৩.১ পৰিচয়

আগৰ অধ্যায়ত আমি স্থান, সৰণ, বেগ আৰু ত্বৰণৰ ধাৰণাসমূহ বিকশিত কৰিছিলোঁ যিবোৰ এডাল সৰল ৰেখাৰ বাবে বস্তু এটাৰ গতি বৰ্ণনা কৰিবলৈ প্ৰয়োজন। আমি দেখিলোঁ যে এই ৰাশিসমূহৰ দিশাত্মক দিশটো + আৰু - চিহ্নৰ দ্বাৰা সামৰি ল’ব পাৰি, কাৰণ এক মাত্ৰাত কেৱল দুটা দিশ সম্ভৱ। কিন্তু বস্তু এটাৰ গতি দুটা মাত্ৰাত (এখন সমতল) বা তিনিটা মাত্ৰাত (স্থান) বৰ্ণনা কৰিবলৈ, আমি ওপৰত উল্লেখ কৰা ভৌতিক ৰাশিসমূহ বৰ্ণনা কৰিবলৈ ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰিব লাগিব। গতিকে, প্ৰথমে ভেক্টৰৰ ভাষা শিকাটো প্ৰয়োজন। ভেক্টৰ কি? ভেক্টৰক কেনেকৈ যোগ, বিয়োগ আৰু পূৰণ কৰিব? ভেক্টৰক এটা বাস্তৱ সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে ফলাফল কি হয়? আমি ইয়াক শিকিম যাতে আমি সমতলত বেগ আৰু ত্বৰণ সংজ্ঞায়িত কৰিবলৈ ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰোঁ। তাৰ পিছত আমি সমতলত বস্তু এটাৰ গতি আলোচনা কৰিম। সমতলত গতিৰ এটা সহজ উদাহৰণ হিচাপে, আমি ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ সৈতে গতি আলোচনা কৰিম আৰু প্ৰক্ষেপ্য গতিৰ বিষয়ে বিস্তাৰিতভাৱে আলোচনা কৰিম। বৃত্তীয় গতি হৈছে গতিৰ এটা চিনাকি শ্ৰেণী যি দৈনন্দিন জীৱনৰ পৰিস্থিতিত বিশেষ তাৎপৰ্য বহন কৰে। আমি সমবৃত্তীয় গতি কিছু বিস্তাৰিতভাৱে আলোচনা কৰিম। সমতলত গতিৰ বাবে এই অধ্যায়ত বিকশিত সমীকৰণসমূহ সহজেই তিনিটা মাত্ৰাৰ ক্ষেত্ৰলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰিব পাৰি।

৩.২ স্কেলাৰ আৰু ভেক্টৰ

পদাৰ্থ বিজ্ঞানত, আমি ৰাশিসমূহক স্কেলাৰ বা ভেক্টৰ হিচাপে শ্ৰেণীবদ্ধ কৰিব পাৰোঁ। মূলে, পাৰ্থক্যটো হ’ল যে ভেক্টৰৰ সৈতে এটা দিশ জড়িত কিন্তু স্কেলাৰৰ সৈতে নহয়। স্কেলাৰ ৰাশি হৈছে কেৱল মান থকা ৰাশি। ইয়াক সম্পূৰ্ণৰূপে এটা সংখ্যাৰে, উপযুক্ত এককৰ সৈতে নিৰ্দিষ্ট কৰা হয়। উদাহৰণ হ’ল: দুটা বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব, বস্তু এটাৰ ভৰ, দেহ এটাৰ উষ্ণতা আৰু নিৰ্দিষ্ট ঘটনা এটা সংঘটিত হোৱা সময়। স্কেলাৰ সংযুক্ত কৰাৰ নিয়মবোৰ সাধাৰণ বীজগণিতৰ নিয়ম। স্কেলাৰসমূহ যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণ কৰিব পাৰি যেনেকৈ সাধাৰণ সংখ্যাবোৰ*। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি আয়ত এটাৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে ১.০ মি আৰু ০.৫ মি হয়, তেন্তে ইয়াৰ পৰিসীমা হ’ল চাৰিটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল, ১.০ মি + ০.৫ মি +১.০ মি + ০.৫ মি = ৩.০ মি। প্ৰতিটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য এটা স্কেলাৰ আৰু পৰিসীমাও এটা স্কেলাৰ। আন এটা উদাহৰণ লওক: নিৰ্দিষ্ট দিন এটাৰ সৰ্বোচ্চ আৰু সৰ্বনিম্ন উষ্ণতা ক্ৰমে ৩৫.৬ °C আৰু ২৪.২ °C। তেন্তে, দুয়োটা উষ্ণতাৰ পাৰ্থক্য হ’ল ১১.৪ °C। একেদৰে, যদি ১০ চে.মি. বাহুৰ এলুমিনিয়ামৰ এটা সমগ্ৰ কঠিন ঘনকৰ ভৰ ২.৭ কিলোগ্ৰাম হয়, তেন্তে ইয়াৰ আয়তন হ’ল ১০–৩ মি3 (এটা স্কেলাৰ) আৰু ইয়াৰ ঘনত্ব হ’ল ২.৭×১০৩ কিলোগ্ৰাম মি–৩ (এটা স্কেলাৰ)। ভেক্টৰ ৰাশি হৈছে এনে ৰাশি যাৰ এটা মান আৰু এটা দিশ দুয়োটাই থাকে আৰু যোগৰ ত্ৰিভূজ সূত্র বা সমতুল্যভাৱে যোগৰ সামান্তৰিক সূত্র মানি চলে। গতিকে, ভেক্টৰ এটাক ইয়াৰ মান এটা সংখ্যাৰে আৰু ইয়াৰ দিশটো দি নিৰ্দিষ্ট কৰা হয়। ভেক্টৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা কিছুমান ভৌতিক ৰাশি হ’ল সৰণ, বেগ, ত্বৰণ আৰু বল।

