১৩.১ পৰিচয়

আমাৰ দৈনন্দিন জীৱনত আমি বিভিন্ন ধৰণৰ গতি দেখিবলৈ পাওঁ। ইয়াৰে কেইবাটাও বিষয়ে আপুনি ইতিমধ্যে শিকিছে, যেনে, ৰৈখিক গতি আৰু প্ৰক্ষেপ্যৰ গতি। এই দুয়োবিধ গতি পুনৰাবৃত্তিমূলক নহয়। আমি সুষম বৃত্তীয় গতি আৰু সৌৰজগতৰ গ্ৰহসমূহৰ কক্ষীয় গতিৰ বিষয়েও শিকিছোঁ। এই ক্ষেত্ৰত, গতি এটা নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ অন্তৰালৰ পিছত পুনৰাবৃত্তি হয়, অৰ্থাৎ ইয়াৰ পৰ্যায়বৃত্ত গতি। ল’ৰালিকালত আপুনি নিশ্চয় ক্ৰেডলত দোল খোৱা বা জোঁৱাৰত ওলোমা খোৱাৰ আনন্দ উপভোগ কৰিছে। এই দুয়োবিধ গতিয়েই প্ৰকৃতিগতভাৱে পুনৰাবৃত্তিমূলক কিন্তু গ্ৰহৰ পৰ্যায়বৃত্ত গতিৰ পৰা পৃথক। ইয়াত, বস্তুটোৱে এটা মধ্যবিন্দুৰ চাৰিওফালে আগুৱাই আৰু পিছুৱাই যায়। এখন দেৱাল ঘড়ীৰ পেণ্ডুলামেও একেধৰণৰ গতি সম্পন্ন কৰে। এনে পৰ্যায়বৃত্ত আগুৱা-পিছুৱা গতিৰ উদাহৰণ বহুত: নৈত ওপৰ-তল কৰি থকা নাও, বাষ্প ইঞ্জিনৰ পিষ্টনৰ আগুৱা-পিছুৱা গতি, ইত্যাদি। এনে গতিক দোলন গতি বুলি কোৱা হয়। এই অধ্যায়ত আমি এই গতি অধ্যয়ন কৰিম।

দোলন গতিৰ অধ্যয়ন পদাৰ্থবিজ্ঞানৰ বাবে মৌলিক; বহুতো ভৌতিক পৰিঘটনা বুজাত ইয়াৰ ধাৰণাসমূহৰ প্ৰয়োজন। সংগীতৰ বাদ্যযন্ত্ৰ যেনে সিতাৰ, গীটাৰ বা ভায়োলিনত, আমি কম্পমান তাঁৰ দেখিবলৈ পাওঁ যিয়ে মনোৰম শব্দ উৎপন্ন কৰে। ঢোলৰ পত্ৰ আৰু টেলিফোন আৰু স্পীকাৰ ব্যৱস্থাৰ ডায়াফ্ৰামসমূহে তেওঁলোকৰ মধ্যবিন্দুৰ চাৰিওফালে আগুৱাই আৰু পিছুৱাই কঁপি থাকে। বায়ুৰ অণুসমূহৰ কম্পনে শব্দৰ প্ৰসাৰণ সম্ভৱ কৰি তোলে। এটা কঠিন পদাৰ্থত, পৰমাণুবোৰে তেওঁলোকৰ সাম্যাৱস্থাৰ বিন্দুৰ চাৰিওফালে কম্পন কৰে, কম্পনৰ গড় শক্তি উষ্ণতাৰ সমানুপাতিক। পৰিবৰ্তী প্ৰবাহৰ শক্তি যোগানে ভল্টেজ দিয়ে যি মধ্যবিন্দুৰ (শূন্য) চাৰিওফালে ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক হৈ পৰ্যায়ক্ৰমে দোলন কৰে।

পৰ্যায়বৃত্ত গতি, সাধাৰণভাৱে, আৰু দোলন গতি, বিশেষকৈ, বৰ্ণনা কৰিবলৈ কিছুমান মৌলিক ধাৰণাৰ প্ৰয়োজন, যেনে পৰ্যায়কাল, কম্পনাংক, সৰণ, বিস্তাৰ আৰু দশা। এই ধাৰণাসমূহ পৰৱৰ্তী অংশত বিকশিত কৰা হৈছে।

