম যিবোৰ আটাইতকৈ বেছি ব্যৱহৃত, অৰ্থাৎ ডিগ্ৰী জোখ আৰু ৰেডিয়ান জোখ।

৩.২.১ ডিগ্ৰী জোখ

যদি প্ৰাৰম্ভিক বাহুৰ পৰা অন্তিম বাহুলৈ ঘূৰণ এটা সম্পূৰ্ণ ঘূৰণৰ $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ হয়, তেন্তে কোণটোৰ জোখ এক ডিগ্ৰী বুলি কোৱা হয়, $1^{\circ}$ হিচাপে লিখা হয়। এটা ডিগ্ৰীক ৬০ মিনিটত ভাগ কৰা হয়, আৰু এটা মিনিটক ৬০ ছেকেণ্ডত ভাগ কৰা হয়। এটা ডিগ্ৰীৰ ষাঠি ভাগৰ এভাগক মিনিট বোলে, $1^{\prime}$ হিচাপে লিখা হয়, আৰু এটা মিনিটৰ ষাঠি ভাগৰ এভাগক ছেকেণ্ড বোলে, $1^{\prime \prime}$ হিচাপে লিখা হয়। এতেকে, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

$360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ জোখৰ কিছুমান কোণ চিত্ৰ ৩.৩-ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ৩.৩

৩.২.২ ৰেডিয়ান জোখ

কোণ জোখাৰ বাবে আন এটা একক আছে, যাক ৰেডিয়ান জোখ বোলে। একক বৃত্তত (১ একক ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত) ১ একক দৈৰ্ঘ্যৰ চাপে কেন্দ্ৰত সৃষ্টি কৰা কোণটোৰ জোখ ১ ৰেডিয়ান বুলি কোৱা হয়। চিত্ৰ ৩.৪(i) ৰ পৰা (iv) লৈ, $OA$ হৈছে প্ৰাৰম্ভিক বাহু আৰু $OB$ হৈছে অন্তিম বাহু। চিত্ৰসমূহে সেই কোণবোৰ দেখুৱাইছে যিবোৰৰ জোখ ১ ৰেডিয়ান, -১ ৰেডিয়ান, $1 \frac{1}{2}$ ৰেডিয়ান আৰু $-1 \frac{1}{2}$ ৰেডিয়ান।

চিত্ৰ ৩.৪ (i) - (iv)

আমি জানো যে ১ একক ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত এটাৰ পৰিধি $2 \pi$। এতেকে, প্ৰাৰম্ভিক বাহুৰ এটা সম্পূৰ্ণ ঘূৰণে $2 \pi$ ৰেডিয়ানৰ কোণ এটা সৃষ্টি কৰে।

আৰু সাধাৰণভাৱে, $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত এটাত, $r$ দৈৰ্ঘ্যৰ চাপ এটাই ১ ৰেডিয়ানৰ কোণ এটা সৃষ্টি কৰিব। ই সুপৰিচিত যে বৃত্তৰ সমান চাপবোৰে কেন্দ্ৰত সমান কোণ সৃষ্টি কৰে। যিহেতু $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত এটাত, $r$ দৈৰ্ঘ্যৰ চাপ এটাই ১ ৰেডিয়ান জোখৰ কোণ এটা সৃষ্টি কৰে, $l$ দৈৰ্ঘ্যৰ চাপ এটাই $\frac{l}{r}$ ৰেডিয়ান জোখৰ কোণ এটা সৃষ্টি কৰিব। এতেকে, যদি $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত এটাত, $l$ দৈৰ্ঘ্যৰ চাপ এটাই কেন্দ্ৰত $\theta$ ৰেডিয়ানৰ কোণ এটা সৃষ্টি কৰে, তেন্তে আমি $\theta=\frac{l}{r}$ বা $l=r \theta$ পাওঁ।

