৮.১ পৰিচয়

গণিতত “অনুক্রম” শব্দটো সাধাৰণ ইংৰাজীৰ দৰেই ব্যৱহাৰ কৰা হয়। যেতিয়া আমি কওঁ যে বস্তুৰ এক সংগ্ৰহ এটা অনুক্রমত তালিকাভুক্ত কৰা হৈছে, তেতিয়া আমি সাধাৰণতে ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল যে সংগ্ৰহটো এনেদৰে সজোৱা হৈছে যে ইয়াৰ প্ৰথম সদস্য, দ্বিতীয় সদস্য, তৃতীয় সদস্য আদি চিনাক্ত কৰিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, বিভিন্ন সময়ত মানুহ বা বেক্টেৰিয়াৰ জনসংখ্যাই এটা অনুক্রম গঠন কৰে। বহু বছৰ ধৰি বেংকত জমা কৰা ধনৰ পৰিমাণে এটা অনুক্রম গঠন কৰে। নিৰ্দিষ্ট সামগ্ৰীৰ হ্ৰাস পোৱা মূল্যবোৰ এটা অনুক্রমত ঘটে। মানুহৰ কাৰ্যকলাপৰ বিভিন্ন ক্ষেত্ৰত অনুক্রমৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰয়োগ আছে।

নিৰ্দিষ্ট নমুনা অনুসৰণ কৰা অনুসমূহক প্ৰগতি বোলা হয়। আগৰ শ্ৰেণীত, আমি সমান্তৰ প্ৰগতি (A.P.)ৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছিলো। এই অধ্যায়ত, A.P.ৰ বিষয়ে অধিক আলোচনা কৰাৰ উপৰিও; সমান্তৰীয় মাধ্য, গুণোত্তৰ মাধ্য, A.M. আৰু G.M.ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক, স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ $n$ পদলৈ যোগফল, স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গৰ $n$ পদলৈ যোগফল আৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ $n$ পদলৈ যোগফলৰ ৰূপত বিশেষ শ্ৰেণীসমূহো অধ্যয়ন কৰা হ’ব।

৮.২ অনুক্রম

আমি তলৰ উদাহৰণবোৰ বিবেচনা কৰোঁ আহক:

ধৰি লওক যে ৩০ বছৰৰ এটা প্ৰজন্মৰ ব্যৱধান আছে, আমি ৩০০ বছৰৰ ভিতৰত এজন ব্যক্তিৰ কিমানজন পূৰ্বপুৰুষ, অৰ্থাৎ পিতৃ-মাতৃ, ককা-আইতা, পৰককা-পৰআইতা আদি থাকিব পাৰে সেয়া বিচাৰিবলৈ কৈছো।

ইয়াত, মুঠ প্ৰজন্মৰ সংখ্যা $=\frac{300}{30}=10$

প্ৰথম, দ্বিতীয়, তৃতীয়, …, দশম প্ৰজন্মৰ বাবে ব্যক্তিৰ পূৰ্বপুৰুষৰ সংখ্যা হ’ল $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$। এই সংখ্যাবোৰে আমি যাক অনুক্রম বোলো সেয়া গঠন কৰে।

৩ৰে ১০ক ভাগ কৰোঁতে ভাগ কৰাৰ বিভিন্ন স্তৰত আমি পোৱা ক্ৰমিক ভাগফলবোৰ বিবেচনা কৰক। এই প্ৰক্ৰিয়াত আমি $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ আদি পোৱা। এই ভাগফলবোৰেও এটা অনুক্রম গঠন কৰে। অনুক্রমত উপস্থিত হোৱা বিভিন্ন সংখ্যাবোৰক ইয়াৰ পদ বোলা হয়। আমি অনুক্রমৰ পদবোৰক $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ আদিৰে সূচিত কৰোঁ, সাবস্ক্ৰিপ্টবোৰে পদটোৰ স্থান সূচায়। $n^{\text{th }}$ পদটো হৈছে অনুক্রমৰ $n^{\text{th }}$ স্থানত থকা সংখ্যা আৰু ইয়াক $a_n$ৰে সূচিত কৰা হয়। $n^{\text{th }}$ পদটোক অনুক্রমৰ সাধাৰণ পদ বুলিও কোৱা হয়।

