প্ৰতিটো আৱিষ্কাৰৰ শৰীৰ গাণিতিক ৰূপত থাকে কিয়নো আমি আন কোনো নিৰ্দেশনা ল’ব নোৱাৰো - ডাৰউইন

৬.১ পৰিচয়

ধৰা হওক আপোনাৰ এটা চুটকেছ আছে যিটো সংখ্যা লকৰে সৈতে। সংখ্যা লকটোত ৪টা চক্ৰ আছে আৰু প্ৰতিটো চক্ৰ ০ ৰ পৰা ৯ লৈ ১০টা অংকৰে চিহ্নিত। ৪টা নিৰ্দিষ্ট অংক নিৰ্দিষ্ট ক্ৰমত পুনৰাবৃত্তি নোহোৱাকৈ সজোৱা হ’লে লকটো খোলিব পাৰি। কোনো কাৰণত আপুনি এই নিৰ্দিষ্ট অংকৰ ক্ৰমটো পাহৰি গৈছে। আপুনি কেৱল প্ৰথম অংকটো মনত ৰাখিছে যিটো ৭। লকটো খোলিবলৈ আপুনি ৩-অংকৰ কিমানটা ক্ৰম পৰীক্ষা কৰিব লাগিব? এই প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিবলৈ আপুনি তৎক্ষণাত বাকী থকা ৯টা অংকৰ পৰা ৩টাকৈ লৈ সকলো সম্ভৱ বিন্যাসৰ তালিকা কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰিব পাৰে। কিন্তু এই পদ্ধতিটো কষ্টকৰ হ’ব, কাৰণ সম্ভৱপৰ ক্ৰমৰ সংখ্যা বেছি হ’ব পাৰে। ইয়াত, এই অধ্যায়ত, আমি কিছুমান মৌলিক গণনা কৌশল শিকিম যিয়ে

আমাক প্ৰকৃততে ৩-অংকৰ বিন্যাসৰ তালিকা নকৰাকৈয়ে এই প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিবলৈ সক্ষম কৰাব। প্ৰকৃততে, বস্তুবোৰ প্ৰকৃততে তালিকা নকৰাকৈ সজোৱা আৰু বাছনি কৰাৰ বিভিন্ন পদ্ধতি নিৰ্ধাৰণ কৰাত এই কৌশলবোৰ উপযোগী হ’ব। প্ৰথম পদক্ষেপ হিচাপে, আমি এটা নীতি পৰীক্ষা কৰিম যিটো এই কৌশলবোৰ শিকিবলৈ আটাইতকৈ মৌলিক।

৬.২ গণনাৰ মৌলিক নীতি

আহক আমি তলৰ সমস্যাটো বিবেচনা কৰো। মোহনৰ ৩টা পেণ্ট আৰু ২টা চাৰ্ট আছে। তেওঁ এটা পেণ্ট আৰু এটা চাৰ্টৰ কিমানটা ভিন্ন যোৰ পিন্ধিব পাৰে? এটা পেণ্ট বাছনি কৰাৰ ৩টা উপায় আছে, কাৰণ ৩টা পেণ্ট উপলব্ধ। একেদৰে, এটা চাৰ্ট ২টা উপায়ত বাছনি কৰিব পাৰি। প্ৰতিটো পেণ্ট বাছনিৰ বাবে, চাৰ্ট বাছনিৰ ২টা বিকল্প আছে। গতিকে, এটা পেণ্ট আৰু এটা চাৰ্টৰ $3 \times 2=6$টা যোৰ আছে।

আহক আমি তিনিটা পেণ্টক $P_1, P_2, P_3$ আৰু দুটা চাৰ্টক $S_1, S_2$ নাম দিওঁ। তেন্তে, এই ছয়টা সম্ভাৱনাক চিত্ৰ ৬.১ ত চিত্ৰিত কৰিব পাৰি।

চিত্ৰ ৬.১

আহক আমি একে ধৰণৰ আন এটা সমস্যা বিবেচনা কৰো।

সাবনামৰ ২টা স্কুল বেগ, ৩টা টিফিন বক্স আৰু ২টা পানীৰ বটল আছে। তেওঁ এইবোৰ বস্তু (প্ৰতিটোৰ পৰা এটাকৈ বাছনি কৰি) কিমান উপায়েৰে কঢ়িয়াব পাৰে।

এটা স্কুল বেগ ২টা ভিন্ন উপায়ত বাছনি কৰিব পাৰি। স্কুল বেগ এটা বাছনি কৰাৰ পিছত, এটা টিফিন বক্স ৩টা ভিন্ন উপায়ত বাছনি কৰিব পাৰি। গতিকে, স্কুল বেগ আৰু টিফিন বক্সৰ $2 \times 3=6$টা যোৰ আছে। এই যোৰবোৰৰ প্ৰতিটোৰ বাবে এটা পানীৰ বটল ২টা ভিন্ন উপায়ত বাছনি কৰিব পাৰি।

