৭.১ পৰিচয়

আমাৰ জীৱনৰ আৰম্ভণিতে, আমি সকলো বস্তুৰ পৃথিৱীৰ ফালে আকৰ্ষিত হোৱাৰ প্ৰৱণতাৰ বিষয়ে সচেতন হওঁ। ওপৰলৈ দলিওৱা যিকোনো বস্তু পৃথিৱীৰ ফালে তললৈ পৰে, ওপৰলৈ যোৱাটো তললৈ যোৱাতকৈ বহুত বেছি ভাগৰুৱা, ওপৰৰ মেঘৰ পৰা বৰষুণৰ টোপালবোৰ পৃথিৱীৰ ফালে পৰে আৰু আন বহুতো এনে ঘটনা আছে। ঐতিহাসিকভাৱে ইটালীয় পদাৰ্থবিজ্ঞানী গেলিলিঅ’ (১৫৬৪-১৬৪২)য়ে এই সত্যৰ স্বীকৃতি দিছিল যে সকলো বস্তু, ইহঁতৰ ভৰৰ পৰা স্বত্বেও, পৃথিৱীৰ ফালে এক ধ্ৰুৱক ত্বৰণৰ সৈতে ত্বৰিত হয়। বুলি কোৱা হয় যে তেওঁ এই সত্যৰ এক ৰাজহুৱা প্ৰদৰ্শন কৰিছিল। সত্য বিচাৰিবলৈ, তেওঁ নিশ্চিতভাৱে ঢালু সমতলত গড়ি পৰা বস্তুৰ সৈতে পৰীক্ষা কৰিছিল আৰু মহাকৰ্ষণৰ বাবে হোৱা ত্বৰণৰ এক মান পাইছিল যি পিছত পোৱা অধিক সঠিক মানৰ ওচৰত আছিল।

এটা আপাতদৃষ্টিত অসংলগ্ন ঘটনা, তৰা, গ্ৰহ আৰু ইহঁতৰ গতিৰ পৰ্যবেক্ষণ আদি প্ৰাচীন কালৰ পৰা বহু দেশৰ মনোযোগৰ বিষয় হৈ আহিছে। প্ৰাচীন কালৰ পৰা কৰা পৰ্যবেক্ষণে বছৰৰ পিছত বছৰ অৱস্থান অপরিবৰ্তিত হৈ থকা আকাশত দেখা দিয়া তৰাবোৰৰ স্বীকৃতি দিছিল। অধিক আকৰ্ষণীয় বস্তুবোৰ হৈছে গ্ৰহবোৰ যিবোৰ তৰাৰ পটভূমিৰ বিপৰীতে নিয়মিত গতি থকা যেন লাগে। প্ৰায় ২০০০ বছৰ আগতে টলেমীয়ে আগবঢ়োৱা গ্ৰহীয় গতিৰ প্ৰথম লিপিবদ্ধ মডেলটো আছিল এক ‘ভূ-কেন্দ্ৰিক’ মডেল য’ত সকলো মহাজাগতিক বস্তু, তৰা, সূৰ্য আৰু গ্ৰহবোৰে পৃথিৱীৰ চাৰিওফালে ঘূৰিছিল। মহাজাগতিক বস্তুবোৰৰ বাবে সম্ভৱ বুলি ভবা একমাত্ৰ গতি আছিল বৃত্তাকাৰ গতি। গ্ৰহবোৰৰ পৰ্যবেক্ষণ কৰা গতি বৰ্ণনা কৰিবলৈ টলেমীয়ে গতিৰ জটিল পৰিকল্পনা আগবঢ়াইছিল। গ্ৰহবোৰক বৃত্তত ঘূৰি থকা বুলি বৰ্ণনা কৰা হৈছিল য’ত বৃত্তবোৰৰ কেন্দ্ৰবোৰ নিজে ডাঙৰ বৃত্তত ঘূৰি আছিল। প্ৰায় ৪০০ বছৰ পিছত ভাৰতীয় জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানীসকলেও একেধৰণৰ তত্ত্ব আগবঢ়াইছিল। অৱশ্যে এক অধিক মাৰ্জিত মডেল য’ত সূৰ্য আছিল কেন্দ্ৰ যাৰ চাৰিওফালে গ্ৰহবোৰে ঘূৰিছিল - ‘সূৰ্যকেন্দ্ৰিক’ মডেল - ইতিমধ্যে আৰ্যভট্টই ( $5^{\text {th }}$ শতিকাত) তেওঁৰ গ্ৰন্থত উল্লেখ কৰিছিল। হাজাৰ বছৰৰ পিছত, নিকোলাছ কপাৰনিকাছ (১৪৭৩-১৫৪৩) নামৰ এজন পোলেণ্ডৰ সন্ন্যাসীয়ে এক সুনিৰ্দিষ্ট মডেল আগবঢ়াইছিল য’ত গ্ৰহবোৰে এক স্থিৰ কেন্দ্ৰীয় সূৰ্যৰ চাৰিওফালে বৃত্তত ঘূৰিছিল। তেওঁৰ তত্ত্ব গীৰ্জাৰ দ্বাৰা অগ্ৰাহ্য কৰা হৈছিল, কিন্তু ইয়াৰ সমৰ্থকসকলৰ মাজত উল্লেখযোগ্য আছিল গেলিলিঅ’ যিয়ে তেওঁৰ বিশ্বাসৰ বাবে ৰাষ্ট্ৰৰ পৰা অভিযোগৰ সন্মুখীন হ’বলগীয়া হৈছিল।

