জ্যামিতি, যুক্তিবাদী ব্যৱস্থা হিচাপে, শিশুসকলক মানৱ আত্মাৰ শক্তি অনুভৱ কৰাবলৈ এটা মাধ্যম আৰু সম্ভৱতঃ সবাতোকৈ শক্তিশালী মাধ্যম যি তেওঁলোকৰ নিজৰ আত্মাৰেই শক্তি। - এইচ. ফ্ৰয়ডেনথেল

৯.১ পৰিচয়

আমি আগৰ শ্ৰেণীসমূহৰ পৰা দ্বি-মাত্ৰিক স্থানাংক জ্যামিতিৰ সৈতে পৰিচিত। মূলতঃ, ই বীজগণিত আৰু জ্যামিতিৰ সংমিশ্ৰণ। বীজগণিতৰ ব্যৱহাৰ কৰি জ্যামিতিৰ এক পদ্ধতিগত অধ্যয়ন প্ৰথমবাৰৰ বাবে বিখ্যাত ফৰাচী দাৰ্শনিক আৰু গণিতজ্ঞ ৰেনে ডেকাৰ্টে, তেওঁৰ কিতাপ ‘লা জ্যামিত্ৰী’ত (১৬৩৭ চনত প্ৰকাশিত) কৰিছিল। এই কিতাপখনে বক্ৰৰ সমীকৰণৰ ধাৰণা আৰু সম্বন্ধিত বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিসমূহ জ্যামিতিৰ অধ্যয়নলৈ আনি দিছিল। ফলত বিশ্লেষণ আৰু জ্যামিতিৰ সংমিশ্ৰণক এতিয়া বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি বুলি কোৱা হয়। আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি স্থানাংক জ্যামিতিৰ অধ্যয়ন আৰম্ভ কৰিছিলো, য’ত আমি স্থানাংক অক্ষ, স্থানাংক তল, তলত বিন্দু স্থাপন,

দুটা বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব, খণ্ড সূত্ৰ আদিৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছিলো। এই সকলোবোৰ ধাৰণা স্থানাংক জ্যামিতিৰ মূল ভেটি।

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত কৰা স্থানাংক জ্যামিতিৰ বিষয়ে চমুকৈ পুনৰ সোঁৱৰাই লওঁ। পুনৰ স্মৰণ কৰিবলৈ, XY-তলত $(6,-4)$ আৰু $(3,0)$ বিন্দু দুটাৰ অৱস্থান চিত্ৰ ৯.১ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ৯.১

আমি লক্ষ্য কৰিব পাৰো যে $(6,-4)$ বিন্দুটো $y$-অক্ষৰ পৰা ৬ একক দূৰত্বত ধনাত্মক $x$-অক্ষৰ দিশত আৰু $x$-অক্ষৰ পৰা ৪ একক দূৰত্বত ঋণাত্মক $y$-অক্ষৰ দিশত অৱস্থিত। একেদৰে, $(3,0)$ বিন্দুটো $y$-অক্ষৰ পৰা ৩ একক দূৰত্বত ধনাত্মক $x$-অক্ষৰ দিশত আৰু $x$-অক্ষৰ পৰা শূন্য দূৰত্বত অৱস্থিত। সূত্ৰসমূহ:

আমি তাত তলত দিয়া গুৰুত্বপূৰ্ণবোৰো অধ্যয়ন কৰিছিলো:

I. $P(x_1, y_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2)$ বিন্দু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব হৈছে

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

উদাহৰণস্বৰূপে, $(6,-4)$ আৰু $(3,0)$ বিন্দু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব হৈছে

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. $(x_1, y_1)$ আৰু $(x_2, y_2)$ বিন্দু দুটা সংযোগী ৰেখাখণ্ডক $m: n$ অনুপাতত অন্তৰ্বিভক্ত কৰা বিন্দু এটাৰ স্থানাংক হৈছে $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$।