১৩.২ পৰ্যায়বৃত্ত আৰু দোলন গতি

চিত্ৰ ১৩.১-ত কিছুমান পৰ্যায়বৃত্ত গতি দেখুওৱা হৈছে। ধৰি লওক এটা পোক এটা ৰেম্পত উঠি তললৈ পৰে, ই আৰম্ভণি বিন্দুলৈ ঘূৰি আহে আৰু একে প্ৰক্ৰিয়া পুনৰাবৃত্তি কৰে। যদি আপুনি মাটিৰ পৰা ইয়াৰ উচ্চতাৰ বিৰুদ্ধে সময়ৰ লেখ অংকন কৰে, তেন্তে ই চিত্ৰ ১৩.১ (ক)ৰ দৰে হ’ব। যদি এটা ল’ৰাই এটা খুঁটিৰ ওপৰলৈ উঠি, তললৈ নামি আহে, আৰু একে প্ৰক্ৰিয়া পুনৰাবৃত্তি কৰে, তেন্তে মাটিৰ পৰা ইয়াৰ উচ্চতা চিত্ৰ ১৩.১ (খ)ত দেখুওৱাৰ দৰে হ’ব। যেতিয়া আপুনি মাটিৰ পৰা বল এটা আপোনাৰ হাতৰ তলুৱা আৰু মাটিৰ মাজত ওফোন্দাই খেল খেলে, তেতিয়া ইয়াৰ উচ্চতা বনাম সময়ৰ লেখ চিত্ৰ ১৩.১ (গ)ত দেখুওৱাৰ দৰে হ’ব। লক্ষ্য কৰক যে চিত্ৰ ১৩.১ (গ)ৰ দুয়োটা বক্ৰ অংশ হৈছে নিউটনৰ গতিৰ সমীকৰণৰ দ্বাৰা দিয়া পেৰাবোলাৰ অংশ (অনুচ্ছেদ ২.৬ চাওক),

$h=u t+\frac{1}{2} g t^{2}$ তলমুৱা গতিৰ বাবে, আৰু

$h=u t-\frac{1}{2} g t^{2}$ ওপৰমুৱা গতিৰ বাবে,

প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত $u$ ৰ ভিন্ন মানৰ সৈতে। এইবোৰ পৰ্যায়বৃত্ত গতিৰ উদাহৰণ। গতিকে, এটা গতি যি সময়ৰ নিয়মীয়া অন্তৰালত নিজকে পুনৰাবৃত্তি কৰে তাক পৰ্যায়বৃত্ত গতি বোলা হয়।

চিত্ৰ ১৩.১ পৰ্যায়বৃত্ত গতিৰ উদাহৰণ। প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত পৰ্যায়কাল T দেখুওৱা হৈছে।

বহু সময়ত, পৰ্যায়বৃত্ত গতিৰ মাজেৰে যোৱা দেহটোৰ ইয়াৰ পথৰ ভিতৰত ক’ৰবাত এটা সাম্যাৱস্থাৰ অৱস্থান থাকে। যেতিয়া দেহটো এই অৱস্থানত থাকে তেতিয়া ইয়াৰ ওপৰত কোনো নিট্বাহ বল ক্ৰিয়া নকৰে। গতিকে, যদি ইয়াক তাত বিশ্ৰামত এৰি দিয়া হয়, তেন্তে ই সদায় তাতেই থাকে। যদি দেহটোক এই অৱস্থানৰ পৰা অলপ সৰণ কৰোৱা হয়, তেন্তে এটা বল ক্ৰিয়া কৰে যিয়ে দেহটোক সাম্যাৱস্থাৰ বিন্দুলৈ ঘূৰাই অনাৰ চেষ্টা কৰে, যাৰ ফলত দোলন বা কম্পনৰ সৃষ্টি হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, বোলনীত থোৱা বল এটা তলিত সাম্যাৱস্থাত থাকিব। যদি বিন্দুটোৰ পৰা অলপ সৰণ কৰোৱা হয়, তেন্তে ই বোলনীত দোলন সম্পন্ন কৰিব। প্ৰতিটো দোলন গতি পৰ্যায়বৃত্ত, কিন্তু প্ৰতিটো পৰ্যায়বৃত্ত গতি দোলনমূলক হ’ব নালাগে। বৃত্তীয় গতি এটা পৰ্যায়বৃত্ত গতি, কিন্তু ই দোলনমূলক নহয়।

দোলন আৰু কম্পনৰ মাজত কোনো গুৰুত্বপূৰ্ণ পাৰ্থক্য নাই। এনে লাগে যে যেতিয়া কম্পনাংক কম, আমি তাক দোলন বুলি কওঁ (যেনে, গছৰ ডাল এটাৰ দোলন), আনহাতে যেতিয়া কম্পনাংক বেছি, আমি তাক কম্পন বুলি কওঁ (যেনে, সংগীতৰ বাদ্যযন্ত্ৰৰ তাঁৰ এটাৰ কম্পন)।