এইদৰে, ওপৰত উল্লেখ কৰা ব্যক্তিৰ পূৰ্বপুৰুষৰ অনুক্রমৰ পদবোৰ হ’ল:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

একেদৰে, ক্ৰমিক ভাগফলৰ উদাহৰণত

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

সসীম সংখ্যক পদ থকা অনুক্রমক সসীম অনুক্রম বোলা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, পূৰ্বপুৰুষৰ অনুক্রমটো এটা সসীম অনুক্রম কাৰণ ইয়াত ১০টা পদ আছে (এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যা)।

এটা অনুক্রমক অসীম বুলি কোৱা হয়, যদি ই সসীম অনুক্রম নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ওপৰত উল্লেখ কৰা ক্ৰমিক ভাগফলৰ অনুক্রমটো এটা অসীম অনুক্রম, অসীম অৰ্থত যে ই কেতিয়াও শেষ নহয়।

প্ৰায়ে, বীজগণিতীয় সূত্ৰৰ ৰূপত অনুক্রমৰ বিভিন্ন পদ উৎপন্ন কৰা নিয়মটো প্ৰকাশ কৰাটো সম্ভৱ হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, স্বাভাৱিক যুগ্ম সংখ্যাৰ অনুক্রম $2,4,6, \ldots$ বিবেচনা কৰক

$ \begin{aligned} & \text{ ইয়াত } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, আৰু ইত্যাদি। } \end{aligned} $

প্ৰকৃততে, আমি দেখো যে এই অনুক্রমৰ $n^{\text{th }}$ পদটো $a_n=2 n$ হিচাপে লিখিব পাৰি, য’ত $n$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা। একেদৰে, স্বাভাৱিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ অনুক্রম $1,3,5, \ldots$ত, $n^{\text{th }}$ পদটো $a_n=2 n-1$ সূত্ৰৰে দিয়া হয়, য’ত $n$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা। কিছুমান ক্ষেত্ৰত, $1,1,2,3,5,8, .$ৰ দৰে সংখ্যাৰ এটা বিন্যাসৰ কোনো দৃশ্যমান নমুনা নাথাকে, কিন্তু অনুক্রমটো তলত দিয়া পুনৰাবৃত্তি সম্পৰ্কৰ দ্বাৰা উৎপন্ন হয়

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

এই অনুক্রমটোক ফিবনাচি অনুক্রম বোলা হয়।

মৌলিক সংখ্যাৰ অনুক্রম $2,3,5,7, \ldots$ত, আমি দেখো যে $n^{\text{th }}$ মৌলিক সংখ্যাৰ বাবে কোনো সূত্ৰ নাই। এনে অনুক্রম কেৱল মৌখিক বৰ্ণনাৰে বৰ্ণনা কৰিব পাৰি।

প্ৰতিটো অনুক্রমত, ইয়াৰ পদবোৰ অৱশ্যই নিৰ্দিষ্ট সূত্ৰৰ দ্বাৰা দিয়া হ’ব বুলি আমি আশা কৰিব নালাগে। তথাপিও, আমি $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ পদবোৰ ক্ৰমে উৎপন্ন কৰাৰ বাবে এটা তাত্ত্বিক পদ্ধতি বা নিয়ম আশা কৰো।

ওপৰৰ দৃষ্টিভংগীৰ পৰা, অনুক্রমক এটা ফাংচন হিচাপে গণ্য কৰিব পাৰি যাৰ ড’মেইন হৈছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি বা ইয়াৰ কিছুমান উপসংহতি। কেতিয়াবা, আমি $a_n$ৰ বাবে ফাংচনেল ন’টেচন a(n) ব্যৱহাৰ কৰো।