গেলিলিঅ’ৰ সময়ৰ ওচৰে-পাজৰে, ডেনমাৰ্কৰ টাইক’ ব্ৰাহে (১৫৪৬-১৬০১) নামৰ এজন অভিজানে চকুৰে গ্ৰহবোৰৰ পৰ্যবেক্ষণ লিপিবদ্ধ কৰি তেওঁৰ জীৱনকাল কটাইছিল। তেওঁৰ সংকলিত তথ্য পিছত তেওঁৰ সহায়ক জোহানেছ কেপলাৰে (১৫৭১-১৬৪০) বিশ্লেষণ কৰিছিল। তেওঁ তথ্যৰ পৰা তিনিটা মাৰ্জিত সূত্ৰ উলিয়াব পাৰিছিল যিবোৰ এতিয়া কেপলাৰৰ সূত্ৰ নামেৰে জনাজাত। এই সূত্ৰবোৰ নিউটনৰ জনা আছিল আৰু ই তেওঁক তেওঁৰ বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰ আগবঢ়োৱাত এক ডাঙৰ বৈজ্ঞানিক লাফ মাৰিবলৈ সক্ষম কৰিছিল।

৭.২ কেপলাৰৰ সূত্ৰ

কেপলাৰৰ তিনিটা সূত্ৰ তলত দিয়া ধৰণে বৰ্ণনা কৰিব পাৰি:

১. কক্ষপথৰ সূত্ৰ : সকলো গ্ৰহই উপবৃত্তাকাৰ কক্ষপথত গতি কৰে, সূৰ্য উপবৃত্তটোৰ (চিত্ৰ ৭.১ক) এটা নাভিত (চিত্ৰ ৭.১ক) অৱস্থিত। এই সূত্ৰটো কপাৰনিকান মডেলৰ পৰা এক বিচ্যুতি আছিল যিয়ে কেৱল বৃত্তাকাৰ কক্ষপথহে অনুমোদন কৰিছিল। উপবৃত্ত, যাৰ বৃত্তটো এক বিশেষ ক্ষেত্ৰ, হৈছে এক আবদ্ধ বক্ৰ যাক তলত দিয়া ধৰণেৰে অতি সহজে অঁকা যায়।

চিত্ৰ ৭.১(ক) সূৰ্যৰ চাৰিওফালে এটা গ্ৰহে অঁকা উপবৃত্ত। ওচৰৰ বিন্দুটো P আৰু আটাইতকৈ দূৰৰ বিন্দুটো A, P ক পেৰিহেলিয়ন আৰু A ক এফেলিয়ন বুলি কোৱা হয়। অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষ হৈছে AP দূৰত্বৰ আধা।

চিত্ৰ ৭.১(খ) এটা উপবৃত্ত অঁকা। এডাল দঁতালিৰ মূৰ দুটা F1 আৰু F2 ত স্থিৰ কৰা হৈছে। এটা পেঞ্চিলৰ আগেৰে দঁতালিডাল টানকৈ ধৰি থৈ চাৰিওফালে ঘূৰোৱা হয়।