সৰল স্পন্দীয় গতি হৈছে দোলন গতিৰ সবাতোকৈ সৰল ৰূপ। এই গতিৰ উদ্ভৱ হয় যেতিয়া দোলন কৰা দেহটোৰ ওপৰত ক্ৰিয়া কৰা বল ইয়াৰ মধ্যবিন্দুৰ পৰা সৰণৰ সৈতে প্ৰত্যক্ষভাৱে সমানুপাতিক, যিটো সাম্যাৱস্থাৰ অৱস্থানও হয়। ইয়াৰ উপৰিও, ইয়াৰ দোলনৰ যিকোনো বিন্দুত, এই বল মধ্যবিন্দুৰ ফালে প্ৰেৰিত হয়।

প্ৰকৃততে, দোলন কৰা দেহবোৰ ঘৰ্ষণ আৰু অন্যান্য অপচয়কাৰী কাৰণৰ বাবে নিৰৱনৰ ফলত শেষত তেওঁলোকৰ সাম্যাৱস্থাৰ অৱস্থানত বিশ্ৰাম লয়। অৱশ্যে, কিছুমান বাহ্যিক পৰ্যায়বৃত্ত মাধ্যমৰ সহায়ত ইহতক দোলন কৰি ৰখাবলৈ বাধ্য কৰিব পাৰি। আমি পৰৱৰ্তী অংশত নিৰৱন আৰু বলপ্ৰয়োগকৃত দোলনৰ পৰিঘটনা আলোচনা কৰিম।

যিকোনো পদাৰ্থ মাধ্যমক বহুতো সংযুক্ত দোলকৰ সংগ্ৰহ হিচাপে কল্পনা কৰিব পাৰি। মাধ্যমৰ উপাদানসমূহৰ সমষ্টিগত দোলনে তৰংগ হিচাপে প্ৰকাশ পায়। তৰংগৰ উদাহৰণৰ ভিতৰত পানীৰ তৰংগ, ভূকম্পীয় তৰংগ, বিদ্যুৎচুম্বকীয় তৰংগ আদি অন্তৰ্ভুক্ত। আমি পৰৱৰ্তী অধ্যায়ত তৰংগ পৰিঘটনা অধ্যয়ন কৰিম।

১৩.২.১ পৰ্যায়কাল আৰু কম্পনাংক

আমি দেখিছোঁ যে যিকোনো গতি যি সময়ৰ নিয়মীয়া অন্তৰালত নিজকে পুনৰাবৃত্তি কৰে তাক পৰ্যায়বৃত্ত গতি বোলা হয়। যি সৰ্বনিম্ন সময় অন্তৰালৰ পিছত গতিটো পুনৰাবৃত্তি হয় তাক ইয়াৰ পৰ্যায়কাল বোলা হয়। পৰ্যায়কালক $T$ চিহ্নৰে বুজাওঁ। ইয়াৰ SI একক হৈছে ছেকেণ্ড। পৰ্যায়বৃত্ত গতিসমূহৰ বাবে, যিবোৰ ছেকেণ্ডৰ মাপনীত বেছি বেগী বা বেছি মন্থৰ, সময়ৰ অন্যান্য সুবিধাজনক একক ব্যৱহাৰ কৰা হয়। কোৱাৰ্টজ স্ফটিকৰ কম্পনৰ পৰ্যায়কাল মাইক্ৰছেকেণ্ড $\left(10^{-6} \mathrm{~s}\right)$ ৰ এককত প্ৰকাশ কৰা হয় যাক সংক্ষেপে $\mu \mathrm{s}$ বুলি কোৱা হয়। আনহাতে, বুধ গ্ৰহৰ কক্ষীয় পৰ্যায়কাল হৈছে ৮৮ পৃথিৱী দিন। হেলীৰ ধূমকেতু প্ৰতি ৭৬ বছৰৰ মূৰে মূৰে দেখা দিয়ে।

$T$ ৰ প্ৰতিলোমে প্ৰতি একক সময়ত ঘটা পুনৰাবৃত্তিৰ সংখ্যা দিয়ে। এই ৰাশিটোক পৰ্যায়বৃত্ত গতিৰ কম্পনাংক বোলা হয়। ইয়াক $v$ চিহ্নৰে প্ৰকাশ কৰা হয়। $v$ আৰু $T$ ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক হৈছে

$$ \begin{equation*} v=1 / T \tag{13.1} \end{equation*} $$

গতিকে $v$ ৰ একক হৈছে $\mathrm{s}^{-1}$। ৰেডিঅ’ তৰংগৰ আৱিষ্কাৰক হাইনৰিখ ৰুডল্ফ হাৰ্টজ (১৮৫৭-১৮৯৪)ৰ নামানুসৰি, কম্পনাংকৰ এককটোৰ এটা বিশেষ নাম দিয়া হৈছে। ইয়াক হাৰ্টজ (সংক্ষেপে $\mathrm{Hz}$ ) বোলা হয়। গতিকে,

