গণিত হৈছে বহুত কথা বহুত ধৰণেৰে কোৱাৰ কলা। - মেক্সৱেল

৫.১ ভূমিকা

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি এটা চলক আৰু দুটা চলকৰ সমীকৰণ অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ আৰু কিছুমান বাক্য সমস্যাক সমীকৰণৰ ৰূপত অনুবাদ কৰি সমাধান কৰিছিলোঁ। এতিয়া এটা স্বাভাৱিক প্ৰশ্ন ওলায়: ‘এটা বাক্য সমস্যাক সদায় সমীকৰণৰ ৰূপত অনুবাদ কৰিব পাৰিনে? উদাহৰণস্বৰূপে, আপোনাৰ শ্ৰেণীৰ সকলো ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ উচ্চতা $160 cm$তকৈ কম। আপোনাৰ শ্ৰেণীকোঠাটোৱে বেছিৰ পৰা বেছি ৬০খন টেবুল বা চকী বা দুয়োটাই দখল কৰিব পাৰে। ইয়াত আমি কিছুমান বাক্য পাইছোঁ যিবোৰত ’ $<$ ’ (তকৈ কম), ‘>’ (তকৈ বেছি), ’ $\leq$ ’ (তকৈ কম বা সমান) আৰু $\geq$ (তকৈ বেছি বা সমান) চিহ্ন জড়িত হৈ থাকে যিবোৰ অসমতা হিচাপে জনা যায়।

এই অধ্যায়ত, আমি এটা আৰু দুটা চলকত ৰৈখিক অসমতা অধ্যয়ন কৰিম। বিজ্ঞান, গণিত, পৰিসংখ্যা, অৰ্থনীতি, মনোবিজ্ঞান আদি ক্ষেত্ৰত সমস্যা সমাধান কৰাত অসমতাৰ অধ্যয়ন অতি উপযোগী।

৫.২ অসমতা

আহক আমি তলৰ পৰিস্থিতিসমূহ বিবেচনা কৰোঁ:

(i) ৰৱিয়ে চাউল কিনিবলৈ ₹ ২০০ লৈ বজাৰলৈ যায়, যি $1 kg$ৰ পেকেটত উপলব্ধ। এটা পেকেট চাউলৰ দাম ₹ ৩০। যদি $x$ই তেওঁ কিনা চাউলৰ পেকেটৰ সংখ্যা সূচায়, তেন্তে তেওঁৰ দ্বাৰা খৰচ কৰা মুঠ টকাৰ পৰিমাণ হৈছে ₹ $30 x$। কিয়নো, তেওঁ কেৱল পেকেটতহে চাউল কিনিব লাগিব, তেওঁ ₹ ২০০ৰ সম্পূৰ্ণ টকা খৰচ কৰিব নোৱাৰিব পাৰে। (কিয়?) গতিকে

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

স্পষ্টকৈয়ে বাক্য (i)টো এটা সমীকৰণ নহয় কিয়নো ই সমতাৰ চিহ্ন জড়িত নকৰে। (ii) ৰেশমাৰ ₹ ১২০ আছে আৰু তেওঁ কিছুমান ৰেজিষ্টাৰ আৰু কলম কিনিব বিচাৰে। এটা ৰেজিষ্টাৰৰ দাম ₹ ৪০ আৰু এটা কলমৰ দাম ₹ ২০। এই ক্ষেত্ৰত, যদি $x$ই ৰেজিষ্টাৰৰ সংখ্যা আৰু $y$ই ৰেশমাই কিনা কলমৰ সংখ্যা সূচায়, তেন্তে তেওঁৰ দ্বাৰা খৰচ কৰা মুঠ টকাৰ পৰিমাণ হৈছে ₹ $(40 x+20 y)$ আৰু আমি পাইছোঁ

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

কিয়নো এই ক্ষেত্ৰত মুঠ খৰচৰ পৰিমাণ ₹ ১২০ৰ পৰ্যন্ত হ’ব পাৰে। লক্ষ্য কৰক যে বাক্য (2)টো দুটা বাক্যৰে গঠিত