গতিকে, সাবনামে স্কুললৈ এইবোৰ বস্তু কঢ়িয়াব পৰা মুঠ $6 \times 2=12$টা ভিন্ন উপায় আছে। যদি আমি ২টা স্কুল বেগক $B_1, B_2$, তিনিটা টিফিন বক্সক $T_1, T_2, T_3$ আৰু দুটা পানীৰ বটলক $W_1, W_2$ নাম দিওঁ, এই সম্ভাৱনাবোৰ চিত্ৰ ৬.২ ত চিত্ৰিত কৰিব পাৰি।

চিত্ৰ ৬.২

প্ৰকৃততে, ওপৰৰ ধৰণৰ সমস্যাবোৰ তলত দিয়া নীতি প্ৰয়োগ কৰি সমাধান কৰা হয় যাক গণনাৰ মৌলিক নীতি, বা, সহজভাৱে, গুণন নীতি বুলি কোৱা হয়, যিয়ে কয় যে

“যদি এটা ঘটনা $m$টা ভিন্ন উপায়ত সংঘটিত হ’ব পাৰে, যাৰ পিছত আন এটা ঘটনা $n$টা ভিন্ন উপায়ত সংঘটিত হ’ব পাৰে, তেন্তে দিয়া ক্ৰমত ঘটনাবোৰ সংঘটিত হোৱাৰ মুঠ সংখ্যা $m \times n$।”

ওপৰৰ নীতিটো যিকোনো সসীম সংখ্যক ঘটনাৰ বাবে সাধাৰণীকৰণ কৰিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, ৩টা ঘটনাৰ বাবে, নীতিটো তলত দিয়া ধৰণৰ:

‘যদি এটা ঘটনা $m$টা ভিন্ন উপায়ত সংঘটিত হ’ব পাৰে, যাৰ পিছত আন এটা ঘটনা $n$টা ভিন্ন উপায়ত সংঘটিত হ’ব পাৰে, যাৰ পিছত তৃতীয় এটা ঘটনা $p$টা ভিন্ন উপায়ত সংঘটিত হ’ব পাৰে, তেন্তে দিয়া ক্ৰমত ঘটনাবোৰ সংঘটিত হোৱাৰ মুঠ সংখ্যা $m \times n \times p$।"

প্ৰথম সমস্যাত, এটা পেণ্ট আৰু এটা চাৰ্ট পিন্ধাৰ প্ৰয়োজনীয় উপায়ৰ সংখ্যা আছিল তলৰ ঘটনাবোৰ ক্ৰমে সংঘটিত হোৱাৰ ভিন্ন উপায়ৰ সংখ্যা:

(i) এটা পেণ্ট বাছনি কৰাৰ ঘটনা

(ii) এটা চাৰ্ট বাছনি কৰাৰ ঘটনা।

দ্বিতীয় সমস্যাত, প্ৰয়োজনীয় উপায়ৰ সংখ্যা আছিল তলৰ ঘটনাবোৰ ক্ৰমে সংঘটিত হোৱাৰ ভিন্ন উপায়ৰ সংখ্যা:

(i) এটা স্কুল বেগ বাছনি কৰাৰ ঘটনা

(ii) এটা টিফিন বক্স বাছনি কৰাৰ ঘটনা

(iii) এটা পানীৰ বটল বাছনি কৰাৰ ঘটনা।

ইয়াত, দুয়োটা ক্ষেত্ৰতে, প্ৰতিটো সমস্যাত ঘটনাবোৰ বিভিন্ন সম্ভৱ ক্ৰমত সংঘটিত হ’ব পাৰিলেহেঁতেন। কিন্তু, আমি সম্ভৱ ক্ৰমবোৰৰ যিকোনো এটা বাছনি কৰিব লাগিব আৰু এই বাছনি কৰা ক্ৰমত ঘটনাবোৰ সংঘটিত হোৱাৰ ভিন্ন উপায়বোৰ গণনা কৰিব লাগিব।

উদাহৰণ 1 ROSE শব্দটোৰ আখৰবোৰৰ পৰা গঠন কৰিব পৰা ৪টা আখৰৰ শব্দৰ সংখ্যা উলিওৱা, অৰ্থসহ বা অৰ্থহীন, য’ত আখৰবোৰৰ পুনৰাবৃত্তি অনুমতি নাই।

