৬.১ পৰিচয়

আগৰ অধ্যায়বোৰত আমি প্ৰধানকৈ এটা মাত্ৰ কণাৰ গতি বিবেচনা কৰিছিলো। (এটা কণাক আদৰ্শভাৱে কোনো আকাৰ নথকা বিন্দু ভৰ হিচাপে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়।) আমি আমাৰ অধ্যয়নৰ ফলাফল সসীম আকাৰৰ বস্তুৰ গতিলৈও প্ৰয়োগ কৰিছিলো, এইটো ধাৰণা কৰি যে এনে বস্তুৰ গতিক এটা কণাৰ গতিৰ মাধ্যমত বৰ্ণনা কৰিব পাৰি।

দৈনন্দিন জীৱনত আমি লগ পোৱা যিকোনো বাস্তৱিক বস্তুৰ সসীম আকাৰ থাকে। বিস্তৃত বস্তু (সসীম আকাৰৰ বস্তু)ৰ গতিৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰোঁতে প্ৰায়েই কণাৰ আদৰ্শিত মডেলটো অপৰ্যাপ্ত। এই অধ্যায়ত আমি এই অপৰ্যাপ্ততাৰ বাহিৰলৈ যাবলৈ চেষ্টা কৰিম। আমি বিস্তৃত বস্তুৰ গতিৰ বিষয়ে এক বুজাবুজি গঢ়ি তুলিবলৈ চেষ্টা কৰিম। এটা বিস্তৃত বস্তু, প্ৰথমতে, কণাবোৰৰ এটা তন্ত্ৰ। আমি তন্ত্ৰটোৰ সামগ্ৰিক গতিৰ বিবেচনাৰে আৰম্ভ কৰিম। কণাৰ তন্ত্ৰ এটাৰ ভৰকেন্দ্ৰ ইয়াত এক গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণা হ’ব। আমি কণাৰ তন্ত্ৰ এটাৰ ভৰকেন্দ্ৰৰ গতি আৰু বিস্তৃত বস্তুৰ গতি বুজিবত এই ধাৰণাটোৰ উপযোগিতা আলোচনা কৰিম।

বিস্তৃত বস্তুৰ সৈতে জড়িত সমস্যাৰ এক বৃহৎ শ্ৰেণীক দৃঢ় বস্তু হিচাপে বিবেচনা কৰি সমাধান কৰিব পাৰি। আদৰ্শভাৱে এটা দৃঢ় বস্তু হৈছে সম্পূৰ্ণৰূপে সুনিৰ্দিষ্ট আৰু অপরিবৰ্তনীয় আকৃতিৰ বস্তু। এনে বস্তুৰ সকলো যোৰ কণাৰ মাজৰ দূৰত্ববোৰ সলনি নহয়। দৃঢ় বস্তুৰ এই সংজ্ঞাৰ পৰা স্পষ্ট যে কোনো বাস্তৱিক বস্তু সঁচাকৈয়ে দৃঢ় নহয়, কিয়নো বাস্তৱিক বস্তুবোৰ বলৰ প্ৰভাৱত বিকৃত হয়। কিন্তু বহু পৰিস্থিতিত বিকৃতিবোৰ নগণ্য। আনহাতে চকা, লাটু, ইটাৰ খুঁটা, অণু আৰু গ্ৰহ আদি বস্তু জড়িত বহু পৰিস্থিতিত, আমি সেইবোৰে বেঁকা কৰা (আকৃতিৰ পৰা বেলেগ হোৱা), বেঁকা বা কম্পন কৰাটো উপেক্ষা কৰি দৃঢ় বস্তু হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰো।

৬.১.১ দৃঢ় বস্তু এটাই কি ধৰণৰ গতি কৰিব পাৰে?

দৃঢ় বস্তুৰ গতিৰ কেইটামান উদাহৰণ লৈ এই প্ৰশ্নটো অন্বেষণ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰো আহক। কোনো পাৰ্শ্বীয় চলাচল নোহোৱাকৈ এটা ঢালু সমতলৰ ওপৰেৰে নামি অহা আয়তাকাৰ ব্লক এটা লৈ আৰম্ভ কৰো। ব্লকটো দৃঢ় বস্তু হিচাপে লোৱা হৈছে। সমতলটোৰ ওপৰেৰে ইয়াৰ গতি এনে যে বস্তুটোৰ সকলো কণাই একেলগে গতি কৰি আছে, অৰ্থাৎ যিকোনো মুহূৰ্ততে সিহঁতৰ একে বেগ থাকে। ইয়াত দৃঢ় বস্তুটো বিশুদ্ধ সৰলৰৈখিক গতিত আছে (চিত্ৰ ৬.১)।

চিত্ৰ ৬.১ ঢালু সমতল এটাৰ ওপৰেৰে নামি অহা ব্লক এটাৰ সৰলৰৈখিক (পিছলি যোৱা) গতি (ব্লকটোৰ P1 বা P2ৰ দৰে যিকোনো বিন্দু যিকোনো মুহূৰ্ততে একে বেগেৰে গতি কৰে।)