৩.২.৩ ৰেডিয়ান আৰু বাস্তৱ সংখ্যাৰ মাজৰ সম্পৰ্ক

কেন্দ্ৰ $O$ থকা একক বৃত্তটো বিবেচনা কৰা। $A$ ক বৃত্তটোৰ যিকোনো বিন্দু হ’বলৈ দিয়া। কোণ এটাৰ প্ৰাৰম্ভিক বাহু হিচাপে OA বিবেচনা কৰা। তেন্তে বৃত্তটোৰ চাপ এটাৰ দৈৰ্ঘ্যই বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰত চাপটোৱে সৃষ্টি কৰা কোণটোৰ ৰেডিয়ান জোখ দিব। A ত বৃত্তটোৰ স্পৰ্শক হিচাপে থকা ৰেখা PAQ বিবেচনা কৰা। A বিন্দুটোৱে বাস্তৱ সংখ্যা শূন্যক প্ৰতিনিধিত্ব কৰক, AP-এ ধনাত্মক বাস্তৱ সংখ্যাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰক আৰু AQ-এ ঋণাত্মক বাস্তৱ সংখ্যাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰক (চিত্ৰ ৩.৫)। যদি আমি $AP$ ৰেখাটো বৃত্তটোৰ বাবে ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীত দিশত, আৰু $AQ$ ক ঘড়ীৰ কাঁটাৰ দিশত মেৰিয়াই লওঁ, তেন্তে প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যা এটা ৰেডিয়ান জোখৰ সৈতে মিল খাব আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটোও হ’ব। এতেকে, ৰেডিয়ান জোখ আৰু বাস্তৱ সংখ্যাক একে বুলি বিবেচনা কৰিব পাৰি।

চিত্ৰ ৩.৫

৩.২.৪ ডিগ্ৰী আৰু ৰেডিয়ানৰ মাজৰ সম্পৰ্ক যিহেতু বৃত্ত এটাই কেন্দ্ৰত

এনে কোণ এটা সৃষ্টি কৰে যাৰ ৰেডিয়ান জোখ $2 \pi$ আৰু ইয়াৰ ডিগ্ৰী জোখ $360^{\circ}$, ইয়াৰ পৰা ইয়াক অনুসৰণ কৰে যে$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

ওপৰৰ সম্পৰ্কটোৱে আমাক ৰেডিয়ান জোখক ডিগ্ৰী জোখৰ ৰূপত আৰু ডিগ্ৰী জোখক ৰেডিয়ান জোখৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিবলৈ সক্ষম কৰায়। $\pi$ ৰ প্ৰায়মান $\frac{22}{7}$ হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাইছোঁ

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

আৰু $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ ৰেডিয়ান $=0.01746$ ৰেডিয়ান প্ৰায়মান।

কিছু সাধাৰণ কোণৰ ডিগ্ৰী জোখ আৰু ৰেডিয়ান জোখৰ মাজৰ সম্পৰ্ক তলৰ তালিকাত দিয়া হৈছে:

লিখন প্ৰথা

যিহেতু কোণবোৰ ডিগ্ৰীত বা ৰেডিয়ানত জোখা হয়, আমি এনে প্ৰথা গ্ৰহণ কৰোঁ যে যেতিয়াই আমি কোণ $\theta^{\circ}$ লিখো, আমি সেই কোণটো বুজো যাৰ ডিগ্ৰী জোখ $\theta$ আৰু যেতিয়াই আমি কোণ $\beta$ লিখো, আমি সেই কোণটো বুজো যাৰ ৰেডিয়ান জোখ $\beta$।

মনত ৰাখিবা যে যেতিয়া এটা কোণ ৰেডিয়ানত প্ৰকাশ কৰা হয়, ‘ৰেডিয়ান’ শব্দটো প্ৰায়ে বাদ দিয়া হয়। এতেকে, $\pi=180^{\circ}$ আৰু $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ লিখা হয় এই বুজাৰ সৈতে যে $\pi$ আৰু $\frac{\pi}{4}$ ৰেডিয়ান জোখ। এতেকে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

উদাহৰণ 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ ক ৰেডিয়ান জোখলৈ ৰূপান্তৰিত কৰা।

সমাধান আমি জানো যে $180^{\circ}=\pi$ ৰেডিয়ান।

এতেকে $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ ডিগ্ৰী $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ ৰেডিয়ান $=\frac{121 \pi}{540}$ ৰেডিয়ান।

সেয়েহে

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

উদাহৰণ 2 ৬ ৰেডিয়ানক ডিগ্ৰী জোখলৈ ৰূপান্তৰিত কৰা।

সমাধান আমি জানো যে $\pi$ ৰেডিয়ান $=180^{\circ}$।

এতেকে

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

এতেকে $\quad 6$ ৰেডিয়ান $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ প্ৰায়মান।

