৫.১ পৰিচয়

‘কাম’, ‘শক্তি’ আৰু ‘ক্ষমতা’ শব্দকেইটা দৈনন্দিন ভাষাত সঘনাই ব্যৱহাৰ কৰা হয়। এজন খেতিয়কে পথাৰ নাঙল মৰা, এজন নিৰ্মাণকৰ্মীয়ে ইটা কঢ়িয়াই অনা, এজন ছাত্ৰই প্ৰতিযোগিতামূলক পৰীক্ষাৰ বাবে পঢ়া-শুনা কৰা, এজন শিল্পীয়ে এখন ধুনীয়া প্ৰাকৃতিক দৃশ্য অংকন কৰা, এই সকলোবোৰকে কাম কৰা বুলি কোৱা হয়। কিন্তু পদাৰ্থ বিজ্ঞানত ‘কাম’ শব্দটোৱে এটা সুনিৰ্দিষ্ট আৰু স্পষ্ট অৰ্থ বহন কৰে। যিজন ব্যক্তিয়ে দিনটোৰ ১৪-১৬ ঘণ্টা কাম কৰাৰ সামৰ্থ্য আছে তেওঁক ডাঙৰ স্থায়িত্ব বা শক্তি থকা বুলি কোৱা হয়। আমি এজনী দীৰ্ঘদূৰত্বৰ দৌৰবিদক তেওঁৰ স্থায়িত্ব বা শক্তিৰ বাবে প্ৰশংসা কৰোঁ। গতিকে শক্তি হৈছে আমাৰ কাম কৰাৰ সামৰ্থ্য। পদাৰ্থ বিজ্ঞানতো ‘শক্তি’ শব্দটো এই অৰ্থত কামৰ সৈতে জড়িত, কিন্তু ওপৰত কোৱাৰ দৰে ‘কাম’ শব্দটোৱেই বহুতো স্পষ্টভাৱে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়। ‘ক্ষমতা’ শব্দটো দৈনন্দিন জীৱনত বিভিন্ন ছাঁৰ অৰ্থত ব্যৱহাৰ কৰা হয়। কৰাত বা বক্সিঙত আমি ‘শক্তিশালী’ ঘুষিৰ কথা কওঁ। এইবোৰ ডাঙৰ বেগত প্ৰদান কৰা হয়। এই ছাঁটো পদাৰ্থ বিজ্ঞানত ব্যৱহাৰ কৰা ‘ক্ষমতা’ শব্দটোৰ অৰ্থৰ ওচৰত। আমি দেখিম যে এই পদবোৰে আমাৰ মনত সৃষ্টি কৰা শাৰীৰিক সংজ্ঞা আৰু শাৰীৰিক চিত্ৰসমূহৰ মাজত সৰ্বোত্তমভাৱে এটা ঢিলা সম্পৰ্কহে আছে। এই অধ্যায়টোৰ লক্ষ্য হৈছে এই তিনিটা ভৌতিক পৰিমাণৰ বুজাবুজি বিকশিত কৰা। আমি এই কামত আগবাঢ়িবলৈ যোৱাৰ আগতে, আমাক এটা গাণিতিক পূৰ্বচৰ্ত বিকশিত কৰাৰ প্ৰয়োজন, অৰ্থাৎ দুটা ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ গুণফল।

৫.১.১ স্কেলাৰ গুণফল

আমি ভেক্টৰ আৰু তৃতীয় অধ্যায়ত তেওঁলোকৰ ব্যৱহাৰৰ বিষয়ে শিকিছোঁ। সৰণ, বেগ, ত্বৰণ, বল আদি ভৌতিক পৰিমাণবোৰ ভেক্টৰ। আমি ভেক্টৰ কেনেকৈ যোগ বা বিয়োগ কৰা হয় তাকো শিকিছোঁ। এতিয়া আমাক ভেক্টৰ কেনেকৈ পূৰণ কৰা হয় জানিবলৈ প্ৰয়োজন। ভেক্টৰ পূৰণ কৰাৰ দুটা উপায় আছে যাক আমি লগ পাম: এটা উপায়ক স্কেলাৰ গুণফল বুলি কোৱা হয় যিয়ে দুটা ভেক্টৰৰ পৰা এটা স্কেলাৰ দিয়ে আৰু আনটোক ভেক্টৰ গুণফল বুলি কোৱা হয় যিয়ে দুটা ভেক্টৰৰ পৰা এটা নতুন ভেক্টৰ উৎপন্ন কৰে। আমি ষষ্ঠ অধ্যায়ত ভেক্টৰ গুণফল চাম। ইয়াত আমি দুটা ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ গুণফল লওঁ। যিকোনো দুটা ভেক্টৰ A আৰু B ৰ স্কেলাৰ গুণফল বা ডট গুণফল, A.B (পঢ়ক $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