বিশুদ্ধ সৰলৰৈখিক গতিত যিকোনো মুহূৰ্ততে, বস্তুটোৰ সকলো কণাৰ একে বেগ থাকে।

এতিয়া একে ঢালু সমতলৰ ওপৰেৰে নামি অহা গোটা ধাতু বা কাঠৰ চিলিণ্ডাৰ এটাৰ গড়াগড়ি গতি বিবেচনা কৰা (চিত্ৰ ৬.২)। এই সমস্যাটোৰ দৃঢ় বস্তু, অৰ্থাৎ চিলিণ্ডাৰটোৱে, ঢালু সমতলটোৰ ওপৰৰ পৰা তললৈ স্থানান্তৰিত হয়, আৰু এইদৰে, সৰলৰৈখিক গতি থকা যেন লাগে। কিন্তু চিত্ৰ ৬.২-য়ে দেখুৱায়, ইয়াৰ সকলো কণা যিকোনো মুহূৰ্ততে একে বেগেৰে গতি নকৰে। গতিকে, বস্তুটো বিশুদ্ধ সৰলৰৈখিক গতিত নাই। ইয়াৰ গতি হৈছে সৰলৰৈখিক গতি যোগ ‘আন কিবা’।

চিত্ৰ ৬.২ চিলিণ্ডাৰ এটাৰ গড়াগড়ি গতি। ই বিশুদ্ধ সৰলৰৈখিক গতি নহয়। P1, P2, P3 আৰু P4 বিন্দুবোৰৰ যিকোনো মুহূৰ্ততে বেলেগ বেগ থাকে (তীরৰ দ্বাৰা দেখুওৱা হৈছে)। সঁচাকৈয়ে, যদি চিলিণ্ডাৰটোৱে নপিছলাকৈ গড়ি যায়, তেন্তে সংস্পৰ্শ বিন্দু P3ৰ বেগ যিকোনো মুহূৰ্ততে শূন্য।

এই ‘আন কিবা’টো কি বুজিবলৈ, আহক আমি এনে দৃঢ় বস্তু এটা লওঁ যাক সৰলৰৈখিক গতি কৰিবলৈ বাধা দিয়া হৈছে। দৃঢ় বস্তু এটাক সৰলৰৈখিক গতি নকৰাকৈ বাধা দিয়াৰ সৰ্বাধিক সাধাৰণ উপায় হৈছে ইয়াক এডাল সৰল ৰেখাৰ বাহিৰলৈ স্থিৰ কৰি ৰখা। এনে দৃঢ় বস্তুৰ একমাত্ৰ সম্ভৱপৰ গতি হৈছে ঘূৰ্ণন। যি ৰেখা বা স্থিৰ অক্ষৰ চাৰিওফালে বস্তুটোৱে ঘূৰি আছে সেয়া ইয়াৰ ঘূৰ্ণন অক্ষ। যদি চাৰিওফালে চোৱা, ঘূৰ্ণন অক্ষ এটাৰ চাৰিওফালে ঘূৰ্ণনৰ বহু উদাহৰণ পোৱা যাব, চিলিং ফেন, কুমাৰৰ চকী, মেলাত থকা ডাঙৰ চকী, মেৰী-গো-ৰাউণ্ড আদি (চিত্ৰ ৬.৩(ক) আৰু (খ))।

চিত্ৰ ৬.৩ স্থিৰ অক্ষ এটাৰ চাৰিওফালে ঘূৰ্ণন (ক) চিলিং ফেন (খ) কুমাৰৰ চকী

চিত্ৰ ৬.৪ z-অক্ষৰ চাৰিওফালে দৃঢ় বস্তু এটাৰ ঘূৰ্ণন (বস্তুটোৰ P1 বা P2ৰ দৰে প্ৰতিটো বিন্দুৱে ইয়াৰ কেন্দ্ৰ (C1 বা C2) ঘূৰ্ণন অক্ষত থকা বৃত্ত এটা বৰ্ণনা কৰে। বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ (r1 বা r2) হৈছে বিন্দুটোৰ (P1 বা P2) অক্ষৰ পৰা লম্ব দূৰত্ব। P3ৰ দৰে অক্ষৰ ওপৰৰ বিন্দু এটা স্থিৰ হৈ থাকে)।