$ \text{ আৰু } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

বাক্য (3)টো এটা সমীকৰণ নহয়, অৰ্থাৎ ই এটা অসমতা আনহাতে বাক্য (4)টো এটা সমীকৰণ।

সংজ্ঞা 1 ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ বা ’ $\geq$ ’ চিহ্নৰ দ্বাৰা সম্বন্ধিত দুটা বাস্তৱ সংখ্যা বা দুটা বীজগণিতীয় ৰাশিয়ে এটা অসমতা গঠন কৰে।

ওপৰৰ (1), (2) আৰু (3)ৰ দৰে বাক্যসমূহ অসমতা।

$3<5 ; 7>5$ হৈছে সংখ্যাগত অসমতাৰ উদাহৰণ আনহাতে

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ হৈছে আক্ষৰিক অসমতাৰ কিছুমান উদাহৰণ। $3<5<7($ (৫ হৈছে ৩তকৈ বেছি আৰু ৭তকৈ কম বুলি পঢ়া হয়), $3 \leq x<5($ ($x$ হৈছে ৩তকৈ বেছি বা সমান আৰু ৫তকৈ কম বুলি পঢ়া হয়) আৰু $2<y \leq 4$ হৈছে দ্বৈত অসমতাৰ উদাহৰণ। অসমতাৰ আৰু কিছুমান উদাহৰণ হ’ল:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

অসমতা (5), (6), (9), (10) আৰু (14) হৈছে কঠোৰ অসমতা আনহাতে অসমতা (7), (8), (11), (12), আৰু (13) হৈছে শিথিল অসমতা। (5)ৰ পৰা (8)লৈ অসমতাবোৰ হৈছে এটা চলক $x$ত ৰৈখিক অসমতা যেতিয়া $a \neq 0$, আনহাতে (9)ৰ পৰা (12)লৈ অসমতাবোৰ হৈছে দুটা চলক $x$ আৰু $y$ত ৰৈখিক অসমতা যেতিয়া $a \neq 0, b \neq 0$। অসমতা (13) আৰু (14) ৰৈখিক নহয় (প্ৰকৃততে, এইবোৰ হৈছে এটা চলক $x$ত দ্বিঘাত অসমতা যেতিয়া $a \neq 0)$।

এই অধ্যায়ত, আমি কেৱল এটা আৰু দুটা চলকত ৰৈখিক অসমতাৰ অধ্যয়নলৈ সীমাবদ্ধ থাকিম।

৫.৩ এটা চলকত ৰৈখিক অসমতাৰ বীজগণিতীয় সমাধান আৰু তাৰ লেখিত উপস্থাপন

আহক আমি ৬.২ৰ অসমতা (1), অৰ্থাৎ $30 x<200$ বিবেচনা কৰোঁ। লক্ষ্য কৰক যে ইয়াত $x$ই চাউলৰ পেকেটৰ সংখ্যা সূচায়। স্পষ্টতঃ, $x$ এটা ঋণাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ হ’ব নোৱাৰে। এই অসমতাৰ বাওঁপক্ষ (L.H.S.) হৈছে $30 x$ আৰু সোঁপক্ষ (RHS) হৈছে ২০০। গতিকে, আমি পাইছোঁ

$ \begin{aligned} & \text{ } x=0 \text{ ৰ বাবে, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, যিটো সত্য। } \\ & \text{ } x=1 \text{ ৰ বাবে, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), যিটো সত্য। } \\ & \text{ } x=2 \text{ ৰ বাবে, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, যিটো সত্য। } \\ & \text{ } x=3 \text{ ৰ বাবে, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, যিটো সত্য। } \\ & \text{ } x=4 \text{ ৰ বাবে, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, যিটো সত্য। } \\ & \text{ } x=5 \text{ ৰ বাবে, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, যিটো সত্য। } \\ & \text{ } x=6 \text{ ৰ বাবে, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, যিটো সত্য। } \\ & \text{ } x=7 \text{ ৰ বাবে, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, যিটো অসত্য। } \end{aligned} $