ইয়াত $\theta$ হৈছে চিত্ৰ ৫.১(ক) ত দেখুওৱাৰ দৰে দুয়োটা ভেক্টৰৰ মাজৰ কোণ। যিহেতু $A, B$ আৰু $\cos \theta$ স্কেলাৰ, $\mathbf{A}$ আৰু $\mathbf{B}$ ৰ ডট গুণফল এটা স্কেলাৰ পৰিমাণ। প্ৰতিটো ভেক্টৰ, $\mathbf{A}$ আৰু $\mathbf{B}$, এটা দিশ আছে কিন্তু তেওঁলোকৰ স্কেলাৰ গুণফলৰ দিশ নাই।

সমীকৰণ (৫.১ক) ৰ পৰা, আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

জ্যামিতিকভাৱে, $B \cos \theta$ হৈছে চিত্ৰ ৫.১(খ) ত $\mathbf{B}$ ৰ ওপৰত $\mathbf{A}$ ৰ প্ৰক্ষেপণ আৰু $A \cos \theta$ হৈছে চিত্ৰ ৫.১(গ) ত $\mathbf{A}$ ৰ ওপৰত $\mathbf{B}$ ৰ প্ৰক্ষেপণ। গতিকে, A.B হৈছে $\mathbf{A}$ ৰ মান আৰু A ৰ বৰাবৰ $\mathbf{B}$ ৰ উপাংশৰ গুণফল। আনহাতে, ই $\mathbf{B}$ ৰ মান আৰু $\mathbf{A}$ ৰ বৰাবৰ $\mathbf{B}$ ৰ উপাংশৰ গুণফল।

সমীকৰণ (৫.১ক) ৰ পৰা দেখিবলৈ পোৱা যায় যে স্কেলাৰ গুণফলে পৰিবৰ্তনশীল নিয়ম মানি চলে:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

স্কেলাৰ গুণফলে বিতৰণমূলক নিয়ম মানি চলে:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

আৰু, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

য’ত $\lambda$ এটা বাস্তৱ সংখ্যা।

ওপৰৰ সমীকৰণবোৰৰ প্ৰমাণবোৰ আপোনাৰ বাবে অনুশীলন হিচাপে এৰি দিয়া হৈছে।

একক ভেক্টৰ $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ ৰ বাবে আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

দুটা ভেক্টৰ দিয়া আছে

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

তেওঁলোকৰ স্কেলাৰ গুণফল হৈছে

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

স্কেলাৰ গুণফলৰ সংজ্ঞা আৰু (সমীকৰণ ৫.১খ) ৰ পৰা আমি পাইছো:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

কাৰণ $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$.

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, যদি $\mathbf{A}$ আৰু $\mathbf{B}$ লম্ব হয়।

উদাহৰণ ৫.১ বল $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ একক আৰু সৰণ $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ এককৰ মাজৰ কোণটো নিৰ্ণয় কৰক। $\mathbf{F}$ ৰ $\mathbf{d}$ ৰ ওপৰত প্ৰক্ষেপণটোও নিৰ্ণয় কৰক।

উত্তৰ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

গতিকে $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ একক

এতিয়া $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

আৰু $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

চিত্ৰ ৫.১ (ক) দুটা ভেক্টৰ A আৰু B ৰ স্কেলাৰ গুণফল এটা স্কেলাৰ: A.B = A B cos θ. (খ) B cos θ হৈছে B ৰ A ৰ ওপৰত প্ৰক্ষেপণ। (গ) A cos θ হৈছে A ৰ B ৰ ওপৰত প্ৰক্ষেপণ।

৫.২ কাৰ্য্য আৰু গতিশক্তিৰ ধাৰণা: কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্য

তৃতীয় অধ্যায়ত আমি স্থিৰ ত্বৰণ $a$ ৰ অধীনত ৰৈখিক গতিৰ বাবে তলৰ সম্পৰ্কটোৰ সৈতে পৰিচিত হৈছো,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

