গণিত হৈছে এক অতি সঠিক বিজ্ঞান আৰু ইয়াৰ সিদ্ধান্তসমূহ সম্পূৰ্ণ প্ৰমাণযোগ্য। - চি.পি. ষ্টাইনমেটজ

৭.১ ভূমিকা

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি $a+b$ আৰু $a-b$ৰ দৰে দ্বিপদী ৰাশিৰ বৰ্গ আৰু ঘনফল কেনেকৈ উলিয়াব লাগে শিকিছিলোঁ। সেইবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি আমি $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$ আদি সংখ্যাৰ সংখ্যাগত মান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰিছিলোঁ। কিন্তু $(98)^{5},(101)^{6}$ আদি উচ্চ ঘাতৰ বাবে, পুনৰাবৃত্তি গুণনৰ দ্বাৰা গণনাসমূহ কঠিন হৈ পৰে। এই অসুবিধা দ্বিপদী উপপাদ্য নামৰ এটা উপপাদ্যৰ দ্বাৰা দূৰীভূত কৰা হৈছিল। ই $(a+b)^{n}$ ক সম্প্ৰসাৰণ কৰিবলৈ এক সহজ উপায় দিয়ে, য’ত $n$ এটা অখণ্ড সংখ্যা বা এটা পৰিমেয় সংখ্যা। এই অধ্যায়ত, আমি কেৱল ধনাত্মক অখণ্ড সূচকৰ বাবে দ্বিপদী উপপাদ্য অধ্যয়ন কৰিম।

ব্লেইজ পাস্কেল (১৬২৩-১৬৬২ খ্ৰীষ্টাব্দ)

৭.২ ধনাত্মক অখণ্ড সূচকৰ বাবে দ্বিপদী উপপাদ্য

আগতে কৰা নিম্নলিখিত অভেদসমূহলৈ এবাৰ চাওঁ আহক:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

এই সম্প্ৰসাৰণসমূহত, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে

(i) সম্প্ৰসাৰণটোৰ মুঠ পদৰ সংখ্যা সূচকতকৈ এটা বেছি। উদাহৰণস্বৰূপে, $(a+b)^{2}$ ৰ সম্প্ৰসাৰণত, পদৰ সংখ্যা 3 কিন্তু $(a+b)^{2}$ ৰ সূচক 2।

(ii) প্ৰথম ৰাশি ‘$a$’ ৰ ঘাতবোৰ ক্ৰমে 1 কৰি কমি যায় আনহাতে দ্বিতীয় ৰাশি ‘$b$’ ৰ ঘাতবোৰ ক্ৰমিক পদবোৰত 1 কৰি বাঢ়ে।

(iii) সম্প্ৰসাৰণৰ প্ৰতিটো পদত, $a$ আৰু $b$ ৰ সূচকৰ যোগফল একে আৰু $a+b$ ৰ সূচকৰ সমান।

আমি এতিয়া এই সম্প্ৰসাৰণবোৰৰ সহগবোৰ নিম্নলিখিত ধৰণে সজাইছোঁ (চিত্ৰ ৭.১):

চিত্ৰ ৭.১

এই তালিকাখনত আমি কোনো এটা নমুনা লক্ষ্য কৰিছোঁনে যিয়ে আমাক পৰৱৰ্তী শাৰীটো লিখাত সহায় কৰিব? হয়, কৰিছোঁ। দেখা গৈছে যে সূচক 1 ৰ বাবে থকা শাৰীত 1 বোৰ যোগ কৰিলে সূচক 2 ৰ বাবে থকা শাৰীত 2 ওলায়। সূচক 2 ৰ বাবে থকা শাৰীত 1,2 আৰু 2, 1 যোগ কৰিলে সূচক 3 ৰ বাবে থকা শাৰীত 3 আৰু 3 ওলায় ইত্যাদি। লগতে, প্ৰতিটো শাৰীৰ আৰম্ভণি আৰু শেষত 1 থাকে। ইয়াক আমাৰ আৱশ্যকীয় যিকোনো সূচকলৈকে অব্যাহত ৰাখিব পাৰি।

