২.১ পৰিচয়

গতি বিশ্বব্ৰহ্মাণ্ডৰ সকলো বস্তুৰে এক সাধাৰণ ধৰ্ম। আমি খোজ কাঢ়ো, দৌৰো আৰু চাইকেল চলাও। আমি শুই থাকোঁতেও বায়ু আমাৰ হাওঁফাওঁত সোমায় আৰু ওলাই যায়, তেজ ধমনী আৰু শিৰাত বৈ থাকে। আমি গছৰ পৰা পাত সৰি পৰা দেখোঁ, বান্ধৰ পৰা পানী বৈ যোৱা দেখোঁ। গাড়ী-মটৰ আৰু উৰাজাহাজে মানুহক এঠাইৰ পৰা আন ঠাইলৈ লৈ যায়। পৃথিৱীয়ে প্ৰতি চব্বিশ ঘণ্টাত এবাৰকৈ ঘূৰে আৰু সূৰ্য্যৰ চাৰিওফালে এবাৰকৈ পৰিভ্ৰমণ কৰে। সূৰ্য্যও নিজে মিল্কীৱে গ্যালাক্সিত গতি কৰি আছে, যি আকৌ নিজৰ স্থানীয় গ্যালাক্সি গোটৰ ভিতৰত গতি কৰি আছে।

গতি হৈছে সময়ৰ সৈতে কোনো বস্তুৰ অৱস্থানৰ পৰিৱৰ্তন। সময়ৰ সৈতে অৱস্থান কেনেকৈ সলনি হয়? এই অধ্যায়ত আমি গতি কেনেকৈ বৰ্ণনা কৰিব লাগে সেইটো শিকিম। ইয়াৰ বাবে আমি বেগ আৰু ত্বৰণৰ ধাৰণা বিকশিত কৰিম। আমি বস্তুবোৰৰ গতি এডাল সৰল ৰেখাৰ বাহিৰে অধ্যয়ন কৰিলেই সন্তুষ্ট হ’ম, যাক ৰেখীয় গতিও বোলা হয়। সমত্বৰণৰ সৈতে ৰেখীয় গতিৰ ক্ষেত্ৰত, কেইটামান সৰল সমীকৰণ পোৱা যায়। শেষত, গতিৰ আপেক্ষিক প্ৰকৃতি বুজিবলৈ, আমি আপেক্ষিক বেগৰ ধাৰণাটোৰ সৈতে পৰিচয় কৰাম।

আমাৰ আলোচনাত, আমি গতিশীল বস্তুবোৰক বিন্দু বস্তু হিচাপে গণ্য কৰিম। যেতিয়ালৈকে বস্তুটোৰ আকাৰ যুক্তিসংগত সময়ৰ ব্যৱধানত সি অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বতকৈ বহুত সৰু হয়, তেতিয়ালৈকে এই সান্নিধ্য বৈধ। বাস্তৱ জীৱনৰ বহু পৰিস্থিতিত, বস্তুবোৰৰ আকাৰ উপেক্ষা কৰিব পাৰি আৰু সিহঁতক বিন্দুৰ দৰে বস্তু হিচাপে গণ্য কৰিব পাৰি, তাত বেছি ভুল নহয়। চলন বিদ্যাত, আমি গতিৰ কাৰণসমূহলৈ নগৈও গতি বৰ্ণনা কৰাৰ উপায়সমূহ অধ্যয়ন কৰো। এই অধ্যায়ত বৰ্ণনা কৰা গতিৰ কাৰণ আৰু পৰৱৰ্তী অধ্যায়টোৱে অধ্যায় ৪-ৰ বিষয়বস্তু গঠন কৰে।

২.২ তাৎক্ষণিক বেগ আৰু দ্ৰুতি

গড় বেগে আমাক কয় যে এটা বস্তু এটা নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত কিমান দ্ৰুত গতি কৰিছে, কিন্তু সেই ব্যৱধানৰ ভিতৰত বিভিন্ন মুহূৰ্তত সি কিমান দ্ৰুত গতি কৰিছে সেইটো নকয়। ইয়াৰ বাবে, আমি তাৎক্ষণিক বেগ বা কেৱল বেগ v ক এটা তাৎক্ষণিক t ত সংজ্ঞায়িত কৰো। এটা তাৎক্ষণিকত বেগক সংজ্ঞায়িত কৰা হয় গড় বেগৰ সীমা হিচাপে যেতিয়া সময়ৰ ব্যৱধান ${\Delta T}$অসীমভাৱে সৰু হয়। অন্য কথাত,