উদাহৰণস্বৰূপে, A $(1,-3)$ আৰু $B(-3,9)$ সংযোগী ৰেখাখণ্ডক $1: 3$ অনুপাতত অন্তৰ্বিভক্ত কৰা বিন্দুটোৰ স্থানাংক দিয়া হৈছে $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$

III. বিশেষকৈ, যদি $m=n$, তেন্তে $(x_1, y_1)$ আৰু $(x_2, y_2)$ বিন্দু দুটা সংযোগী ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দুৰ স্থানাংক হৈছে $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$।

IV. শীৰ্ষবিন্দু $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ আৰু $(x_3, y_3)$ হোৱা ত্ৰিভূজৰ কালি হৈছে

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

উদাহৰণস্বৰূপে, শীৰ্ষবিন্দু $(4,4),(3,-2)$ আৰু $(-3,16)$ হোৱা ত্ৰিভূজৰ কালি হৈছে

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

টোকা যদি ত্ৰিভূজ $ABC$ ৰ কালি শূন্য হয়, তেন্তে তিনিটা বিন্দু $A, B$ আৰু $C$ এডাল ৰেখাত অৱস্থিত, অৰ্থাৎ, সিহঁত সমৰেখীয়।

এই অধ্যায়ত, আমি স্থানাংক জ্যামিতিৰ অধ্যয়ন অব্যাহত ৰাখি সৰলতম জ্যামিতিক আকৃতি - সৰল ৰেখাৰ ধৰ্মসমূহ অধ্যয়ন কৰিম। ইয়াৰ সৰলতা সত্ত্বেও, ৰেখা জ্যামিতিৰ এক গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণা আৰু আমাৰ দৈনন্দিন অভিজ্ঞতাত বহুতো আকৰ্ষণীয় আৰু উপযোগী ধৰণে প্ৰৱেশ কৰে। মুখ্য গুৰুত্ব ৰেখাক বীজগণিতীয়ভাৱে প্ৰকাশ কৰাত, যাৰ বাবে ঢাল আটাইতকৈ প্ৰয়োজনীয়।

৯.২ ৰেখাৰ ঢাল

স্থানাংক তলত এডাল ৰেখাই $x$-অক্ষৰ সৈতে দুটা কোণ গঠন কৰে, যিবোৰ সম্পূৰক। ৰেখাডাল $l$ ৰ দ্বাৰা $x$-অক্ষৰ ধনাত্মক দিশৰ সৈতে কৰা কোণটো (ধৰা হওক) $\theta$ আৰু ঘড়ীৰ কাঁটাৰ বিপৰীত দিশত জোখা হৈছে ৰেখাডালৰ নতি বুলি কোৱা হয়। স্পষ্টতঃ $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (চিত্ৰ ৯.২)।

চিত্ৰ ৯.২

আমি লক্ষ্য কৰো যে $x$-অক্ষৰ সমান্তৰাল, বা $x$-অক্ষৰ লগত মিলি যোৱা ৰেখাসমূহৰ নতি $0^{\circ}$। উলম্ব ৰেখা ($y$-অক্ষৰ সমান্তৰাল বা লগত মিলি যোৱা) এডালৰ নতি হৈছে $90^{\circ}$।

সংজ্ঞা ১ যদি $\theta$ ৰেখা $l$ ৰ নতি হয়, তেন্তে $\tan \theta$ ক ৰেখা $l$ ৰ ঢাল বা গ্ৰেডিয়েণ্ট বুলি কোৱা হয়।

যি ৰেখাৰ নতি $90^{\circ}$, তাৰ ঢাল সংজ্ঞায়িত নহয়। ৰেখাৰ ঢালক $m$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়।

গতিকে, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ ইয়াক লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে $x$-অক্ষৰ ঢাল শূন্য আৰু $y$-অক্ষৰ ঢাল সংজ্ঞায়িত নহয়।