৮.৩ শ্ৰেণী

ধৰি লওক $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, এটা দিয়া অনুক্রম। তেন্তে, অভিব্যক্তিটো $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ দিয়া অনুক্রমৰ সৈতে জড়িত শ্ৰেণী বুলি কোৱা হয়। শ্ৰেণীটো সসীম বা অসীম হয় দিয়া অনুক্রম সসীম বা অসীম হোৱাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি। শ্ৰেণীবোৰ প্ৰায়ে কম্পেক্ট ৰূপত, চিগমা ন’টেচন নামেৰে জনাজাত, গ্ৰীক আখৰ $\sum$ (চিগমা) ব্যৱহাৰ কৰি জড়িত যোগফল সূচিত কৰা হৈছে। এইদৰে, শ্ৰেণী $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ক সংক্ষিপ্ত কৰা হয় $\sum_{k=1}^{n} a_k$ হিচাপে।

টোকা যেতিয়া শ্ৰেণী শব্দটো ব্যৱহাৰ কৰা হয়, ই সূচিত যোগফলটোক বুজায়, যোগফলটো নিজেই নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, $1+3+5+7$ হৈছে চাৰিটা পদ থকা এটা সসীম শ্ৰেণী। যেতিয়া আমি “শ্ৰেণীৰ যোগফল” বাক্যাংশটো ব্যৱহাৰ কৰো, তেতিয়া আমি পদবোৰ যোগ কৰি পোৱা সংখ্যাটো বুজাম, শ্ৰেণীটোৰ যোগফল হৈছে ১৬।

আমি এতিয়া কিছুমান উদাহৰণ বিবেচনা কৰো।

উদাহৰণ ১ তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত প্ৰতিটো অনুক্রমৰ প্ৰথম তিনিটা পদ লিখক:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

সমাধান (i) ইয়াত $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ প্রতিস্থাপন কৰি, আমি পাওঁ $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

সেয়েহে, প্ৰয়োজনীয় পদবোৰ হৈছে ৭, ৯ আৰু ১১।

(ii) ইয়াত $a_n=\frac{n-3}{4}$। এইদৰে, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

সেয়েহে, প্ৰথম তিনিটা পদ হৈছে $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ আৰু ০।

উদাহৰণ ২ তলৰ ধৰণে সংজ্ঞায়িত অনুক্রমটোৰ $20^{\text{th }}$ পদটো কি? $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ সমাধান $n=20$ ৰাখি, আমি পাওঁ

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৩ ধৰি লওক অনুক্রম $a_n$ তলৰ ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

প্ৰথম পাঁচটা পদ উলিয়াওক আৰু সংশ্লিষ্ট শ্ৰেণী লিখক।

সমাধান আমি পাইছো

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

সেয়েহে, অনুক্রমটোৰ প্ৰথম পাঁচটা পদ হৈছে $1,3,5,7$ আৰু ৯। সংশ্লিষ্ট শ্ৰেণীটো হৈছে $1+3+5+7+9+\ldots$

৮.৪ গুণোত্তৰ প্ৰগতি (G. P.)

আমি তলৰ অনুক্রমবোৰ বিবেচনা কৰোঁ:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

এই অনুসমূহৰ প্ৰতিটোত, ইহঁতৰ পদবোৰ কেনেকৈ আগবাঢ়ে? আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে প্ৰথম পদটো বাদ দি প্ৰতিটো পদ নিৰ্দিষ্ট ক্ৰমত আগবাঢ়ে।

(i) ত, আমি পাওঁ $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ আদি।

(ii) ত, আমি লক্ষ্য কৰো, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ আদি।