ভেক্টৰ এটা প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ, আমি এই কিতাপত ডাঠ আখৰৰ শৈলী ব্যৱহাৰ কৰোঁ। গতিকে, বেগ ভেক্টৰক v চিহ্নৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। ডাঠ আখৰ লিখিবলৈ টান হোৱাৰ বাবে, হাতেৰে লিখোঁতে ভেক্টৰ এটাক প্ৰায়ে এটা আখৰৰ ওপৰত ৰখা তীৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, যেনে rv । গতিকে, v আৰু rv দুয়োটাই বেগ ভেক্টৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। ভেক্টৰ এটাৰ মানক প্ৰায়ে ইয়াৰ নিৰপেক্ষ মান বুলি কোৱা হয়, যাক |v| = v ৰে সূচোৱা হয়। গতিকে, ভেক্টৰ এটাক ডাঠ আখৰেৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, যেনে A, a, p, q, r, … x, y, যিৰ ক্ৰমে মানসমূহ পাতল আখৰ A, a, p, q, r, … x, y ৰে সূচোৱা হয়।

৩.২.১ স্থানাংক আৰু সৰণ ভেক্টৰ

সমতলত গতি কৰা বস্তু এটাৰ অৱস্থান বৰ্ণনা কৰিবলৈ, আমি এটা সুবিধাজনক বিন্দু বাছি ল’ব লাগিব, যেনে O ক মূলবিন্দু হিচাপে। ধৰি লওক P আৰু P′ হ’ল ক্ৰমে t আৰু t′ সময়ত বস্তুটোৰ অৱস্থান [চিত্ৰ ৩.১(ক)]। আমি O আৰু P ক এডাল সৰল ৰেখাৰে সংযোগ কৰোঁ। তেন্তে, OP হৈছে t সময়ত বস্তুটোৰ স্থানাংক ভেক্টৰ। এই ৰেখাৰ মূৰত এটা তীৰ চিহ্নিত কৰা হয়। ইয়াক r চিহ্নৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, অৰ্থাৎ OP = r। P′ বিন্দুটোক আন এটা স্থানাংক ভেক্টৰৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, OP′ যাক r′ ৰে সূচোৱা হয়। r ভেক্টৰটোৰ দৈৰ্ঘ্যই ভেক্টৰটোৰ মান প্ৰতিনিধিত্ব কৰে আৰু ইয়াৰ দিশটো হৈছে O ৰ পৰা দেখা পোৱাৰ দৰে P যিটো দিশত অৱস্থিত। যদি বস্তুটো P ৰ পৰা P′ লৈ যায়, তেন্তে PP′ ভেক্টৰটোক (মূৰ P ত আৰু আগ P′ ত) P বিন্দুৰ পৰা (t সময়ত) P′ বিন্দুলৈ (t′ সময়ত) গতিৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট সৰণ ভেক্টৰ বুলি কোৱা হয়।