৯.২.১ ৰেখাৰ ঢাল যেতিয়া ৰেখাৰ ওপৰত থকা যিকোনো দুটা বিন্দুৰ স্থানাংক দিয়া থাকে

আমি জানো যে যেতিয়া ৰেখাডালৰ ওপৰত দুটা বিন্দু দিয়া থাকে, তেতিয়া ৰেখাডাল সম্পূৰ্ণৰূপে নিৰ্ধাৰিত হয়। গতিকে, ৰেখাৰ ওপৰত থকা দুটা বিন্দুৰ স্থানাংকৰ মাধ্যমত ৰেখাৰ ঢাল উলিওৱাৰ বাবে আমি আগবাঢ়ো।

ধৰা হওক $P(x_1, y_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2)$ অ-উলম্ব ৰেখা $l$ ৰ ওপৰত দুটা বিন্দু যাৰ নতি $\theta$। স্পষ্টতঃ, $x_1 \neq x_2$, নহ’লে ৰেখাডাল $x$-অক্ষৰ লম্ব হ’ব আৰু ইয়াৰ ঢাল সংজ্ঞায়িত নহ’ব। ৰেখা $l$ ৰ নতি সূক্ষ্ম বা স্থূল হ’ব পাৰে। এই দুটা ক্ষেত্ৰ লওঁ আহক।

$QR$ লম্ব $x$-অক্ষলৈ আৰু $PM$ লম্ব $RQ$ লৈ টনা হৈছে যেনেকৈ চিত্ৰ ৯.৩ (i) আৰু (ii) ত দেখুওৱা হৈছে।

ক্ষেত্ৰ ১ যেতিয়া কোণ $\theta$ সূক্ষ্ম:

চিত্ৰ ৯.৩

(i) ত, $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

গতিকে, ৰেখা $l=m=\tan \theta$ ৰ ঢাল।

কিন্তু $\triangle MPQ$ ত, আমি পাইছো $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

সমীকৰণ (1) আৰু (2) ৰ পৰা, আমি পাইছো

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

ক্ষেত্ৰ II যেতিয়া কোণ $\theta$ স্থূল:

চিত্ৰ ৯.৩

(ii) ত, আমি পাইছো $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$।

গতিকে, $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$।

এতিয়া, ৰেখা $l=m=\tan \theta$ ৰ ঢাল।

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

ফলস্বৰূপে, আমি দেখো যে দুয়োটা ক্ষেত্ৰতে $m$ ৰেখাৰ ঢাল $(x_1, y_1)$ আৰু $(x_2, y_2)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাৰ ঢাল দিয়া হৈছে $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ৰ দ্বাৰা।

৯.২.২ ৰেখাসমূহৰ সমান্তৰালতা আৰু লম্বতাৰ চৰ্ত তেওঁলোকৰ ঢালৰ মাধ্যমত

স্থানাংক তলত, ধৰা হওক যে অ-উলম্ব ৰেখা $l_1$ আৰু $l_2$ ৰ ঢাল ক্ৰমে $m_1$ আৰু $m_2$। তেওঁলোকৰ নতি ক্ৰমে $\alpha$ আৰু $\beta$ হ’ব দিয়া। যদি ৰেখা $\boldsymbol{l_1}$, $\boldsymbol{l_2}$ ৰ সমান্তৰাল (চিত্ৰ ৯.৪), তেন্তে তেওঁলোকৰ নতি সমান, অৰ্থাৎ,

চিত্ৰ ৯.৪

$ \alpha=\beta, \text{ আৰু গতিকে, } \tan \alpha=\tan \beta $

গতিকে $\quad m _{1}=m _{2}$, অৰ্থাৎ, তেওঁলোকৰ ঢাল সমান।

বিপৰীতক্ৰমে, যদি দুডাল ৰেখা $l_1$ আৰু $l_2$ ৰ ঢাল একে, অৰ্থাৎ,

$$ m_1=m_2 $$

তেন্তে

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

টেনজেণ্ট ফাংচনৰ ধৰ্মৰ দ্বাৰা ($0^{\circ}$ আৰু $180^{\circ}$ ৰ মাজত), $\alpha=\beta$।