উদাহৰণ 3 বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ উলিওৱা য’ত $60^{\circ}$ ৰ কেন্দ্ৰীয় কোণ এটাই $37.4 cm$ দৈৰ্ঘ্যৰ চাপ এটা কাটি লয় ($\pi=\frac{22}{7}$ ব্যৱহাৰ কৰা)।

সমাধান ইয়াত $l=37.4 cm$ আৰু $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ ৰেডিয়ান $=\frac{\pi}{3}$

এতেকে, $\quad$ ৰ দ্বাৰা, আমি পাইছোঁ

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

উদাহৰণ 4 ঘড়ী এটাৰ মিনিটৰ কাঁটাডাল $1.5 cm$ দীঘল। ৪০ মিনিটত ইয়াৰ মূৰটো কিমান দূৰলৈ যায়? ($\pi=3.14$ ব্যৱহাৰ কৰা)।

সমাধান ৬০ মিনিটত, ঘড়ী এটাৰ মিনিটৰ কাঁটাডালে এটা সম্পূৰ্ণ ঘূৰণ সম্পূৰ্ণ কৰে। সেয়েহে, ৪০ মিনিটত, মিনিটৰ কাঁটাডালে $\frac{2}{3}$ সম্পূৰ্ণ ঘূৰণৰ মাজেৰে ঘূৰে। সেয়েহে, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ বা $\frac{4 \pi}{3}$ ৰেডিয়ান। এতেকে, প্ৰয়োজনীয় অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বটো দিয়া হৈছে

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

উদাহৰণ 5 যদি একে দৈৰ্ঘ্যৰ চাপবোৰে দুটা বৃত্তত কেন্দ্ৰত $65^{\circ}$ আৰু $110^{\circ}$ কোণ সৃষ্টি কৰে, তেন্তে ইহঁতৰ ব্যাসাৰ্ধৰ অনুপাত উলিওৱা।

সমাধান $r_1$ আৰু $r_2$ ক দুয়োটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ হ’বলৈ দিয়া। দিয়া আছে যে

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

আৰু

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

$l$ ক প্ৰতিটো চাপৰ দৈৰ্ঘ্য হ’বলৈ দিয়া। তেন্তে $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, যিয়ে দিয়ে

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

এতেকে $\quad r_1: r_2=22: 13$.

৩.৩ ত্ৰিকোণমিতীয় ফলন

পূৰ্বৰ শ্ৰেণীত, আমি সূক্ষ্ম কোণৰ ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতবোৰ সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ অনুপাত হিচাপে অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ। আমি এতিয়া ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ সংজ্ঞাটো ৰেডিয়ান জোখৰ যিকোনো কোণলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰিম আৰু ইহঁতক ত্ৰিকোণমিতিক ফলন হিচাপে অধ্যয়ন কৰিম।

স্থানাংক অক্ষৰ মূলবিন্দুত কেন্দ্ৰ থকা একক বৃত্ত এটা বিবেচনা কৰা। $P(a, b)$ ক কোণ $AOP=x$ ৰেডিয়ান থকা বৃত্তটোৰ যিকোনো বিন্দু হ’বলৈ দিয়া, অৰ্থাৎ চাপ $AP=x$ ৰ দৈৰ্ঘ্য (চিত্ৰ ৩.৬)।

চিত্ৰ ৩.৬

আমি সংজ্ঞাবদ্ধ কৰোঁ $\cos x=a$ আৰু $\sin x=b$ যিহেতু $\triangle OMP$ এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ, আমি পাইছোঁ $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ বা $a^{2}+b^{2}=1$ এতেকে, একক বৃত্তৰ প্ৰতিটো বিন্দুৰ বাবে, আমি পাইছোঁ

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

যিহেতু এটা সম্পূৰ্ণ ঘূৰণে বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰত $2 \pi$ ৰেডিয়ানৰ কোণ এটা সৃষ্টি কৰে,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ আৰু $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$। $\frac{\pi}{2}$ ৰ যিকোনো পূৰ্ণসংখ্যা গুণিতক হোৱা সকলো কোণক চতুৰ্থাংশ কোণ বোলে। A, B, C আৰু D বিন্দুবোৰৰ স্থানাংক ক্ৰমে $(1,0),(0,1),(-1,0)$ আৰু $(0,-1)$। সেয়েহে, চতুৰ্থাংশ কোণবোৰৰ বাবে, আমি পাইছোঁ