১ হাৰ্টজ $=1 \mathrm{~Hz}=1$ প্ৰতি ছেকেণ্ডত দোলন $=1 \mathrm{~s}^{-1}$

লক্ষ্য কৰক, কম্পনাংক, $v$, অগত্যা এটা পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়।

উদাহৰণ ১৩.১ গড় হিচাপত, মানুহৰ হৃদপিণ্ড এটাই এক মিনিটত ৭৫ বাৰ স্পন্দন কৰে বুলি পোৱা যায়। ইয়াৰ কম্পনাংক আৰু পৰ্যায়কাল গণনা কৰক।

উত্তৰ হৃদপিণ্ডৰ স্পন্দন কম্পনাংক $=75 /(1 \mathrm{~min})$

$$ \begin{aligned} & =75 /(60 \mathrm{~s}) \\ & =1.25 \mathrm{~s}^{-1} \\ & =1.25 \mathrm{~Hz} \\ \text { The time period } T \quad & =1 /\left(1.25 \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =0.8 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

১৩.২.২ সৰণ

অনুচ্ছেদ ৩.২ত, আমি কণা এটাৰ সৰণক ইয়াৰ অৱস্থান ভেক্টৰৰ পৰিৱৰ্তন হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰিছিলোঁ। এই অধ্যায়ত, আমি সৰণ শব্দটো অধিক সাধাৰণ অৰ্থত ব্যৱহাৰ কৰোঁ। ই বিবেচনাাধীন যিকোনো ভৌতিক ধৰ্মৰ সময়ৰ সৈতে পৰিৱৰ্তনক সূচায়। উদাহৰণস্বৰূপে, এটা পৃষ্ঠত ষ্টীলৰ বল এটাৰ ৰৈখিক গতিৰ ক্ষেত্ৰত, আৰম্ভণি বিন্দুৰ পৰা দূৰত্ব সময়ৰ ফাল্শ্চন হিচাপে ইয়াৰ অৱস্থান সৰণ। মূলবিন্দুৰ নিৰ্বাচন সুবিধাৰ বিষয়। এটা স্প্ৰিঙৰ লগত সংলগ্ন ব্লক এটা বিবেচনা কৰক, স্প্ৰিঙৰ আনটো মূৰ এটা দৃঢ় দেৱাললৈ সংলগ্ন কৰা হৈছে [চিত্ৰ ১৩.২(ক) চাওক]। সাধাৰণতে, দেহটোৰ সৰণ ইয়াৰ সাম্যাৱস্থাৰ অৱস্থানৰ পৰা জোখাটো সুবিধাজনক। দোলন কৰা সৰল পেণ্ডুলাম এটাৰ বাবে, উলম্বৰ পৰা কোণক সময়ৰ ফাল্শ্চন হিচাপে সৰণ চলক হিচাপে গণ্য কৰিব পাৰি [চিত্ৰ ১৩.২(খ) চাওক]। সৰণ শব্দটো সদায় কেৱল অৱস্থানৰ প্ৰসংগত উল্লেখ কৰিবলগীয়া নহয়। আন বহুতো ধৰণৰ সৰণ চলক থাকিব পাৰে। $\mathrm{AC}$ পৰিপথত, সময়ৰ সৈতে পৰিৱৰ্তন হোৱা কেপাচিটৰৰ ওপৰেৰে ভল্টেজও এটা সৰণ চলক। একেদৰে, শব্দ তৰংগৰ প্ৰসাৰণত সময়ৰ সৈতে চাপৰ পৰিৱৰ্তন, পোহৰ তৰংগত পৰিৱৰ্তন হৈ থকা বিদ্যুৎ আৰু চুম্বক ক্ষেত্ৰ আদি হৈছে বিভিন্ন প্ৰসংগত সৰণৰ উদাহৰণ। সৰণ চলকটোৱে ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক দুয়োবিধ মান গ্ৰহণ কৰিব পাৰে। দোলনৰ পৰীক্ষাত, সৰণ বিভিন্ন সময়ৰ বাবে জোখা হয়।

চিত্ৰ ১৩.২(ক) স্প্ৰিঙ এটাৰ লগত সংলগ্ন ব্লক এটা, যাৰ আনটো মূৰ দৃঢ় দেৱাললৈ সংলগ্ন কৰা হৈছে। ব্লকটোৱে ঘৰ্ষণহীন পৃষ্ঠত গতি কৰে। ব্লকটোৰ গতি সাম্যাৱস্থাৰ অৱস্থানৰ পৰা ইয়াৰ দূৰত্ব বা সৰণ x ৰ দ্বাৰা বৰ্ণনা কৰিব পাৰি।

চিত্ৰ ১৩.২(খ) দোলন কৰা সৰল পেণ্ডুলাম এটা; ইয়াৰ গতি উলম্বৰ পৰা কৌণিক সৰণ θ ৰ দ্বাৰা বৰ্ণনা কৰিব পাৰি।