আমি চিত্ৰ ৭.২ ত দিয়া নমুনাটো আৰু কেইবাশাৰীও লিখি সম্প্ৰসাৰিত কৰিব পাৰোঁ।

পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজ

চিত্ৰ ৭.২ ত দিয়া গঠনটো এটা ত্ৰিভুজৰ দৰে দেখা যায় যাৰ শীৰ্ষবিন্দুত 1 আছে আৰু দুয়োটা ঢালু বাহুৰে তললৈ গৈছে। সংখ্যাবোৰৰ এই বিন্যাসটো ফৰাচী গণিতজ্ঞ ব্লেইজ পাস্কেলৰ নামানুসৰি পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজ হিচাপে জনাজাত। ই পিঙলাৰ দ্বাৰা মেৰু প্ৰস্তৰা হিচাপেও জনাজাত।

পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজ ব্যৱহাৰ কৰি দ্বিপদী ৰাশিৰ উচ্চ ঘাতৰ সম্প্ৰসাৰণো সম্ভৱ। আহক $(2 x+3 y)^{5}$ ক পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজ ব্যৱহাৰ কৰি সম্প্ৰসাৰণ কৰোঁ। সূচক 5 ৰ বাবে শাৰীটো হৈছে

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

এই শাৰীটো আৰু আমাৰ লক্ষণ (i), (ii) আৰু (iii) ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

এতিয়া, যদি আমি $(2 x+3 y)^{12}$ ৰ সম্প্ৰসাৰণ বিচাৰোঁ, তেন্তে প্ৰথমে সূচক 12 ৰ বাবে শাৰীটো পাবলগীয়া হয়। পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজৰ সূচক 12 লৈকে সকলো শাৰী লিখি ইয়াক কৰিব পাৰি। এইটো অলপ দীঘলীয়া প্ৰক্ৰিয়া। আপুনি লক্ষ্য কৰাৰ দৰে, যদি আমি আৰু বেছি ডাঙৰ ঘাতৰ সম্প্ৰসাৰণৰ প্ৰয়োজন হয় তেন্তে এই প্ৰক্ৰিয়াটো আৰু কঠিন হৈ পৰিব।

গতিকে আমি এনে এটা নিয়ম বিচাৰিবলৈ চেষ্টা কৰোঁ যিয়ে আমাক পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজৰ আগৰ শাৰীবোৰ নিলিখাকৈ যিকোনো ঘাতৰ বাবে দ্বিপদী ৰাশিৰ সম্প্ৰসাৰণ উলিয়াবলৈ সহায় কৰিব।

ইয়াৰ বাবে, আমি পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজত থকা সংখ্যাবোৰ পুনৰ লিখিবলৈ আগতে অধ্যয়ন কৰা সংযোগৰ ধাৰণাটো ব্যৱহাৰ কৰোঁ। আমি জানো যে ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ আৰু $n$ এটা অঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। লগতে, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজটো এতিয়া এনেদৰে পুনৰ লিখিব পাৰি (চিত্ৰ ৭.৩)

চিত্ৰ ৭.৩ পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজ

এই নমুনাটো লক্ষ্য কৰি, আমি এতিয়া আগৰ শাৰীবোৰ নিলিখাকৈ যিকোনো সূচকৰ বাবে পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজৰ শাৰীটো লিখিব পাৰোঁ। উদাহৰণস্বৰূপে, সূচক 7 ৰ বাবে শাৰীটো হ’ব

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

এইদৰে, এই শাৰীটো আৰু লক্ষণ (i), (ii) আৰু (iii) ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

এতিয়া দ্বিপদী ৰাশি এটাৰ যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সূচক যেনে $n$ ৰ সম্প্ৰসাৰণক এই লক্ষণবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি কল্পনা কৰিব পাৰি। আমি এতিয়া যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সূচকৰ বাবে দ্বিপদী ৰাশি এটাৰ সম্প্ৰসাৰণ লিখিবলৈ সক্ষম।

৭.২.১ যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা $n$ ৰ বাবে দ্বিপদী উপপাদ্য,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

প্ৰমাণ গাণিতিক আৰোহৰ নীতি প্ৰয়োগ কৰি প্ৰমাণটো পোৱা যায়।

দিয়া উক্তিটো হ’ব

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ ৰ বাবে, আমি পাওঁ

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

গতিকে, $P(1)$ সত্য।

ধৰি লওক $P(k)$ কিছুমান ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা $k$ ৰ বাবে সত্য, অৰ্থাৎ