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

য’ত চিহ্ন lim ∆t→0 ইয়াৰ সোঁফালৰ ৰাশিটোৰ ∆tg0 হিচাপে সীমা লোৱা কাৰ্যক বুজায়। কেলকুলাছৰ ভাষাত, সমীকৰণ (2.1a) ৰ সোঁফালৰ ৰাশিটো হৈছে x ৰ সাপেক্ষে t ৰ ডিফাৰেন্সিয়েল সহগ আৰু ইয়াক $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ দ্বাৰা সূচোৱা হয় (পৰিশিষ্ট 2.1 চাওক)। ই হৈছে সেই মুহূৰ্তত সময়ৰ সাপেক্ষে অৱস্থানৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ।

আমি সমীকৰণ (2.1a) ব্যৱহাৰ কৰি তাৎক্ষণিকত বেগৰ মান প্ৰাপ্ত কৰিব পাৰো, হয় গ্ৰাফিকেলভাৱে বা সংখ্যাগতভাৱে। ধৰি লওক যে আমি চিত্ৰ 2.1 ৰ গণনাত প্ৰদৰ্শিত গাড়ীৰ গতিৰ বাবে t = 4 ছেকেণ্ড (বিন্দু P) সময়ত বেগৰ মান গ্ৰাফিকেলভাৱে পাব বিচাৰো। t = 4 ছেকেণ্ড কেন্দ্ৰ কৰি ∆t = 2 ছেকেণ্ড লওঁ। তেতিয়া, গড় বেগৰ সংজ্ঞা অনুসৰি, ৰেখা $P_1P_2$ (চিত্ৰ 2.1) ৰ ঢালে 3 ছেকেণ্ডৰ পৰা 5 ছেকেণ্ডলৈকে ব্যৱধানটোৰ গড় বেগৰ মান দিয়ে।

চিত্ৰ 2.1 অৱস্থান-সময় গ্ৰাফৰ পৰা বেগ নিৰ্ধাৰণ কৰা। t = 4 ছেকেণ্ডত বেগ হৈছে সেই মুহূৰ্তত গ্ৰাফলৈ টেনজেণ্টৰ ঢাল।

এতিয়া, আমি $\Delta t$ ৰ মান $2 \mathrm{~s}$ ৰ পৰা 1 ছেকেণ্ডলৈ হ্ৰাস কৰো। তেতিয়া ৰেখা $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ হৈ পৰে $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ আৰু ইয়াৰ ঢালে $3.5 \mathrm{~s}$ ৰ পৰা $4.5 \mathrm{~s}$ লৈকে ব্যৱধানটোৰ গড় বেগৰ মান দিয়ে। সীমাত $\Delta t \rightarrow 0$, ৰেখা $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ হৈ পৰে বিন্দু $\mathrm{P}$ ত অৱস্থান-সময় বক্ৰৰ টেনজেণ্ট আৰু $t$ $=4 \mathrm{~s}$ ত বেগ সেই বিন্দুত টেনজেণ্টৰ ঢালৰ দ্বাৰা দিয়া হয়। এই প্ৰক্ৰিয়াটো গ্ৰাফিকেলভাৱে দেখুওৱাটো কঠিন। কিন্তু যদি আমি বেগৰ মান পাবলৈ সংখ্যাগত পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰো, তেন্তে সীমা কৰা প্ৰক্ৰিয়াৰ অৰ্থ স্পষ্ট হয়। চিত্ৰ 2.1 ত দেখুওৱা গ্ৰাফৰ বাবে, $x=0.08 t^3$। তালিকা 2.1 ত $\Delta x / \Delta t$ ৰ মান দিয়া হৈছে যি $\Delta t$ সমান $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ আৰু $0.01 \mathrm{~s}$ কেন্দ্ৰ কৰি $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$ ত গণনা কৰা হৈছে। দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় স্তম্ভই $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ আৰু $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ ৰ মান দিয়ে আৰু চতুৰ্থ আৰু পঞ্চম স্তম্ভই $x$ ৰ সংশ্লিষ্ট মান দিয়ে, অৰ্থাৎ $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ আৰু $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$। ষষ্ঠ স্তম্ভত পাৰ্থক্য $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ তালিকাভুক্ত কৰা হৈছে আৰু শেষ স্তম্ভই $\Delta x$ আৰু $\Delta t$ ৰ অনুপাত দিয়ে, অৰ্থাৎ প্ৰথম স্তম্ভত তালিকাভুক্ত $\Delta t$ ৰ মানৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট গড় বেগ।

