গণিত হৈছে বিজ্ঞানৰ ৰাণী আৰু পাটীগণিত হৈছে গণিতৰ ৰাণী। - গাউছ

৪.১ ভূমিকা

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি এটা আৰু দুটা চলকৰ ৰৈখিক সমীকৰণ আৰু এটা চলকৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ অধ্যয়ন কৰিছোঁ। আমি দেখিছোঁ যে $x^{2}+1=0$ সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ সমাধান নাই কাৰণ $x^{2}+1=0$-য়ে $x^{2}=-1$ দিয়ে আৰু প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাৰ বৰ্গই অঋণাত্মক। গতিকে, আমি বাস্তৱ সংখ্যা প্ৰণালীটোক এটা বৃহত্তৰ প্ৰণালীলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰাৰ প্ৰয়োজন যাতে আমি $x^{2}=-1$ সমীকৰণটোৰ সমাধান বিচাৰি পাম। প্ৰকৃততে, মুখ্য উদ্দেশ্য হৈছে $a x^{2}+b x+c=0$ সমীকৰণটো সমাধান কৰা, য’ত $D=b^{2}-4 a c<0$, যিটো বাস্তৱ সংখ্যাৰ প্ৰণালীত সম্ভৱ নহয়।

ডব্লিউ. আৰ. হেমিল্টন (১৮০৫-১৮৬৫ খ্ৰীষ্টাব্দ)

৪.২ জটিল সংখ্যা

আমি $\sqrt{-1}$-ক $i$ চিহ্নৰে সূচাব পাৰোঁ। তেতিয়া, আমি পাম $i^{2}=-1$। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে $i$ হৈছে $x^{2}+1=0$ সমীকৰণটোৰ এটা সমাধান।

$a+i b$ ৰূপৰ সংখ্যা এটা, য’ত $a$ আৰু $b$ বাস্তৱ সংখ্যা, এটা জটিল সংখ্যা হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ জটিল সংখ্যা।

জটিল সংখ্যা $z=a+i b, a$-ৰ বাবে, $Re z$-ক বাস্তৱ অংশ বুলি কোৱা হয়, $b$-ক কাল্পনিক অংশ বুলি কোৱা হয় যাক $Im z$-ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয় জটিল সংখ্যা $z$-ৰ। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি $z=2+i 5$, তেন্তে $Re z=2$ আৰু $Im z=5$।

দুটা জটিল সংখ্যা $z_1=a+i b$ আৰু $z_2=c+i d$ সমান হ’ব যদি $a=c$ আৰু $b=d$।

উদাহৰণ ১ যদি $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, য’ত $x$ আৰু $y$ বাস্তৱ সংখ্যা, তেন্তে $x$ আৰু $y$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান আমি পাইছোঁ

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(১)-ৰ বাস্তৱ আৰু কাল্পনিক অংশ সমীকৰণ কৰি, আমি পাওঁ

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

যাক একেলগে সমাধান কৰিলে দিয়ে $x=\frac{3}{4}$ আৰু $y=\frac{33}{4}$।

৪.৩ জটিল সংখ্যাৰ বীজগণিত

এই অংশত, আমি জটিল সংখ্যাৰ বীজগণিতৰ বিকাশ কৰিম।

৪.৩.১ দুটা জটিল সংখ্যাৰ যোগ

ধৰা হওক $z_1=a+i b$ আৰু $z_2=c+i d$ যিকোনো দুটা জটিল সংখ্যা। তেন্তে, যোগফল $z_1+z_2$ তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, যিটো আকৌ এটা জটিল সংখ্যা।

উদাহৰণস্বৰূপে, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

জটিল সংখ্যাৰ যোগফলে তলত দিয়া ধৰ্মসমূহ সন্তুষ্ট কৰে:

(i) আবদ্ধতা সূত্য দুটা জটিল সংখ্যাৰ যোগফল এটা জটিল সংখ্যা, অৰ্থাৎ, সকলো জটিল সংখ্যা $z_1$ আৰু $z_2$-ৰ বাবে $z_1+z_2$ এটা জটিল সংখ্যা।

(ii) পৰিবৰ্তন সূত্য যিকোনো দুটা জটিল সংখ্যা $z_1$ আৰু $z_2$-ৰ বাবে, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) সহযোগী সূত্য যিকোনো তিনিটা জটিল সংখ্যা $z_1, z_2, z_3$, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$।