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

আমি প্ৰমাণ কৰিম যে $P(k+1)$ ও সত্য, অৰ্থাৎ,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

এতিয়া, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [প্ৰকৃত গুণনৰ দ্বাৰা] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [একেধৰণৰ পদবোৰ গোট কৰি] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ আৰু $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ ব্যৱহাৰ কৰি)

এইদৰে, ই প্ৰমাণিত হৈছে যে $P(k+1)$ সত্য যেতিয়া $P(k)$ সত্য। গতিকে, গাণিতিক আৰোহৰ নীতি অনুসৰি, $P(n)$ প্ৰতিটো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা $n$ ৰ বাবে সত্য।

আমি $(x+2)^{6}$ ক সম্প্ৰসাৰণ কৰি এই উপপাদ্যটো স্পষ্ট কৰিম:

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

এইদৰে $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$।

লক্ষণসমূহ

1. সংকেত $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ ৰ অৰ্থ হৈছে

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, য’ত $b^{0}=1=a^{n-n}$।

গতিকে উপপাদ্যটো এনেদৰেও উল্লেখ কৰিব পাৰি

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. দ্বিপদী উপপাদ্যত উপস্থিত হোৱা সহগ ${ }^{n} C_r$ বোৰক দ্বিপদী সহগ বুলি জনা যায়।

3. $(a+b)^{n}$ ৰ সম্প্ৰসাৰণত $(n+1)$ টা পদ আছে, অৰ্থাৎ সূচকতকৈ এটা বেছি।

4. সম্প্ৰসাৰণৰ ক্ৰমিক পদবোৰত $a$ ৰ সূচক একক হ্ৰাস হৈ যায়। ই প্ৰথম পদত $n$, দ্বিতীয় পদত $(n-1)$, ইত্যাদি আৰু শেষ পদত শূন্য। একে সময়তে $b$ ৰ সূচক একক বৃদ্ধি হৈ যায়, প্ৰথম পদত শূন্যৰ পৰা আৰম্ভ হৈ দ্বিতীয় পদত 1, ইত্যাদি আৰু শেষ পদত $n$ লৈ শেষ হয়।

5. $(a+b)^{n}$ ৰ সম্প্ৰসাৰণত, $a$ আৰু $b$ ৰ সূচকৰ যোগফল প্ৰথম পদত $n+0=n$, দ্বিতীয় পদত $(n-1)+1=n$ ইত্যাদি শেষ পদত $0+n=n$। এইদৰে, দেখা যায় যে $a$ আৰু $b$ ৰ সূচকৰ যোগফল সম্প্ৰসাৰণৰ প্ৰতিটো পদত $n$।

৭.২.২ কিছুমান বিশেষ ক্ষেত্ৰ

$(a+b)^{n}$ ৰ সম্প্ৰসাৰণত,

(i) $a=x$ আৰু $b=-y$ লৈ, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

এইদৰে $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) $a=1, b=x$ লৈ, আমি পাওঁ

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

এইদৰে $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

নিৰ্দিষ্টকৈ, $x=1$ ৰ বাবে, আমি পাওঁ

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) $a=1, b=-x$ লৈ, আমি পাওঁ

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

নিৰ্দিষ্টকৈ, $x=1$ ৰ বাবে, আমি পাওঁ

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

উদাহৰণ ১ $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ ক সম্প্ৰসাৰণ কৰক

সমাধান দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

উদাহৰণ ২ $(98)^{5}$ গণনা কৰক।

সমাধান আমি 98 ক দুটা সংখ্যাৰ যোগফল বা পাৰ্থক্য হিচাপে প্ৰকাশ কৰোঁ যাৰ ঘাত সহজে গণনা কৰিব পাৰি, আৰু তাৰ পিছত দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰোঁ।

লিখক $98=100-2$

গতিকে, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

উদাহৰণ ৩ কোনটো ডাঙৰ (1.01) ${ }^{1000000}$ নে 10,000 ?