ঘূৰ্ণন কি, ঘূৰ্ণনৰ বৈশিষ্ট্য কি বুজিবলৈ চেষ্টা কৰো আহক। লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে স্থিৰ অক্ষ এটাৰ চাৰিওফালে দৃঢ় বস্তু এটাৰ ঘূৰ্ণনত, বস্তুটোৰ প্ৰতিটো কণাই বৃত্ত এটাত গতি কৰে, যি অক্ষটোৰ লম্ব সমতলত থাকে আৰু ইয়াৰ কেন্দ্ৰ অক্ষত থাকে। চিত্ৰ ৬.৪-য়ে স্থিৰ অক্ষ (প্ৰসংগ ফ্ৰেমৰ $z$-অক্ষ)ৰ চাৰিওফালে দৃঢ় বস্তু এটাৰ ঘূৰ্ণন গতি দেখুৱাইছে। $P_1$ক দৃঢ় বস্তুটোৰ কণা এটা হ’বলৈ দিয়া, ইচ্ছামতে বাছি লোৱা আৰু স্থিৰ অক্ষৰ পৰা $r$ দূৰত্বত। কণা $P_1$-য়ে স্থিৰ অক্ষত ইয়াৰ কেন্দ্ৰ $C_1$ থকা $r_1$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত এটা বৰ্ণনা কৰে। বৃত্তটো অক্ষটোৰ লম্ব সমতলত থাকে। চিত্ৰটোৱে দৃঢ় বস্তুটোৰ আন এটা কণা $P_2$-কো দেখুৱাইছে, $P_2$ স্থিৰ অক্ষৰ পৰা $r_2$ দূৰত্বত। কণা $P_2$-য়ে $r_2$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত এটাত গতি কৰে আৰু ইয়াৰ কেন্দ্ৰ $C_2$ অক্ষত থাকে। এই বৃত্তটোও অক্ষটোৰ লম্ব সমতলত থাকে। মন কৰক যে $P_1$ আৰু $P_2$-ৰ দ্বাৰা বৰ্ণনা কৰা বৃত্তবোৰ বেলেগ সমতলত থাকিব পাৰে; কিন্তু এই দুয়োটা সমতল স্থিৰ অক্ষটোৰ লম্ব। অক্ষৰ ওপৰৰ যিকোনো কণা যেনে $P_3, r=0$ৰ বাবে। বস্তুটোৱে ঘূৰি থকাৰ সময়ত এনে যিকোনো কণা স্থিৰ হৈ থাকে। ইয়াক আশা কৰা হৈছিল কিয়নো ঘূৰ্ণন অক্ষ স্থিৰ।

ঘূৰ্ণনৰ কিছুমান উদাহৰণত, অৱশ্যে, অক্ষটো স্থিৰ নহ’ব পাৰে। এই ধৰণৰ ঘূৰ্ণনৰ এটা উল্লেখযোগ্য উদাহৰণ হৈছে এটা লাটু স্থানত ঘূৰি থকা [চিত্ৰ ৬.৫(ক)]। (আমি ধাৰণা কৰিছো যে লাটুটোৱে স্থানৰ পৰা স্থানলৈ নপিছলে আৰু গতিকে সৰলৰৈখিক গতি নকৰে)। অভিজ্ঞতাৰ পৰা আমি জানো যে এনে ঘূৰি থকা লাটু এটাৰ অক্ষই মাটিৰ সৈতে ইয়াৰ সংস্পৰ্শ বিন্দুৰ মাজেৰে উলম্বৰ চাৰিওফালে গতি কৰে, চিত্ৰ ৬.৫(ক)-ত দেখুওৱাৰ দৰে শংকু এটা আঁচৰি দিয়ে। (উলম্বৰ চাৰিওফালে লাটুৰ অক্ষৰ এই গতিক অগ্ৰগতি বুলি কোৱা হয়।) মন কৰক, লাটুৰ মাটিৰ সৈতে সংস্পৰ্শ বিন্দু স্থিৰ। যিকোনো মুহূৰ্তত লাটুৰ ঘূৰ্ণন অক্ষই সংস্পৰ্শ বিন্দুৰ মাজেৰে পাৰ হয়। এই ধৰণৰ ঘূৰ্ণনৰ আন এটা সৰল উদাহৰণ হৈছে দোলন থকা টেবুল ফেন বা পেডেষ্টেল ফেন [চিত্ৰ ৬.৫(খ)]। লক্ষ্য কৰিব পাৰি যে এনে ফেন এটাৰ ঘূৰ্ণন অক্ষই উলম্বৰ চাৰিওফালে আনুভূমিক সমতলত দোলন (পাৰ্শ্বীয়) গতি কৰে, যিটো বিন্দুত অক্ষটো পিভট কৰা হৈছে (চিত্ৰ ৬.৫(খ)-ত O বিন্দু)।

চিত্ৰ ৬.৫ (ক) ঘূৰি থকা লাটু এটা (লাটুৰ মাটিৰ সৈতে সংস্পৰ্শ বিন্দু, ইয়াৰ আগ O, স্থিৰ।)

চিত্ৰ ৬.৫ (খ) ঘূৰি থকা ফলক থকা দোলন থকা টেবুল ফেন এটা। ফেনটোৰ পিভট, O বিন্দু, স্থিৰ। ফেনৰ ফলকবোৰ ঘূৰ্ণন গতিত আছে, আনহাতে, ফেন ফলকবোৰৰ ঘূৰ্ণন অক্ষই দোলন কৰি আছে।