গতিকে, ৰেখাসমূহ সমান্তৰাল।

সেয়েহে, দুডাল অ-উলম্ব ৰেখা $l_1$ আৰু $l_2$ সমান্তৰাল হ’ব যদি আৰু মাত্ৰ যদি তেওঁলোকৰ ঢাল সমান হয়।

যদি ৰেখা $ \boldsymbol{l_1 } $ আৰু $\boldsymbol{l_2 } $ পৰস্পৰ লম্ব (চিত্ৰ ৯.৫), তেন্তে $\beta=\alpha+90^{\circ}$।

চিত্ৰ ৯.৫

গতিকে, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

অৰ্থাৎ, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ বা $\quad m_1 m_2=-1$

বিপৰীতক্ৰমে, যদি $m_1 m_2=-1$, অৰ্থাৎ, $\tan \alpha \tan \beta=-1$।

তেন্তে $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ বা $\tan (\beta-90^{\circ})$

গতিকে, $\alpha$ আৰু $\beta$ ৰ মাজৰ পাৰ্থক্য $90^{\circ}$।

সেয়েহে, ৰেখা $l_1$ আৰু $l_2$ পৰস্পৰ লম্ব।

সেয়েহে, দুডাল অ-উলম্ব ৰেখা পৰস্পৰ লম্ব হ’ব যদি আৰু মাত্ৰ যদি তেওঁলোকৰ ঢাল পৰস্পৰৰ ঋণাত্মক প্ৰতিলোম হয়,

অৰ্থাৎ, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ বা, $m_1 m_2=-1$।

আমি তলৰ উদাহৰণটো বিবেচনা কৰো।

উদাহৰণ ১ ৰেখাসমূহৰ ঢাল উলিওৱা:

(ক) $(3,-2)$ আৰু $(-1,4)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা,

(খ) $(3,-2)$ আৰু $(7,-2)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা,

(গ) $(3,-2)$ আৰু $(3,4)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা,

(ঘ) $60^{\circ}$ নতিৰ সৈতে $x$-অক্ষৰ ধনাত্মক দিশৰ সৈতে কৰা।

সমাধান (ক) $(3,-2)$ আৰু $(-1,4)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাৰ ঢাল হৈছে

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(খ) $(3,-2)$ আৰু $(7,-2)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাৰ ঢাল হৈছে

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(গ) $(3,-2)$ আৰু $(3,4)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাৰ ঢাল হৈছে

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, যিটো সংজ্ঞায়িত নহয়। } $

(ঘ) ইয়াত ৰেখাৰ নতি $\alpha=60^{\circ}$। গতিকে, ৰেখাৰ ঢাল হৈছে

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

৯.২.৩ দুডাল ৰেখাৰ মাজৰ কোণ

যেতিয়া আমি তলত এডালতকৈ বেছি ৰেখাৰ বিষয়ে চিন্তা কৰো, তেতিয়া আমি দেখো যে এই ৰেখাসমূহ হয় ছেদী নহয় সমান্তৰাল। ইয়াত আমি দুডাল ৰেখাৰ মাজৰ কোণ তেওঁলোকৰ ঢালৰ মাধ্যমত আলোচনা কৰিম।

ধৰা হওক $L_1$ আৰু $L_2$ দুডাল অ-উলম্ব ৰেখা যিৰ ঢাল ক্ৰমে $m_1$ আৰু $m_2$। যদি $\alpha_1$ আৰু $\alpha_2$ ক্ৰমে ৰেখা $L_1$ আৰু $L_2$ ৰ নতি হয়। তেন্তে