সমাধান 1.01 ক ভাগ কৰি আৰু দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰথম কেইটামান পদ লিখোঁ

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\ & =1+10000+\text{ other positive terms } \\ & >10000 \end{aligned} $

গতিকে $\quad(1.01)^{1000000}>10000$

উদাহৰণ ৪ দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি, প্ৰমাণ কৰক যে $6^{n}-5 n$ ৰ 25 ৰে হৰণ কৰিলে সদায় ভাগশেষ 1 থাকে।

সমাধান দুটা সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ বাবে যদি আমি $q$ আৰু $r$ সংখ্যা দুটা এনেকৈ বিচাৰি পাওঁ যে $a=b q+r$, তেন্তে আমি কওঁ যে $b$ ৰে $a$ ক ভাগ কৰিলে $q$ ভাগফল আৰু $r$ ভাগশেষ হয়। গতিকে, ই দেখুৱাবলৈ যে $6^{n}-5 n$ ৰ 25 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 1 থাকে, আমি প্ৰমাণ কৰোঁ যে $6^{n}-5 n=25 k+1$, য’ত $k$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা।

আমাৰ আছে

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$a=5$ ৰ বাবে, আমি পাওঁ

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

অৰ্থাৎ $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

অৰ্থাৎ $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

বা $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

বা $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$

ই দেখুৱায় যে $25,6^{n}-5 n$ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 1 থাকে।

সাৰাংশ

• যিকোনো ধনাত্মক অখণ্ড $n$ ৰ বাবে দ্বিপদী ৰাশিৰ সম্প্ৰসাৰণ দ্বিপদী উপপাদ্যৰ দ্বাৰা দিয়া হয়, যিটো হৈছে $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$

• সম্প্ৰসাৰণবোৰৰ সহগবোৰ এটা বিন্যাসত সজোৱা থাকে। এই বিন্যাসটোক পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজ বোলা হয়।

ঐতিহাসিক টোকা

প্ৰাচীন ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকলে $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ ৰ সম্প্ৰসাৰণত থকা সহগবোৰৰ বিষয়ে জানিছিল। এই সহগবোৰৰ বিন্যাসটো মেৰু-প্ৰস্তৰা নামৰ চিত্ৰ এটাৰ ৰূপত আছিল, যিটো পিঙলাই তেওঁৰ কিতাপ ছন্দ শাস্ত্ৰত (২০০ খ্ৰীষ্টপূৰ্ব) দিছিল। এই ত্ৰিভুজাকাৰ বিন্যাসটো ১৩০৩ চনত চীনা গণিতজ্ঞ চু-শি-কিয়েৰ কামতো পোৱা গৈছিল। দ্বিপদী সহগ শব্দটো প্ৰথমবাৰৰ বাবে জাৰ্মান গণিতজ্ঞ মাইকেল ষ্টিপেল (১৪৮৬-১৫৬৭)ৰ দ্বাৰা প্ৰায় ১৫৪৪ চনত সোমাইছিল। বম্বেলি (১৫৭২) য়ে $(a+b)^{n}$ ৰ সম্প্ৰসাৰণৰ সহগবোৰ $n=1,2 \ldots, 7$ ৰ বাবেও দিছিল আৰু ওট্ৰেড (১৬৩১) য়ে $n=1,2, \ldots, 10$ ৰ বাবে দিছিল। পাটীগণিত ত্ৰিভুজ, যাক সাধাৰণতে পাস্কেলৰ ত্ৰিভুজ বুলি জনা যায় আৰু পিঙলাৰ মেৰুপ্ৰস্তৰাৰ সৈতে সাদৃশ্যপূৰ্ণ, ফৰাচী গণিতজ্ঞ ব্লেইজ পাস্কেল (১৬২৩-১৬৬২) ৰ দ্বাৰা ১৬৬৫ চনত গঠন কৰা হৈছিল।

$n$ ৰ অখণ্ড মানৰ বাবে দ্বিপদী উপপাদ্যৰ বৰ্তমান ৰূপটো ট্ৰেট ডু ট্ৰিয়াংগে এৰিথমেটিক নামৰ গ্ৰন্থত দেখা গৈছিল, যিটো পাস্কেলে লিখিছিল আৰু তেওঁৰ মৃত্যুৰ পিছত ১৬৬৫ চনত প্ৰকাশ পাইছিল।