ওপৰৰ পৰিস্থিতিত, আমি দেখোঁ যে $x$ৰ যি মানবোৰে ওপৰৰ অসমতাটো এটা সত্য বাক্য কৰে, সেইবোৰ হৈছে $0,1,2,3,4,5,6$। $x$ৰ এই মানবোৰ, যিবোৰে ওপৰৰ অসমতাটো এটা সত্য বাক্য কৰে, তাক অসমতাৰ সমাধান বোলে আৰু সংহতিটো ${0,1,2,3,4,5,6}$ক ইয়াৰ সমাধান সংহতি বোলে।

এইদৰে, এটা চলকত থকা অসমতাৰ যিকোনো সমাধান হৈছে চলকৰ এনে এটা মান যিয়ে ইয়াক এটা সত্য বাক্য কৰে।

আমি ওপৰৰ অসমতাৰ সমাধানবোৰ পৰীক্ষা আৰু ভুল পদ্ধতিৰে বিচাৰি পাইছোঁ যিটো বৰ কাৰ্যকৰী নহয়। স্পষ্টতঃ, এই পদ্ধতিটো সময়সাপেক্ষ আৰু কেতিয়াবা সম্ভৱপৰ নহয়। অসমতা সমাধান কৰাৰ বাবে আমাৰ কিছুমান উন্নত বা পদ্ধতিগত কৌশল থাকিব লাগিব। তাৰ আগতে আমি সংখ্যাগত অসমতাৰ আৰু কিছুমান ধৰ্মৰ মাজেৰে যাব লাগিব আৰু অসমতা সমাধান কৰোঁতে সেইবোৰ নিয়ম হিচাপে অনুসৰণ কৰিব লাগিব।

আপুনি মনত পেলাব যে ৰৈখিক সমীকৰণ সমাধান কৰোঁতে, আমি তলৰ নিয়মবোৰ অনুসৰণ কৰিছিলোঁ:

নিয়ম 1 সমীকৰণৰ দুয়োপক্ষলৈ সমান সংখ্যা যোগ (বা বিয়োগ) কৰিব পাৰি।

নিয়ম 2 সমীকৰণৰ দুয়োপক্ষক একে অশূন্য সংখ্যাৰে পূৰণ (বা হৰণ) কৰিব পাৰি।

অসমতা সমাধান কৰাৰ ক্ষেত্ৰত, আমি পুনৰ একে নিয়মবোৰ অনুসৰণ কৰোঁ কিন্তু এটা পাৰ্থক্যৰ সৈতে যে নিয়ম 2ত, অসমতাৰ চিহ্ন বিপৰীত কৰা হয় (অৰ্থাৎ, ‘<’ ‘>’ হয়, $\leq$ ’ ’ $\geq$ ’ হয় ইত্যাদি) যেতিয়াই আমি অসমতাৰ দুয়োপক্ষক এটা ঋণাত্মক সংখ্যাৰে পূৰণ (বা হৰণ) কৰোঁ। এই তথ্যবোৰৰ পৰা ই স্পষ্ট:

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ কিন্তু }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ কিন্তু }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ অৰ্থাৎ, } 16>14 . \end{aligned} $

এইদৰে, আমি অসমতা সমাধান কৰাৰ বাবে তলৰ নিয়মবোৰ উল্লেখ কৰোঁ:

নিয়ম 1 অসমতাৰ চিহ্নত প্ৰভাৱ নপেলোৱাকৈ অসমতাৰ দুয়োপক্ষলৈ সমান সংখ্যা যোগ (বা বিয়োগ) কৰিব পাৰি।

নিয়ম 2 অসমতাৰ দুয়োপক্ষক একে ধনাত্মক সংখ্যাৰে পূৰণ (বা হৰণ) কৰিব পাৰি। কিন্তু যেতিয়া দুয়োপক্ষক ঋণাত্মক সংখ্যাৰে পূৰণ বা হৰণ কৰা হয়, তেতিয়া অসমতাৰ চিহ্ন বিপৰীত হয়।

এতিয়া, আহক আমি কিছুমান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ 1 $30 x<200$ সমাধান কৰা যেতিয়া (i) $x$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, (ii) $x$ এটা পূৰ্ণসংখ্যা।