তালিকা 2.1 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ ৰ সীমা মান $t=4 \mathrm{~s}$ ত

তালিকা 2.1 ৰ পৰা আমি দেখো যে যেতিয়া আমি $\Delta t$ ৰ মান $2.0 \mathrm{~s}$ ৰ পৰা $0.010 \mathrm{~s}$ লৈ হ্ৰাস কৰো, গড় বেগৰ মান সীমা মান $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ৰ ওচৰ চাপি যায় যি $t=4.0 \mathrm{~s}$ ত বেগৰ মান, অৰ্থাৎ $\frac{d x}{d t}$ ৰ মান $t=4.0 \mathrm{~s}$ ত। এই ধৰণেৰে, আমি গাড়ীৰ গতিৰ বাবে প্ৰতি মুহূৰ্তত বেগ গণনা কৰিব পাৰো।

তাৎক্ষণিক বেগ নিৰ্ধাৰণৰ বাবে গ্ৰাফিকেল পদ্ধতি সদায় সুবিধাজনক পদ্ধতি নহয়। ইয়াৰ বাবে, আমি সাৱধানে অৱস্থান-সময় গ্ৰাফ প্লট কৰিব লাগিব আৰু $\Delta t$ সৰু হৈ অহাৰ লগে লগে গড় বেগৰ মান গণনা কৰিব লাগিব। যদি আমি বিভিন্ন মুহূৰ্তত অৱস্থানৰ তথ্য বা সময়ৰ ফাংচন হিচাপে অৱস্থানৰ সঠিক অভিব্যক্তি থাকে, তেন্তে বিভিন্ন মুহূৰ্তত বেগৰ মান গণনা কৰাটো সহজ। তেতিয়া, আমি $\Delta x / \Delta t$ গণনা কৰো $\Delta t$ ৰ মান হ্ৰাস কৰাৰ বাবে তথ্যৰ পৰা আৰু তালিকা 2.1 ত কৰাৰ দৰে সীমা মান বিচাৰো বা দিয়া অভিব্যক্তিৰ বাবে ডিফাৰেন্সিয়েল কেলকুলাছ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ উদাহৰণটোত কৰাৰ দৰে বিভিন্ন মুহূৰ্তত $\frac{d x}{d t}$ গণনা কৰো।

উদাহৰণ 2.1 x-অক্ষ বৰাবৰ গতি কৰা এটা বস্তুৰ অৱস্থান x = a + bt2 দ্বাৰা দিয়া হৈছে য’ত a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$ আৰু t ছেকেণ্ডত জোখা হৈছে। t = 0 ছেকেণ্ড আৰু t = 2.0 ছেকেণ্ডত ইয়াৰ বেগ কিমান? t = 2.0 ছেকেণ্ড আৰু t = 4.0 ছেকেণ্ডৰ মাজৰ গড় বেগ কিমান?

উত্তৰ ডিফাৰেন্সিয়েল কেলকুলাছৰ নোটেচনত, বেগ হৈছে

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

$t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ত আৰু $t=2.0 \mathrm{~s}$ ত, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$।

$ \text { গড় বেগ }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

লক্ষ্য কৰক যে সমগতিৰ বাবে, সকলো মুহূৰ্তত বেগ গড় বেগৰ সৈতে একে।

তাৎক্ষণিক দ্ৰুতি বা কেৱল দ্ৰুতি হৈছে বেগৰ পৰিমাণ। উদাহৰণস্বৰূপে, $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ৰ বেগ আৰু $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$ ৰ বেগ দুয়োটাতে $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ৰ দ্ৰুতি জড়িত হৈ থাকে। ইয়াক লক্ষ্য কৰিব লাগিব যে যদিও সময়ৰ সসীম ব্যৱধানত গড় দ্ৰুতি গড় বেগৰ পৰিমাণতকৈ ডাঙৰ বা সমান, এটা মুহূৰ্তত তাৎক্ষণিক দ্ৰুতি সেই মুহূৰ্তত তাৎক্ষণিক বেগৰ পৰিমাণৰ সৈতে সমান। কিয় এনে হয়?