য’ত $u$ আৰু $v$ হৈছে আৰম্ভণি আৰু অন্তিম দ্ৰুতি আৰু $s$ হৈছে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব। দুয়োপক্ষক $m / 2$ ৰে পূৰণ কৰি, আমি পাইছো

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

য’ত শেষৰ পদটো নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ পৰা আহিছে। আমি ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণ (৫.২) ক তিনিমাত্ৰিকলৈ সাধাৰণীকৰণ কৰিব পাৰো

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

ইয়াত $\mathbf{a}$ আৰু $\mathbf{d}$ হৈছে ক্ৰমে বস্তুটোৰ ত্বৰণ আৰু সৰণ ভেক্টৰ। আকৌ দুয়োপক্ষক $\mathrm{m} / 2$ ৰে পূৰণ কৰি, আমি পাইছো

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

ওপৰৰ সমীকৰণটোৱে কাৰ্য্য আৰু গতিশক্তিৰ সংজ্ঞাৰ বাবে এক প্ৰেৰণা যোগায়। সমীকৰণটোৰ বাওঁপক্ষটো ‘ভৰৰ আধা গুণ দ্ৰুতিৰ বৰ্গ’ পৰিমাণটোৰ আৰম্ভণিৰ মানৰ পৰা ইয়াৰ অন্তিম মানলৈ পাৰ্থক্য। আমি এই পৰিমাণবোৰৰ প্ৰতিটোক ‘গতিশক্তি’ বুলি কওঁ, $K$ ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। সোঁপক্ষটো হৈছে সৰণ আৰু সৰণৰ বৰাবৰ বলৰ উপাংশৰ গুণফল। এই পৰিমাণটোক ‘কাৰ্য্য’ বুলি কোৱা হয় আৰু W ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। সমীকৰণ (৫.২খ) তেন্তে হয়

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

য’ত $K_{i}$ আৰু $K_{f}$ হৈছে ক্ৰমে বস্তুটোৰ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম গতিশক্তি। কাৰ্য্যই বল আৰু ইয়াৰ ক্ৰিয়া কৰা সৰণক সূচায়। বল এটাই বস্তু এটাৰ ওপৰত এক নিৰ্দিষ্ট সৰণৰ ওপৰত কাৰ্য্য কৰে।

সমীকৰণ (৫.২) কাৰ্য্য-শক্তি (WE) উপপাদ্যৰো এটা বিশেষ ক্ষেত্ৰ: এটা কণাৰ গতিশক্তিৰ পৰিৱৰ্তন হৈছে নিট বলৰ দ্বাৰা ইয়াৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্যৰ সমান। আমি পৰৱৰ্তী অংশত এটা পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে ওপৰৰ উৎপত্তিটো সাধাৰণীকৰণ কৰিম।

উদাহৰণ ৫.২ ইয়াক ভালদৰে জনা যায় যে এটা বৰষুণৰ টোপাল তললৈ মাধ্যাকৰ্ষণ বল আৰু বিৰোধী ৰোধক বলৰ প্ৰভাৱত পৰে। শেষৰটো টোপালটোৰ দ্ৰুতিৰ সমানুপাতিক বুলি জনা যায় কিন্তু আনফালে অনিৰ্ধাৰিত। $1.00 \mathrm{~g}$ ভৰৰ এটা টোপাল $1.00 \mathrm{~km}$ উচ্চতাৰ পৰা পৰি থকা বিবেচনা কৰক। ই $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ দ্ৰুতিৰে মাটিত আঘাত কৰে। (ক) মাধ্যাকৰ্ষণ বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য কি? অজ্ঞাত ৰোধক বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য কি?

উত্তৰ (ক) টোপালটোৰ গতিশক্তিৰ পৰিৱৰ্তন হৈছে

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

য’ত আমি ধৰি লৈছোঁ যে টোপালটো আৰম্ভণিতে স্থিৰ আছিল। ধৰি লওক যে $g$ এটা ধ্ৰুৱক যি $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ মানৰ, মাধ্যাকৰ্ষণ বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য হৈছে,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(খ) কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্যৰ পৰা

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

য’ত $W_{r}$ হৈছে ৰোধক বলৰ দ্বাৰা বৰষুণৰ টোপালটোৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্য। গতিকে