একেদৰে, ক’ব পাৰিবনে যে (iii) ত পদবোৰ কেনেকৈ আগবাঢ়ে? প্ৰত্যেক ক্ষেত্ৰত দেখা যায় যে, প্ৰথম পদটো বাদ দি প্ৰতিটো পদ ইয়াৰ ঠিক আগৰ পদটোৰ সৈতে এটা ধ্ৰুৱক অনুপাত বহন কৰে। (i) ত, এই ধ্ৰুৱক অনুপাতটো হৈছে ২; (ii) ত, ই হৈছে $-\frac{1}{3}$ আৰু (iii) ত, ধ্ৰুৱক অনুপাতটো হৈছে ০.০১। এনে অনুসমূহক গুণোত্তৰ অনুক্রম বা গুণোত্তৰ প্ৰগতি বোলা হয় যাক G.P. হিচাপে সংক্ষিপ্ত কৰা হয়।

এটা অনুক্রম $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ক গুণোত্তৰ প্ৰগতি বুলি কোৱা হয়, যদি প্ৰতিটো পদ অশূন্য হয় আৰু $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (ধ্ৰুৱক), $k \geq 1$ৰ বাবে।

$a_1=a$ ৰাখি, আমি এটা গুণোত্তৰ প্ৰগতি, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$, পাইছো, য’ত $a$ক প্ৰথম পদ বোলা হয় আৰু $r$ক G.P. ৰ সাধাৰণ অনুপাত বোলা হয়। ওপৰৰ গুণোত্তৰ প্ৰগতি (i), (ii) আৰু (iii) ত সাধাৰণ অনুপাত ক্ৰমে $2,-\frac{1}{3}$ আৰু ০.০১।

সমান্তৰ প্ৰগতিৰ ক্ষেত্ৰত যিদৰে, ডাঙৰ সংখ্যক পদ থকা গুণোত্তৰ প্ৰগতিৰ $n^{\text{th }}$ পদ বা $n$ পদৰ যোগফল উলিওৱাটো আমি পৰৱৰ্তী বিভাগত বিকশিত কৰা সূত্ৰসমূহ ব্যৱহাৰ নকৰাকৈ কঠিন হ’ব, সেইদৰেই। আমি এই সূত্ৰসমূহৰ সৈতে তলৰ চিহ্নসমূহ ব্যৱহাৰ কৰিম:

$ \begin{aligned} & a=\text{ প্ৰথম পদ, } r=\text{ সাধাৰণ অনুপাত, } l=\text{ শেষ পদ, } \\ & n=\text{ পদৰ সংখ্যা, } \\ & S_n=\text{ প্ৰথম } n \text{ পদৰ যোগফল। } \end{aligned} $

৮.৪.১ $a$ G.P. ৰ সাধাৰণ পদ

আমি ‘$a$’ প্ৰথম অশূন্য পদ আৰু ‘$r$’ সাধাৰণ অনুপাতৰ সৈতে এটা G.P. বিবেচনা কৰোঁ। ইয়াৰ কেইটামান পদ লিখক। দ্বিতীয় পদটো $a$ক $r$ৰে পূৰণ কৰি পোৱা যায়, এইদৰে $a_2=a r$। একেদৰে, তৃতীয় পদটো $a_2$ক $r$ৰে পূৰণ কৰি পোৱা যায়। এইদৰে, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, আদি।

আমি ইয়াত এইবোৰ আৰু আৰু কেইটামান পদ তলত লিখোঁ।

$1^{\text{st }}$ পদ $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ পদ $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ পদ $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ পদ $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ পদ $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

আপুনি এটা নমুনা দেখিব পাৰেনে? $16^{\text{th }}$ পদটো কি হ’ব?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

সেয়েহে, নমুনাটোৱে সূচায় যে G.P. ৰ $n^{\text{th }}$ পদটো $a_n=a r^{n-1}$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয়। এইদৰে, $a$, G.P. ক $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ হিচাপে লিখিব পাৰি G.P. টো সসীম বা অসীম হোৱাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি। শ্ৰেণী $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ বা $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ক ক্ৰমে সসীম বা অসীম গুণোত্তৰ শ্ৰেণী বোলা হয়।