(iv) যোগাত্মক অভেদৰ অস্তিত্ব $0+i 0$ জটিল সংখ্যাটোৰ অস্তিত্ব আছে (০ ৰূপে চিহ্নিত), যাক যোগাত্মক অভেদ বা শূন্য জটিল সংখ্যা বোলা হয়, যেনেকৈ, প্ৰতিটো জটিল সংখ্যা $z, z+0=z$-ৰ বাবে।

(v) যোগাত্মক বিপৰীতৰ অস্তিত্ব প্ৰতিটো জটিল সংখ্যা $z=a+i b$-ৰ বাবে, আমি $-a+i(-b)$ জটিল সংখ্যাটো পাওঁ ($-z$ ৰূপে চিহ্নিত), যাক $z$-ৰ যোগাত্মক বিপৰীত বা ঋণাত্মক বোলা হয়। আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে $z+(-z)=0$ (যোগাত্মক অভেদ)।

৪.৩.২ দুটা জটিল সংখ্যাৰ বিয়োগ

দিয়া আছে যিকোনো দুটা জটিল সংখ্যা $z_1$ আৰু $z_2$, বিয়োগফল $z_1-z_2$ তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়:

উদাহৰণস্বৰূপে,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

আৰু

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

৪.৩.৩ দুটা জটিল সংখ্যাৰ পূৰণ

ধৰা হওক $z_1=a+i b$ আৰু $z_2=c+i d$ যিকোনো দুটা জটিল সংখ্যা। তেন্তে, গুণফল $z_1 z_2$ তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

উদাহৰণস্বৰূপে, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

জটিল সংখ্যাৰ পূৰণে তলত দিয়া ধৰ্মসমূহৰ অধিকাৰী, যিবোৰ আমি প্ৰমাণ নকৰাকৈ উল্লেখ কৰিম।

(i) আবদ্ধতা সূত্য দুটা জটিল সংখ্যাৰ গুণফল এটা জটিল সংখ্যা, গুণফল $z_1 z_2$ হৈছে সকলো জটিল সংখ্যা $z_1$ আৰু $z_2$-ৰ বাবে এটা জটিল সংখ্যা।

(ii) পৰিবৰ্তন সূত্য যিকোনো দুটা জটিল সংখ্যা $z_1$ আৰু $z_2$-ৰ বাবে,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) সহযোগী সূত্য যিকোনো তিনিটা জটিল সংখ্যা $z_1, z_2, z_3$-ৰ বাবে,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) গুণাত্মক অভেদৰ অস্তিত্ব $1+i 0$ জটিল সংখ্যাটোৰ অস্তিত্ব আছে (১ ৰূপে চিহ্নিত), যাক গুণাত্মক অভেদ বোলা হয় যেনেকৈ $z .1=z$, প্ৰতিটো জটিল সংখ্যা $z$-ৰ বাবে।

(v) গুণাত্মক বিপৰীতৰ অস্তিত্ব প্ৰতিটো অশূন্য জটিল সংখ্যা $z=a+i b$ বা $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$-ৰ বাবে, আমি $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ জটিল সংখ্যাটো পাইছোঁ যাক $\frac{1}{z}$ বা $.z^{-1})$-ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়, যাক $z$-ৰ গুণাত্মক বিপৰীত বোলা হয় যেনেকৈ

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (গুণাত্মক অভেদ)।

(vi) বিতৰণ সূত্য যিকোনো তিনিটা জটিল সংখ্যা $z_1, z_2, z_3$-ৰ বাবে,

(ক) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(খ) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

৪.৩.৪ দুটা জটিল সংখ্যাৰ হৰণ

দিয়া আছে যিকোনো দুটা জটিল সংখ্যা $z_1$ আৰু $z_2$, য’ত $z_2 \neq 0$, ভাগফল $\frac{z_1}{z_2}$ তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়:

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

উদাহৰণস্বৰূপে, ধৰা হওক $\quad z_1=6+3 i$ আৰু $z_2=2-i$

তেন্তে

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

৪.৩.৫ $i$-ৰ ঘাত

আমি জানো যে

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ ইত্যাদি। } \end{bmatrix} $

আকৌ, আমি পাইছোঁ $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

সাধাৰণতে, যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$-ৰ বাবে

৪.৩.৬ এটা ঋণাত্মক বাস্তৱ সংখ্যাৰ বৰ্গমূল

লক্ষ্য কৰা যে $i^{2}=-1$ আৰু $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