দুটা বিন্দু $\mathrm{F}_1$ আৰু $\mathrm{F}_2$ বাছনি কৰা। দঁতালিৰ দৈৰ্ঘ্য এটা লোৱা আৰু ইয়াৰ মূৰ দুটা $F_1$ আৰু $F_2$ ত পিনেৰে স্থিৰ কৰা। পেঞ্চিলৰ আগেৰে দঁতালিডাল টানকৈ মেলি তাৰ পিছত পেঞ্চিলটো ঘূৰাই দঁতালিডাল সদায় টানকৈ ৰাখি এটা বক্ৰ অঁকা (চিত্ৰ ৭.১(খ))। পোৱা আবদ্ধ বক্ৰটোক উপবৃত্ত বোলা হয়। স্পষ্টভাৱে উপবৃত্তৰ যিকোনো বিন্দু $\mathrm{T}$ ৰ বাবে, $\mathrm{F}_1$ আৰু $\mathrm{F}_2$ ৰ পৰা দূৰত্বৰ যোগফল এক ধ্ৰুৱক। $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ ক নাভি বোলা হয়। বিন্দু $\mathrm{F}_1$ আৰু $\mathrm{F}_2$ সংযোগ কৰা আৰু ৰেখাডাল বঢ়াই চিত্ৰ ৭.১(খ) ত দেখুওৱাৰ দৰে বিন্দু $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{A}$ ত উপবৃত্তটোক ছেদ কৰা। ৰেখা PA ৰ মধ্যবিন্দুটো হৈছে উপবৃত্তৰ কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ আৰু দৈৰ্ঘ্য $\mathrm{PO}=$ AO ক উপবৃত্তটোৰ অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষ বোলা হয়। বৃত্তৰ বাবে, দুয়োটা নাভি একত্ৰিত হয় আৰু অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষটো বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ হৈ পৰে।

২. ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰ : যিকোনো গ্ৰহক সূৰ্যৰ লগত সংযোগ কৰা ৰেখাই সমান সময়ৰ অন্তৰালত সমান ক্ষেত্ৰফল পৰিস্কাৰ কৰে (চিত্ৰ ৭.২)। এই সূত্ৰটো পৰ্যবেক্ষণৰ পৰা আহিছে যে গ্ৰহবোৰ সূৰ্যৰ পৰা আঁতৰত থাকোতে ওচৰত থকাতকৈ লাহে লাহে গতি কৰা যেন লাগে।

চিত্ৰ ৭.২ গ্ৰহ P য়ে উপবৃত্তাকাৰ কক্ষপথত সূৰ্যৰ চাৰিওফালে গতি কৰে। ছায়াবৃত্ত ক্ষেত্ৰফলটো হৈছে সৰু সময়ৰ অন্তৰাল ∆t ত পৰিস্কাৰ কৰা ক্ষেত্ৰফল ∆A।

৩. পৰ্যায়কালৰ সূত্ৰ : এটা গ্ৰহৰ পৰিভ্ৰমণৰ সময় পৰ্যায়ৰ বৰ্গ গ্ৰহটোৱে অঁকা উপবৃত্তটোৰ অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষৰ ঘনৰ সমানুপাতিক।

তালিকা ৭.১ ত আঠটা* গ্ৰহৰ সূৰ্যৰ চাৰিওফালে পৰিভ্ৰমণৰ প্ৰায় সময় পৰ্যায় ইহঁতৰ অৰ্ধ-দীৰ্ঘ অক্ষৰ মানৰ সৈতে দিয়া হৈছে।

তালিকা ৭.১

তলত দিয়া গ্ৰহীয় গতিৰ জোখৰ তথ্যই কেপলাৰৰ পৰ্যায়কালৰ সূত্ৰ নিশ্চিত কৰে

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{Semi-major axis in units of } 10^{10} \mathrm{~m}. \\ & T \equiv \text{Time period of revolution of the planet in years }(y). \\ & Q \equiv \text{The quotient } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{in units of } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰটোক কৌণিক ভৰবেগৰ সংৰক্ষণৰ এক পৰিণাম হিচাপে বুজিব পাৰি যি যিকোনো কেন্দ্ৰীয় বলৰ বাবে বৈধ। কেন্দ্ৰীয় বল এনেধৰণৰ যে গ্ৰহটোৰ ওপৰত বলটো সূৰ্য আৰু গ্ৰহটোক সংযোগ কৰা ভেক্টৰৰ বৰাবৰ। সূৰ্যক মূলবিন্দু হিচাপে ধৰা হওক আৰু গ্ৰহটোৰ অৱস্থান আৰু ভৰবেগক ক্ৰমে $\mathbf{r}$ আৰু $\mathbf{p}$ ৰে সূচোৱা হওক। তেন্তে $\mathrm{m}$ ভৰৰ গ্ৰহটোৱে $\Delta t$ সময়ৰ অন্তৰালত পৰিস্কাৰ কৰা ক্ষেত্ৰফলটো (চিত্ৰ ৭.২) $\Delta \mathbf{A}$ দ্বাৰা দিয়া হয়