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ঋণাত্মক।

৫.৩ কাৰ্য্য

আগতে দেখা হৈছে, কাৰ্য্য বল আৰু ইয়াৰ ক্ৰিয়া কৰা সৰণৰ সৈতে জড়িত। এটা ধ্ৰুৱক বল $\mathbf{F}$ এটা $m$ ভৰৰ বস্তুৰ ওপৰত ক্ৰিয়া কৰা বিবেচনা কৰক। বস্তুটোৱে চিত্ৰ ৫.২ ত দেখুওৱাৰ দৰে ধনাত্মক $x$-দিশত এটা সৰণ $\mathbf{d}$ অনুভৱ কৰে।

চিত্ৰ ৫.২ বল F ৰ প্ৰভাৱত এটা বস্তুৱে এটা সৰণ d অনুভৱ কৰে।

বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্যক সংজ্ঞায়িত কৰা হয় সৰণৰ দিশত বলৰ উপাংশ আৰু এই সৰণৰ মানৰ গুণফল হিচাপে। গতিকে

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

আমি দেখো যে যদি সৰণ নাথাকে, বল ডাঙৰ হ’লেও কোনো কাৰ্য্য কৰা নহয়। গতিকে, যেতিয়া আপুনি এটা কঠিন ইটাৰ দেৱালত জোৰেৰে হেঁচা মাৰে, আপুনি দেৱালত প্ৰয়োগ কৰা বলটোৱে কোনো কাৰ্য্য নকৰে। তথাপি আপোনাৰ পেশীবোৰ বিকল্পভাৱে সংকোচন আৰু শিথিল হৈ আছে আৰু আভ্যন্তৰীণ শক্তি ব্যৱহাৰ হৈ আছে আৰু আপুনি ভাগৰুৱা হয়। গতিকে, পদাৰ্থ বিজ্ঞানত কাৰ্য্যৰ অৰ্থ দৈনন্দিন ভাষাত ইয়াৰ ব্যৱহাৰৰ পৰা পৃথক।

কাৰ্য্য কৰা নহ’ব যদি:

(i) সৰণ শূন্য হয় যিদৰে ওপৰৰ উদাহৰণত দেখা গৈছে। এজন ওজনদাৰে ১৫০ $\mathrm{kg}$ ভৰ এটা স্থিৰভাৱে $30 \mathrm{~s}$ সময়ৰ বাবে তেওঁৰ কান্ধত ধৰি ৰখাত এই সময়ছোৱাত ভাৰটোৰ ওপৰত কোনো কাৰ্য্য নকৰে।

(ii) বল শূন্য হয়। এটা মসৃণ অনুভূমিক টেবুলত গতি কৰা এটা ব্লকক অনুভূমিক বলৰ দ্বাৰা ক্ৰিয়া কৰা নহয় (কাৰণ ঘৰ্ষণ নাই), কিন্তু ডাঙৰ সৰণ হ’ব পাৰে।

(iii) বল আৰু সৰণ পৰস্পৰ লম্ব হয়। ইয়াক এনেদৰে দেখা যায়, কাৰণ $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$। মসৃণ অনুভূমিক টেবুলত গতি কৰা ব্লকটোৰ বাবে, মাধ্যাকৰ্ষণ বল $m g$ য়ে কোনো কাৰ্য্য নকৰে কাৰণ ই সৰণৰ সৈতে সমকোণত ক্ৰিয়া কৰে। যদি আমি ধৰি লওঁ যে চন্দ্ৰৰ পৃথিৱীৰ চাৰিওফালে কক্ষপথ সম্পূৰ্ণৰূপে বৃত্তাকাৰ তেন্তে পৃথিৱীৰ মাধ্যাকৰ্ষণ বলৰ দ্বাৰা কোনো কাৰ্য্য নহয়। চন্দ্ৰৰ তাৎক্ষণিক সৰণ স্পৰ্শকীয় যেতিয়া পৃথিৱীৰ বল ৰেডিয়েলভাৱে ভিতৰলৈ আৰু $\theta=\pi / 2$।

কাৰ্য্য ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক দুয়োটাই হ’ব পাৰে। যদি $\theta$ $0^{\circ}$ আৰু $90^{\circ}, \cos \theta$ ৰ মাজত হয় সমীকৰণ (৫.৪) ৰ ধনাত্মক। যদি $\theta$ $90^{\circ}$ আৰু $180^{\circ}, \cos \theta$ ৰ মাজত হয় ঋণাত্মক। বহুতো উদাহৰণত ঘৰ্ষণ বলই সৰণৰ বিৰোধিতা কৰে আৰু $\theta=180^{\circ}$। তেন্তে ঘৰ্ষণৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য ঋণাত্মক $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$।