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

এতিয়া, যদি আমি $P$ বিন্দুৰ পৰা এটা সম্পূৰ্ণ ঘূৰণ লওঁ, আমি আকৌ একেটা বিন্দু $P$ লৈ ঘূৰি আহোঁ। এতেকে, আমি ইয়াও লক্ষ্য কৰোঁ যে যদি $x$ যিকোনো পূৰ্ণসংখ্যা গুণিতক $2 \pi$ ৰে বৃদ্ধি পায় (বা হ্ৰাস পায়), ছাইন আৰু ক’ছাইন ফলনৰ মানবোৰ সলনি নহয়। এতেকে,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

আৰু, $\sin x=0$, যদি $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, অৰ্থাৎ যেতিয়া $x$ হৈছে $\pi$ ৰ পূৰ্ণসংখ্যা গুণিতক আৰু $\cos x=0$, যদি $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ অৰ্থাৎ $\cos x$ লোপ পায় যেতিয়া $x$ হৈছে $\frac{\pi}{2}$ ৰ বিজোড় গুণিতক। এতেকে

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

আমি এতিয়া আন ত্ৰিকোণমিতিক ফলনবোৰ ছাইন আৰু ক’ছাইন ফলনৰ ৰূপত সংজ্ঞাবদ্ধ কৰোঁ:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, য’ত $n$ যিকোনো পূৰ্ণসংখ্যা।

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, য’ত $n$ যিকোনো পূৰ্ণসংখ্যা।

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, য’ত $n$ যিকোনো পূৰ্ণসংখ্যা।

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, য’ত $n$ যিকোনো পূৰ্ণসংখ্যা।

আমি দেখুৱাইছোঁ যে সকলো বাস্তৱ $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ ৰ বাবে

ইয়াৰ পৰা ইয়াক অনুসৰণ কৰে যে

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

পূৰ্বৰ শ্ৰেণীত, আমি $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ আৰু $90^{\circ}$ ৰ বাবে ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ মানবোৰ আলোচনা কৰিছিলোঁ। এই কোণবোৰৰ বাবে ত্ৰিকোণমিতিক ফলনৰ মানবোৰ পূৰ্বৰ শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ দৰে একে। এতেকে, আমি তলৰ তালিকাটো পাইছোঁ:

$cosec x, \sec x$ আৰু $\cot x$ ৰ মানবোৰ ক্ৰমে $\sin x$, $\cos x$ আৰু $\tan x$ ৰ মানৰ প্ৰতিলোম।

৩.৩.১ ত্ৰিকোণমিতিক ফলনৰ চিহ্ন

$P(a, b)$ ক মূলবিন্দুত কেন্দ্ৰ থকা একক বৃত্তৰ বিন্দু এটা হ’বলৈ দিয়া যাতে $\angle AOP=x$। যদি $\angle AOQ=-x$, তেন্তে $Q$ বিন্দুটোৰ স্থানাংকবোৰ হ’ব $(a,-b)$ (চিত্ৰ ৩.৭)।

চিত্ৰ ৩.৭

সেয়েহে

$ \cos (-x)=\cos x $

আৰু $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

যিহেতু একক বৃত্তৰ প্ৰতিটো বিন্দু $P(a, b)$ ৰ বাবে, $-1 \leq a \leq 1$ আৰু

$-1 \leq b \leq 1$, আমি সকলো $x$ ৰ বাবে $-1 \leq \cos x \leq 1$ আৰু $-1 \leq \sin x \leq 1$ পাইছোঁ। আমি পূৰ্বৰ শ্ৰেণীত শিকিছিলোঁ যে প্ৰথম চতুৰ্থাংশত $(0<x<\frac{\pi}{2}) a$ আৰু $b$ দুয়োটাই ধনাত্মক, দ্বিতীয় চতুৰ্থাংশত $(\frac{\pi}{2}<x<\pi) a$ ঋণাত্মক আৰু $b$ ধনাত্মক, তৃতীয় চতুৰ্থাংশত $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}) a$ আৰু $b$ দুয়োটাই ঋণাত্মক আৰু চতুৰ্থ চতুৰ্থাংশত $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi) a$ ধনাত্মক আৰু $b$ ঋণাত্মক। সেয়েহে, $\sin x$ হৈছে ধনাত্মক $0<x<\pi$ ৰ বাবে, আৰু ঋণাত্মক $\pi<x<2 \pi$ ৰ বাবে। একেদৰে, $\cos x$ হৈছে ধনাত্মক $0<x<\frac{\pi}{2}$ ৰ বাবে, ঋণাত্মক $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ ৰ বাবে আৰু $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$ ৰ বাবেও ধনাত্মক। একেদৰে, আমি বেলেগ বেলেগ চতুৰ্থাংশত আন ত্ৰিকোণমিতিক ফলনৰ চিহ্নবোৰ উলিয়াব পাৰোঁ। প্ৰকৃততে, আমি তলৰ তালিকাটো পাইছোঁ।