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

সেয়েহে

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { since } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

য’ত $\mathbf{v}$ হৈছে বেগ, $\mathbf{L}$ হৈছে কৌণিক ভৰবেগ $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ ৰ সমান। কেন্দ্ৰীয় বলৰ বাবে, যি $\mathbf{r}, \mathbf{L}$ ৰ বৰাবৰ নিয়োজিত, গ্ৰহটো ঘূৰি যোৱাৰ সময়ত ধ্ৰুৱক। সেয়েহে, শেষ সমীকৰণ অনুসৰি $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ ধ্ৰুৱক। এইটোৱেই ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰ। মহাকৰ্ষণ হৈছে কেন্দ্ৰীয় বল আৰু সেয়েহে ক্ষেত্ৰফলৰ সূত্ৰটো অনুসৰণ কৰে।

উদাহৰণ ৭.১ ধৰা হওক চিত্ৰ ৭.১(ক) ৰ পেৰিহেলিয়ন $P$ ত গ্ৰহটোৰ বেগ $V_P$ আৰু সূৰ্য-গ্ৰহ দূৰত্ব SP হ’ব $r_P$। $\{r_P, V_P\}$ ক এফেলিয়ন $\{r_A, V_A\}$ ৰ সংশ্লিষ্ট ৰাশিৰ সৈতে সম্পৰ্কিত কৰা। গ্ৰহটোৱে $B A C$ আৰু $C P B$ অতিক্ৰম কৰিবলৈ সমান সময় ল’বনে?

উত্তৰ $P$ ত কৌণিক ভৰবেগৰ মান হৈছে $L_p=m_p r_p V_p$, কিয়নো পৰীক্ষণে আমাক কয় যে $\mathbf{r}_p$ আৰু $\mathbf{v}_p$ পৰস্পৰ লম্ব। একেদৰে, $L_A=m_p r_A V_A$। কৌণিক ভৰবেগ সংৰক্ষণৰ পৰা

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

বা $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

কিয়নো $r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$।

ক্ষেত্ৰফল $S B A C$ যাক উপবৃত্ত আৰু ব্যাসাৰ্ধ ভেক্টৰ $S B$ আৰু $S C$ ৰে সীমাবদ্ধ কৰা হৈছে, চিত্ৰ ৭.১ ৰ $\mathrm{SBPC}$ তকৈ ডাঙৰ। কেপলাৰৰ দ্বিতীয় সূত্ৰ অনুসৰি, সমান সময়ত সমান ক্ষেত্ৰফল পৰিস্কাৰ হয়। সেয়েহে গ্ৰহটোৱে $B A C$ অতিক্ৰম কৰিবলৈ $C P B$ তকৈ অধিক সময় ল’ব।

৭.৩ বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰ

কথিত আছে যে গছৰ পৰা এটা আপেল পৰি থকা দেখি, নিউটনে বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰলৈ আগবাঢ়িবলৈ অনুপ্ৰাণিত হৈছিল যিয়ে ভূ-মহাকৰ্ষণৰ লগতে কেপলাৰৰ সূত্ৰবোৰৰ ব্যাখ্যাও দিছিল। নিউটনৰ যুক্তি আছিল যে $R_{m}$ ব্যাসাৰ্ধৰ কক্ষপথত ঘূৰি থকা জোনটো পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণৰ বাবে হোৱা কেন্দ্ৰমুখী ত্বৰণৰ অধীনত আছিল যি মান

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

য’ত $V$ হৈছে জোনটোৰ বেগ যি সময় পৰ্যায় $T$ ৰ সৈতে $V=2 \pi R_{m} / T$ সম্বন্ধৰে সম্পৰ্কিত। সময় পৰ্যায় $T$ প্ৰায় ২৭.৩ দিন আৰু $R_{m}$ ইতিমধ্যে তেতিয়া প্ৰায় $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ বুলি জনা গৈছিল। যদি আমি এই সংখ্যাবোৰ সমীকৰণ (৭.৩) ত বহুওৱা, আমি $a_{m}$ ৰ মান পাম যি পৃথিৱীৰ পৃষ্ঠত মহাকৰ্ষণৰ বাবে হোৱা ত্বৰণ $g$ ৰ মানতকৈ বহুত সৰু। এইটোৱে স্পষ্টভাৱে দেখুৱায় যে পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণৰ বাবে বল দূৰত্বৰ সৈতে হ্ৰাস পায়। যদি ধৰি লোৱা হয় যে পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণৰ বাবে বল পৃথিৱীৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা দূৰত্বৰ ব্যস্তানুপাতিক হ্ৰাস পায়, আমি $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ পাম আৰু আমি পাম