ফেনটোৱে ঘূৰি থকাৰ সময়ত ইয়াৰ অক্ষই পাৰ্শ্বীয়ভাৱে গতি কৰে, এই বিন্দুটো স্থিৰ। গতিকে, ঘূৰ্ণনৰ অধিক সাধাৰণ ক্ষেত্ৰত, যেনে লাটু বা পেডেষ্টেল ফেনৰ ঘূৰ্ণন, দৃঢ় বস্তুটোৰ এটা ৰেখা নহয়, এটা বিন্দু স্থিৰ। এই ক্ষেত্ৰত অক্ষটো স্থিৰ নহয়, যদিও ই সদায় স্থিৰ বিন্দুটোৰ মাজেৰে পাৰ হয়। আমাৰ অধ্যয়নত, অৱশ্যে, আমি প্ৰধানকৈ ঘূৰ্ণনৰ সৰল আৰু বিশেষ ক্ষেত্ৰটোৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰো য’ত এডাল ৰেখা (অৰ্থাৎ অক্ষ) স্থিৰ।

চিত্ৰ ৬.৬(ক) দৃঢ় বস্তু এটাৰ গতি যি বিশুদ্ধ সৰলৰৈখিক গতি

চিত্ৰ ৬.৬(খ) দৃঢ় বস্তু এটাৰ গতি যি সৰলৰৈখিক গতি আৰু ঘূৰ্ণনৰ সংমিশ্ৰণ।

চিত্ৰ ৬.৬ (ক) আৰু ৬.৬ (খ)-য়ে একে বস্তুটোৰ বেলেগ বেলেগ গতি চিত্ৰিত কৰে। মন কৰক $P$ হৈছে বস্তুটোৰ ইচ্ছামতে বিন্দু; $O$ হৈছে বস্তুটোৰ ভৰকেন্দ্ৰ, যাক পৰৱৰ্তী অংশত সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে। ইয়াত এইটো ক’লেই যথেষ্ট যে $O$-ৰ গতিপথবোৰ হৈছে বস্তুটোৰ সৰলৰৈখিক গতিপথ $\mathrm{Tr_1}$ আৰু $\mathrm{Tr_2}$। তিনিটা বেলেগ বেলেগ সময়ৰ মুহূৰ্তত $O$ আৰু $\mathrm{P}$-ৰ অৱস্থানবোৰ ক্ৰমে $O_{1}, O_{2}$, আৰু $O_{3}$, আৰু $P_{1}, P_{2}$ আৰু $P_{3}$-ৰ দ্বাৰা দেখুওৱা হৈছে, চিত্ৰ ৬.৬ (ক) আৰু (খ) দুয়োটাতে। চিত্ৰ ৬.৬(ক)-ৰ পৰা দেখা যায়, যিকোনো মুহূৰ্তত বস্তুটোৰ $O$ আৰু $P$-ৰ দৰে যিকোনো কণাৰ বেগ বিশুদ্ধ সৰলৰৈখিক গতিত একে। মন কৰক, এই ক্ষেত্ৰত $O P$-ৰ অভিমুখ, অৰ্থাৎ OP-য়ে স্থিৰ দিশ, যেনে আনুভূমিকৰ সৈতে কৰা কোণ, একে থাকে, অৰ্থাৎ $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}$। চিত্ৰ ৬.৬ (খ)-য়ে সৰলৰৈখিক গতি আৰু ঘূৰ্ণনৰ সংমিশ্ৰণৰ এটা ক্ষেত্ৰ চিত্ৰিত কৰে। এই ক্ষেত্ৰত, যিকোনো মুহূৰ্তত $O$ আৰু $P$-ৰ বেগ বেলেগ। লগতে, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ আৰু $\alpha_{3}$ সকলো বেলেগ হ’ব পাৰে। গতিকে, আমি বেলেগকৈ উল্লেখ নকৰা মানে ঘূৰ্ণন কেৱল স্থিৰ অক্ষ এটাৰ চাৰিওফালেহে হ’ব।