৮.৪.২. $n$ পদলৈ $a$ G.P. ৰ যোগফল

ধৰি লওক G.P. ৰ প্ৰথম পদটো $a$ আৰু সাধাৰণ অনুপাতটো $r$। আমি G.P. ৰ প্ৰথম $n$ পদলৈ যোগফলক $S_n$ৰে সূচিত কৰোঁ। তেন্তে

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ক্ষেত্ৰ ১ যদি $r=1$, আমি পাওঁ $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ পদ $)=n a$

ক্ষেত্ৰ ২ যদি $r \neq 1$, (1) ক $r$ৰে পূৰণ কৰি, আমি পাওঁ

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(1) ৰ পৰা (2) বিয়োগ কৰি, আমি পাওঁ $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

ইয়ে দিয়ে

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

উদাহৰণ ৪ G.P. $5,25,125, \ldots$ ৰ $10^{\text{th }}$ আৰু $n^{\text{th }}$ পদবোৰ উলিয়াওক।

সমাধান ইয়াত $a=5$ আৰু $r=5$। এইদৰে, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$ আৰু $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$।

উদাহৰণ ৫ G.P., ২,৮,৩২,… $n$ পদলৈৰ কোনটো পদ ১৩১০৭২?

সমাধান ধৰি লওক ১৩১০৭২ হৈছে দিয়া G.P. ৰ $n^{\text{th }}$ পদ। ইয়াত $a=2$ আৰু $r=4$।

সেয়েহে $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ বা $65536=4^{n-1}$

ইয়ে দিয়ে $\quad 4^{8}=4^{n-1}$।

যাতে $n-1=8$, অৰ্থাৎ, $n=9$। সেয়েহে, ১৩১০৭২ হৈছে G.P. ৰ $9^{\text{th }}$ পদ।

উদাহৰণ ৬ এটা G.P. ত, $3^{\text{rd }}$ পদটো ২৪ আৰু $6^{\text{th }}$ পদটো ১৯২। $10^{\text{th }}$ পদটো উলিয়াওক।

সমাধান ইয়াত, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

আৰু $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) ক (1) ৰে হৰণ কৰি, আমি পাওঁ $r=2$। (1) ত $r=2$ প্রতিস্থাপন কৰি, আমি পাওঁ $a=6$।

সেয়েহে $a _{10}=6(2)^{9}=3072$।

উদাহৰণ ৭ গুণোত্তৰ শ্ৰেণী $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$ ৰ প্ৰথম $n$ পদৰ যোগফল আৰু প্ৰথম ৫টা পদৰ যোগফল উলিয়াওক।

সমাধান ইয়াত $a=1$ আৰু $r=\frac{2}{3}$। সেয়েহে

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

নিৰ্দিষ্টভাৱে, $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$।

উদাহৰণ ৮ G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ ৰ কিমানটা পদৰ প্ৰয়োজন $sum \frac{3069}{512} ?$ দিবলৈ?

সমাধান ধৰি লওক $n$ হৈছে প্ৰয়োজনীয় পদৰ সংখ্যা। দিয়া আছে যে $a=3, r=\frac{1}{2}$ আৰু $S_n=\frac{3069}{512}$

কাৰণ $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

সেয়েহে $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

বা $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

বা $\quad \quad \quad \frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

বা $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ which gives } n=10$

উদাহৰণ ৯ এটা G.P. ৰ প্ৰথম তিনিটা পদৰ যোগফল $\frac{13}{12}$ আৰু ইহঁতৰ গুণফল -১। সাধাৰণ অনুপাত আৰু পদবোৰ উলিয়াওক।

সমাধান ধৰি লওক $\frac{a}{r}, a$, ar হৈছে G.P. ৰ প্ৰথম তিনিটা পদ। তেন্তে

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

আৰু $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) ৰ পৰা, আমি পাওঁ $a^{3}=-1$, অৰ্থাৎ, $a=-1$ (কেৱল বাস্তৱ মূল বিবেচনা কৰি)