সমাধান ৪টা খালী ঠাই $\square \square \square \square$ ৪টা আখৰেৰে ভৰোৱাৰ যিমান উপায় আছে সিমান শব্দ আছে, মনত ৰাখিব লাগিব যে পুনৰাবৃত্তি অনুমতি নাই। প্ৰথম ঠাইখন ৪টা আখৰ R,O,S,E ৰ যিকোনো এটাৰে ৪টা ভিন্ন উপায়ত ভৰাব পাৰি। তাৰ পিছত, দ্বিতীয় ঠাইখন বাকী থকা ৩টা আখৰৰ যিকোনো এটাৰে ৩টা ভিন্ন উপায়ত ভৰাব পাৰি, তাৰ পিছত তৃতীয় ঠাইখন ২টা ভিন্ন উপায়ত ভৰাব পাৰি; তাৰ পিছত, চতুৰ্থ ঠাইখন ১টা উপায়ত ভৰাব পাৰি। এতেকে, গুণন নীতি অনুসৰি, ৪টা ঠাই ভৰোৱাৰ উপায়ৰ সংখ্যা $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$। গতিকে, প্ৰয়োজনীয় শব্দৰ সংখ্যা ২৪।

টোকা - যদি আখৰবোৰৰ পুনৰাবৃত্তি অনুমতি দিয়া হ’লহেঁতেন, কিমানটা শব্দ গঠন কৰিব পাৰিলেহেঁতেন? সহজে বুজিব পাৰি যে ৪টা খালী ঠাইৰ প্ৰতিটো ক্ৰমে ৪টা ভিন্ন উপায়ত ভৰাব পাৰি। গতিকে, প্ৰয়োজনীয় শব্দৰ সংখ্যা $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$।

উদাহৰণ 2 ৪টা ভিন্ন ৰঙৰ পতাকা দিয়া আছে, কিমানটা ভিন্ন সংকেত উৎপন্ন কৰিব পাৰি, যদি এটা সংকেতত ২টা পতাকা এটা আনটোৰ তলত ব্যৱহাৰ কৰাৰ প্ৰয়োজন?

সমাধান ৪টা ভিন্ন ৰঙৰ পতাকাবোৰেৰে ক্ৰমে ২টা খালী ঠাই $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ভৰোৱাৰ যিমান উপায় আছে সিমান সংকেত থাকিব। ওপৰৰ খালী ঠাইখন ৪টা পতাকাৰ যিকোনো এটাৰে ৪টা ভিন্ন উপায়ত ভৰাব পাৰি; তাৰ পিছত, তলৰ খালী ঠাইখন বাকী থকা ৩টা ভিন্ন পতাকাৰ যিকোনো এটাৰে ৩টা ভিন্ন উপায়ত ভৰাব পাৰি। গতিকে, গুণন নীতি অনুসৰি, প্ৰয়োজনীয় সংকেতৰ সংখ্যা $=4 \times 3=12$।

উদাহৰণ 3 অংকবোৰ $1,2,3,4,5$ ৰ পৰা কিমানটা ২ অংকৰ যুগ্ম সংখ্যা গঠন কৰিব পাৰি যদি অংকবোৰ পুনৰাবৃত্তি কৰিব পাৰি?

সমাধান পাঁচটা দিয়া অংকবোৰেৰে ক্ৰমে ২টা খালী ঠাই $\square \square$ ভৰোৱাৰ যিমান উপায় আছে সিমান উপায় থাকিব। ইয়াত, এই ক্ষেত্ৰত, আমি এককৰ স্থান ভৰোৱা আৰম্ভ কৰো, কাৰণ এই স্থানৰ বাবে বিকল্প কেৱল ২ আৰু ৪ আৰু ইয়াক ২টা উপায়ত কৰিব পাৰি; তাৰ পিছত দহকৰ স্থান ৫টা অংকৰ যিকোনো এটাৰে ৫টা ভিন্ন উপায়ত ভৰাব পাৰি কিয়নো অংকবোৰ পুনৰাবৃত্তি কৰিব পাৰি। গতিকে, গুণন নীতি অনুসৰি, প্ৰয়োজনীয় দুই অংকৰ যুগ্ম সংখ্যাৰ সংখ্যা $2 \times 5$, অৰ্থাৎ ১০।

উদাহৰণ 4 উলম্ব ষ্টাফ এটাত কমেও ২টা পতাকা ক্ৰমত (এটা আনটোৰ তলত) সজাই কিমানটা ভিন্ন সংকেত উৎপন্ন কৰিব পাৰি, যদি পাঁচটা ভিন্ন পতাকা উপলব্ধ।

সমাধান এটা সংকেতত হয় ২টা পতাকা, ৩টা পতাকা, ৪টা পতাকা বা ৫টা পতাকা থাকিব পাৰে। এতিয়া, আহক আমি ২টা পতাকা, ৩টা পতাকা, ৪টা পতাকা আৰু ৫টা পতাকা থকা সংকেতৰ সম্ভৱ সংখ্যা পৃথককৈ গণনা কৰো আৰু তাৰ পিছত সংশ্লিষ্ট সংখ্যাবোৰ যোগ কৰো।