সৰণক সময়ৰ গাণিতিক ফাল্শ্চনৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। পৰ্যায়বৃত্ত গতিৰ ক্ষেত্ৰত, এই ফাল্শ্চন সময়ৰ সৈতে পৰ্যায়বৃত্ত। সবাতোকৈ সৰল পৰ্যায়বৃত্ত ফাল্শ্চনসমূহৰ এটা হৈছে

$$ \begin{equation*} f(t)=A \cos \omega t \tag{13.3a} \end{equation*} $$

যদি এই ফাল্শ্চনৰ আর্গুমেন্ট, $\omega t$, $2 \pi$ ৰেডিয়ানৰ এটা পূৰ্ণ সংখ্যা গুণিতকৰ দ্বাৰা বৃদ্ধি কৰা হয়, তেন্তে ফাল্শ্চনৰ মান একে থাকে। ফাল্শ্চন $f(t)$ তেন্তে পৰ্যায়বৃত্ত আৰু ইয়াৰ পৰ্যায়কাল, $T$, দিয়া হৈছে

$$ \begin{equation*} T=\frac{2 \pi}{\omega} \tag{13.3b} \end{equation*} $$

গতিকে, ফাল্শ্চন $f(t)$ পৰ্যায়কাল $T$ ৰ সৈতে পৰ্যায়বৃত্ত,

$$ f(t)=f(t+T) $$

একে ফলাফল স্পষ্টভাৱে শুদ্ধ যদি আমি ছাইন ফাল্শ্চন, $f(t)=A \sin \omega t$ বিবেচনা কৰোঁ। ইয়াৰ উপৰিও, ছাইন আৰু ক’ছাইন ফাল্শ্চনৰ ৰৈখিক সংযুক্তি,

$$ \begin{equation*} f(t)=A \sin \omega t+B \cos \omega t \tag{13.3c} \end{equation*} $$

একেই পৰ্যায়কাল $T$ ৰ সৈতে এটা পৰ্যায়বৃত্ত ফাল্শ্চন। লৈ,

$$ A=D \cos \phi \text { and } B=D \sin \phi $$

সমীকৰণ (১৩.৩গ) এনেদৰে লিখিব পাৰি,

$$ \begin{equation*} f(t)=D \sin (\omega t+\phi), \tag{13.3d} \end{equation*} $$

ইয়াত $D$ আৰু $\phi$ ধ্ৰুৱক দিয়া হৈছে

$$ D=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \text { and } \varphi=\tan ^{-1} \frac{B}{A} $$

পৰ্যায়বৃত্ত ছাইন আৰু ক’ছাইন ফাল্শ্চনৰ মহান গুৰুত্ব হৈছে ফৰাচী গণিতজ্ঞ জিন বাপ্টিস্ট জোচেফ ফুৰিয়ে (১৭৬৮-১৮৩০) প্ৰমাণ কৰা এক উল্লেখযোগ্য ফলাফলৰ বাবে: যিকোনো পৰ্যায়বৃত্ত ফাল্শ্চনক উপযুক্ত সহগৰ সৈতে ভিন্ন সময় পৰ্যায়ৰ ছাইন আৰু ক’ছাইন ফাল্শ্চনৰ সুপাৰপজিচন হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

উদাহৰণ ১৩.২ তলৰ কোনবোৰ ফাল্শ্চনে (ক) পৰ্যায়বৃত্ত আৰু (খ) অপৰ্যায়বৃত্ত গতি প্ৰতিনিধিত্ব কৰে? পৰ্যায়বৃত্ত গতিৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত পৰ্যায়কাল দিয়ক [$\omega$ যিকোনো ধনাত্মক ধ্ৰুৱক]

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$

(ii) $\sin \omega t+\cos 2 \omega t+\sin 4 \omega t$

(iii) $\mathrm{e}^{-\omega t}$

(iv) $\log (\omega t)$

উত্তৰ

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$ এটা পৰ্যায়বৃত্ত ফাল্শ্চন, ই $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)$ হিচাপেও লিখিব পাৰি।