সমীকৰণ (৫.৪) ৰ পৰা স্পষ্ট যে কাৰ্য্য আৰু শক্তিৰ একে মাত্ৰা আছে, $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$। এইবোৰৰ SI একক হৈছে জুল (J), বিখ্যাত ব্ৰিটিছ পদাৰ্থ বিজ্ঞানী জেমছ প্ৰেস্কট জুল (১৮১১-১৮৬৯)ৰ নামেৰে নামকৰণ কৰা হৈছে। যিহেতু কাৰ্য্য আৰু শক্তি ভৌতিক ধাৰণা হিচাপে বহুলভাৱে ব্যৱহাৰ কৰা হয়, বিকল্প একক বহুত আছে আৰু ইয়াৰে কিছুমান তালিকা ৫.১ ত দিয়া হৈছে।

তালিকা ৫.১ $\mathrm{J}$ ত কাৰ্য্য/শক্তিৰ বিকল্প একক

উদাহৰণ ৫.৩ এজন চাইকেল চলোঁতাই $10 \mathrm{~m}$ ত এটা পিছলি ৰৈ যায়। এই প্ৰক্ৰিয়াৰ সময়ত, ৰাস্তাৰ কাৰণে চক্ৰটোৰ ওপৰত বল হৈছে $200 \mathrm{~N}$ আৰু গতিৰ সৈতে পোনপটীয়াকৈ বিৰোধী। (ক) ৰাস্তাই চক্ৰটোৰ ওপৰত কিমান কাৰ্য্য কৰে? (খ) চক্ৰটোৱে ৰাস্তাৰ ওপৰত কিমান কাৰ্য্য কৰে?

উত্তৰ ৰাস্তাৰ দ্বাৰা চক্ৰটোৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্য হৈছে ৰাস্তাৰ কাৰণে চক্ৰটোৰ ওপৰত থকা ৰোধক (ঘৰ্ষণ) বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য।

(ক) ৰোধক বল আৰু সৰণটোৱে পৰস্পৰৰ সৈতে $180^{\circ}$ ( $\pi \mathrm{rad}$) কোণ কৰে। গতিকে, ৰাস্তাৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য,

$$ \begin{aligned} W_{r} & =F d \cos \theta \\ & =200 \times 10 \times \cos \pi \\ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

এই ঋণাত্মক কাৰ্য্যইহে WE উপপাদ্য অনুসৰি চক্ৰটোক ৰখায়।

(খ) নিউটনৰ তৃতীয় সূত্ৰৰ পৰা চক্ৰটোৰ কাৰণে ৰাস্তাৰ ওপৰত এটা সমান আৰু বিপৰীত বল ক্ৰিয়া কৰে। ইয়াৰ মান ২০০ N। কিন্তু ৰাস্তাই কোনো সৰণ অনুভৱ নকৰে। গতিকে, চক্ৰটোৰ দ্বাৰা ৰাস্তাৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্য শূন্য।

উদাহৰণ ৫.৩ ৰ শিক্ষা হৈছে যে যদিও B দেহাই A দেহাৰ ওপৰত প্ৰয়োগ কৰা বল সদায় A ৰ দ্বাৰা B ৰ ওপৰত প্ৰয়োগ কৰা বলৰ সমান আৰু বিপৰীত (নিউটনৰ তৃতীয় সূত্ৰ); B ৰ দ্বাৰা A ৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্য অগত্যা A ৰ দ্বাৰা $\mathrm{B}$ ৰ ওপৰত কৰা কাৰ্য্যৰ সমান আৰু বিপৰীত নহয় $\mathrm{A}$।

৫.৪ গতিশক্তি

আগতে উল্লেখ কৰাৰ দৰে, যদি $m$ ভৰৰ বস্তু এটাৰ বেগ $\mathbf{v}$ আছে, ইয়াৰ গতিশক্তি $K$ হৈছে

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2} m v^{2} \tag{5.5} \end{equation*} $$

তালিকা ৫.২ সাধাৰণ গতিশক্তি (K)

গতিশক্তি এটা স্কেলাৰ পৰিমাণ। বস্তু এটাৰ গতিশক্তি হৈছে ইয়াৰ গতিৰ গুণেৰে বস্তু এটাই কৰিব পৰা কাৰ্য্যৰ এক মাপ। এই ধাৰণাটো বহুদিন ধৰি স্বজ্ঞাতভাৱে জনা আছিল। দ্ৰুতগতিৰ সোঁতৰ গতিশক্তি ধানৰ গুৰি কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল। পালতোলা জাহাজবোৰে বতাহৰ গতিশক্তি ব্যৱহাৰ কৰে। তালিকা ৫.২ ত বিভিন্ন বস্তুৰ গতিশক্তি তালিকাভুক্ত কৰা হৈছে।