চিত্ৰ ৩.১ (ক) স্থানাংক আৰু সৰণ ভেক্টৰ। (খ) সৰণ ভেক্টৰ PQ আৰু গতিৰ বিভিন্ন পথ।

এইটো মনত ৰাখিবলগীয়া যে সৰণ ভেক্টৰটো হৈছে আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থান সংযোগ কৰা সৰল ৰেখা আৰু ই দুয়োটা অৱস্থানৰ মাজত বস্তুটোৱে গ্ৰহণ কৰা প্ৰকৃত পথৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, চিত্ৰ ৪.১(খ)ত, আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থান P আৰু Q হিচাপে দিয়া আছে, সৰণ ভেক্টৰটো বিভিন্ন যাত্ৰা পথৰ বাবে একেই PQ, যেনে PABCQ, PDQ, আৰু PBEFQ। গতিকে, সৰণৰ মান হৈছে দুটা বিন্দুৰ মাজত বস্তু এটাৰ পথ দৈৰ্ঘ্যতকৈ কম বা সমান। এই কথাটো আগৰ অধ্যায়তো সৰল ৰেখাৰ বাবে গতি আলোচনা কৰোঁতে গুৰুত্ব দিয়া হৈছিল।

৩.২.২ ভেক্টৰৰ সমতা

দুটা ভেক্টৰ A আৰু B ক সমান বুলি কোৱা হয় যদি আৰু কেৱল যদি, সিহঁতৰ একে মান আৰু একে দিশ থাকে।**

চিত্ৰ ৩.২ (ক) দুটা সমান ভেক্টৰ A আৰু B। (খ) দুটা ভেক্টৰ A′ আৰু B′ অসমান যদিও সিহঁতৰ দৈৰ্ঘ্য একে।

চিত্ৰ ৩.২(ক)ত দুটা সমান ভেক্টৰ A আৰু B দেখুওৱা হৈছে। আমি সিহঁতৰ সমতা সহজে পৰীক্ষা কৰিব পাৰোঁ। B ক ইয়াৰ সমান্তৰালভাৱে স্থানান্তৰ কৰক যেতিয়ালৈকে ইয়াৰ মূৰ Q, A ৰ মূৰৰ লগত মিলি নাযায়, অৰ্থাৎ Q, O ৰ লগত মিলি যায়। তেতিয়া, যিহেতু সিহঁতৰ আগ S আৰু P ও মিলি যায়, দুয়োটা ভেক্টৰক সমান বুলি কোৱা হয়। সাধাৰণতে, সমতা A = B ৰে সূচোৱা হয়। মন কৰক যে চিত্ৰ ৩.২(খ)ত, ভেক্টৰ A′ আৰু B′ ৰ একে মান আছে কিন্তু সিহঁত সমান নহয় কাৰণ সিহঁতৰ দিশ বেলেগ। আমি B′ ক ইয়াৰ সমান্তৰালভাৱে স্থানান্তৰ কৰিলেও যাতে ইয়াৰ মূৰ Q′, A′ ৰ মূৰ O′ ৰ লগত মিলি যায়, B′ ৰ আগ S′, A′ ৰ আগ P′ ৰ লগত মিলি নাযায়।

৩.৩ ভেক্টৰক বাস্তৱ সংখ্যাৰে পূৰণ কৰা

ভেক্টৰ A ক ধনাত্মক সংখ্যা λ ৰে পূৰণ কৰিলে এটা ভেক্টৰ পোৱা যায় যাৰ মান λ গুণকৰ দ্বাৰা সলনি হয় কিন্তু দিশটো A ৰ দৰে একেই থাকে :

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

উদাহৰণস্বৰূপে, যদি A ক ২ ৰে পূৰণ কৰা হয়, ফলিত ভেক্টৰ 2A ৰ দিশ A ৰ দৰে একেই আৰু মান |A| ৰ দুগুণ, যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৩(ক)ত দেখুওৱা হৈছে। ভেক্টৰ A ক ঋণাত্মক সংখ্যা −λ ৰে পূৰণ কৰিলে আন এটা ভেক্টৰ পোৱা যায় যাৰ দিশ A ৰ দিশৰ বিপৰীত আৰু যাৰ মান |A| ৰ λ গুণ।