এতিয়া $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)=\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4+2 \pi)$

$$=\sqrt{2} \sin [\omega(\mathrm{t}+2 \pi / \omega)+\pi / 4]$$

ফাল্শ্চনটোৰ পৰ্যায়কাল হৈছে $2 \pi / \omega$।

(ii) এইটো পৰ্যায়বৃত্ত গতিৰ উদাহৰণ। লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে প্ৰতিটো পদই ভিন্ন কৌণিক কম্পনাংকৰ সৈতে এটা পৰ্যায়বৃত্ত ফাল্শ্চন প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। যিহেতু পৰ্যায়কাল হৈছে সেই সৰ্বনিম্ন সময় অন্তৰাল যাৰ পিছত ফাল্শ্চন এটাই ইয়াৰ মান পুনৰাবৃত্তি কৰে, $\sin \omega t$ ৰ পৰ্যায়কাল $T_{0}=2 \pi / \omega ; \cos 2 \omega t$, $\pi / \omega=T_{0} / 2$ ৰ পৰ্যায়কাল; আৰু $\sin 4 \omega t$ ৰ পৰ্যায়কাল $2 \pi / 4 \omega=T_{o} / 4$। প্ৰথম পদটোৰ পৰ্যায়কাল হৈছে শেষৰ দুটা পদৰ পৰ্যায়কালৰ গুণিতক। গতিকে, তিনিটা পদৰ যোগফল পুনৰাবৃত্তি হোৱাৰ পিছৰ সৰ্বনিম্ন সময় অন্তৰাল হৈছে $T_{0}$, আৰু এনেদৰে, যোগফলটো পৰ্যায়কাল $2 \pi / \omega$ ৰ সৈতে এটা পৰ্যায়বৃত্ত ফাল্শ্চন।

(iii) ফাল্শ্চন $e^{-\omega t}$ পৰ্যায়বৃত্ত নহয়, ই সময় বৃদ্ধিৰ সৈতে একঘেয়েভাৱে হ্ৰাস পায় আৰু $t \rightarrow \infty$ হিচাপে শূন্যলৈ যোৱাৰ টেণ্ড কৰে আৰু এনেদৰে, কেতিয়াও ইয়াৰ মান পুনৰাবৃত্তি নকৰে।

(iv) ফাল্শ্চন $\log (\omega t)$ সময় $t$ ৰ সৈতে একঘেয়েভাৱে বৃদ্ধি পায়। গতিকে, ই কেতিয়াও ইয়াৰ মান পুনৰাবৃত্তি নকৰে আৰু এটা অপৰ্যায়বৃত্ত ফাল্শ্চন। লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে $t \rightarrow \infty, \log (\omega t)$ হিচাপে $\infty$ লৈ অপসাৰিত হয়। গতিকে, ই যিকোনো ধৰণৰ ভৌতিক সৰণ প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব নোৱাৰে।

১৩.৩ সৰল স্পন্দীয় গতি

এটা কণা $x$-অক্ষৰ মূলবিন্দুৰ চাৰিওফালে $+A$ আৰু $-A$ ৰ সীমাৰ মাজত আগুৱাই আৰু পিছুৱাই দোলন কৰা বিবেচনা কৰক যেনেকৈ চিত্ৰ ১৩.৩ত দেখুওৱা হৈছে। এই দোলন গতিক সৰল স্পন্দীয় বুলি কোৱা হয় যদি কণাটোৰ মূলবিন্দুৰ পৰা সৰণ $x$ সময়ৰ সৈতে এনেদৰে পৰিৱৰ্তন হয়:

$$ \begin{equation*} x(t)=A \cos (\omega t+\phi) \tag{13.4} \end{equation*} $$

চিত্ৰ ১৩.৩ এটা কণা x-অক্ষৰ মূলবিন্দুৰ চাৰিওফালে আগুৱাই আৰু পিছুৱাই কম্পন কৰি আছে, সীমা +A আৰু –A ৰ মাজত।

য’ত $A, \omega$ আৰু $\phi$ ধ্ৰুৱক।

গতিকে, সৰল স্পন্দীয় গতি (SHM) যিকোনো পৰ্যায়বৃত্ত গতি নহয় কিন্তু য’ত সৰণ সময়ৰ ছাইনচইডেল ফাল্শ্চন। চিত্ৰ ১৩.৪ত এটা কণাই SHM সম্পন্ন কৰি থকা অৱস্থানসমূহ দেখুওৱা হৈছে, সময়ৰ বিচ্ছিন্ন মানত, সময়ৰ প্ৰতিটো অন্তৰাল $T / 4$, য’ত $T$ হৈছে গতিৰ পৰ্যায়কাল। চিত্ৰ ১৩.৫ত $x$ বনাম $t$ ৰ লেখ প্লট কৰা হৈছে, যিয়ে সৰণৰ মানসমূহ সময়ৰ অবিচ্ছিন্ন ফাল্শ্চন হিচাপে দিয়ে। ৰাশিসমূহ $A$, $\omega$ আৰু $\phi$ যিয়ে এটা দিয়া SHM ক বৈশিষ্ট্যপূৰ্ণ কৰে, চিত্ৰ ১৩.৬ত সংক্ষিপ্ত কৰাৰ দৰে, মানক নাম আছে। এই ৰাশিসমূহ বুজিবলৈ চাওঁ।