উপলব্ধ ৫টা পতাকাবোৰেৰে ক্ৰমে ২টা খালী ঠাই $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ভৰোৱাৰ যিমান উপায় আছে সিমান ২ পতাকা সংকেত থাকিব। গুণন নিয়ম অনুসৰি, উপায়ৰ সংখ্যা $5 \times 4=20$।

একেদৰে, ৫টা পতাকাবোৰেৰে ক্ৰমে ৩টা খালী ঠাই $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ভৰোৱাৰ যিমান উপায় আছে সিমান ৩ পতাকা সংকেত থাকিব।

উপায়ৰ সংখ্যা $5 \times 4 \times 3=60$।

একেদৰে আগবাঢ়ি গৈ আমি পাইছো যে

৪ পতাকা সংকেতৰ সংখ্যা $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

আৰু ৫ পতাকা সংকেতৰ সংখ্যা $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় সংকেতৰ সংখ্যা $=20+60+120+120=320$।

৬.৩ বিন্যাস

পূৰ্বৱৰ্তী বিভাগৰ উদাহৰণ ১ ত, আমি প্ৰকৃততে আখৰবোৰৰ যেনে ROSE, REOS, …, আদিৰ বিভিন্ন সম্ভৱ বিন্যাস গণনা কৰি আছিলো। ইয়াত, এই তালিকাত, প্ৰতিটো বিন্যাস আনটোৰ পৰা পৃথক। অৰ্থাৎ, আখৰবোৰ লিখাৰ ক্ৰমটো গুৰুত্বপূৰ্ণ। প্ৰতিটো বিন্যাসক ৪টা ভিন্ন আখৰৰ একেলগে লোৱা এটা বিন্যাস বুলি কোৱা হয়। এতিয়া, যদি আমি NUMBER শব্দটোৰ আখৰবোৰৰ পৰা গঠন কৰিব পৰা ৩-আখৰৰ শব্দৰ সংখ্যা নিৰ্ধাৰণ কৰিব লাগে, অৰ্থসহ বা অৰ্থহীন, য’ত আখৰবোৰৰ পুনৰাবৃত্তি অনুমতি নাই, আমাক NUM, NMU, MUN, NUB, …, আদিৰ বিন্যাস গণনা কৰিব লাগিব। ইয়াত, আমি ৬টা ভিন্ন আখৰৰ ৩টাকৈ লোৱা বিন্যাস গণনা কৰি আছো। প্ৰয়োজনীয় শব্দৰ সংখ্যা $=6 \times 5 \times 4=120$ (গুণন নীতি ব্যৱহাৰ কৰি)।

যদি আখৰবোৰৰ পুনৰাবৃত্তি অনুমতি দিয়া হ’লহেঁতেন, প্ৰয়োজনীয় শব্দৰ সংখ্যা হ’লহেঁতেন $6 \times 6 \times 6=216$।

সংজ্ঞা 1 এটা বিন্যাস হৈছে কিছুমান বা সকলো বস্তু একেলগে লোৱা সময়ত সিহঁতৰ এক নিৰ্দিষ্ট ক্ৰমত সজোৱা।

তলৰ উপ-বিভাগত, আমি এই প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ তৎক্ষণাত দিবলৈ প্ৰয়োজনীয় সূত্ৰ পাম।

৬.৩.১ বিন্যাস যেতিয়া সকলো বস্তু পৃথক

প্ৰমেয় 1 $n$টা ভিন্ন বস্তুৰ পৰা $r$টাকৈ লৈ কৰা বিন্যাসৰ সংখ্যা, য’ত $0<r \leq n$ আৰু বস্তুবোৰ পুনৰাবৃত্তি নহয়, হৈছে $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$, যাক ${ }^{n} P_r$ ৰে সূচোৱা হয়।

প্ৰমাণ $r$টা খালী ঠাই $ \underset{\leftarrow r \text{ vacant places} \rightarrow}{\Large{\square \square \square \cdots }} \Large{\square}$

$n$টা বস্তুৰে ভৰোৱাৰ যিমান উপায় আছে সিমান বিন্যাস থাকিব। প্ৰথম ঠাইখন $n$টা উপায়ত ভৰাব পাৰি; তাৰ পিছত, দ্বিতীয় ঠাইখন $(n-1)$টা উপায়ত ভৰাব পাৰি, তাৰ পিছত তৃতীয় ঠাইখন $(n-2)$টা উপায়ত ভৰাব পাৰি,…, $r$ সংখ্যক ঠাইখন $(n-(r-1))$টা উপায়ত ভৰাব পাৰি। গতিকে, ক্ৰমে $r$টা খালী ঠাই ভৰোৱাৰ উপায়ৰ সংখ্যা $n(n-1)(n-2) \ldots(n-(r-1))$ বা $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$