গতিকে, -১-ৰ বৰ্গমূল হৈছে $i,-i$। কিন্তু, $\sqrt{-1}$ চিহ্নৰ দ্বাৰা, আমি অৰ্থ কৰিম কেৱল $i$।

এতিয়া, আমি দেখিব পাৰোঁ যে $i$ আৰু $-i$ দুয়োটাই $x^{2}+1=0$ বা $x^{2}=-1$ সমীকৰণটোৰ সমাধান।

একেদৰে $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

গতিকে, -৩-ৰ বৰ্গমূল হৈছে $\sqrt{3} i$ আৰু $-\sqrt{3} i$।

আকৌ, $\sqrt{-3}$ চিহ্নটোৱে অৰ্থ কৰে কেৱল $\sqrt{3} i$, অৰ্থাৎ, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$।

সাধাৰণতে, যদি $a$ এটা ধনাত্মক বাস্তৱ সংখ্যা, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

আমি ইতিমধ্যে জানো যে সকলো ধনাত্মক বাস্তৱ সংখ্যা $a$ আৰু $b$-ৰ বাবে $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$। এই ফলাফলটোৱেও সত্য হৈ থাকে যেতিয়া হয় $a>0, b<0$ বা $a<0, b>0$। যদি $a<0, b<0$ হয় তেন্তে কি হ’ব? আমি পৰীক্ষা কৰোঁ।

লক্ষ্য কৰা যে

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (ধৰি লৈ যে সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ বাবে } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ ) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, যিটো এটা বৈপৰীত্য কাৰণ } i^{2}=-1 \end{aligned} $

গতিকে, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ যদি $a$ আৰু $b$ দুয়োটাই ঋণাত্মক বাস্তৱ সংখ্যা হয়।

আৰু, যদি $a$ আৰু $b$-ৰ যিকোনো এটা শূন্য হয়, তেন্তে, স্পষ্টভাৱে, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$।

৪.৩.৭ সৰ্বসমতা

আমি তলৰ সৰ্বসমতাটো প্ৰমাণ কৰোঁ

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, সকলো জটিল সংখ্যা } z_1 \text{ আৰু } z_2 \text{ ৰ বাবে। } $

প্ৰমাণ আমি পাইছোঁ, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

একেদৰে, আমি তলৰ সৰ্বসমতাবোৰ প্ৰমাণ কৰিব পাৰোঁ:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

প্ৰকৃততে, আন বহুতো সৰ্বসমতা যিবোৰ সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ বাবে সত্য, সেইবোৰ সকলো জটিল সংখ্যাৰ বাবে সত্য বুলি প্ৰমাণ কৰিব পাৰি।

উদাহৰণ ২ তলৰবোৰ $a+b i$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰা:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

সমাধান (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$।

উদাহৰণ ৩ $(5-3 i)^{3}$-ক $a+i b$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰা।

সমাধান আমি পাইছোঁ, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

উদাহৰণ ৪ $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$-ক $a+i b$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰা

সমাধান আমি পাইছোঁ, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

৪.৪ জটিল সংখ্যা এটাৰ মডুলাছ আৰু অনুবন্ধী

ধৰা হওক $z=a+i b$ এটা জটিল সংখ্যা। তেন্তে, $z$-ৰ মডুলাছ, যাক $|z|$-ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়, সংজ্ঞায়িত কৰা হয় অঋণাত্মক বাস্তৱ সংখ্যা $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ হিচাপে, অৰ্থাৎ, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ আৰু $z$-ৰ অনুবন্ধী, যাক $\bar{z}$ ৰূপে চিহ্নিত কৰা হয়, হৈছে জটিল সংখ্যা $a-i b$, অৰ্থাৎ, $\bar{z}=a-i b$।

উদাহৰণস্বৰূপে, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

আৰু

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

লক্ষ্য কৰা যে অশূন্য জটিল সংখ্যা $z$-ৰ গুণাত্মক বিপৰীতটো দিয়া হয়

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ বা } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