চিত্ৰ ১৩.৪ বিচ্ছিন্ন মান t = 0, T/4, T/2, 3T/4, T, 5T/4 ত SHM ত কণাটোৰ অৱস্থান। যি সময়ৰ পিছত গতিটো নিজকে পুনৰাবৃত্তি কৰে সেয়া T। T স্থিৰ হৈ থাকিব, আপুনি আৰম্ভণি (t = 0) অৱস্থান হিচাপে যি অৱস্থান নিৰ্বাচন কৰে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰি। বেগ শূন্য সৰণৰ বাবে (x = 0 ত) সৰ্বাধিক আৰু গতিৰ চৰম বিন্দুত শূন্য।

SHM ৰ বিস্তাৰ $A$ হৈছে কণাটোৰ সৰ্বাধিক সৰণৰ পৰিমাণ। [লক্ষ্য কৰক, $A$ ক কোনো ক্ষতি নোহোৱাকৈ ধনাত্মক হিচাপে ল’ব পাৰি]

চিত্ৰ ১৩.৫ সৰল স্পন্দীয় গতিৰ বাবে সময়ৰ অবিচ্ছিন্ন ফাল্শ্চন হিচাপে সৰণ।

চিত্ৰ ১৩.৬ সমীকৰণ (১৩.৪)ত থকা মানক চিহ্নসমূহৰ অৰ্থ।

যেতিয়া সময়ৰ ক’ছাইন ফাল্শ্চন +1 ৰ পৰা -1 লৈ পৰিৱৰ্তন হয়, সৰণ চৰম সীমা $A$ আৰু $-A$ ৰ মাজত পৰিৱৰ্তন হয়। দুটা সৰল স্পন্দীয় গতিৰ একে $\omega$ আৰু $\phi$ থাকিব পাৰে কিন্তু ভিন্ন বিস্তাৰ $A$ আৰু $B$, যেনেকৈ চিত্ৰ ১৩.৭ (ক)ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ১৩.৭ (ক) φ = 0 ৰ সৈতে সমীকৰণ (১৪.৪)ৰ পৰা পোৱা সময়ৰ ফাল্শ্চন হিচাপে সৰণৰ প্লট। বক্ৰ ১ আৰু ২ দুটা ভিন্ন বিস্তাৰ A আৰু B ৰ বাবে।

যেতিয়া বিস্তাৰ $A$ এটা দিয়া SHM ৰ বাবে স্থিৰ, কণাটোৰ গতিৰ অৱস্থা (অৱস্থান আৰু বেগ) যিকোনো সময় $t$ ত ক’ছাইন ফাল্শ্চনৰ আর্গুমেন্ট $(\omega t+\phi)$ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত হয়। এই সময়-নিৰ্ভৰ ৰাশি, $(\omega t+\phi)$ ক গতিৰ দশা বোলা হয়। $t=0$ ত দশাৰ মান হৈছে $\phi$ আৰু ইয়াক দশা ধ্ৰুৱক (বা দশা কোণ) বোলা হয়। যদি বিস্তাৰ জনা যায়, $\phi$ ক $t=0$ ত সৰণৰ পৰা নিৰ্ধাৰণ কৰিব পাৰি। দুটা সৰল স্পন্দীয় গতিৰ একে $A$ আৰু $\omega$ থাকিব পাৰে কিন্তু ভিন্ন দশা কোণ $\phi$, যেনেকৈ চিত্ৰ ১৩.৭ (খ)ত দেখুওৱা হৈছে।

শেষত, ৰাশি $\omega$ ক গতিৰ পৰ্যায়কাল $T$ ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত বুলি দেখা যায়। সৰলতাৰ বাবে, সমীকৰণ (১৩.৪)ত $\phi=0$ লৈ, আমি পাইছো

চিত্ৰ ১৩.৭ (খ) সমীকৰণ (১৩.৪)ৰ পৰা পোৱা প্লট। বক্ৰ ৩ আৰু ৪ ক্ৰমে φ = 0 আৰু -π/4 ৰ বাবে। বিস্তাৰ A দুয়োটা প্লটৰ বাবে একে।

$$ \begin{equation*} x(t)=A \cos \omega t \tag{13.5} \end{equation*} $$

যিহেতু গতিৰ পৰ্যায়কাল $T, x(t)$ আছে, $x(t+T)$ ৰ সমান। অৰ্থাৎ,

$$ \begin{equation*} A \cos \omega t=A \cos \omega(t+T) \tag{13.6} \end{equation*} $$