ঢালু সমতলৰ ওপৰেৰে নামি অহা চিলিণ্ডাৰ এটাৰ গড়াগড়ি গতি হৈছে স্থিৰ অক্ষ এটাৰ চাৰিওফালে ঘূৰ্ণন আৰু সৰলৰৈখিক গতিৰ সংমিশ্ৰণ। গতিকে, গড়াগড়ি গতিৰ ক্ষেত্ৰত আমি আগতে উল্লেখ কৰা ‘আন কিবা’টো হৈছে ঘূৰ্ণন গতি। এই দৃষ্টিকোণৰ পৰা চিত্ৰ ৬.৬(ক) আৰু (খ) দুয়োটাকে উপদেশপূৰ্ণ পাব। এই দুয়োটা চিত্ৰই একে সৰলৰৈখিক গতিপথৰ বাহিৰে একে বস্তুটোৰ গতি দেখুৱাইছে। এটা ক্ষেত্ৰত, চিত্ৰ ৬.৬(ক), গতিটো বিশুদ্ধ সৰলৰৈখিক গতি; আন ক্ষেত্ৰত [চিত্ৰ ৬.৬(খ)] ই সৰলৰৈখিক গতি আৰু ঘূৰ্ণনৰ সংমিশ্ৰণ। (আপুনি গধুৰ কিতাপৰ দৰে দৃঢ় বস্তু এটা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা দুয়োটা ধৰণৰ গতি পুনৰ উৎপাদন কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিব পাৰে।)

এতিয়া আমি বৰ্তমান অংশৰ আটাইতকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ লক্ষণবোৰ পুনৰ স্মৰণ কৰো: দৃঢ় বস্তু এটাৰ গতি যিটো কোনো ধৰণে পিভট বা স্থিৰ কৰা হোৱা নাই সেয়া হয় বিশুদ্ধ সৰলৰৈখিক গতি নহয় সৰলৰৈখিক গতি আৰু ঘূৰ্ণনৰ সংমিশ্ৰণ। দৃঢ় বস্তু এটাৰ গতি যিটো কোনো ধৰণে পিভট বা স্থিৰ কৰা হৈছে সেয়া ঘূৰ্ণন। ঘূৰ্ণনটো স্থিৰ অক্ষ (যেনে চিলিং ফেন) বা চলাচল কৰা (যেনে দোলন থকা টেবুল ফেন [চিত্ৰ ৬.৫(খ)])ৰ চাৰিওফালে হ’ব পাৰে। আমি, বৰ্তমান অধ্যায়ত, কেৱল স্থিৰ অক্ষ এটাৰ চাৰিওফালে ঘূৰ্ণন গতি বিবেচনা কৰিম।

৬.২ ভৰকেন্দ্ৰ

আমি প্ৰথমে কণাৰ তন্ত্ৰ এটাৰ ভৰকেন্দ্ৰ কি চাম আৰু তাৰ পিছত ইয়াৰ তাৎপৰ্য আলোচনা কৰিম। সৰলতাৰ বাবে আমি দুটা কণাৰ তন্ত্ৰৰে আৰম্ভ কৰিম। আমি দুয়োটা কণাক সংযোগ কৰা ৰেখাডাল $x$ - অক্ষ হিচাপে ল’ম।

চিত্ৰ ৬.৭

দুয়োটা কণাৰ দূৰত্বক কিছু উৎপত্তি $\mathrm{O}$ৰ পৰা ক্ৰমে $x_{1}$ আৰু $x_{2}$ হিচাপে লওক। দুয়োটা কণাৰ ভৰক ক্ৰমে $m_{1}$ আৰু $m_{2}$ হিচাপে লওক। তন্ত্ৰটোৰ ভৰকেন্দ্ৰ হৈছে সেই বিন্দু $\mathrm{C}$ যি $\mathrm{O}$ৰ পৰা $X$ দূৰত্বত, য’ত $X$ দিয়া আছে

$$ \begin{equation*} X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}}{m_{1}+m_{2}} \tag{6.1} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (৬.১)-ত, $X$-ক $x_{1}$ আৰু $x_{2}$-ৰ ভৰ-ভাৰযুক্ত গড় হিচাপে গণ্য কৰিব পাৰি। যদি দুয়োটা কণাৰ একে ভৰ $m_{1}=m_{2}=m$ থাকে তেন্তে

$$ X=\frac{m x_{1}+m x_{2}}{2 m}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} $$

গতিকে, সমান ভৰৰ দুটা কণাৰ বাবে ভৰকেন্দ্ৰ সিহঁতৰ মাজত ঠিক মাজত থাকে।

যদি আমি $n$টা কণা ভৰ $m_{1}, m_{2}$, … $m_{n}$ ক্ৰমে, সৰল ৰেখা এডালত $x$-অক্ষ হিচাপে লোৱা হয়, তেন্তে সংজ্ঞামতে কণাৰ তন্ত্ৰটোৰ ভৰকেন্দ্ৰৰ অৱস্থান দিয়া হয়।

$$X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+\ldots+m_{n} x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}=\frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}} \tag {6.2}$$