${ }^{n} P$ ৰ এই অভিব্যক্তিটো জটিল আৰু আমাক এটা সংকেতৰ প্ৰয়োজন যিয়ে এই অভিব্যক্তিৰ আকাৰ কমাবলৈ সহায় কৰিব। $n$! ($n$ ফেক্টোৰিয়েল বা $n$ ফেক্টোৰিয়েল হিচাপে পঢ়িব) চিহ্নটোৱে আমাক সহায় কৰে। তলৰ পাঠত আমি প্ৰকৃততে $n$! ৰ অৰ্থ কি শিকিম।

৬.৩.২ ফেক্টোৰিয়েল সংকেত

$n$! চিহ্নটোৱে প্ৰথম $n$টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ গুণফলক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, অৰ্থাৎ, গুণফল $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-1) \times n$ ক $n$ ! ৰে সূচোৱা হয়। আমি এই চিহ্নটো ‘$n$ ফেক্টোৰিয়েল’ হিচাপে পঢ়ো। এতেকে, $1 \times 2 \times 3 \times 4 \ldots \times(n-1) \times n=n$ !

$ \begin{aligned} & 1=1 ! \\ & 1 \times 2=2 ! \\ & 1 \times 2 \times 3=3 ! \\ & 1 \times 2 \times 3 \times 4=4 \text{ ! and so on. } \end{aligned} $

আমি $0 !=1$ সংজ্ঞায়িত কৰো

আমি লিখিব পাৰো $5 !=5 \times 4 !=5 \times 4 \times 3 !=5 \times 4 \times 3 \times 2$ !

$$ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \text{ ! } $$

স্পষ্টতেই, এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা $n$ ৰ বাবে

$$ \begin{array}{rlrl} n ! & =n(n-1) ! & \\ & =n(n-1)(n-2) ! & & \text { [ provided } n \geq 2] \\ & =n(n-1)(n-2)(n-3) ! & & \text { [ provided } n \geq 3] \end{array} $$

আৰু ইত্যাদি।

উদাহৰণ 5 নিৰ্ণয় কৰা

(i) 5 !

(ii) 7 !

(iii) $7 !-5$ !

সমাধান

(i) $5 !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$

(ii) 7 ! $=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040$

আৰু

(iii) $7 !-5 !=5040-120=4920$।

উদাহৰণ 6 গণনা কৰা (i) $\frac{7 !}{5 !}$

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}$

সমাধান

(i) আমি পাইছো $\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 !}=7 \times 6=42$

আৰু

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}=\frac{12 \times 11 \times(10 !)}{(10 !) \times(2)}=6 \times 11=66$।

উদাহৰণ 7 $\frac{n !}{r !(n-r) !}$ নিৰ্ণয় কৰা, যেতিয়া $n=5, r=2$।

সমাধান আমি $\frac{5 !}{2 !(5-2) !}($ নিৰ্ণয় কৰিব লাগিব কিয়নো $n=5, r=2)$

আমি পাইছো $\quad \frac{5 !}{2 !(5-2) !}=\frac{5 !}{2 ! \times 3 !}=\frac{5 \times 4}{2}=10$

উদাহৰণ 8 যদি $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 !}=\frac{x}{10 !}$, $x$ উলিওৱা।

সমাধান আমি পাইছো $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 \times 8 !}=\frac{x}{10 \times 9 \times 8 !}$

গতিকে $1+\frac{1}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$ বা $\frac{10}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$

এতেকে

$ x=100 . $

৬.৩.৩ ${ }^{n} P_r$ ৰ সূত্ৰৰ উৎপত্তি

$ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

আহক আমি এতিয়া সেই স্তলৈ উভতি যাওঁ য’ত আমি তলৰ সূত্ৰটো নিৰ্ধাৰণ কৰিছিলো:

$$ { }^{n} P_r=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1) $$

লৱ আৰু হৰক $(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1$ ৰে পূৰণ কৰি, আমি পাইছো

$ { }^{n} P_r=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}{(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}=\frac{n !}{(n-r) !}, $

এতেকে $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !} \text{, where } 0<r \leq n $

এইটো ${ }^{n} P_r$ ৰ বাবে পূৰ্বৰটোতকৈ বহুত সুবিধাজনক অভিব্যক্তি।

বিশেষকৈ, যেতিয়া $r=n,{ }^{n} P_n=\frac{n !}{0 !}=n$ !