উদাহৰণ ৫.৪ বেলিষ্টিক্স প্ৰদৰ্শনত এজন পুলিচ বিষয়াই $50.0 \mathrm{~g}$ ভৰৰ গুলী এটা $200 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ দ্ৰুতিত (তালিকা ৫.২ চাওক) $2.00 \mathrm{~cm}$ ডাঠৰ কোমল প্লাইউডত গুলীয়ায়। গুলীটোৱে ইয়াৰ আৰম্ভণিৰ গতিশক্তিৰ মাত্ৰ $10 \%$ লৈ ওলাই আহে। গুলীটোৰ ওলাই অহা দ্ৰুতি কিমান?

উত্তৰ গুলীটোৰ আৰম্ভণিৰ গতিশক্তি হৈছে $m v^{2} / 2=1000 \mathrm{~J}$। ইয়াৰ অন্তিম গতিশক্তি $0.1 \times 1000=100 \mathrm{~J}$। যদি $v_{f}$ হৈছে গুলীটোৰ ওলাই অহা দ্ৰুতি,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_{f}^{2}=100 \mathrm{~J} \\ & v_{f}=\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}} \\ & \quad=63.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

দ্ৰুতিটো প্ৰায় $68 \%$ ৰে হ্ৰাস পায় (৯০% নহয়)।

৫.৫ পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য

ধ্ৰুৱক বল বিৰল। পৰিৱৰ্তনশীল বলহে বেছি সাধাৰণভাৱে লগ পোৱা যায়। চিত্ৰ ৫.৩ হৈছে এটা মাত্ৰাত পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ এটা প্লট।

যদি সৰণ $\Delta x$ সৰু হয়, আমি বল $F(x)$ ক প্ৰায় ধ্ৰুৱক হিচাপে ল’ব পাৰো আৰু তেতিয়া কৰা কাৰ্য্য হৈছে

$$ \Delta W=F(x) \Delta x $$

ইয়াক চিত্ৰ ৫.৩(ক) ত চিত্ৰিত কৰা হৈছে। চিত্ৰ ৫.৩(ক) ত ক্ৰমিক আয়তক্ষেত্ৰৰ ক্ষেত্ৰফল যোগ কৰি আমি মুঠ কৰা কাৰ্য্য পাইছো

$$ \begin{equation*} W \cong \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x \tag{5.6} \end{equation*} $$

য’ত যোগফলটো আৰম্ভণিৰ অৱস্থান $x_{i}$ ৰ পৰা অন্তিম অৱস্থান $x_{f}$ লৈ

যদি সৰণবোৰ শূন্যলৈ ওচৰ চপাবলৈ দিয়া হয়, তেতিয়া যোগফলটোৰ পদৰ সংখ্যা সীমাহীনভাৱে বৃদ্ধি পায়, কিন্তু যোগফলটোৱে চিত্ৰ ৫.৩(খ) ত ৰেখাৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফলৰ সমান এটা সুনিৰ্দিষ্ট মানলৈ আগবাঢ়ে। তেতিয়া কৰা কাৰ্য্য হৈছে

$$W =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x$$

$$=\int\limits_{x_i}^{x_f} F(x) \mathrm{d} x \tag{5.7}$$

য’ত ’lim’ ৰ অৰ্থ হৈছে যোগফলৰ সীমা যেতিয়া $\Delta x$ শূন্যলৈ আগবাঢ়ে। গতিকে, পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে কৰা কাৰ্য্যক সৰণৰ ওপৰত বলৰ নিৰ্দিষ্ট সমাকলন হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি (এপেণ্ডিক্স ৩.১ চাওক)।

চিত্ৰ ৫.৩(ক)

চিত্ৰ ৫.৩ (ক) ছাঁযুক্ত আয়তক্ষেত্ৰটোৱে সৰু সৰণ ∆x ৰ ওপৰত পৰিৱৰ্তনশীল বল F(x) ৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, ∆W = F(x) ∆x. (খ) সকলো আয়তক্ষেত্ৰৰ ক্ষেত্ৰফল যোগ কৰি আমি দেখো যে ∆x → ০ ৰ বাবে, ৰেখাৰ তলৰ ক্ষেত্ৰফল সম্পূৰ্ণৰূপে F(x) ৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্যৰ সমান।