দিয়া ভেক্টৰ A ক ঋণাত্মক সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে, যেনে –১ আৰু –১.৫, ভেক্টৰসমূহ পোৱা যায় যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৩(খ)ত দেখুওৱা হৈছে। যি গুণক λ ৰে ভেক্টৰ A পূৰণ কৰা হয় সি নিজা ভৌতিক মাত্ৰা থকা স্কেলাৰ হ’ব পাৰে। তেন্তে, λ A ৰ মাত্ৰা হৈছে λ আৰু A ৰ মাত্ৰাৰ গুণফল। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি আমি ধ্ৰুৱক বেগ ভেক্টৰক সময়ৰ ব্যাপ্তিৰে পূৰণ কৰোঁ, আমি সৰণ ভেক্টৰ পাম।

চিত্ৰ ৩.৩ (ক) ভেক্টৰ A আৰু A ক ধনাত্মক সংখ্যা ২ ৰে পূৰণ কৰাৰ পিছৰ ফলিত ভেক্টৰ। (খ) ভেক্টৰ A আৰু ইয়াক ঋণাত্মক সংখ্যা –১ আৰু –১.৫ ৰে পূৰণ কৰাৰ পিছৰ ফলিত ভেক্টৰসমূহ।

৩.৪ ভেক্টৰৰ যোগ আৰু বিয়োগ — চিত্ৰণ পদ্ধতি

বিভাগ ৩.২ত উল্লেখ কৰাৰ দৰে, সংজ্ঞামতে, ভেক্টৰসমূহে ত্ৰিভূজ সূত্র বা সমতুল্যভাৱে, যোগৰ সামান্তৰিক সূটল মানি চলে। আমি এতিয়া এই যোগ সূটল চিত্ৰণ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি বৰ্ণনা কৰিম। ধৰি লওক আমি দুটা ভেক্টৰ A আৰু B বিবেচনা কৰোঁ যিবোৰ চিত্ৰ ৩.৪(ক)ত দেখুওৱাৰ দৰে সমতলত অৱস্থিত। এই ভেক্টৰসমূহ প্ৰতিনিধিত্ব কৰা ৰেখাখণ্ডসমূহৰ দৈৰ্ঘ্য ভেক্টৰসমূহৰ মানৰ সমানুপাতিক। যোগফল A + B উলিয়াবলৈ, আমি ভেক্টৰ B ক এনেদৰে স্থাপন কৰোঁ যাতে ইয়াৰ মূৰ ভেক্টৰ A ৰ আগত থাকে, যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৪(খ)ত। তাৰ পিছত, আমি A ৰ মূৰক B ৰ আগৰ লগত সংযোগ কৰোঁ। এই ৰেখা OQ ৰে ভেক্টৰ R ক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, অৰ্থাৎ ভেক্টৰ A আৰু B ৰ যোগফল। যিহেতু, ভেক্টৰ যোগৰ এই পদ্ধতিত, ভেক্টৰসমূহ আগৰ পৰা মূৰলৈ সজোৱা হয়, এই চিত্ৰণ পদ্ধতিক আগ-ৰ-পৰা-মূৰ পদ্ধতি বুলি কোৱা হয়। দুটা ভেক্টৰ আৰু সিহঁতৰ ফলিত ভেক্টৰই ত্ৰিভূজৰ তিনিটা বাহু গঠন কৰে, গতিকে এই পদ্ধতিক ভেক্টৰ যোগৰ ত্ৰিভূজ পদ্ধতি বুলিও জনা যায়। যদি আমি B + A ৰ ফলিত ভেক্টৰ চিত্ৰ ৩.৪(গ)ত দেখুওৱাৰ দৰে উলিয়াওঁ, একেই ভেক্টৰ R পোৱা যায়। গতিকে, ভেক্টৰ যোগ পৰিবৰ্তনশীল :

A + B = B + A $\quad \quad \quad$ (3.1)

চিত্ৰ ৩.৪ (ক) ভেক্টৰ A আৰু B। (খ) ভেক্টৰ A আৰু B চিত্ৰণৰ দ্বাৰা যোগ কৰা হৈছে। (গ) ভেক্টৰ B আৰু A চিত্ৰণৰ দ্বাৰা যোগ কৰা হৈছে। (ঘ) ভেক্টৰ যোগৰ সহযোগী সূটল চিত্ৰণ কৰা হৈছে।

ভেক্টৰৰ যোগেও সহযোগী সূটল মানি চলে যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৪(ঘ)ত চিত্ৰিত কৰা হৈছে। প্ৰথমে ভেক্টৰ A আৰু B যোগ কৰি তাৰ পিছত ভেক্টৰ C যোগ কৰাৰ ফলাফল হৈছে প্ৰথমে B আৰু C যোগ কৰি তাৰ পিছত ভেক্টৰ A যোগ কৰাৰ ফলাফলৰ সৈতে একেই :