৩.৩.২ ত্ৰিকোণমিতিক ফলনৰ প্ৰদেশ আৰু পৰিসৰ

ছাইন আৰু ক’ছাইন ফলনৰ সংজ্ঞাৰ পৰা, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে ইহঁত সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ বাবে সংজ্ঞাবদ্ধ। আৰু, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যা $x$ ৰ বাবে,

$$ -1 \leq \sin x \leq 1 \text{ and }-1 \leq \cos x \leq 1 $$

এতেকে, $y=\sin x$ আৰু $y=\cos x$ ৰ প্ৰদেশ হৈছে সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি আৰু পৰিসৰ হৈছে অন্তৰাল $[-1,1]$, অৰ্থাৎ $-1 \leq y \leq 1$।

যিহেতু $ \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}$, $y=cosec x$ ৰ প্ৰদেশ হৈছে সংহতি $\{x: x \in \mathbf{R}$ আৰু $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ আৰু পৰিসৰ হৈছে সংহতি $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ বা $y \leq-1\}$। একেদৰে, $y=\sec x$ ৰ প্ৰদেশ হৈছে সংহতি $\{x: x \in \mathbf{R}.$ আৰু $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ আৰু পৰিসৰ হৈছে সংহতি $\{y: y \in \mathbf{R}, y \leq-1$ বা $y \geq 1\}$। $y=\tan x$ ৰ প্ৰদেশ হৈছে সংহতি $\{x: x \in \mathbf{R}$ আৰু $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ আৰু পৰিসৰ হৈছে সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি। $y=\cot x$ ৰ প্ৰদেশ হৈছে সংহতি $\{x: x \in \mathbf{R}$ আৰু $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ আৰু পৰিসৰ হৈছে সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি।

আমি আৰু লক্ষ্য কৰোঁ যে প্ৰথম চতুৰ্থাংশত, যেতিয়া $x$ 0 ৰ পৰা $\frac{\pi}{2}, \sin x$ লৈ বৃদ্ধি পায়, 0 ৰ পৰা 1 লৈ বৃদ্ধি পায়, যেতিয়া $x$ $\frac{\pi}{2}$ ৰ পৰা $\pi, \sin x$ লৈ বৃদ্ধি পায়, 1 ৰ পৰা 0 লৈ হ্ৰাস পায়। তৃতীয় চতুৰ্থাংশত, যেতিয়া $x$ $\pi$ ৰ পৰা $\frac{3 \pi}{2}, \sin x$ লৈ বৃদ্ধি পায়, 0 ৰ পৰা -1 লৈ হ্ৰাস পায় আৰু অন্ততঃ, চতুৰ্থ চতুৰ্থাংশত, $\sin x$ -1 ৰ পৰা 0 লৈ বৃদ্ধি পায় যেতিয়া $x$ $\frac{3 \pi}{2}$ ৰ পৰা $2 \pi$ লৈ বৃদ্ধি পায়। একেদৰে, আমি আন ত্ৰিকোণমিতিক ফলনবোৰৰ আচৰণ আলোচনা কৰিব পাৰোঁ। প্ৰকৃততে, আমি তলৰ তালিকাটো পাইছোঁ:

টোকা ওপৰৰ তালিকাত, উক্তি $\tan x$ 0 ৰ পৰা $\infty$ (অসীম) লৈ বৃদ্ধি পায় $0<x<\frac{\pi}{2}$ ৰ বাবে কেৱল ইয়াকেই বুজায় যে $\tan x$ বৃদ্ধি পায় যেতিয়া $x$ $0<x<\frac{\pi}{2}$ ৰ বাবে বৃদ্ধি পায় আৰু ই যথেচ্ছভাৱে ডাঙৰ ধনাত্মক মান