উদাহৰণ ৫.৫ এগৰাকী মহিলাই ৰেলৱে প্লেটফৰ্মত এটা ট্ৰাঙ্ক হেঁচা মাৰে যিটোৰ পৃষ্ঠত খহটা আছে। তাই $100 \mathrm{~N}$ বল এটা $10 \mathrm{~m}$ দূৰত্বৰ ওপৰত প্ৰয়োগ কৰে। তাৰ পিছত, তাই ক্ৰমাৎ ভাগৰুৱা হয় আৰু তাইৰ প্ৰয়োগ কৰা বল দূৰত্বৰ সৈতে ৰৈখিকভাৱে হ্ৰাস পাই $50 \mathrm{~N}$ লৈ যায়। ট্ৰাঙ্কটো স্থানান্তৰিত কৰা মুঠ দূৰত্ব হৈছে $20 \mathrm{~m}$। মহিলাগৰাকীয়ে প্ৰয়োগ কৰা বল আৰু ঘৰ্ষণ বল, যিটো $50 \mathrm{~N}$, বনাম সৰণ প্লট কৰক। $20 \mathrm{~m}$ দূৰত্বৰ ওপৰত দুয়োটা বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য গণনা কৰক।

উত্তৰ

চিত্ৰ ৫.৪ মহিলাগৰাকীয়ে প্ৰয়োগ কৰা বল F আৰু বিৰোধী ঘৰ্ষণ বল f বনাম সৰণৰ প্লট।

প্ৰয়োগ কৰা বলৰ প্লটটো চিত্ৰ ৫.৪ ত দেখুওৱা হৈছে। $x=20 \mathrm{~m}, F=50 \mathrm{~N}(\neq 0)$ ত। আমাক দিয়া হৈছে যে ঘৰ্ষণ বল $f$ হৈছে $|\mathbf{f}|=50 \mathrm{~N}$। ই গতিৰ বিৰোধিতা কৰে আৰু $\mathbf{F}$ ৰ বিপৰীত দিশত ক্ৰিয়া কৰে। গতিকে, ইয়াক বল অক্ষৰ ঋণাত্মক ফালে দেখুওৱা হৈছে।

মহিলাগৰাকীৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য হৈছে

$W_{F} \rightarrow$ আয়তক্ষেত্ৰ $\mathrm{ABCD}+$ ৰ ক্ষেত্ৰফল ট্ৰেপিজিয়াম CEID ৰ ক্ষেত্ৰফল

$$ \begin{aligned} & W_{F}=100 \times 10+\frac{1}{2}(100+50) \times 10 \\ & =1000+750 \\ & \quad=1750 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ঘৰ্ষণ বলৰ দ্বাৰা কৰা কাৰ্য্য হৈছে

$W_{f} \rightarrow$ আয়তক্ষেত্ৰ AGHI ৰ ক্ষেত্ৰফল

$$ \begin{aligned} W_{f} & =(-50) \times 20 \\ & =-1000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

বল অক্ষৰ ঋণাত্মক ফালৰ ক্ষেত্ৰফলৰ ঋণাত্মক চিহ্ন আছে।

৫.৬ পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্য

আমি এতিয়া কাৰ্য্য আৰু গতিশক্তিৰ ধাৰণাৰ সৈতে পৰিচিত হৈ পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্য প্ৰমাণ কৰিবলৈ। আমি নিজক এটা মাত্ৰালৈ সীমাবদ্ধ ৰাখিম। গতিশক্তিৰ সময়ৰ হাৰ হৈছে

$$ \frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{1}{2} m v^{2} $$ $$ \begin{aligned} & =m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} v \\ & =F v\text { (from Newton’s Second Law) } \\ & =F \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \end{aligned} $$

গতিকে

$$ \mathrm{d} K=F \mathrm{~d} x $$

আৰম্ভণিৰ অৱস্থান $\left(x_{i}\right)$ ৰ পৰা অন্তিম অৱস্থান $\left(x_{f}\right.$ লৈ সমাকলন কৰি, আমি পাইছো

$$ \int_{K_{i}}^{K_{f}} \mathrm{~d} K=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F \mathrm{~d} x $$