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

দুটা সমান আৰু বিপৰীত ভেক্টৰ যোগ কৰিলে ফলাফল কি হয়? চিত্ৰ ৩.৩(খ)ত দেখুওৱা দুটা ভেক্টৰ A আৰু –A বিবেচনা কৰক। সিহঁতৰ যোগফল হৈছে A + (–A)। যিহেতু দুয়োটা ভেক্টৰৰ মান একেই, কিন্তু দিশসমূহ বিপৰীত, ফলিত ভেক্টৰৰ শূন্য মান থাকে আৰু ইয়াক 0 ৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয় যাক শূন্য ভেক্টৰ বা নাল ভেক্টৰ বুলি কোৱা হয় :

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

যিহেতু নাল ভেক্টৰৰ মান শূন্য, ইয়াৰ দিশ নিৰ্দিষ্ট কৰিব নোৱাৰি। ভেক্টৰ A ক শূন্য সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলেও নাল ভেক্টৰ পোৱা যায়। 0 ৰ মুখ্য ধৰ্মসমূহ হ’ল :

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

শূন্য ভেক্টৰৰ ভৌতিক অৰ্থ কি? চিত্ৰ ৩.১(ক)ত দেখুওৱাৰ দৰে সমতলত স্থানাংক আৰু সৰণ ভেক্টৰ বিবেচনা কৰক। এতিয়া ধৰি লওক যে বস্তু এটা t সময়ত P ত থাকে, P′ লৈ যায় আৰু তাৰ পিছত P লৈ উভতি আহে। তেন্তে, ইয়াৰ সৰণ কি? যিহেতু আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থান মিলি যায়, সৰণটো হৈছে “নাল ভেক্টৰ”।

ভেক্টৰৰ বিয়োগক ভেক্টৰৰ যোগৰ ভিত্তিত সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি। আমি দুটা ভেক্টৰ A আৰু B ৰ পাৰ্থক্যক দুটা ভেক্টৰ A আৰু –B ৰ যোগফল হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰোঁ :

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

ই চিত্ৰ ৩.৫ত দেখুওৱা হৈছে। ভেক্টৰ $-\mathbf{B}$ ক ভেক্টৰ $\mathbf{A}$ লৈ যোগ কৰি $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ পোৱা যায়। তুলনাৰ বাবে ভেক্টৰ $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ ও একে চিত্ৰত দেখুওৱা হৈছে। আমি দুটা ভেক্টৰৰ যোগফল উলিয়াবলৈ সামান্তৰিক পদ্ধতি ও ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰোঁ। ধৰি লওক আমি দুটা ভেক্টৰ $\mathbf{A}$ আৰু $\mathbf{B}$ আছে। এই ভেক্টৰসমূহ যোগ কৰিবলৈ, আমি সিহঁতৰ মূৰসমূহ চিত্ৰ ৩.৬(ক)ত দেখুওৱাৰ দৰে এটা সাধাৰণ মূলবিন্দু $\mathrm{O}$ লৈ আনি। তাৰ পিছত আমি $\mathbf{A}$ ৰ আগৰ পৰা $\mathbf{B}$ ৰ সমান্তৰালভাৱে এডাল ৰেখা আঁকোঁ আৰু B ৰ আগৰ পৰা A ৰ সমান্তৰালভাৱে আন এডাল ৰেখা আঁকি সামান্তৰিক OQSP সম্পূৰ্ণ কৰোঁ। এতিয়া আমি এই দুডাল ৰেখাৰ ছেদবিন্দুটোক মূলবিন্দু O ৰ লগত সংযোগ কৰোঁ। ফলিত ভেক্টৰ R টো সাধাৰণ মূলবিন্দু O ৰ পৰা সামান্তৰিকটোৰ কৰ্ণ (OS) বৰাবৰে নিৰ্দেশিত [চিত্ৰ ৩.৬(খ)]। চিত্ৰ ৩.৬(গ)ত, A আৰু B ৰ ফলিত ভেক্টৰ পাবলৈ ত্ৰিভূজ সূটল ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে আৰু আমি দেখোঁ যে দুয়োটা পদ্ধতিয়ে একে ফলাফল দিয়ে। গতিকে, দুয়োটা পদ্ধতি সমতুল্য।