২.৩ ত্বৰণ

এটা বস্তুৰ বেগ, সাধাৰণতে, ইয়াৰ গতিৰ সময়ত সলনি হয়। এই পৰিৱৰ্তন কেনেকৈ বৰ্ণনা কৰিব লাগে? ইয়াক দূৰত্বৰ সৈতে বা সময়ৰ সৈতে বেগৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ হিচাপে বৰ্ণনা কৰিব লাগেনে? গেলিলিওৰ সময়তো এইটো এটা সমস্যা আছিল। প্ৰথমে ভবা হৈছিল যে এই পৰিৱৰ্তন দূৰত্বৰ সৈতে বেগৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰৰ দ্বাৰা বৰ্ণনা কৰিব পাৰি। কিন্তু, মুক্তভাৱে পৰা বস্তুৰ গতি আৰু ঢালু সমতলত বস্তুৰ গতিৰ অধ্যয়নৰ জৰিয়তে, গেলিলিয়ই সিদ্ধান্তত উপনীত হৈছিল যে সময়ৰ সৈতে বেগৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ মুক্ত পতনত থকা সকলো বস্তুৰ বাবে গতিৰ এক ধ্ৰুৱক। আনহাতে, দূৰত্বৰ সৈতে বেগৰ পৰিৱৰ্তন ধ্ৰুৱক নহয় – ই পৰিৱৰ্তনৰ দূৰত্ব বৃদ্ধিৰ সৈতে হ্ৰাস পায়। এইটোৱে ত্বৰণৰ ধাৰণালৈ নিয়ে যাক সময়ৰ সৈতে বেগৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়।

সময়ৰ এটা ব্যৱধানত গড় ত্বৰণ a ক সংজ্ঞায়িত কৰা হয় বেগৰ পৰিৱৰ্তনক সময়ৰ ব্যৱধানৰে হৰণ কৰি:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

য’ত $v_2$ আৰু $v_1$ হৈছে $t_2$ আৰু $t_1$ সময়ত তাৎক্ষণিক বেগ বা কেৱল বেগ। ই হৈছে প্ৰতি একক সময়ত বেগৰ গড় পৰিৱৰ্তন। ত্বৰণৰ SI একক হৈছে $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$।

বেগ বনাম সময়ৰ প্লটত, গড় ত্বৰণ হৈছে $\left(v_2, t_2\right)$ আৰু $\left(v_1, t_1\right)$ ৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট বিন্দুবোৰ সংযোগ কৰা সৰল ৰেখাৰ ঢাল।

তাৎক্ষণিক ত্বৰণক তাৎক্ষণিক বেগৰ দৰে একে ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

এটা মুহূৰ্তত ত্বৰণ হৈছে সেই মুহূৰ্তত $v-t$ বক্ৰলৈ টেনজেণ্টৰ ঢাল।

বেগ হৈছে এনে এটা ৰাশি যাৰ পৰিমাণ আৰু দিশ দুয়োটাই আছে, গতিকে বেগৰ পৰিৱৰ্তনে এই দুয়োটা বা দুয়োটাৰে এটা জড়িত হ’ব পাৰে। গতিকে, ত্বৰণৰ সৃষ্টি হ’ব পাৰে দ্ৰুতিৰ (পৰিমাণ) পৰিৱৰ্তনৰ পৰা, দিশৰ পৰিৱৰ্তনৰ পৰা বা দুয়োটাৰ পৰিৱৰ্তনৰ পৰা। বেগৰ দৰে, ত্বৰণও ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য হ’ব পাৰে। ধনাত্মক, ঋণাত্মক আৰু শূন্য ত্বৰণৰ সৈতে গতিৰ বাবে অৱস্থান-সময় গ্ৰাফ ক্ৰমে চিত্ৰ 2.4 (ক), (খ) আৰু (গ) ত দেখুওৱা হৈছে। লক্ষ্য কৰক যে ধনাত্মক ত্বৰণৰ বাবে গ্ৰাফটো ওপৰলৈ বক্ৰ হয়; ঋণাত্মক ত্বৰণৰ বাবে তললৈ আৰু শূন্য ত্বৰণৰ বাবে ই এডাল সৰল ৰেখা।

চিত্ৰ 2.2 (ক) ধনাত্মক ত্বৰণ; (খ) ঋণাত্মক ত্বৰণ, আৰু (গ) শূন্য ত্বৰণৰ সৈতে গতিৰ বাবে অৱস্থান-সময় গ্ৰাফ।

যদিও ত্বৰণ সময়ৰ সৈতে পৰিৱৰ্তন হ’ব পাৰে, এই অধ্যায়ত আমাৰ অধ্যয়ন ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ সৈতে গতিলৈ সীমাবদ্ধ থাকিব। এই ক্ষেত্ৰত, গড় ত্বৰণ ব্যৱধানটোত ত্বৰণৰ ধ্ৰুৱক মানৰ সৈতে সমান। যদি এটা বস্তুৰ বেগ $V$ হয় $t$ $=0$ ত আৰু $v$ হয় সময় $t$ ত, আমি পাইছো