বিন্যাস গণনা কৰাটো কেৱল কিছুমান বা সকলো বস্তু একেলগে লৈ সিহঁতক পুনৰ সজোৱাৰ উপায়বোৰ গণনা কৰা। কোনো বস্তু সজোৱাটো সকলো বস্তু এৰি থৈ যোৱাৰ দৰেই আৰু আমি জানো যে এনেকৈ কৰাৰ মাত্ৰ এটা উপায় আছে। গতিকে, আমি পাব পাৰো

$$ { }^{n} P_0=1=\frac{n !}{n !}=\frac{n !}{(n-0) !} \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad \ldots(1) $$

গতিকে, সূত্ৰ (1) $r=0$ ৰ বাবেও প্ৰযোজ্য।

এতেকে $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

প্ৰমেয় 2 $n$টা ভিন্ন বস্তুৰ পৰা $r$টাকৈ লৈ কৰা বিন্যাসৰ সংখ্যা, য’ত পুনৰাবৃত্তি অনুমতি দিয়া হয়, হৈছে $n^{r}$।

প্ৰমাণটো প্ৰমেয় ১ ৰ সৈতে বহুত মিল আৰু পাঠকৰ বাবে ইয়াক উপলব্ধি কৰিবলৈ এৰি দিয়া হৈছে।

ইয়াত, আমি ${ }^{n} P_r$ ৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি পূৰ্বৱৰ্তী বিভাগৰ কিছুমান সমস্যা সমাধান কৰি আছো ইয়াৰ উপযোগিতা চিত্ৰিত কৰিবলৈ।

উদাহৰণ ১ ত, প্ৰয়োজনীয় শব্দৰ সংখ্যা $={ }^{4} P_4=4 !=24$। ইয়াত পুনৰাবৃত্তি অনুমতি নাই। যদি পুনৰাবৃত্তি অনুমতি দিয়া হয়, প্ৰয়োজনীয় শব্দৰ সংখ্যা হ’ব $4^{4}=256$।

NUMBER শব্দটোৰ আখৰবোৰৰ পৰা গঠন কৰিব পৰা ৩-আখৰৰ শব্দৰ সংখ্যা $={ }^{6} P_3=\frac{6 !}{3 !}=4 \times 5 \times 6=120$। ইয়াত, এই ক্ষেত্ৰতো, পুনৰাবৃত্তি অনুমতি নাই। যদি পুনৰাবৃত্তি অনুমতি দিয়া হয়, প্ৰয়োজনীয় শব্দৰ সংখ্যা হ’ব $6^{3}=216$।

১২ জন ব্যক্তিৰ গোট এটাৰ পৰা এজন সভাপতি আৰু এজন উপ-সভাপতি কিমান উপায়ে বাছনি কৰিব পাৰি যি ধৰি লয় যে এজন ব্যক্তিয়ে এটাতকৈ বেছি পদ বহন কৰিব নোৱাৰে, স্পষ্টতেই

$${ }^{12} P_2=\frac{12 !}{10 !}=11 \times 12=132$$।

৬.৩.৪ বিন্যাস যেতিয়া সকলো বস্তু পৃথক নহয়

ধৰা হওক আমি ROOT শব্দটোৰ আখৰবোৰ পুনৰ সজোৱাৰ উপায়ৰ সংখ্যা উলিয়াব লাগে। এই ক্ষেত্ৰত, শব্দটোৰ আখৰবোৰ সকলো পৃথক নহয়। ইয়াত $2 Os$ আছে, যিবোৰ একে ধৰণৰ। আহক আমি অস্থায়ীভাৱে, $2 Os$ ক পৃথক বুলি গণ্য কৰো, যেনে, $O_1$ আৰু $O_2$। এই ক্ষেত্ৰত, ৪টা ভিন্ন আখৰৰ একেলগে লোৱা বিন্যাসৰ সংখ্যা ৪ !। এই বিন্যাসবোৰৰ যিকোনো এটা বিবেচনা কৰা, যেনে, $RO_1 O_2 T$। এই বিন্যাসৰ সৈতে মিল খাই, আমি ২ ! বিন্যাস $RO_1 O_2 T$ আৰু $RO_2 O_1 T$ পাইছো যিবোৰ হ’ব একেবাৰে একে বিন্যাস যদি $O_1$ আৰু $O_2$ ক পৃথক বুলি গণ্য নকৰা হয়, অৰ্থাৎ, যদি $O_1$ আৰু $O_2$ একে $O$ দুয়োটা স্থানত। গতিকে, প্ৰয়োজনীয় বিন্যাসৰ সংখ্যা $=\frac{4 !}{2 !}=3 \times 4=12$।

বিন্যাস যেতিয়া $O_1, O_2$ পৃথক। বিন্যাস যেতিয়া $O_1, O_2$ একে $O$।

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{T} \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROTO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{T} \mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \\ \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{TORO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RTO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RTO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{RTOO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{TRO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{TRO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{TROO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{RT} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OORT}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \mathrm{~T} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{RO}_1 \mathrm{~T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OROT}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TO}_1 \mathrm{R}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OTOR}$