(1) ত $a=-1$ প্রতিস্থাপন কৰি, আমি পাওঁ

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ or } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $$

ই হৈছে $r$ ৰ এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ, সমাধান কৰি আমি পাওঁ $r=-\frac{3}{4}$ বা $-\frac{4}{3}$।

এইদৰে, G.P. ৰ তিনিটা পদ হৈছে: $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$, $r=\frac{-3}{4}$ৰ বাবে আৰু $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$, $r=\frac{-4}{3}$ৰ বাবে,

উদাহৰণ১০ অনুক্রম ৭, ৭৭, ৭৭৭, ৭৭৭৭, … ৰ $n$ পদলৈ যোগফল উলিয়াওক।

সমাধান ই G.P. নহয়, তথাপিও, পদবোৰ তলত দিয়া ধৰণে লিখি ইয়াক G.P. ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত কৰিব পাৰি:

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ } n \text{ পদলৈ } $ $ \begin{aligned} & =\frac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ } n \text{ পদলৈ }] \\ & =\frac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+(10^{4}-1)+\ldots n \text{ পদ }] \\ & =\frac{7}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+\ldots n \text{ পদ })-(1+1+1+\ldots n \text{ পদ })] \\ & =\frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]=\frac{7}{9}\left[\frac{10(10^{n}-1)}{9}-n \right] . \end{aligned} $

উদাহৰণ ১১ এজন ব্যক্তিৰ ২জন পিতৃ-মাতৃ, ৪জন ককা-আইতা, ৮জন পৰককা-পৰআইতা আদি আছে। তেওঁৰ নিজৰ আগৰ দহটা প্ৰজন্মৰ সময়ত তেওঁৰ পূৰ্বপুৰুষৰ সংখ্যা উলিয়াওক।

সমাধান ইয়াত $a=2, r=2$ আৰু $n=10$

যোগফল সূত্ৰ $\quad S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ $ \quad\quad\quad\quad S_{10}=2(2^{10}-1)=2046 $

সেয়েহে, ব্যক্তিজনৰ আগৰ পূৰ্বপুৰুষৰ সংখ্যা হৈছে ২০৪৬।

৮.৪.৩ গুণোত্তৰ মাধ্য (G.M.)

দুটা ধনাত্মক সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ গুণোত্তৰ মাধ্য হৈছে সংখ্যাটো $\sqrt{a b}$। সেয়েহে, ২ আৰু ৮ ৰ গুণোত্তৰ মাধ্য হৈছে ৪। আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে তিনিটা সংখ্যা $2,4,8$ হৈছে G.P. ৰ ক্ৰমিক পদ। ই দুটা সংখ্যাৰ গুণোত্তৰ মাধ্যৰ ধাৰণাটোৰ সাধাৰণীকৰণলৈ লৈ যায়।

যিকোনো দুটা ধনাত্মক সংখ্যা $a$ আৰু $b$ দিয়া হ’লে, ফলত হোৱা অনুক্রমটো G.P. হ’বলৈ আমি ইহঁতৰ মাজত যিমানেই সংখ্যা সুমুৱাব পাৰোঁ।

ধৰি লওক $G_1, G_2, \ldots, G_n$ হৈছে ধনাত্মক সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ মাজত থকা $n$ সংখ্যা যাতে $a, G_1, G_2, G_3, \ldots, G_n, b$ এটা G.P. হয়। এইদৰে, $b$ $(n+2)^{\text{th }}$ পদ হোৱা হেতুকে, আমি পাওঁ

$ b=a r^{n+1}, \quad \text{ বা } \quad r=(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}} \text{. } $

সেয়েহে $G_1=a r=a(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}, G_2=a r^{2}=a(\frac{b}{a})^{\frac{2}{n+1}}, G_3=a r^{3}=a(\frac{b}{a})^{\frac{3}{n+1}}$,

$$ G_n=a r^{n}=a(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n+1}} $$

উদাহৰণ১২ ১ আৰু ২৫৬ৰ মাজত তিনিটা সংখ্যা সুমুৱাওক যাতে ফলত হোৱা অনুক্রমটো G.P. হয়।