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

আমি জানো যে যেতিয়া দুডাল ৰেখাই পৰস্পৰক ছেদ কৰে, তেতিয়া সিহঁতে উলম্ব বিপৰীত কোণৰ দুযোৰা গঠন কৰে যাতে যিকোনো দুটা সংলগ্ন কোণৰ যোগফল $180^{\circ}$ হয়। ধৰা হওক $\theta$ আৰু $\phi$ ৰেখা $L_1$ আৰু $L_2$ ৰ মাজৰ সংলগ্ন কোণ (চিত্ৰ ৯.৬)। তেন্তে

চিত্ৰ ৯.৬

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

গতিকে $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ কাৰণ $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ আৰু $\phi=180^{\circ}-\theta$

যাতে $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, কাৰণ $1+m_1 m_2 \neq 0$

এতিয়া, দুটা ক্ষেত্ৰ ওলায়:

ক্ষেত্ৰ I যদি $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ধনাত্মক হয়, তেন্তে $\tan \theta$ ধনাত্মক হ’ব আৰু $\tan \phi$ ঋণাত্মক হ’ব, যাৰ অৰ্থ হ’ব $\theta$ সূক্ষ্ম হ’ব আৰু $\phi$ স্থূল হ’ব।

ক্ষেত্ৰ II যদি $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ঋণাত্মক হয়, তেন্তে $\tan \theta$ ঋণাত্মক হ’ব আৰু $\tan \phi$ ধনাত্মক হ’ব, যাৰ অৰ্থ হ’ব যে $\theta$ স্থূল হ’ব আৰু $\phi$ সূক্ষ্ম হ’ব।

সেয়েহে, ৰেখা $L_1$ আৰু $L_2$ ৰ মাজৰ সূক্ষ্ম কোণ (ধৰা হওক $\theta$) যিৰ ঢাল ক্ৰমে $m_1$ আৰু $m_2$, তাক দিয়া হৈছে

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ যেনে } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

স্থূল কোণটো (ধৰা হওক $\phi$) $\phi=180^{\circ}-\theta$ ব্যৱহাৰ কৰি পোৱা যাব পাৰে।

উদাহৰণ ২ যদি দুডাল ৰেখাৰ মাজৰ কোণ $\frac{\pi}{4}$ হয় আৰু এডাল ৰেখাৰ ঢাল $\frac{1}{2}$ হয়, আনডাল ৰেখাৰ ঢাল উলিওৱা।

সমাধান আমি জানো যে ঢাল $m_1$ আৰু $m_2$ থকা দুডাল ৰেখাৰ মাজৰ সূক্ষ্ম কোণ $\theta$ দিয়া হৈছে

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

ধৰা হওক $m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$ আৰু $\theta=\frac{\pi}{4}$।

এতিয়া, এই মানবোৰ (1) ত বহুৱাই, আমি পাইছো

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ or } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

যিয়ে দিয়ে $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ বা $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$।

গতিকে $m=3$ বা $m=-\frac{1}{3}$।

সেয়েহে, আনডাল ৰেখাৰ ঢাল হৈছে 3 বা $-\frac{1}{3}$। চিত্ৰ ৯.৭ য়ে দুটা উত্তৰৰ কাৰণ ব্যাখ্যা কৰে।

চিত্ৰ ৯.৭

উদাহৰণ ৩ $(-2,6)$ আৰু $(4,8)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাডাল $(8,12)$ আৰু $(x, 24)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাডালৰ লম্ব। $x$ ৰ মান উলিওৱা।

সমাধান $(-2,6)$ আৰু $(4,8)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাৰ ঢাল হৈছে

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

$(8,12)$ আৰু $(x, 24)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাৰ ঢাল হৈছে