চিত্ৰ ৩.৫ (ক) দুটা ভেক্টৰ A আৰু B, – B ও দেখুওৱা হৈছে। (খ) ভেক্টৰ A ৰ পৰা ভেক্টৰ B বিয়োগ কৰা – ফলাফল R2 । তুলনাৰ বাবে, ভেক্টৰ A আৰু B ৰ যোগ, অৰ্থাৎ R1 ও দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ৩.৬ (ক) দুটা ভেক্টৰ A আৰু B যিৰ মূৰসমূহ এটা সাধাৰণ মূলবিন্দুলৈ অনা হৈছে। (খ) সামান্তৰিক পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি পোৱা যোগফল A + B। (গ) ভেক্টৰ যোগৰ সামান্তৰিক পদ্ধতি ত্ৰিভূজ পদ্ধতিৰ সমতুল্য।

উদাহৰণ ৩.১ বৰষুণ ৩৫ মি ছে–১ বেগেৰে উলম্বভাৱে দৈৰ্ঘ্য। কিছু সময়ৰ পিছত বতাহ ১২ মি ছে–১ বেগেৰে পূৰ্বৰ পৰা পশ্চিমলৈ বলিবলৈ আৰম্ভ কৰে। বাছ ষ্টপত ৰৈ থকা ল’ৰাজনে ছাতিটো কোন দিশত ধৰি ৰাখিব লাগে?

উত্তৰ বৰষুণ আৰু বতাহৰ বেগক চিত্ৰ ৩.৭ত ভেক্টৰ $\mathbf{v_r}$ আৰু $\mathbf{v_w}$ ৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে আৰু সমস্যাত নিৰ্দিষ্ট কৰা দিশত আছে। ভেক্টৰ যোগৰ সূটল ব্যৱহাৰ কৰি, আমি দেখোঁ যে $\mathbf{v_r}$ আৰু $\mathbf{v_w}$ ৰ ফলিত ভেক্টৰ হৈছে $\mathrm{R}$ যেনেকৈ চিত্ৰত দেখুওৱা হৈছে। $\mathrm{R}$ ৰ মান হৈছে

$$ R=\sqrt{v _{r}^{2}+v _{w}^{2}}=\sqrt{35^{2}+12^{2}} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=37 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

$\theta$ দিশটো যি $R$ উলম্বৰ সৈতে কৰে তাক দিয়া হৈছে

$$ \tan \theta=\frac{v _{w}}{v _{r}}=\frac{12}{35}=0.343 $$

অথবা, $\theta=\tan ^{-1}(0.343)=19^{\circ}$

গতিকে, ল’ৰাজনে ছাতিটো উলম্ব সমতলত উলম্বৰ সৈতে প্ৰায় $19^{\circ}$ কোণ কৰি পূৰ্ব দিশলৈ ধৰি ৰাখিব লাগে।

৩.৫ ভেক্টৰৰ বিশ্লেষণ

ধৰি লওক a আৰু b হৈছে সমতলত যিকোনো দুটা অশূন্য ভেক্টৰ যিৰ দিশ বেলেগ বেলেগ আৰু ধৰি লওক A হৈছে একে সমতলত থকা আন এটা ভেক্টৰ (চিত্ৰ ৩.৮)। A ক দুটা ভেক্টৰৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি — এটা a ক এটা বাস্তৱ সংখ্যাৰে পূৰণ কৰি পোৱা আৰু আনটো b ক আন এটা বাস্তৱ সংখ্যাৰে পূৰণ কৰি পোৱা। ইয়াক দেখিবলৈ, ধৰি লওক O আৰু P হৈছে ভেক্টৰ A ৰ মূৰ আৰু আগ। তেন্তে, O ৰ মাজেৰে, a ৰ সমান্তৰালভাৱে এডাল সৰল ৰেখা আঁকক, আৰু P ৰ মাজেৰে, b ৰ সমান্তৰালভাৱে এডাল সৰল ৰেখা আঁকক। সিহঁতে Q ত ছেদ কৰক। তেন্তে, আমি পাইছোঁ

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=\mathbf{O P}=\mathbf{O} \mathbf{Q}+\mathbf{Q P} \tag{3.6} \end{equation*} $$

কিন্তু যিহেতু OQ, a ৰ সমান্তৰাল, আৰু QP, b ৰ সমান্তৰাল, আমি লিখিব পাৰোঁ :

$$ \begin{equation*} \mathbf{O} \mathbf{Q}=\lambda \mathbf{a} \text { तथा } \mathbf{Q P}=\mu \mathbf{b} \tag{3.7} \end{equation*} $$