আৰু, তলৰ ফলাফলবোৰ সহজে উলিয়াব পাৰি।

যিকোনো দুটা জটিল সংখ্যা $z_1$ আৰু $z_2$-ৰ বাবে, আমি পাইছোঁ

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ যেতিয়া $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $।

উদাহৰণ ৫ $2-3 i$-ৰ গুণাত্মক বিপৰীত নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান ধৰা হওক $z=2-3 i$

তেন্তে $\quad \bar{z}=2+3 i$ আৰু $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

গতিকে, $2-3 i$-ৰ গুণাত্মক বিপৰীতটো দিয়া হয়

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

ওপৰৰ কাৰ্যপ্ৰণালীটো তলৰ ধৰণেও পুনৰ উৎপাদন কৰিব পাৰি,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

উদাহৰণ ৬ তলৰবোৰ $a+i b$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰা

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

সমাধান (i) আমি পাইছোঁ, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

৪.৫ আৰগাণ্ড তল আৰু পোলাৰ ৰূপ

আমি ইতিমধ্যে জানো যে প্ৰতিটো ক্ৰমিক যোৰ বাস্তৱ সংখ্যা $(x, y)$-ৰ সৈতে সংগতি ৰাখি, আমি XY-তলত এটা অনন্য বিন্দু পাইছোঁ আৰু ইয়াৰ বিপৰীতভাৱে পাৰস্পৰিক লম্ব ৰেখাৰ এটা সংহতিৰ সৈতে সংগতি ৰাখি যাক $x$-অক্ষ আৰু $y$-অক্ষ বুলি জনা যায়। জটিল সংখ্যা $x+i y$ যিয়ে ক্ৰমিক যোৰ $(x, y)$-ৰ সৈতে সংগতি ৰাখে, তাক জ্যামিতিকভাৱে XY-তলত অনন্য বিন্দু $P(x, y)$ হিচাপে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি আৰু ইয়াৰ বিপৰীতভাৱে।

কিছু জটিল সংখ্যা যেনে $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ আৰু $1-2 i$ যিয়ে ক্ৰমিক যোৰ $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, আৰু $(1,-2)$-ৰ সৈতে সংগতি ৰাখে, সেইবোৰক ক্ৰমে চিত্ৰ ৪.১-ত বিন্দু $A, B, C, D, E$, আৰু $F$-ৰ দ্বাৰা জ্যামিতিকভাৱে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে।

চিত্ৰ ৪.১

যি তলৰ প্ৰতিটো বিন্দুত এটা জটিল সংখ্যা নিয়োজিত কৰা হৈছে, তাক জটিল তল বা আৰগাণ্ড তল বোলা হয়।

স্পষ্টভাৱে, আৰগাণ্ড তলত, জটিল সংখ্যা $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$-ৰ মডুলাছ হৈছে বিন্দু $P(x, y)$ আৰু মূলবিন্দু $O(0,0)$-ৰ মাজৰ দূৰত্ব (চিত্ৰ ৪.২)। $x$-অক্ষৰ বিন্দুবোৰে $a+i 0$ ৰূপৰ জটিল সংখ্যাসমূহৰ সৈতে সংগতি ৰাখে আৰু $y$-অক্ষৰ বিন্দুবোৰে $0+i b$ ৰূপৰ জটিল সংখ্যাসমূহৰ সৈতে সংগতি ৰাখে। আৰগাণ্ড তলৰ $x$-অক্ষ আৰু $y$-অক্ষক ক্ৰমে বাস্তৱ অক্ষ আৰু কাল্পনিক অক্ষ বোলা হয়।

চিত্ৰ ৪.২

জটিল সংখ্যা $z=x+i y$ আৰু ইয়াৰ অনুবন্ধী $z=x-i y$-ৰ আৰগাণ্ড তলত প্ৰতিনিধিত্ব হৈছে ক্ৰমে বিন্দু $P(x, y)$ আৰু $Q(x,-y)$। জ্যামিতিকভাৱে, বিন্দু $(x,-y)$ হৈছে বিন্দু $(x, y)$-ৰ বাস্তৱ অক্ষৰ ওপৰত দাপোণ প্ৰতিবিম্ব (চিত্ৰ ৪.৩)।

চিত্ৰ ৪.২

বিবিধ উদাহৰণ

উদাহৰণ ৭ $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$-ৰ অনুবন্ধী নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান আমি পাইছোঁ, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