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { বা, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

আমি চাওঁ আহক কিছুমান সৰল ক্ষেত্ৰৰ বাবে বেগ-সময় গ্ৰাফ কেনেকুৱা হয়। চিত্ৰ 2.3 ত ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ সৈতে গতিৰ বাবে তলত দিয়া ক্ষেত্ৰসমূহৰ বাবে বেগ-সময় গ্ৰাফ দেখুওৱা হৈছে:

চিত্ৰ 2.3 ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ সৈতে গতিৰ বাবে বেগ–সময় গ্ৰাফ। (ক) ধনাত্মক ত্বৰণৰ সৈতে ধনাত্মক দিশত গতি, (খ) ঋণাত্মক ত্বৰণৰ সৈতে ধনাত্মক দিশত গতি, (গ) ঋণাত্মক ত্বৰণৰ সৈতে ঋণাত্মক দিশত গতি, (ঘ) ঋণাত্মক ত্বৰণৰ সৈতে এটা বস্তুৰ গতি যি সময় t1 ত দিশ সলনি কৰে। সময় 0 ৰ পৰা $t_1$ লৈকে, ই ধনাত্মক x - দিশত গতি কৰে আৰু $t_1$ আৰু $t_2$ ৰ মাজত ই বিপৰীত দিশত গতি কৰে।

(ক) এটা বস্তু ধনাত্মক ত্বৰণৰ সৈতে ধনাত্মক দিশত গতি কৰি আছে।

(খ) এটা বস্তু ঋণাত্মক ত্বৰণৰ সৈতে ধনাত্মক দিশত গতি কৰি আছে।

(গ) এটা বস্তু ঋণাত্মক ত্বৰণৰ সৈতে ঋণাত্মক দিশত গতি কৰি আছে।

(ঘ) এটা বস্তু সময় $t_1$ লৈকে ধনাত্মক দিশত গতি কৰি আছে, আৰু তাৰ পিছত একে ঋণাত্মক ত্বৰণৰ সৈতে ঘূৰি আহে।

যিকোনো গতিশীল বস্তুৰ বেগ-সময় গ্ৰাফৰ এটা আকৰ্ষণীয় বৈশিষ্ট্য হৈছে যে বক্ৰৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফলে এটা নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত সৰণ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। এই বিবৃতিৰ এটা সাধাৰণ প্ৰমাণৰ বাবে কেলকুলাছৰ ব্যৱহাৰৰ প্ৰয়োজন। কিন্তু, আমি দেখিব পাৰো যে ধ্ৰুৱক বেগ u ৰ সৈতে গতি কৰা বস্তুৰ সৰল ক্ষেত্ৰৰ বাবে এইটো সত্য। ইয়াৰ বেগ-সময় গ্ৰাফ চিত্ৰ 2.4 ত দেখুওৱাৰ দৰে।

চিত্ৰ 2.4 v–t বক্ৰৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফল এটা নিৰ্দিষ্ট সময়ৰ ব্যৱধানত বস্তুটোৰ সৰণৰ সৈতে সমান।

v-t বক্ৰটো সময় অক্ষৰ সমান্তৰাল এডাল সৰল ৰেখা আৰু t = 0 ৰ পৰা t = T লৈকে ইয়াৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফল হৈছে উচ্চতা u আৰু ভূমি T ৰ আয়তক্ষেত্ৰটোৰ ক্ষেত্ৰফল। গতিকে, ক্ষেত্ৰফল = u × T = uT যি এই সময়ৰ ব্যৱধানত সৰণ। এই ক্ষেত্ৰত ক্ষেত্ৰফল এটা দূৰত্বৰ সৈতে কেনেকৈ সমান হ’ব? ভাবক! দুয়োটা স্থানাংক অক্ষত ৰাশিবোৰৰ মাত্ৰা লক্ষ্য কৰক, আৰু আপুনি উত্তৰত উপনীত হ’ব।

লক্ষ্য কৰক যে এই অধ্যায়ৰ বহুতো চিত্ৰত দেখুওৱা x-t, v-t, আৰু a-t গ্ৰাফবোৰৰ কিছুমান বিন্দুত তীক্ষ্ণ কিন্ক আছে যাৰ অৰ্থ হৈছে সেই বিন্দুবোৰত ফাংচনবোৰ ডিফাৰেন্সিয়েবল নহয়। যিকোনো বাস্তৱিক পৰিস্থিতিত, ফাংচনবোৰ সকলো বিন্দুত ডিফাৰেন্সিয়েবল হ’ব আৰু গ্ৰাফবোৰ মসৃণ হ’ব।