সমাধান আমি দিয়া আছে $30 x<200$

বা $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (নিয়ম 2), অৰ্থাৎ, $x<20 / 3$।

(i) যেতিয়া $x$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, এই ক্ষেত্ৰত $x$ৰ তলৰ মানবোৰে বাক্যটো সত্য কৰে।

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

অসমতাৰ সমাধান সংহতি হৈছে $\{1,2,3,4,5,6\}$।

(ii) যেতিয়া $x$ এটা পূৰ্ণসংখ্যা, দিয়া অসমতাৰ সমাধানবোৰ হৈছে

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

অসমতাৰ সমাধান সংহতি হৈছে $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $

উদাহৰণ 2 $5 x-3<3 x+1$ সমাধান কৰা যেতিয়া (i) $x$ এটা পূৰ্ণসংখ্যা, (ii) $x$ এটা বাস্তৱ সংখ্যা।

সমাধান আমি পাইছোঁ, $5 x-3<3 x+1$

বা $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (নিয়ম 1)

বা $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

বা $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (নিয়ম 2)

বা $\quad \quad$ $2 x<4$

বা $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (নিয়ম 3)

(i) যেতিয়া $x$ এটা পূৰ্ণসংখ্যা, দিয়া অসমতাৰ সমাধানবোৰ হৈছে

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) যেতিয়া $x$ এটা বাস্তৱ সংখ্যা, অসমতাৰ সমাধানবোৰ $x<2$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয়, অৰ্থাৎ, সকলো বাস্তৱ সংখ্যা $x$ যিবোৰ ২তকৈ কম। গতিকে, অসমতাৰ সমাধান সংহতি হৈছে $x \in(-\infty, 2)$।

আমি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি, পূৰ্ণসংখ্যাৰ সংহতি আৰু বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতিত অসমতাৰ সমাধান বিবেচনা কৰিছোঁ। আৰু পৰা, অন্যথা উল্লেখ নথকা হ’লে, আমি এই অধ্যায়ত অসমতাবোৰ বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতিত সমাধান কৰিম।

উদাহৰণ 3 $4 x+3<6 x+7$ সমাধান কৰা।

সমাধান আমি পাইছোঁ, $\quad 4 x+3<6 x+7$

বা $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

বা $\quad-2 x<4 \quad$ বা $x>-2$

অৰ্থাৎ, সকলো বাস্তৱ সংখ্যা যিবোৰ -২তকৈ বেছি, সেইবোৰ দিয়া অসমতাৰ সমাধান। গতিকে, সমাধান সংহতি হৈছে $(-2, \infty)$।

উদাহৰণ 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ সমাধান কৰা।

সমাধান আমি পাইছোঁ $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

বা $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

বা $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

বা $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

এইদৰে, সকলো বাস্তৱ সংখ্যা $x$ যিবোৰ ৮তকৈ বেছি বা সমান, সেইবোৰ দিয়া অসমতাৰ সমাধান, অৰ্থাৎ, $x \in[8, \infty)$।

উদাহৰণ 5 $7 x+3<5 x+9$ সমাধান কৰা। সংখ্যা ৰেখাত সমাধানবোৰৰ লেখ দেখুওৱা।

সমাধান আমি পাইছোঁ $7 x+3<5 x+9$ বা $2 x<6$ বা $x<3$

সমাধানবোৰৰ লেখিত উপস্থাপন চিত্ৰ ৫.১ত দিয়া হৈছে।

চিত্ৰ ৫.১

উদাহৰণ 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ সমাধান কৰা। সংখ্যা ৰেখাত সমাধানবোৰৰ লেখ দেখুওৱা।

সমাধান আমি পাইছোঁ $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

বা $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

বা $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

বা $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

সমাধানবোৰৰ লেখিত উপস্থাপন চিত্ৰ ৫.২ত দিয়া হৈছে।

চিত্ৰ ৫.২

উদাহৰণ 7 এঘাৰ শ্ৰেণীৰ এজন ছাত্ৰৰ প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় টাৰ্মিনেল পৰীক্ষাত পোৱা নম্বৰ ক্ৰমে ৬২ আৰু ৪৮। বাৰ্ষিক পৰীক্ষাত তেওঁৰ ন্যূনতম কিমান নম্বৰ পোৱা উচিত যাতে কমেও ৬০ নম্বৰৰ গড় হয়।