য’ত $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ হৈছে কণাবোৰৰ উৎপত্তিৰ পৰা দূৰত্ব; $X$-কো একে উৎপত্তিৰ পৰা জোখা হয়। চিহ্ন $\sum$ (গ্ৰীক আখৰ চিগমা)ই যোগফল সূচায়, এই ক্ষেত্ৰত $n$টা কণাৰ ওপৰত। যোগফল

$$ \sum m_{i}=M $$

হৈছে তন্ত্ৰটোৰ মুঠ ভৰ।

ধৰি লওক যে আমি তিনিটা কণা আছে, সৰল ৰেখাত নথকা। আমি $x$ - আৰু $y-$ অক্ষবোৰ কণাবোৰ থকা সমতলত সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰো আৰু তিনিটা কণাৰ অৱস্থানবোৰ ক্ৰমে স্থানাংক $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ আৰু $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰো। তিনিটা কণাৰ ভৰক ক্ৰমে $m_{1}, m_{2}$ আৰু $m_{3}$ হিচাপে লওক। তিনিটা কণাৰ তন্ত্ৰটোৰ ভৰকেন্দ্ৰ $\mathrm{C}$-ক সংজ্ঞায়িত কৰা হয় আৰু স্থানাংক $(X, Y)$ৰ দ্বাৰা অৱস্থিত কৰা হয় যি দিয়া আছে

$$ \begin{align*} & X=\frac{m _{1} x _{1}+m _{2} x _{2}+m _{3} x _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3a} \\ & Y=\frac{m _{1} y _{1}+m _{2} y _{2}+m _{3} y _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3b} \end{align*} $$

সমান ভৰ $m=m_{1}=m_{2} =m_{3}$ৰ কণাবোৰৰ বাবে

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m\left(x _{1}+x _{2}+x _{3}\right)}{3 m}=\frac{x _{1}+x _{2}+x _{3}}{3} \\ & Y=\frac{m\left(y _{1}+y _{2}+y _{3}\right)}{3 m}=\frac{y _{1}+y _{2}+y _{3}}{3} \end{aligned} $$

গতিকে, সমান ভৰৰ তিনিটা কণাৰ বাবে, ভৰকেন্দ্ৰ কণাবোৰে গঠিত ত্ৰিভুজৰ কেন্দ্ৰবিন্দুৰ লগত মিলি যায়।

সমীকৰণ (৬.৩ক) আৰু (৬.৩খ)-ৰ ফলাফলবোৰ সহজে $n$টা কণাৰ তন্ত্ৰলৈ সাধাৰণীকৰণ কৰা হয়, যিবোৰ অৱশ্যে সমতলত নাথাকে, কিন্তু স্থানত বিতৰণ কৰা হয়। এনে তন্ত্ৰ এটাৰ ভৰকেন্দ্ৰ $(X, Y, Z)$ত থাকে, য’ত

$$ \begin{align*} & X=\frac{\sum m _{i} x _{i}}{M} \tag{6.4a} \\ & Y=\frac{\sum m _{i} y _{i}}{M} \tag{6.4b} \end{align*} $$

আৰু $Z=\frac{\sum m _{i} Z _{i}}{M}$

ইয়াত $M=\sum m_{i}$ হৈছে তন্ত্ৰটোৰ মুঠ ভৰ। সূচক $i$ 1ৰ পৰা $n ; m_{i}$লৈ চলে, $i^{\text {th }}$ হৈছে $i^{\text {th }}$ কণাটোৰ ভৰ আৰু $\left(x_{\mathrm{i}}, y_{\mathrm{i}}, z_{\mathrm{i}}\right)$-ৰ দ্বাৰা $\mathbf{r_i}$ কণাটোৰ অৱস্থান দিয়া হয়। সমীকৰণ (৬.৪ক), (৬.৪খ) আৰু (৬.৪গ)-ক অৱস্থান ভেক্টৰৰ চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰি এটা সমীকৰণত একত্ৰিত কৰিব পাৰি। $\mathbf{r_i}$-ক $i^{\text {th }}$ কণাটোৰ অৱস্থান ভেক্টৰ হিচাপে লওক আৰু $\mathbf{R}$-ক ভৰকেন্দ্ৰৰ অৱস্থান ভেক্টৰ হিচাপে লওক:

$$ \mathbf{r}_i=x_i \hat{\mathbf{i}}+y_i \hat{\mathbf{j}}+z_i \hat{\mathbf{k}} $$

$$\text{and} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=X \hat{\mathbf{i}}+Y \hat{\mathbf{j}}+Z \hat{\mathbf{k}}$$

$$\text{Then} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=\frac{\sum m_{i} \mathbf{r_i}}{M} \tag{6.4d}$$

সোঁহাতৰ ফালৰ যোগফলটো ভেক্টৰ যোগফল। মন কৰক যে ভেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰি আমি অভিব্যক্তিবোৰৰ কিমান মিতব্যয়িতা অৰ্জন কৰো। যদি প্ৰসংগ ফ্ৰেমৰ (স্থানাংক তন্ত্ৰ) উৎপত্তি ভৰকেন্দ্ৰ হিচাপে বাছনি কৰা হয় তেন্তে দিয়া কণাৰ তন্ত্ৰৰ বাবে $\sum m_{i} \mathbf{r_i}=0$।