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

কাৰণ দুডাল ৰেখা পৰস্পৰ লম্ব, $m_1 m_2=-1$, যিয়ে দিয়ে

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ or } x=4 \text{. } $$

৯.৩ ৰেখাৰ সমীকৰণৰ বিভিন্ন ৰূপ

আমি জানো যে তলত প্ৰতিটো ৰেখাই ইয়াৰ ওপৰত অসংখ্য বিন্দু ধাৰণ কৰে। ৰেখা আৰু বিন্দুৰ মাজৰ এই সম্পৰ্কই আমাক তলৰ সমস্যাটোৰ সমাধান বিচাৰিবলৈ প্ৰেৰণা যোগায়:

দিয়া ৰেখাডালত দিয়া বিন্দুটো অৱস্থিত বুলি আমি কেনেকৈ ক’ব পাৰো? ইয়াৰ উত্তৰ হ’ব পাৰে যে দিয়া ৰেখাডালৰ বাবে ৰেখাডালত অৱস্থিত বিন্দুবোৰৰ ওপৰত এটা নিৰ্দিষ্ট চৰ্ত থাকিব লাগিব। ধৰা হওক $P(x, y)$ XY-তলত এটা স্বেচ্ছাচাৰী বিন্দু আৰু $L$ হৈছে দিয়া ৰেখাডাল। $L$ ৰ সমীকৰণৰ বাবে, আমি $P$ বিন্দুটোৰ বাবে এটা বিবৃতি বা চৰ্ত গঠন কৰিব বিচাৰো যিটো সত্য, যেতিয়া $P$, $L$ ত থাকে, নহ’লে অসত্য। নিশ্চয়কৈ বিবৃতিটো কেৱল $x$ আৰু $y$ চলক জড়িত বীজগণিতীয় সমীকৰণ এটা। এতিয়া, আমি বিভিন্ন চৰ্তত ৰেখাৰ সমীকৰণ আলোচনা কৰিম।

৯.৩.১ অনুভূমিক আৰু উলম্ব ৰেখা

যদি এডাল অনুভূমিক ৰেখা $L$, $x$ অক্ষৰ পৰা $a$ দূৰত্বত থাকে তেন্তে ৰেখাডালত থকা প্ৰতিটো বিন্দুৰ কোটি হয় $a$ বা $-a$ [চিত্ৰ ৯.৮ (ক)]। গতিকে, ৰেখা $L$ ৰ সমীকৰণ হয় $y=a$ বা $y=-a$। চিহ্নৰ নিৰ্বাচন ৰেখাডালৰ অৱস্থানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰিব যিদৰে ৰেখাডাল $y$-অক্ষৰ ওপৰত বা তলত থাকে। একেদৰে, $y$-অক্ষৰ পৰা $b$ দূৰত্বত থকা উলম্ব ৰেখা এডালৰ সমীকৰণ হয় $x=b$ বা $x=-b$ [চিত্ৰ ৯.৮(খ)]।

উদাহৰণ ৪ $(-2,3)$ ৰ মাজেৰে যোৱা আৰু অক্ষসমূহৰ সমান্তৰাল ৰেখাসমূহৰ সমীকৰণ উলিওৱা।

চিত্ৰ ৯.৯

সমাধান ৰেখাসমূহৰ অৱস্থান চিত্ৰ ৯.৯ ত দেখুওৱা হৈছে। $x$-অক্ষৰ সমান্তৰাল ৰেখাডালৰ প্ৰতিটো বিন্দুৰ $y$-স্থানাংক হৈছে 3, গতিকে, x-অক্ষৰ সমান্তৰাল আৰু $(-2,3)$ ৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাডালৰ সমীকৰণ হৈছে $y=3$। একেদৰে, $y$-অক্ষৰ সমান্তৰাল আৰু $(-2,3)$ ৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাডালৰ সমীকৰণ হৈছে $x=-2$।