সমাধান ধৰি লওক $G_1, G_2, G_3$ হৈছে ১ আৰু ২৫৬ৰ মাজত থকা তিনিটা সংখ্যা যাতে $1, G_1, G_2, G_3, 256$ এটা G.P. হয়।

সেয়েহে $\quad 256=r^{4}$য়ে দিয়ে $r= \pm 4$ (কেৱল বাস্তৱ মূল লৈ)

$r=4$ৰ বাবে, আমি পাওঁ $G_1=a r=4, G_2=a r^{2}=16, G_3=a r^{3}=64$

একেদৰে, $r=-4$ৰ বাবে, সংখ্যাবোৰ হৈছে $-4,16$ আৰু -৬৪।

সেয়েহে, আমি ১ আৰু ২৫৬ৰ মাজত ৪, ১৬, ৬৪ সুমুৱাব পাৰোঁ যাতে ফলত হোৱা অনুসমূহ G.P. ত থাকে।

৮.৫ A.M. আৰু G.M.ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক

ধৰি লওক $A$ আৰু $G$ হৈছে ক্ৰমে দুটা দিয়া ধনাত্মক বাস্তৱ সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ A.M. আৰু G.M.। তেন্তে

$$ A=\frac{a+b}{2} \text{ and } G=\sqrt{a b} $$

এইদৰে, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} A-G & =\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2} \\ & =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} $

(1) ৰ পৰা, আমি সম্পৰ্কটো $A \geq G$ পাওঁ।

উদাহৰণ ১৩ যদি দুটা ধনাত্মক সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ A.M. আৰু G.M. ক্ৰমে ১০ আৰু ৮ হয়, তেন্তে সংখ্যাবোৰ উলিয়াওক।

সমাধান দিয়া আছে যে A.M. $=\frac{a+b}{2}=10 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

আৰু $ \text{ G.M. }=\sqrt{a b}=8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(1) আৰু (2) ৰ পৰা, আমি পাওঁ

$$ \begin{aligned} & a+b=20 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3)\\ & a b=64 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $$

সূচক পৰিচয় $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$ ত (3), (4) ৰ পৰা $a$ আৰু $b$ ৰ মান ৰাখি, আমি পাওঁ

$$(a-b)^{2}=400-256=144$$

বা $\quad \quad \quad a-b= \pm 12 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$

(3) আৰু (5) সমাধান কৰি, আমি পাওঁ

$$ a=4, b=16 \text{ or } a=16, b=4 $$

এইদৰে, সংখ্যাবোৰ $a$ আৰু $b$ হৈছে ক্ৰমে ৪,১৬ বা ১৬,৪।

বিবিধ উদাহৰণ

উদাহৰণ ১৪ যদি $a, b, c, d$ আৰু $p$ বেলেগ বেলেগ বাস্তৱ সংখ্যা যাতে $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$, তেন্তে দেখুওৱা যে $a, b, c$ আৰু $d$ G.P. ত আছে।

সমাধান দিয়া আছে যে

$ (a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

কিন্তু L.H.S.

$ =(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2})+(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2})+(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}), $

যিয়ে দিয়ে $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

বাস্তৱ সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল অঋণাত্মক হোৱা হেতুকে, সেয়েহে (1) আৰু (2) ৰ পৰা, আমি পাওঁ, $\quad(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

বা

$ a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0 $

ইয়ে সূচায় যে $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$

সেয়েহে $a, b, c$ আৰু $d$ G.P. ত আছে।

সাৰাংশ

অনুক্রমৰ দ্বাৰা, আমি নিৰ্দিষ্ট নিয়ম অনুসৰি সংখ্যাৰ এটা বিন্যাস বুজো। লগতে, আমি অনুক্রমক এটা ফাংচন হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰো যাৰ ড’মেইন হৈছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি বা ${1,2,3, \ldots . k}$ ধৰণৰ কিছুমান উপসংহতি। সসীম সংখ্যক পদ থকা অনুক্রমক সসীম অনুক্রম বোলা হয়। অনুক্রমক অসীম বুলি কোৱা হয় যদি ই সসীম অনুক্রম নহয়।