মিটাৰ ষ্টিক বা ফ্লাইৱিলৰ দৰে দৃঢ় বস্তু এটা হৈছে ঘনিষ্ঠভাৱে গোট খোৱা কণাৰ তন্ত্ৰ; গতিকে সমীকৰণ (৬.৪ক), (৬.৪খ), (৬.৪গ) আৰু (৬.৪ঘ) দৃঢ় বস্তু এটাৰ বাবে প্ৰযোজ্য। এনে বস্তুত থকা কণাৰ (পৰমাণু বা অণু) সংখ্যা ইমান বেছি যে এই সমীকৰণবোৰত পৃথক কণাৰ ওপৰত যোগফল কৰাটো অসম্ভৱ। কণাবোৰৰ মাজৰ দূৰত্ব সৰু হোৱা হেতুকে, আমি বস্তুটোক ভৰৰ অবিৰত বিতৰণ হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰো। আমি বস্তুটোক $n$টা সৰু সৰু ভৰৰ উপাদানলৈ উপবিভাজিত কৰো; $\Delta m_{1}, \Delta m_{2} \ldots \Delta m_{n}$; $i^{\text {th }}$ উপাদান $\Delta m_{i}$-ক বিন্দু $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ৰ ওচৰত অৱস্থিত বুলি ধৰা হয়। তেতিয়া ভৰকেন্দ্ৰৰ স্থানাংকবোৰ প্ৰায় দিয়া হয়

$$ X=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) x_{i}}{\sum \Delta m_{i}}, Y=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) y_{i}}{\sum \Delta m_{i}}, Z=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) z_{i}}{\sum \Delta m_{i}} $$

যেতিয়া আমি $n$-ক ডাঙৰ আৰু ডাঙৰ কৰো আৰু প্ৰতিটো $\Delta m_{i}$-ক সৰু আৰু সৰু কৰো, এই অভিব্যক্তিবোৰ সঠিক হয়। সেই ক্ষেত্ৰত, আমি $i$ৰ ওপৰত যোগফলবোৰক সমাকলনৰ দ্বাৰা সূচিত কৰো। গতিকে,

$$ \begin{aligned} & \sum \Delta m_{i} \rightarrow \int \mathrm{d} m=M, \\ & \sum\left(\Delta m_{i}\right) x_{i} \rightarrow \int x \mathrm{~d} m, \\ & \sum\left(\Delta m_{i}\right) y_{i} \rightarrow \int y \mathrm{~d} m, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{and } \quad\quad& \sum\left(\Delta m_{i}\right) z_{i} \rightarrow \int z \mathrm{~d} m \end{aligned} $$

ইয়াত $M$ হৈছে বস্তুটোৰ মুঠ ভৰ। ভৰকেন্দ্ৰৰ স্থানাংকবোৰ এতিয়া

$X=\frac{1}{M} \int x \mathrm{~d} m, Y=\frac{1}{M} \int y \mathrm{~d} m$ আৰু $Z=\frac{1}{M} \int z \mathrm{~d} m$ $\quad \quad \quad \text{6.5a}$

এই তিনিটা স্কেলাৰ অভিব্যক্তিৰ সমতুল্য ভেক্টৰ অভিব্যক্তিটো হৈছে

$$ \begin{equation*} \mathbf{R}=\frac{1}{M} \int \mathbf{r} \mathrm{d} m \tag{6.5b} \end{equation*} $$

যদি আমি আমাৰ স্থানাংক তন্ত্ৰৰ উৎপত্তি হিচাপে ভৰকেন্দ্ৰ বাছনি কৰো,

$$ \begin{align*} & \mathbf{R}=\mathbf{0} \\ & \text { i.e., } \int \mathbf{r} \mathrm{d} m=\mathbf{0} \\ & \text { or } \int x \mathrm{~d} m=\int y \mathrm{~d} m=\int z \mathrm{~d} m=0 \tag{6.6} \end{align*} $$

প্ৰায়ে আমাক ৰিং, ডিস্ক, গোলক, দণ্ড আদি নিয়মিত আকৃতিৰ সমজাতীয় বস্তুৰ ভৰকেন্দ্ৰ গণনা কৰিবলগীয়া হয়। (সমজাতীয় বস্তুৰ দ্বাৰা আমি সমভাৱে বিতৰণ কৰা ভৰৰ বস্তু বুজাও।) সমমিতিৰ বিবেচনাৰ দ্বাৰা, আমি সহজে দেখুৱাব পাৰো যে এই বস্তুবোৰৰ ভৰকেন্দ্ৰবোৰ ইহঁতৰ জ্যামিতিক কেন্দ্ৰত থাকে।