৯.৩.২ বিন্দু-ঢাল ৰূপ

ধৰা হওক যে $P_0(x_0, y_0)$ হৈছে অ-উলম্ব ৰেখা $L$ ৰ ওপৰত এটা স্থিৰ বিন্দু, যাৰ ঢাল $m$। ধৰা হওক $P(x, y)$ হৈছে L ৰ ওপৰত এটা স্বেচ্ছাচাৰী বিন্দু (চিত্ৰ ৯.১০)।

চিত্ৰ ৯.১০

তেন্তে, সংজ্ঞা মতে, $L$ ৰ ঢাল দিয়া হৈছে

$ m=\frac{y-y_0}{x-x_0} \text{, অৰ্থাৎ, } y-y_0=m(x-x_0) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

কাৰণ বিন্দু $P_0(x_0, y_0)$, $L$ ৰ ওপৰত থকা সকলো বিন্দু $(x, y)$ ৰ সৈতে (1) ক সন্তুষ্ট কৰে আৰু তলত থকা আন কোনো বিন্দুৱে (1) ক সন্তুষ্ট নকৰে। সমীকৰণ (1) সঁচাকৈয়ে দিয়া ৰেখা $L$ ৰ সমীকৰণ।

সেয়েহে, বিন্দু $(x, y)$, স্থিৰ বিন্দু $(x_0, y_0)$ ৰ মাজেৰে ঢাল $m$ থকা ৰেখাডালত অৱস্থিত হ’ব যদি আৰু মাত্ৰ যদি, ইয়াৰ স্থানাংকসমূহে সমীকৰণক সন্তুষ্ট কৰে

$$ y-y_0=m(x-x_0) $$

উদাহৰণ ৫ $(-2,3)$ ৰ মাজেৰে যোৱা ঢাল -4 থকা ৰেখাৰ সমীকৰণ উলিওৱা।

সমাধান ইয়াত $m=-4$ আৰু দিয়া বিন্দু $(x_0, y_0)$ হৈছে $(-2,3)$।

ওপৰৰ ঢাল-ছেদ ৰূপ সূত্ৰ (1) মতে, দিয়া ৰেখাৰ সমীকৰণ হৈছে

$y-3=-4(x+2)$ বা

$4 x+y+5=0$, যিটো প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণ।

৯.৩.৩ দুই-বিন্দু ৰূপ

ধৰা হওক ৰেখা $L$, দিয়া দুটা বিন্দু $P_1(x_1, y_1)$ আৰু $P_2(x_2, y_2)$ ৰ মাজেৰে যায়। ধৰা হওক $P(x, y)$ হৈছে $L$ ৰ ওপৰত এটা সাধাৰণ বিন্দু (চিত্ৰ ৯.১১)।

তিনিটা বিন্দু $P_1, P_2$ আৰু $P$ সমৰেখীয়, গতিকে, আমি পাইছো

চিত্ৰ ৯.১১ $P_1 P=$ ৰ ঢাল = $P_1 P_2$ ৰ ঢাল

$ \text{ অৰ্থাৎ, } \quad \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \quad \text{ বা } \quad y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \text{. } $

সেয়েহে, $(x_1, y_1)$ আৰু $(x_2, y_2)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাৰ সমীকৰণ দিয়া হৈছে

$$ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

উদাহৰণ ৬ $(1,-1)$ আৰু $(3,5)$ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাৰ সমীকৰণ লিখা।

সমাধান ইয়াত $x_1=1, y_1=-1, x_2=3$ আৰু $y_2=5$। ৰেখাৰ সমীকৰণৰ বাবে ওপৰৰ দুই-বিন্দু ৰূপ (2) ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাইছো

$$ y-(-1)=\frac{5-(-1)}{3-1}(x-1) $$

বা $ -3 x+y+4=0 \text{, যিটো প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণ। } $

৯.৩.৪ ঢাল-ছেদ ৰূপ

কেতিয়াবা ৰেখাডাল ইয়াৰ ঢাল আৰু এটা অক্ষত কৰা ছেদৰ সৈতে আমাক জনা থাকে। আমি এতিয়া এনে ৰেখাৰ সমীকৰণ উলিয়াম।