ধৰি লওক $a_1, a_2, a_3, \ldots$ হৈছে অনুক্রম, তেন্তে $a_1+a_2+a_3+\ldots$ ৰূপে প্ৰকাশ কৰা যোগফলটোক শ্ৰেণী বোলা হয়। শ্ৰেণীটোক সসীম শ্ৰেণী বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াত সসীম সংখ্যক পদ থাকে।

এটা অনুক্রমক গুণোত্তৰ প্ৰগতি বা G.P. বুলি কোৱা হয়, যদি ইয়াৰ যিকোনো পদৰ পূৰ্বৰ পদটোৰ সৈতে অনুপাতটো সকলো ঠাইতে একে হয়। এই ধ্ৰুৱক উৎপাদকটোক সাধাৰণ অনুপাত বোলা হয়। সাধাৰণতে, আমি G.P. ৰ প্ৰথম পদটোক $a$ৰে আৰু ইয়াৰ সাধাৰণ অনুপাতক $r$ৰে সূচিত কৰো। G.P. ৰ সাধাৰণ বা $n^{\text{th }}$ পদটো $a_n=a r^{n-1}$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয়।

G.P. ৰ প্ৰথম $n$ পদৰ যোগফল $S_n$ $\mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$ বা $\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয় যদি $r \neq 1$

যিকোনো দুটা ধনাত্মক সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ গুণোত্তৰ মাধ্য (G.M.) $\sqrt{a b}$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয় অৰ্থাৎ, অনুক্রম $a, G, b$ হৈছে G.P.

ঐতিহাসিক টোকা

প্ৰমাণ পোৱা গৈছে যে বেবিলনীয়াসকলে, প্ৰায় ৪০০০ বছৰ আগতে, সমান্তৰ আৰু গুণোত্তৰ অনুসমূহৰ বিষয়ে জানিছিল। বোথিয়াছ (৫১০)ৰ মতে, সমান্তৰ আৰু গুণোত্তৰ অনুসমূহ প্ৰাচীন গ্ৰীক লেখকসকলৰ বাবে জনাজাত আছিল। ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকলৰ মাজত, আৰ্যভট্ট (৪৭৬) আছিল প্ৰথমজনে যিয়ে ৪৯৯ চনৰ আশে-পাশে লিখা তেওঁৰ বিখ্যাত গ্ৰন্থ আৰ্যভটীয়মত স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বৰ্গ আৰু ঘনৰ যোগফলৰ সূত্ৰ দিছিল। তেওঁ $p^{\text{th }}$ পদৰ পৰা আৰম্ভ হোৱা সমান্তৰ অনুক্রমৰ $n$ পদলৈ যোগফল উলিওৱাৰ সূত্ৰটোও দিছিল। বিখ্যাত ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ ব্ৰহ্মগুপ্ত (৫৯৮), মহাবীৰ (৮৫০) আৰু ভাস্কৰ (১১১৪-১১৮৫) য়েও বৰ্গ আৰু ঘনৰ যোগফল বিবেচনা কৰিছিল। গণিতত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰয়োগ থকা আন এক নিৰ্দিষ্ট ধৰণৰ অনুক্রম, যাক ফিবনাচি অনুক্রম বোলা হয়, ইটালিয়ান গণিতজ্ঞ লিওনাৰ্ড ফিবনাচি (১১৭০-১২৫০)ৰ দ্বাৰা আৱিষ্কাৰ কৰা হৈছিল। সপ্তদশ শতিকাই শ্ৰেণীসমূহক নিৰ্দিষ্ট ৰূপত