গতিকে, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$-ৰ অনুবন্ধী হৈছে $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$।

উদাহৰণ ৮ যদি $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$, প্ৰমাণ কৰা যে $x^{2}+y^{2}=1$।

সমাধান আমি পাইছোঁ,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

গতিকে, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

সেয়েহে,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

সাৰাংশ

$a+i b$ ৰূপৰ সংখ্যা এটা, য’ত $a$ আৰু $b$ বাস্তৱ সংখ্যা, তাক জটিল সংখ্যা বোলা হয়, $a$-ক বাস্তৱ অংশ বোলা হয় আৰু $b$-ক জটিল সংখ্যাটোৰ কাল্পনিক অংশ বোলা হয়।

ধৰা হওক $z_1=a+i b$ আৰু $z_2=c+i d$। তেন্তে

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

যিকোনো অশূন্য জটিল সংখ্যা $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$-ৰ বাবে, $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ জটিল সংখ্যাটোৰ অস্তিত্ব আছে, যাক $\frac{1}{z}$ বা $z^{-1}$-ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়, যাক $z$-ৰ গুণাত্মক বিপৰীত বোলা হয় যেনেকৈ $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$

যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$-ৰ বাবে

জটিল সংখ্যা $z=a+i b$-ৰ অনুবন্ধী, যাক $\bar{z}$-ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়, দিয়া হয় $\bar{z}=a-i b$-ৰ দ্বাৰা।

ঐতিহাসিক টোকা

এটা ঋণাত্মক সংখ্যাৰ বৰ্গমূলৰ বাস্তৱ সংখ্যা প্ৰণালীত অস্তিত্ব নথকা সত্য গ্ৰীকসকলে চিনাক্ত কৰিছিল। কিন্তু কৃতিত্ব ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ মহাবীৰ (৮৫০)-লৈ যায় যিয়ে প্ৰথমে এই অসুবিধাটো স্পষ্টভাৱে উল্লেখ কৰিছিল। “তেওঁ তেওঁৰ গ্ৰন্থ ‘গণিতসাৰ সংগ্ৰহ’-ত উল্লেখ কৰিছে যে ‘বস্তুৰ প্ৰকৃতিত এটা ঋণাত্মক (ৰাশি) বৰ্গ (ৰাশি) নহয়’, সেয়েহে ইয়াৰ কোনো বৰ্গমূল নাই।” আন এজন ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ ভাস্কৰেও তেওঁৰ গ্ৰন্থ বীজগণিত-ত, ১১৫০ চনত লিখা, লিখিছে। “এটা ঋণাত্মক ৰাশিৰ বৰ্গমূল নাই, কাৰণ ই বৰ্গ নহয়।” কাৰ্ডান (১৫৪৫)-এ সমাধান কৰাৰ সমস্যাটো বিবেচনা কৰিছিল

$ x+y=10, x y=40 . $

তেওঁ $x=5+\sqrt{-15}$ আৰু $y=5-\sqrt{-15}$ ইয়াৰ সমাধান হিচাপে পাইছিল, যিটো তেওঁ এই সংখ্যাবোৰ ‘অনুপযোগী’ বুলি কৈ পৰিত্যাগ কৰিছিল। আলবাৰ্ট গিৰাৰ্ড (প্ৰায় ১৬২৫)-এ ঋণাত্মক সংখ্যাৰ বৰ্গমূল স্বীকাৰ কৰিছিল আৰু কৈছিল যে ই আমাক বহুপদ সমীকৰণৰ মাত্ৰাৰ সমানেই মূল পাবলৈ সক্ষম কৰিব। অইলাৰেই প্ৰথমে $i$ চিহ্নটো $\sqrt{-1}$-ৰ বাবে প্ৰৱৰ্তন কৰিছিল আৰু ডব্লিউ.আৰ. হেমিল্টন (প্ৰায় ১৮৩০)-এ জটিল সংখ্যা $a+i b$-ক বাস্তৱ সংখ্যাৰ ক্ৰমিক যোৰ $(a, b)$ হিচাপে বিবেচনা কৰিছিল আৰু এনেদৰে ইয়াক এক বিশুদ্ধ গাণিতিক সংজ্ঞা দিছিল আৰু তথাকথিত ‘কাল্পনিক সংখ্যা’-ৰ ব্যৱহাৰ এৰাই চলিছিল।