ক্ষেত্ৰ I ধৰা হওক এডাল ৰেখা $L$ ৰ ঢাল $m$ আৰু ই $y$-অক্ষক মূলবিন্দুৰ পৰা $c$ দূৰত্বত কাটে (চিত্ৰ ৯.১২)। দূৰত্ব $c$ ক ৰেখা L ৰ $y$ ছেদ বুলি কোৱা হয়। স্পষ্টতঃ, যিটো বিন্দুত ৰেখাডালে $y$-অক্ষক লগ কৰে সেই বিন্দুটোৰ স্থানাংক হৈছে $(0, c)$। সেয়েহে, $L$ ৰ ঢাল $m$ আৰু ই স্থিৰ বিন্দু $(0, c)$ ৰ মাজেৰে যায়। গতিকে, বিন্দু-ঢাল ৰূপ মতে, $L$ ৰ সমীকৰণ হৈছে

চিত্ৰ ৯.১২

$$ y-c=m(x-0) $$

বা $\quad y=m x+c$

সেয়েহে, ঢাল $m$ আৰু $y$-ছেদ $c$ থকা ৰেখাডালত থকা $(x, y)$ বিন্দুটো ৰেখাডালত অৱস্থিত হ’ব যদি আৰু মাত্ৰ যদি

$ y=m x+c \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(3) $

লক্ষ্য কৰক যে $c$ ৰ মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হ’ব যিদৰে ছেদটো $y$-অক্ষৰ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক দিশত কৰা হয় তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি।

ক্ষেত্ৰ II ধৰা হওক ৰেখা $L$ ৰ ঢাল $m$ আৰু ই $x$-ছেদ $d$ কৰে। তেন্তে $L$ ৰ সমীকৰণ হৈছে $ y=m(x-d) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(4) $

ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ক্ষেত্ৰ I ত ব্যৱহাৰ কৰা একে পদ্ধতিৰে এই সমীকৰণটো নিজেই উলিয়াব পাৰে।

উদাহৰণ ৭ ৰেখাসমূহৰ সমীকৰণ লিখা যিবোৰৰ বাবে $\tan \theta=\frac{1}{2}$, য’ত $\theta$ হৈছে ৰেখাৰ নতি আৰু (i) $y$-ছেদ হৈছে $-\frac{3}{2}$ (ii) $x$-ছেদ হৈছে 4।

সমাধান (i) ইয়াত, ৰেখাৰ ঢাল হৈছে $m=\tan \theta=\frac{1}{2}$ আৰু $y$ - ছেদ $c=-\frac{3}{2}$।

গতিকে, ওপৰৰ ঢাল-ছেদ ৰূপ (3) মতে, ৰেখাৰ সমীকৰণ হৈছে

$ y=\frac{1}{2} x-\frac{3}{2} \text{ বা } 2 y-x+3=0 \text{, } $

যিটো প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণ।

(ii) ইয়াত, আমি পাইছো $m=\tan \theta=\frac{1}{2}$ আৰু $d=4$।

গতিকে, ওপৰৰ ঢাল-ছেদ ৰূপ (4) মতে, ৰেখাৰ সমীকৰণ হৈছে

$$ y=\frac{1}{2}(x-4) \text{ or } 2 y-x+4=0 \text{, } $$

যিটো প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণ।

৯.৩.৫ ছেদ - ৰূপ

ধৰা হওক এডাল ৰেখা L য়ে অক্ষসমূহত $x$-ছেদ $a$ আৰু $y$-ছেদ $b$ কৰে। স্পষ্টতঃ $L$ য়ে $x$-অক্ষক $(a, 0)$ বিন্দুত আৰু $y$-অক্ষক $(0, b)$ বিন্দুত লগ কৰে (চ