দৈহিকভাৱে ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে ত্বৰণ আৰু বেগ এটা মুহূৰ্তত হঠাতে মান সলনি কৰিব নোৱাৰে। পৰিৱৰ্তনবোৰ সদায় অবিৰত।

২.৪ সমত্বৰণ গতিৰ বাবে চলন সমীকৰণ

সমত্বৰণ গতিৰ বাবে, আমি কিছুমান সৰল সমীকৰণ আহৰণ কৰিব পাৰো যিবোৰে সৰণ $(x)$, লোৱা সময় $(t)$, আৰম্ভণি বেগ $\left(v_0\right)$, অন্তিম বেগ $(v)$ আৰু ত্বৰণ (a) ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। ইতিমধ্যে পোৱা সমীকৰণ (2.4) এ ধ্ৰুৱক ত্বৰণ $a$ ৰ সৈতে গতি কৰা বস্তুৰ অন্তিম আৰু আৰম্ভণি বেগ $v$ আৰু $v_0$ ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক দিয়ে:

$$ v=v_o+a t (2.4) $$

এই সম্পৰ্কটো চিত্ৰ 2.5 ত গ্ৰাফিকেলভাৱে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে। এই বক্ৰৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফল হৈছে: তাৎক্ষণিক 0 আৰু $t=$ ৰ মাজৰ ক্ষেত্ৰফল ত্ৰিভুজ $\mathrm{ABC}+$ ৰ ক্ষেত্ৰফল আয়তক্ষেত্ৰ $\mathrm{OACD}$ ৰ ক্ষেত্ৰফল

$$ =\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t $$

চিত্ৰ 2.5 সমত্বৰণ থকা বস্তুৰ বাবে v-t বক্ৰৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফল।

পূৰ্বৰ অংশত বৰ্ণনা কৰাৰ দৰে, v-t বক্ৰৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফলে সৰণ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। গতিকে, বস্তুটোৰ সৰণ x হৈছে:

$$ x=\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t \quad\quad \quad \quad \quad \quad (2.5) $$

কিন্তু $\quad\quad \quad v-v _0=a t$

গতিকে, $\quad\quad x=\frac{1}{2} a t^2+v _0 t$

বা, $\quad\quad \quad x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \quad (2.6)$

সমীকৰণ (2.5) ক এনেদৰেও লিখিব পাৰি

$$ \begin{align*} X & =\frac{V+v _{0}}{2} t \\ & =\bar{v} \cdot t \tag{2.7a} \\ \bar{v} & =\frac{v+v _{0}}{2} \text { (constant acceleration only) } \tag{2.7b} \end{align*} \quad $$

সমীকৰণ (2.7a) আৰু (2.7b) ৰ অৰ্থ হৈছে যে বস্তুটোৱে $x$ সৰণ অনুভৱ কৰিছে যিটো গড় বেগ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম বেগৰ পাটিগণিতীয় গড়ৰ সৈতে সমান।

সমীকৰণ (2.4) ৰ পৰা, $t=\left(v-v_0\right) / a$। ইয়াক সমীকৰণ (2.7a) ত বহুৱাই, আমি পাওঁ

$$ \begin{align*} x & =\bar{v} t=\frac{v+v _{0}}{2} \cdot \frac{v-v _{0}}{a}=\frac{v^{2}-v _{0}^{2}}{2 a} \\ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a x \tag{2.8} \end{align*} $$

এই সমীকৰণটো সমীকৰণ (2.4) ৰ পৰা t ৰ মান সমীকৰণ (2.6) ত বহুৱাইও পাব পাৰি। এনেদৰে, আমি তিনিটা গুৰুত্বপূৰ্ণ সমীকৰণ পাইছো: পাঁচটা ৰাশি $v_0, v, a, t$ আৰু $x$ সংযোগ কৰা।

$$ \begin{gathered} v=v_0+a t \\ x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ v^2=v_0^2+2 a x \quad\quad\quad \quad (2.9a) \end{gathered} $$

এইবোৰ ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ বাবে ৰেখীয় গতিৰ চলন সমীকৰণ।