য’ত, $K_{i}$ আৰু $K_{f}$ হৈছে $x_{i}$ আৰু $x_{\mathrm{f}}$ ৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট আৰম্ভণি আৰু অন্তিম গতিশক্তি।

$$ \begin{equation*} \text { or } \quad K_{f}-K_{i}=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F \mathrm{~d} x \tag{5.8a} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (৫.৭) ৰ পৰা, ইয়াক অনুসৰণ কৰে যে

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.8b} \end{equation*} $$

এইদৰে, পৰিৱৰ্তনশীল বলৰ বাবে WE উপপাদ্য প্ৰমাণিত হয়।

যদিও WE উপপাদ্য বিভিন্ন সমস্যাত উপযোগী, ই সাধাৰণতে নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ সম্পূৰ্ণ গতিবিদ্যাৰ তথ্য সামৰি নলয়। ই নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ এটা সমাকলন ৰূপ। নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰ হৈছে যিকোনো মুহূৰ্তত ত্বৰণ আৰু বলৰ মাজৰ সম্পৰ্ক। কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্যই সময়ৰ এটা অন্তৰালৰ ওপৰত সমাকলন জড়িত কৰে। এই অৰ্থত, নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰৰ বিবৃতিত থকা সময়গত তথ্য ‘সমাকলিত’ হয় আৰু স্পষ্টভাৱে উপলব্ধ নহয়। আন এটা লক্ষ্য হৈছে যে দুটা বা তিনিমাত্ৰিকৰ বাবে নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰ ভেক্টৰ ৰূপত আছে যেতিয়া কাৰ্য্য-শক্তি উপপাদ্য স্কেলাৰ ৰূপত আছে। স্কেলাৰ ৰূপত, নিউটনৰ দ্বিতীয় সূত্ৰত থকা দিশসমূহৰ সৈতে সম্পৰ্কিত তথ্য উপস্থিত নহয়।

উদাহৰণ ৫.৬ $m=1 \mathrm{~kg}$ ভৰৰ এটা ব্লক, $V_{i}=2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ দ্ৰুতিৰে অনুভূমিক পৃষ্ঠত গতি কৰি $X=0.10 \mathrm{~m}$ ৰ পৰা $X=2.01 \mathrm{~m}$ লৈ বিস্তৃত এটা খহটা প্যাচত প্ৰৱেশ কৰে। এই পৰিসৰত ব্লকটোৰ ওপৰত ৰোধক বল $F_{r}$ হৈছে $x$ ৰ ব্যস্তানুপাতিক এই পৰিসৰত,

$F_{r}=\frac{-k}{x}$ $0.1<x<2.01 \mathrm{~m}$ ৰ বাবে

$=0$ $x<0.1 \mathrm{~m}$ আৰু $x>2.01 \mathrm{~m}$ ৰ বাবে

য’ত $k=0.5 \mathrm{~J}$। এই প্যাচ পাৰ হোৱাৰ সময়ত ব্লকটোৰ অন্তিম গতিশক্তি আৰু দ্ৰুতি $v_{f}$ কিমান?

উত্তৰ সমীকৰণ (৫.৮ক) ৰ পৰা

$$ \begin{aligned} K _{f} & =K _{i}+\int _{0.1}^{2.01} \frac{(-k)}{x} \mathrm{~d} x \\ & =\frac{1}{2} m v _{i}^{2}-\left.k \ln (x)\right| _{0.1} ^{2.01} \\ & =\frac{1}{2} m v _{i}^{2}-k \ln (2.01 / 0.1) \\ = & 2-0.5 \ln (20.1) \\ = & -1.5=0.5 \mathrm{~J} \\ \end{aligned}$$

$$ \begin{aligned} v _{f} & =\sqrt{2 K _{f} / m}=1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

ইয়াত, মন কৰক যে $\ln$ হৈছে $e$ ভিত্তিৰ প্ৰাকৃতিক লগাৰিথমৰ বাবে এটা চিহ্ন আৰু $10\left[\ln X=\log _{e} X=2.303 \log _{10} X\right]$ ভিত্তিৰ লগাৰিথম নহয়।

৫.৭ স্থিতি শক্তিৰ ধাৰণা

স্থিতি শব্দটোৱে সম্ভাবনা বা কাৰ্য্যৰ সামৰ্থ্য সূচায়। স্থিতি শক্তি পদটোৱে ‘সঞ্চিত’ শক্তিৰ কথা মনলৈ আনে। এডাল টনা ধনুৰ