এতিয়া ক’ছাইন ফাল্শ্চন পৰ্যায়কাল $2 \pi$ ৰ সৈতে পৰ্যায়বৃত্ত, অৰ্থাৎ, ই প্ৰথমে নিজকে পুনৰাবৃত্তি কৰে যেতিয়া আর্গুমেন্ট $2 \pi$ ৰ দ্বাৰা পৰিৱৰ্তন হয়। গতিকে,

$$ \omega(t+T)=\omega t+2 \pi $$

$$ \text{that is } \quad \omega=2 \pi / T \tag{13.7}$$

$\omega$ ক SHM ৰ কৌণিক কম্পনাংক বোলা হয়। ইয়াৰ S.I. একক হৈছে ৰেডিয়ান প্ৰতি ছেকেণ্ড। যিহেতু দোলনৰ কম্পনাংক কেৱল $1 / \mathrm{T}, \omega$, $2 \pi$ হৈছে দোলনৰ কম্পনাংকৰ গুণিতক। দুটা সৰল স্পন্দীয় গতিৰ একে $\mathrm{A}$ আৰু $\phi$ থাকিব পাৰে, কিন্তু ভিন্ন $\omega$, যেনেকৈ চিত্ৰ ১৩.৮ত দেখা গৈছে। এই প্লটত বক্ৰ (খ)ৰ পৰ্যায়কাল (ক)ৰ আধা আৰু কম্পনাংক দুগুণ।

চিত্ৰ ১৩.৮ দুটা ভিন্ন পৰ্যায়কালৰ বাবে φ = 0 ৰ বাবে সমীকৰণ (১৩.৪)ৰ প্লট।

উদাহৰণ ১৩.৩ তলৰ কোনবোৰ ফাল্শ্চনে (ক) সৰল স্পন্দীয় গতি আৰু (খ) পৰ্যায়বৃত্ত কিন্তু সৰল স্পন্দীয় নহয় প্ৰতিনিধিত্ব কৰে? প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত পৰ্যায়কাল দিয়ক।

(1) $\sin \omega t-\cos \omega t$

(2) $\sin ^{2} \omega t$

উত্তৰ

(ক) $\sin \omega t-\cos \omega t$

$$ \begin{aligned} &= \sin \omega t-\sin (\pi / 2-\omega t) \\ &= 2 \cos (\pi / 4) \sin (\omega t-\pi / 4) \\ &=\sqrt{ } 2 \sin (\omega t-\pi / 4) \end{aligned} $$

এই ফাল্শ্চনে পৰ্যায়কাল $T=2 \pi / \omega$ আৰু দশা কোণ $(-\pi / 4)$ বা $(7 \pi / 4)$ ৰ সৈতে এটা সৰল স্পন্দীয় গতি প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

(খ) $\sin ^{2} \omega t=1 / 2-1 / 2 \cos 2 \omega t$

ফাল্শ্চনটো পৰ্যায়বৃত্ত যি পৰ্যায়কাল $T=\pi / \omega$ আছে। ই শূন্যৰ সলনি $1 / 2$ ত হোৱা সাম্যাৱস্থাৰ বিন্দুৰ সৈতে এটা স্পন্দীয় গতিও প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

১৩.৪ সৰল স্পন্দীয় গতি আৰু সুষম বৃত্তীয় গতি

এই অংশত, আমি দেখুৱাম যে বৃত্তৰ ব্যাসৰ ওপৰত সুষম বৃত্তীয় গতিৰ প্ৰক্ষেপণে সৰল স্পন্দীয় গতি অনুসৰণ কৰে। এটা সৰল পৰীক্ষা (চিত্ৰ ১৩.৯) আমাক এই সম্পৰ্ক কল্পনা কৰাত সহায় কৰে। ডোৰৰ মূৰত বল এটা বান্ধি ইয়াক স্থিৰ বিন্দু এটাৰ চাৰিওফালে স্থিৰ কৌণিক বেগেৰে অনুভূমিক সমতলত গতি কৰোৱাওক। তেতিয়া বলটোৱে অনুভূমিক সমতলত সুষম বৃত্তীয় গতি সম্পন্ন কৰিব। বলটোক কাষৰ পৰা বা সন্মুখৰ পৰা চাওক, গতিৰ সমতলত আপোনাৰ মনোযোগ স্থিৰ কৰি। বলটোৱে ঘূৰণ বিন্দুক মধ্যবিন্দু হিচাপে লৈ অনুভূমিক ৰেখা এটা বৰাবৰ আগুৱা-পিছুৱা গতি সম্পন্ন কৰা যেন লাগিব। আপুনি বিকল্পভাৱে বৃত্তৰ সমতললৈ লম্ব হোৱা দেৱাল এখনত বলটোৰ ছাঁ চাব পাৰে। এই প্ৰক্ৰিয়াত আমি যি দেখিছোঁ সেয়া হৈছে দৰ্শনৰ দিশৰ লম্ব হোৱা বৃত্তৰ ব্যাস এটাৰ ওপৰত বলটোৰ গতি।

<img src="