সমীকৰণ (2.9a) ৰ সংহতিটো ধাৰণা কৰি পোৱা হৈছিল যে $t=0$ ত, কণাটোৰ অৱস্থান, $x$ 0। যদি আমি $t=0$ ত অৱস্থান স্থানাংক শূন্য নহয় বুলি ধৰো, যেনে $x_0$, তেন্তে আমি এটা অধিক সাধাৰণ সমীকৰণ পাব পাৰো। তেতিয়া সমীকৰণ (2.9a) বোৰ সলনি কৰা হয় ($x$ ক $x-x_0$ ৰ দ্বাৰা প্ৰতিস্থাপন কৰি):

$$ \begin{align*} v & =v _{0}+a t \\ x & =x _{0}+v _{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \tag{2.9b} \\ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a\left(x-x _{0}\right) \tag{2.9c} \end{align*} $$

উদাহৰণ 2.2 কেলকুলাছৰ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ বাবে গতিৰ সমীকৰণ প্ৰাপ্ত কৰক।

উত্তৰ সংজ্ঞা অনুসৰি

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \\ & \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

উভয় পক্ষ একত্ৰিত কৰি

$$ \begin{aligned} \int_{v_0}^v \mathrm{~d} v & =\int_0^t a \mathrm{~d} t \\ & =a \int_0^t \mathrm{~d} t \quad \quad \quad \quad \text{( a is constant)}\\ v-v_0 & =a t \\ v & =v_0+a t \end{aligned} $$

আৰু, $$ \begin{aligned} v & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \\ \mathrm{~d} x & =v \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

উভয় পক্ষ একত্ৰিত কৰি $$ \begin{aligned} \int_{x_0}^x \mathrm{~d} x=\int_0^t v \mathrm{~d} t & =\int_0^t\left(v_0+a t\right) \mathrm{d} t \\ x-x_0 & =v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ x & =x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \end{aligned} $$

আমি লিখিব পাৰো

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \\ \\ & \text { or, } v \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} x \end{aligned} $$

উভয় পক্ষ একত্ৰিত কৰি,

$$ \begin{aligned} & \int_{v_0}^v v \mathrm{~d} v=\int_{x_0}^x a \mathrm{~d} x \\ & \frac{v^2-v_0^2}{2}=a\left(x-x_0\right) \\ & v^2=v_0^2+2 a\left(x-x_0\right) \end{aligned} $$

এই পদ্ধতিৰ সুবিধা হৈছে যে ইয়াক অসমত্বৰণ গতিৰ বাবেও ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি।

এতিয়া, আমি এই সমীকৰণবোৰ কিছুমান গুৰুত্বপূৰ্ণ ক্ষেত্ৰত ব্যৱহাৰ কৰিম।

উদাহৰণ 2.3 এটা বল 20 m $s^{–1}$ বেগেৰে উলম্বভাৱে ওপৰলৈ বহুতলীয়া অট্টালিকাৰ শীৰ্ষৰ পৰা দলিওৱা হৈছে। বলটো দলিওৱা বিন্দুটোৰ উচ্চতা মাটিৰ পৰা 25.0 m। (ক) বলটো কিমান ওপৰলৈ উঠিব? আৰু (খ) বলটো মাটিত পৰাৰ আগতে কিমান সময় লাগিব? g = 10 m $s^{–2}$ লওক।

উত্তৰ (ক) আমি $y$-অক্ষটো উলম্বভাৱে ওপৰলৈ দিশত লওঁ যিটো মাটিত শূন্য, চিত্ৰ 2.6 ত দেখুওৱাৰ দৰে।

$$ \begin{aligned} \text { Now } \quad v_o & =+20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, \\ a & =-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \\ v & =0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

যদি বলটো দলিওৱা বিন্দুৰ পৰা $y$ উচ্চতালৈ উঠে, তেন্তে সমীকৰণ $v^2=v_o^2+2 a\left(y-y_0\right), 0=(20)^2+2(-10)\left(y-y_0\right),$ ব্যৱহাৰ কৰি

$$ \text{Solving, we get,} \left(y-y_0\right)=20 \mathrm{~m}. $$

(খ) আমি সমস্যাটোৰ এই অংশটো দুটা ধৰণেৰে সমাধান কৰিব পাৰো।

ব্যৱহাৰ কৰা পদ্ধতিবোৰ সাৱধানে লক্ষ্য কৰক।

চিত্ৰ 2.6

প্ৰথম পদ্ধতি: প্ৰথম পদ্ধতিত, আমি পথটো দুটা অংশত ভাগ কৰো: ওপৰলৈ গতি (A ৰ পৰা B) আৰু তললৈ গতি (B ৰ পৰা C) আৰু সংশ্লিষ্ট লোৱা সময় $t_1$ আৰু $t_2$ গণনা কৰো। B ত বেগ শূন্য হোৱা বাবে, আমি পাইছো:

$$ \begin{aligned} & v=v_{\mathrm{o}}+a t \\ 0 & =20-10 t_1 \\ \text { Or, } \quad \quad & t_1=2 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