চিত্ৰ ৬.৮ পাতল দণ্ড এটাৰ CM নিৰ্ণয় কৰা

আহক আমি পাতল দণ্ড এটা বিবেচনা কৰো, যাৰ প্ৰস্থ আৰু বহল (যদি দণ্ডটোৰ ক্ৰছ ছেকচন আয়তাকাৰ হয়) বা ব্যাসাৰ্ধ (যদি দণ্ডটোৰ ক্ৰছ ছেকচন চিলিণ্ডাৰাকাৰ হয়) ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যতকৈ বহুত সৰু। উৎপত্তিক দণ্ডটোৰ জ্যামিতিক কেন্দ্ৰত লৈ আৰু $x$-অক্ষক দণ্ডটোৰ দৈৰ্ঘ্যৰ বাহিৰে লৈ, আমি প্ৰতিফলন সমমিতিৰ বাবে ক’ব পাৰো যে, $x$ত থকা দণ্ডটোৰ প্ৰতিটো উপাদান $d m$ৰ বাবে, একে ভৰ $d m$ৰ উপাদান এটা $-x$ত অৱস্থিত (চিত্ৰ ৬.৮)। প্ৰতিটো এনে যোৰৰ অৱদান সমাকলনলৈ আৰু গতিকে সমাকলন $\int x \mathrm{~d} m$ নিজেই শূন্য। সমীকৰণ (৬.৬)ৰ পৰা, যি বিন্দুৰ বাবে সমাকলন নিজেই শূন্য, সেয়া ভৰকেন্দ্ৰ। গতিকে, সমজাতীয় পাতল দণ্ড এটাৰ ভৰকেন্দ্ৰ ইয়াৰ জ্যামিতিক কেন্দ্ৰৰ লগত মিলি যায়। ইয়াক প্ৰতিফলন সমমিতিৰ ভিত্তিত বুজিব পাৰি।

একেই সমমিতি যুক্তি সমজাতীয় ৰিং, ডিস্ক, গোলক, বা বৃত্তাকাৰ বা আয়তাকাৰ ক্ৰছ ছেকচনৰ ডাঠ দণ্ডবোৰৰ বাবে প্ৰযোজ্য হ’ব। সকলো এনে বস্তুৰ বাবে আপুনি উপলব্ধি কৰিব যে প্ৰতিটো উপাদান $d m$ বিন্দু $(x, y, z)$ত থকাৰ বাবে সদায় একে ভৰৰ উপাদান এটা বিন্দু $(-x,-y,-z)$ত ল’ব পাৰি। (অন্য কথাত, উৎপত্তি হৈছে এই বস্তুবোৰৰ বাবে প্ৰতিফলন সমমিতিৰ বিন্দু।) ফলস্বৰূপে, সমীকৰণ (৬.৫ ক)-ৰ সমাকলনবোৰ সকলো শূন্য। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে ওপৰৰ সকলো বস্তুৰ বাবে, ইহঁতৰ ভৰকেন্দ্ৰ ইহঁতৰ জ্যামিতিক কেন্দ্ৰৰ লগত মিলি যায়।

উদাহৰণ ৬.১ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দুত থকা তিনিটা কণাৰ ভৰকেন্দ্ৰ নিৰ্ণয় কৰা। কণাবোৰৰ ভৰ ক্ৰমে $100 \mathrm{~g}, 150 \mathrm{~g}$, আৰু $200 \mathrm{~g}$। সমবাহু ত্ৰিভুজটোৰ প্ৰতিটো বাহু $0.5 \mathrm{~m}$ দীঘল।

উত্তৰ

চিত্ৰ ৬.৯

$x$-আৰু $y$-অক্ষবোৰ চিত্ৰ ৬.৯-ত দেখুওৱাৰ দৰে বাছনি কৰি, সমবাহু ত্ৰিভুজ গঠন কৰা বিন্দু $\mathrm{O}, \mathrm{A}$ আৰু $\mathrm{B}$ৰ স্থানাংকবোৰ ক্ৰমে $(0,0)$, $(0.5,0),(0.25,0.25 \sqrt{3})$। ভৰবোৰ $100 \mathrm{~g}$, $150 \mathrm{~g}$ আৰু $200 \mathrm{~g}$ ক্ৰমে O, A আৰু Bত অৱস্থিত হ’বলৈ দিয়া। তেতিয়া,

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+m_{3} x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \\ \\ & =\frac{100(0)+150(0.5)+200(0.25) \mathrm{g} \mathrm{m}}{(100+150+200) \mathrm{g}} \\ \\ & \quad=\frac{75+50}{450} \mathrm{~m}=\frac{125}{450} \mathrm{~m}=\frac{5}{18} \mathrm{~m} \\ \\ & Y=\frac{100(0)+150(0)+200(0.25 \sqrt{3}) \mathrm{g} \mathrm{m}}{450 \mathrm{~g}} \\ \\ & =\frac{50 \sqrt{3}}{450} \mathrm{~m}=\frac{\sqrt{3}}{9} \mathrm{~m}=\frac{1}{3 \sqrt{3}} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

ভৰকেন্দ্ৰ $\mathrm{C}$ চিত্ৰত দেখুওৱ