য’ত λ আৰু µ হৈছে বাস্তৱ সংখ্যা।

গতিকে,

$$\mathbf{A}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}\tag{3.8}$$

চিত্ৰ ৩.৮ (ক) দুটা একৰেখীয় নোহোৱা ভেক্টৰ a আৰু b। (খ) ভেক্টৰ A ক ভেক্টৰ a আৰু b ৰ মাজেৰে বিশ্লেষণ কৰা হৈছে।

আমি কওঁ যে A ক দুটা উপাংশ ভেক্টৰ λ a আৰু µ b লৈ ক্ৰমে a আৰু b বৰাবৰে বিশ্লেষণ কৰা হৈছে। এই পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি এটা দিয়া ভেক্টৰক দুটা ভেক্টৰৰ এটা ছেটৰ বৰাবৰে দুটা উপাংশ ভেক্টৰলৈ বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি — তিনিওটা একে সমতলত থাকে। একক মানৰ ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰি আয়তাকাৰ স্থানাংক ব্যৱস্থাৰ অক্ষবোৰৰ বাবে সাধাৰণ ভেক্টৰ এটা বিশ্লেষণ কৰাটো সুবিধাজনক। এইবোৰক একক ভেক্টৰ বুলি কোৱা হয় যি আমি এতিয়া আলোচনা কৰিম। একক ভেক্টৰ হৈছে একক মানৰ ভেক্টৰ আৰু নিৰ্দিষ্ট দিশলৈ নিৰ্দেশিত। ইয়াৰ মাত্ৰা আৰু একক নাই। ই কেৱল দিশ নিৰ্দিষ্ট কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। আয়তাকাৰ স্থানাংক ব্যৱস্থাৰ x-, y- আৰু z-অক্ষবোৰৰ বৰাবৰে একক ভেক্টৰসমূহক ক্ৰমে $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}} \text{ and }\hat{\mathbf{k}}$ ৰে চিত্ৰ ৩.৯(ক)ত দেখুওৱাৰ দৰে সূচোৱা হয়। যিহেতু এইবোৰ একক ভেক্টৰ, আমি পাইছোঁ

$$ \begin{equation*} |\hat{\mathbf{i}}|=\hat{\mathbf{j}}|=\hat{\mathbf{k}}|=1 \tag{3.9} \end{equation*} $$

এই একক ভেক্টৰসমূহ পৰস্পৰ লম্ব। এই পাঠ্যত, সিহঁতক আন ভেক্টৰৰ পৰা পৃথক কৰিবলৈ ডাঠ আখৰত টুপী (^) সহিত ছপা কৰা হয়। যিহেতু আমি এই অধ্যায়ত দুটা মাত্ৰাত গতিৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰি আছোঁ, আমি কেৱল দুটা একক ভেক্টৰৰ ব্যৱহাৰৰ প্ৰয়োজন। যদি আমি এটা একক ভেক্টৰক, যেনে $\hat{\mathbf{n}}$ ক এটা স্কেলাৰৰে পূৰণ কৰোঁ, ফলাফল হৈছে ভেক্টৰ $\lambda = \lambda\hat{\mathbf{n}}$ । সাধাৰণতে, ভেক্টৰ A ক এনেদৰে লিখিব পাৰি

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{n}} \tag{3.10} \end{equation*} $$

য’ত $\hat{\mathbf{n}}$ হৈছে A বৰাবৰে একক ভেক্টৰ। আমি এতিয়া ভেক্টৰ A ক উপাংশ ভেক্টৰৰ মাজেৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ যিবোৰ একক ভেক্টৰ $\hat{\mathbf{i}}$ আৰু $\hat{\mathbf{j}}$ বৰাবৰে থাকে। এটা ভেক্টৰ A বিবেচনা কৰক যি x-y সমতলত চিত্ৰ ৩.৯(খ)ত দেখুওৱাৰ দৰে থাকে। আমি A ৰ আগৰ পৰা স্থানাংক অক্ষবোৰলৈ লম্ব ৰেখা আঁকোঁ যেনেকৈ চিত্ৰ ৩.৯(খ)ত, আৰু ভেক্টৰ $\mathbf{A_1}$ আৰু $\mathbf{A_2}$ পাইছোঁ যাতে $\mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} = \mathbf{A}$। যিহেতু $\mathbf{A_1}$, $\hat{\mathbf{i}}$ ৰ সমান্তৰাল আৰু $\mathbf{A_2}$, $\hat{\mathbf{j}}$ ৰ সমান্তৰাল, আমি পাইছোঁ :