এইটো $A$ ৰ পৰা $B$ লৈ যোৱাৰ সময়। $B$ ৰ পৰা, বা সৰ্বোচ্চ উচ্চতাৰ বিন্দুৰ পৰা, বলটো গুৰুত্বৰ ত্বৰণৰ অধীনত মুক্তভাৱে পৰে। বলটো ঋণাত্মক $y$ দিশত গতি কৰি আছে। আমি সমীকৰণ ব্যৱহাৰ কৰো $$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 $$

আমাৰ আছে, $y_0=45 \mathrm{~m}, y=0, v_0=0, a=-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

$$ 0=45+(1 / 2)(-10) t_2^2 $$

সমাধান কৰি, আমি পাওঁ $\mathrm{t}_2=3 \mathrm{~s}$ গতিকে, বলটো মাটিত পৰাৰ আগতে মুঠ লোৱা সময় $=t_1+t_2=2 \mathrm{~s}+3 \mathrm{~s}=5 \mathrm{~s}$।

দ্বিতীয় পদ্ধতি: বাছনি কৰা উৎপত্তিৰ সাপেক্ষে বলৰ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থানৰ স্থানাংকবোৰ লক্ষ্য কৰি আৰু সমীকৰণ ব্যৱহাৰ কৰি মুঠ লোৱা সময়ও গণনা কৰিব পাৰি

$$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 $$ $$ \begin{array}{ll} \text{Now} \quad \quad y_0=25 \mathrm{~m} & y=0 \mathrm{~m} \\ \quad \quad\quad \quad v_o=20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, & a=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \quad t=? \end{array} $$

$$ \begin{array}{ll} & 0=25+20 t+(1 / 2)(-10) t^2 \\ \text { Or, } & \quad 5 t^2-20 t-25=0 \end{array} $$

$t$ ৰ বাবে এই দ্বিঘাত সমীকৰণটো সমাধান কৰি, আমি পাওঁ

$$ t=5 \mathrm{~s} $$

লক্ষ্য কৰক যে দ্বিতীয় পদ্ধতিটো ভাল কাৰণ গতি ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ অধীনত হোৱা বাবে আমি গতিৰ পথৰ বিষয়ে চিন্তা কৰিব নালাগে।

উদাহৰণ 2.4 মুক্ত পতন: মুক্ত পতনত থকা বস্তুৰ গতি আলোচনা কৰক। বায়ুৰোধক উপেক্ষা কৰক।

উত্তৰ পৃথিৱীৰ পৃষ্ঠৰ ওচৰত মুকলি কৰা বস্তু এটা গুৰুত্বৰ বলৰ প্ৰভাৱত তললৈ ত্বৰিত হয়। গুৰুত্বৰ কাৰণে ত্বৰণৰ পৰিমাণ g ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। যদি বায়ুৰোধক উপেক্ষা কৰা হয়, তেন্তে বস্তুটো মুক্ত পতনত বুলি কোৱা হয়। যদি বস্তুটো পৰা উচ্চতা পৃথিৱীৰ ব্যাসাৰ্ধতকৈ সৰু হয়, তেন্তে g ক ধ্ৰুৱক, 9.8 m $s^{–2}$ সমান বুলি ধৰিব পাৰি। গতিকে মুক্ত পতন হৈছে সমত্বৰণৰ সৈতে গতিৰ এটা ক্ষেত্ৰ।

আমি ধৰি লওঁ যে গতি y-দিশত, অধিক সঠিকভাৱে –y-দিশত কাৰণ আমি ওপৰলৈ দিশক ধনাত্মক হিচাপে বাছি লওঁ। গুৰুত্বৰ কাৰণে ত্বৰণ সদায় তললৈ হোৱা বাবে, ই ঋণাত্মক দিশত থাকে আৰু আমি পাইছো

$$ a=-g=-9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} $$

বস্তুটো $y=0$ ত বিশ্ৰামৰ পৰা মুকলি কৰা হয়। গতিকে, $v_0=0$ আৰু গতিৰ সমীকৰণবোৰ হৈ পৰে:

$$ \begin{array}{lll} v=0-g t & =-9.8 t &\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \\ y=0-1 / 2 g t^2 & =-4.9 t^2 & \mathrm{~m} \\ v^2=0-2 g y & =-19.6 y &\mathrm{~m}^2 \mathrm{~s}^{-2} \end{array} $$

এই সমীকৰণবোৰে সময়ৰ ফাংচন হিচাপে বেগ আৰু অতিক