$\left.\begin{array}{lll}\mathrm{O}_1 \mathrm{R} \mathrm{TO}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{R} \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ORTO}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{TR}_2 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TRO}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OTRO}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \text { TR } \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OOTR}$

আহক আমি এতিয়া INSTITUTE শব্দটোৰ আখৰবোৰ পুনৰ সজোৱাৰ উপায়ৰ সংখ্যা উলিয়াওঁ। এই ক্ষেত্ৰত ৯টা আখৰ আছে, য’ত I ২বাৰ আৰু $T$ ৩বাৰ উপস্থিত হয়।

অস্থায়ীভাৱে, আহক আমি এই আখৰবোৰক পৃথক বুলি গণ্য কৰো আৰু $I_1, I_2, T_1, T_2, T_3$ নাম দিওঁ। এই ক্ষেত্ৰত, ৯টা ভিন্ন আখৰৰ একেলগে লোৱা বিন্যাসৰ সংখ্যা ৯ !। এনে এটা বিন্যাস বিবেচনা কৰা, যেনে, $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UE_3$। ইয়াত যদি $I_1, I_2$ একে নহয় আৰু $T_1, T_2, T_3$ একে নহয়, তেন্তে $I_1, I_2$ ক ২ ! উপায়ত সজাব পাৰি আৰু $T_1, T_2, T_3$ ক ৩ ! উপায়ত সজাব পাৰি। গতিকে, $2 ! \times 3$ ! বিন্যাস হ’ব এই বাছনি কৰা বিন্যাস $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UET_3$ ৰ সৈতে মিল খোৱা একেবাৰে একে বিন্যাস। এতেকে, মুঠ ভিন্ন বিন্যাসৰ সংখ্যা হ’ব $\frac{9 !}{2 ! 3 !}$

আমি (প্ৰমাণ নকৰাকৈ) তলৰ প্ৰমেয়বোৰ উল্লেখ কৰিব পাৰো:

প্ৰমেয় 3 $n$টা বস্তুৰ বিন্যাসৰ সংখ্যা, য’ত $p$টা বস্তু একে ধৰণৰ আৰু বাকীবোৰ সকলো পৃথক $=\frac{n !}{p !}$।

প্ৰকৃততে, আমাৰ এটা অধিক সাধাৰণ প্ৰমেয় আছে।

প্ৰমেয় 4 $n$টা বস্তুৰ বিন্যাসৰ সংখ্যা, য’ত $p_1$টা বস্তু প্ৰথম ধৰণৰ, $p_2$টা দ্বিতীয় ধৰণৰ, …, $p_k$টা $k^{\text{th }}$ সংখ্যক ধৰণৰ আৰু বাকী, যদি থাকে, পৃথক ধৰণৰ হৈছে $\frac{n !}{p_1 ! p_2 ! \ldots p_k !}$।

উদাহৰণ 9 ALLAHABAD শব্দটোৰ আখৰবোৰৰ বিন্যাসৰ সংখ্যা উলিওৱা।

সমাধান ইয়াত, ৯টা বস্তু (আখৰ) আছে য’ত ৪টা A, ২টা L আৰু বাকীবোৰ সকলো পৃথক। গতিকে, প্ৰয়োজনীয় বিন্যাসৰ সংখ্যা

$$=\frac{9 !}{4 ! 2 !}=\frac{5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9}{2}=7560$$

উদাহৰণ 10 ১ ৰ পৰা ৯ লৈ অংকবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি কিমানটা ৪-অংকৰ সংখ্যা গঠন কৰিব পাৰি যদি অংকবোৰৰ পুনৰাবৃত্তি অনুমতি নাই?

সমাধান ইয়াত ক্ৰমটোৱে গুৰুত্ব বহন কৰে উদাহৰণস্বৰূপে ১২৩৪ আৰু ১৩২৪ দুটা ভিন্ন সংখ্যা। গতিকে, ৯টা ভিন্ন অংকৰ পৰা ৪টাকৈ লৈ কৰা বিন্যাস যিমান থাকিব সিমান ৪ অংকৰ সংখ্যা থাকিব।

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় ৪ অংকৰ সংখ্যা $={ }^{9} P_4=\frac{9 !}{(9-4) !}=\frac{9 !}{5 !}=9 \times 8 \times 7 \times 6=3024$।

উদাহৰণ 11 অংকবোৰ $0,1,2,3,4,5$ ৰ সৈতে কিমানটা সংখ্যা ১০০ আৰু ১০০০ ৰ মাজত গঠন কৰিব পাৰি, যদি অংকবোৰৰ পুনৰাবৃত্তি অনুমতি নাই?