চিত্ৰ ৩.৯ (ক) একক ভেক্টৰ ɵ i , ɵ j আৰু ɵk x-, y-, আৰু z-অক্ষবোৰৰ বৰাবৰে থাকে। (খ) ভেক্টৰ A ক ইয়াৰ উপাংশ Ax আৰু Ay লৈ x-, আৰু y- অক্ষবোৰৰ বৰাবৰে বিশ্লেষণ কৰা হৈছে। (গ) A1 আৰু A2 ɵ i আৰু ɵ j ৰ মাজেৰে প্ৰকাশ কৰা হৈছে।

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} _{1}=A _{x} \hat{\mathbf{i}}, \mathbf{A} _{2}=A _{y} \hat{\mathbf{j}} \tag{3.11} \end{equation*} $$

য’ত $A_x$ আৰু $A_y$ হৈছে বাস্তৱ সংখ্যা।

গতিকে, $\quad \mathbf{A}=A_x \dot{\hat{\mathbf{i}}}+A_y \hat{\mathbf{j}}\quad \quad \quad (3.12)$

ইয়াক চিত্ৰ ৩.৯(গ)ত প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে। ৰাশিসমূহ $A_x$ আৰু $A_y$ ক ভেক্টৰ A ৰ $x$-, আৰু $y$-উপাংশ বুলি কোৱা হয়। মন কৰক যে $A_x$ নিজে ভেক্টৰ নহয়, কিন্তু $A_x \hat{\mathbf{i}}$ ভেক্টৰ, আৰু $A_y \hat{\mathbf{j}}$ ও ভেক্টৰ। সহজ ত্ৰিকোণমিতি ব্যৱহাৰ কৰি, আমি $A_x$ আৰু $A_y$ ক $\mathbf{A}$ ৰ মান আৰু ইয়ে $\theta$ কোণটো $x$-অক্ষৰ সৈতে কৰে তাৰ মাজেৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ :

$$ \begin{align*} & A _{x}=A \cos \theta \\ & A _{y}=A \sin \theta \tag{3.13} \end{align*} $$

সমীকৰণ (৩.১৩)ৰ পৰা স্পষ্ট হোৱাৰ দৰে, ভেক্টৰৰ এটা উপাংশ $\theta$ ৰ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য হ’ব পাৰে।

এতিয়া, সমতলত ভেক্টৰ $\mathbf{A}$ নিৰ্দিষ্ট কৰিবলৈ আমাৰ দুটা উপায় আছে। ইয়াক নিৰ্দিষ্ট কৰিব পাৰি :

(i) ইয়াৰ মান $A$ আৰু দিশ $\theta$ যি ইয়ে $x$-অক্ষৰ সৈতে কৰে; বা

(ii) ইয়াৰ উপাংশ $A_x$ আৰু $A_y$

যদি $\mathrm{A}$ আৰু $\theta$ দিয়া থাকে, $A_x$ আৰু $A_y$ সমীকৰণ (৩.১৩) ব্যৱহাৰ কৰি পোৱা যাব। যদি $A_x$ আৰু $A_y$ দিয়া থাকে, $A$ আৰু $\theta$ এনেদৰে পোৱা যাব :

$$ \begin{equation*} A _{x}^{2}+A _{y}^{2}=A^{2} \cos ^{2} \theta+A^{2} \sin ^{2} \theta=A^{2} \tag{3.14} \end{equation*} $$

অথবা, $ \quad \quad \quad A=\sqrt{A_x^2+A_y^2} \quad \quad \quad (3.14) $

আৰু $ \quad \quad \quad \tan \theta=\frac{A_y}{A_x}, \quad \theta=\tan ^{-1} \frac{A_y}{A_x} \quad \quad \quad (3.15) $

এতিয়ালৈকে আমি x-y সমতলত থকা ভেক্টৰ বিবেচনা কৰিছোঁ। একে পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি সাধাৰণ ভেক্টৰ A ক তিনিটা মাত্ৰাত x-, y-, আৰু z-অক্ষবোৰৰ বৰাবৰে তিনিটা উপাংশলৈ বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি। যদি α, β, আৰু γ হৈছে ক্ৰমে A আৰু x-,