সমাধান ধৰা হওক $x$ হৈছে বাৰ্ষিক পৰীক্ষাত ছাত্ৰজনে পোৱা নম্বৰ। তেন্তে

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

বা $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

বা $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

এইদৰে, ছাত্ৰজনে কমেও ৬০ নম্বৰৰ গড় পাবলৈ ন্যূনতম ৭০ নম্বৰ পাব লাগিব।

উদাহৰণ 8 সকলো ক্ৰমিক অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোৰা বিচাৰা, দুয়োটাই ১০তকৈ ডাঙৰ, যাতে সেইবোৰৰ যোগফল ৪০তকৈ কম হয়।

সমাধান ধৰা হওক $x$ হৈছে দুটা ক্ৰমিক অযুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সৰুটো, যাতে আনটো $x+2$ হয়। তেন্তে, আমাৰ থাকিব লাগিব

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) সমাধান কৰি, আমি পাইছোঁ

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

অৰ্থাৎ, $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) আৰু (3)ৰ পৰা, আমি পাইছোঁ

$$ 10<x<19 $$

কিয়নো $x$ এটা অযুগ্ম সংখ্যা, $x$ই ১১,১৩,১৫, আৰু ১৭ মানবোৰ ল’ব পাৰে। গতিকে, প্ৰয়োজনীয় সম্ভৱপৰ যোৰাবোৰ হ’ব $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$

বিবিধ উদাহৰণ

উদাহৰণ 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ সমাধান কৰা।

সমাধান এই ক্ষেত্ৰত, আমি দুটা অসমতা পাইছোঁ, $-8 \leq 5 x-3$ আৰু $5 x-3<7$, যিবোৰ আমি একেলগে সমাধান কৰিম। আমি পাইছোঁ $-8 \leq 5 x-3<7$

বা $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ বা } \quad-1 \leq x<2 $

উদাহৰণ 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ সমাধান কৰা।

সমাধান আমি পাইছোঁ $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

বা $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ বা $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

বা $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

যাক $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ হিচাপে লিখিব পাৰি

উদাহৰণ 11 অসমতাৰ তন্ত্ৰ সমাধান কৰা:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

আৰু সংখ্যা ৰেখাত সমাধানবোৰ উপস্থাপন কৰা।

সমাধান অসমতা (1)ৰ পৰা, আমি পাইছোঁ

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

বা $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

আৰু, অসমতা (2)ৰ পৰা, আমি পাইছোঁ

$$ 11-5 x \leq 1 $$

বা $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

যদি আমি সংখ্যা ৰেখাত অসমতা (3) আৰু (4)ৰ লেখ অংকন কৰোঁ, আমি দেখোঁ যে $x$ৰ মানবোৰ, যিবোৰ দুয়োটাতে সাধাৰণ, সেইবোৰ চিত্ৰ ৫.৩ত ডাঠ ৰেখাৰে দেখুওৱা হৈছে।

এইদৰে, তন্ত্ৰটোৰ সমাধান হৈছে বাস্তৱ সংখ্যা $x$ যিবোৰ ২ আৰু ৬ৰ মাজত থাকে ২ক সামৰি, অৰ্থাৎ, $2 \leq x<6$

উদাহৰণ 12 এটা পৰীক্ষাত, হাইড্ৰক্লৰিক এছিডৰ দ্ৰৱ এটা $30^{\circ}$ আৰু $35^{\circ}$ ছেলছিয়াছৰ মাজত ৰাখিব লাগিব। ফাৰেনহাইট ডিগ্ৰীত উষ্ণতাৰ পৰিসৰ কিমান হ’ব যদি ৰূপান্তৰ সূত্ৰটো $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয়, য’ত $C$ আৰু $F$ই ক্ৰমে ছেলছিয়াছ ডিগ্ৰী আৰু ফাৰেনহাইট ডিগ্ৰীত উষ্ণতা সূচায়।