সমাধান ১০০ আৰু ১০০০ ৰ মাজৰ প্ৰতিটো সংখ্যা এটা ৩-অংকৰ সংখ্যা। আমি, প্ৰথমে, ৬টা অংকৰ পৰা ৩টাকৈ লৈ কৰা বিন্যাসৰ সংখ্যা গণনা কৰিব লাগিব। এই সংখ্যাটো হ’ব ${ }^{6} P_3$। কিন্তু, এই বিন্যাসবোৰত সেইবোৰো অন্তৰ্ভুক্ত হ’ব য’ত ০ শতকৰ স্থানত আছে। উদাহৰণস্বৰূপে, $092,042, \ldots$, আদি এনে সংখ্যা যিবোৰ প্ৰকৃততে ২-অংকৰ সংখ্যা আৰু গতিকে এনে সংখ্যাৰ সংখ্যা ${ }^{6} P_3$ ৰ পৰা বিয়োগ কৰিব লাগিব প্ৰয়োজনীয় সংখ্যা পাবলৈ। এনে সংখ্যাৰ সংখ্যা পাবলৈ, আমি ০ ক শতকৰ স্থানত স্থিৰ কৰো আৰু বাকী ৫টা অংক ২টাকৈ লৈ পুনৰ সজাওঁ। এই সংখ্যাটো হৈছে ${ }^{5} P_2$। গতিকে

প্ৰয়োজনীয় সংখ্যা $\quad={ }^{6} P_3-{ }^{5} P_2=\frac{6 !}{3 !}-\frac{5 !}{3 !}$

$ =4 \times 5 \times 6-4 \times 5=100 $

উদাহৰণ 12 $n$ ৰ মান উলিওৱা যাতে (i) ${ }^{n} P_5=42{ }^{n} P_3, n>4$ (ii) $\frac{{ }^{n} P_4}{{ }^{n-1} P_4}=\frac{5}{3}, n>4$

সমাধান (i) দিয়া আছে যে

$$ { }^{n} \mathrm{P} _{5}=42{ }^{n} \mathrm{P} _{3} $$

বা $\quad \quad \quad \quad$ $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=42 n(n-1)(n-2)$

যিহেতু $\quad \quad \quad \quad$ $n>4 \quad$ গতিকে $n(n-1)(n-2) \neq 0$

এতেকে, $n(n-1)(n-2)$ ৰে দুয়োপক্ষক ভাগ কৰি, আমি পাইছো

$$\begin{array}{ll} {} & (n-3(n-4)=42 \\ \text{or}\quad\quad & n^{2}-7 n-30=0 \\ \text{or} & n^{2}-10 n+3 n-30 \\ \text{or} & (n-10)(n+3)=0 \\ \text{or} & n-10=0 \text{ or } \quad n+3=0 \\ \text{or} & n=10 \quad \text{ or } \quad n=-3 \end{array}$$

যিহেতু $n$ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে, গতিকে $n=10$।

(ii) দিয়া আছে যে $\frac{{ }^{n} P _4}{{ }^{n-1} P _4}=\frac{5}{3}$

গতিকে $\quad \quad 3 n(n-1)(n-2)(n-3)=5(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$

বা $\quad \quad3 n=5(n-4) \quad[$ যিহেতু $(n-1)(n-2)(n-3) \neq 0, n>4]$

বা $\quad \quad n=10$।

উদাহৰণ 13 $r$ উলিওৱা, যদি $5{ }^{4} P_r=6{ }^{5} P _{r-1}$।

সমাধান আমি পাইছো $5{ }^{4} P_r=6{ }^{5} P _{r-1}$

বা $ \quad\quad5 \times \frac{4 !}{(4-r) !}=6 \times \frac{5 !}{(5-r+1) !} $

বা $ \quad\quad\frac{5 !}{(4-r) !}=\frac{6 \times 5 !}{(5-r+1)(5-r)(5-r-1) !} $

বা $\quad(6-r)(5-r)=6$

বা $\quad r^{2}-11 r+24=0$

বা $\quad r^{2}-8 r-3 r+24=0$

বা $\quad(r-8)(r-3)=0$

বা $\quad r=8$ বা $r=3$।

এতেকে $\quad r=8,3$।

উদাহৰণ 14 DAUGHTER শব্দটোৰ আখৰবোৰৰ পৰা কৰিব পৰা ৮টা আখৰৰ বিন্যাসৰ সংখ্যা উলিওৱা যাতে

(i) সকলো স্বৰ একেলগে থাকে

(ii) সকলো স্বৰ একেলগে নাথাকে।

সমাধান (i) DAUGHTER শব্দটোত ৮টা ভিন্ন আখৰ আছে, য’ত ৩টা স্বৰ আছে, অৰ্থাৎ A, U আৰু E। যিহেতু স্বৰবোৰ একেলগে থাকিব লাগিব, আমি অস্থায়ীভাৱে, সিহঁতক এটা একক বস্তু (AUE) হিচাপে গণ্য কৰিব পাৰো। এই একক বস্তুটো ৫টা বাকী থকা