সমাধান দিয়া আছে যে $30<C<35$।

বসুৱাই $ C=\frac{5}{9}(F-32), \text{ আমি পাইছোঁ } $ $ 30<\frac{5}{9}(F-32)<35 $

বা $\quad\quad\quad$ $ \frac{9}{5} \times(30)<(F-32)<\frac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ বা } & 54<(F-32)<63 \\ \text{ বা } & 86<F<95 . \end{matrix} $

এইদৰে, প্ৰয়োজনীয় উষ্ণতাৰ পৰিসৰ হৈছে $86^{\circ} F$ আৰু $95^{\circ} F$ৰ মাজত।

উদাহৰণ 13 এজন উৎপাদকৰ ৬০০ লিটাৰ $12\%$ দ্ৰৱণ এছিড আছে। ইয়াত কিমান লিটাৰ $30 \%$ এছিড দ্ৰৱণ যোগ কৰিব লাগিব যাতে ফলন মিশ্ৰণটোৰ এছিডৰ পৰিমাণ $15 \%$তকৈ বেছি কিন্তু $18 \%$তকৈ কম হয়?

সমাধান ধৰা হওক $x$ লিটাৰ $30 \%$ এছিড দ্ৰৱণ যোগ কৰিবলৈ প্ৰয়োজন। তেন্তে মুঠ মিশ্ৰণ $=(x+600)$ লিটাৰ

গতিকে $30 \% x+12 \%$ৰ $600>15 \%$ৰ $(x+600)$

আৰু $\quad \quad \quad 30 \% x+12 \%$ৰ $600<18 \%$ৰ $(x+600)$

$ \begin{array}{ll} \text{বা} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{আৰু} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{বা}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{আৰু} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{বা} & 15 x>1800 \text{ আৰু } 12 x<3600 \\ \text{বা} & x>120 \text{ আৰু } x<300, \\ \text{অৰ্থাৎ} & 120<x<300 \end{array} $

এইদৰে, $30 %$ দ্ৰৱণৰ এছিডৰ লিটাৰৰ সংখ্যা ১২০ লিটাৰতকৈ বেছি কিন্তু ৩০০ লিটাৰতকৈ কম হ’ব লাগিব।

সাৰাংশ

$<,>, \leq$ বা $\geq$ চিহ্নৰ দ্বাৰা সম্বন্ধিত দুটা বাস্তৱ সংখ্যা বা দুটা বীজগণিতীয় ৰাশিয়ে এটা অসমতা গঠন কৰে।

অসমতাৰ চিহ্নত প্ৰভাৱ নপেলোৱাকৈ অসমতাৰ দুয়োপক্ষলৈ সমান সংখ্যা যোগ (বা বিয়োগ) কৰিব পাৰি।

অসমতাৰ দুয়োপক্ষক একে ধনাত্মক সংখ্যাৰে পূৰণ (বা হৰণ) কৰিব পাৰি। কিন্তু যেতিয়া দুয়োপক্ষক ঋণাত্মক সংখ্যাৰে পূৰণ (বা হৰণ) কৰা হয়, তেতিয়া অসমতা বিপৰীত হয়।

$x$ৰ যি মানবোৰে অসমতাটো এটা সত্য বাক্য কৰে, সেইবোৰক অসমতাৰ সমাধান বোলে।

সংখ্যা ৰেখাত $x<a$ (বা $x>a$ ) উপস্থাপন কৰিবলৈ, $a$ সংখ্যাটোত এটা বৃত্ত দিয়া আৰু সংখ্যা $a$ৰ বাওঁফালে (বা সোঁফালে) ডাঠ ৰেখা দিয়া।

সংখ্যা ৰেখাত $x \leq a$ (বা $x \geq a$ ) উপস্থাপন কৰিবলৈ, $a$ সংখ্যাটোত এটা ডাঠ বৃত্ত দিয়া আৰু সংখ্যা $x$ৰ বাওঁফালে (বা সোঁফালে) ৰেখাডাল ডাঠ কৰা।