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ ৰ মানৰ সৈতে মিল আৰু সমীকৰণ (৭.৩) ৰ পৰা $a_{\mathrm{m}}$ ৰ মান। এই পৰ্যবেক্ষণবোৰে নিউটনক তলত দিয়া বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰ আগবঢ়াবলৈ প্ৰেৰণা দিছিল:

বিশ্বৰ প্ৰতিটো বস্তুৱে আন প্ৰতিটো বস্তুক এনে বলৰ সৈতে আকৰ্ষণ কৰে যি ইহঁতৰ ভৰৰ গুণফলৰ সৈতে প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতিক আৰু ইহঁতৰ মাজৰ দূৰত্বৰ বৰ্গৰ ব্যস্তানুপাতিক।

উদ্ধৃতিটো মূলতঃ নিউটনৰ বিখ্যাত গ্ৰন্থ ‘গাণিতিক প্ৰাকৃতিক দৰ্শনৰ নীতি’ (চমুকৈ প্ৰিন্সিপিয়া)ৰ পৰা আহিছে।

গাণিতিকভাৱে ক’বলৈ গ’লে, নিউটনৰ মহাকৰ্ষণ সূত্ৰটো পঢ়ে: $m_{2}$ বিন্দু ভৰৰ ওপৰত $m_{1}$ আন এটা বিন্দু ভৰৰ বাবে হোৱা বল $\mathbf{F}$ ৰ মান

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (৭.৫) ভেক্টৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

য’ত $\mathrm{G}$ হৈছে বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ ধ্ৰুৱক, $\hat{\mathbf{r}}$ হৈছে $m_1$ ৰ পৰা $m_2$ লৈ একক ভেক্টৰ আৰু $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ চিত্ৰ ৭.৩ ত দেখুওৱাৰ দৰে।

চিত্ৰ ৭.৩ m2 ৰ বাবে m1 ৰ ওপৰত মহাকৰ্ষণ বল r ৰ বৰাবৰ য’ত ভেক্টৰ r হৈছে (r2 – r1 )।

$m_2$ ৰ বাবে $m_1$ ৰ ওপৰত মহাকৰ্ষণ বল $\mathbf{r}$ ৰ বৰাবৰ য’ত ভেক্টৰ $\mathbf{r}$ হৈছে ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$)। মহাকৰ্ষণ বল হৈছে আকৰ্ষণী, অৰ্থাৎ বল $\mathbf{F}$ হৈছে $-\mathbf{r}$ ৰ বৰাবৰ। $m_2$ ৰ বাবে বিন্দু ভৰ $m_1$ ৰ ওপৰত বল নিশ্চিতভাৱে নিউটনৰ তৃতীয় সূত্ৰ অনুসৰি $-\mathbf{F}$। সেয়েহে, বস্তু ১ ৰ ওপৰত ২ ৰ বাবে হোৱা মহাকৰ্ষণ বল F₁₂ আৰু বস্তু ২ ৰ ওপৰত ১ ৰ বাবে হোৱা F₂₁ সম্পৰ্কিত

F₁₂=-F₂₁.

আমি সমীকৰণ (৭.৫) বিবেচনাধীন বস্তুবোৰলৈ প্ৰয়োগ কৰাৰ আগতে, আমি সাৱধান হ’ব লাগিব কিয়নো সূত্ৰটোৱে বিন্দু ভৰলৈ উল্লেখ কৰে আনহাতে আমি সীমিত আকাৰৰ বিস্তৃত বস্তুবোৰৰ সৈতে কাম কৰো। যদি আমি বিন্দু ভৰৰ এক সংগ্ৰহ আছে, ইহঁতৰ যিকোনো এটাৰ ওপৰত বল হৈছে আন বিন্দু ভৰবোৰে প্ৰয়োগ কৰা মহাকৰ্ষণ বলবোৰৰ ভেক্টৰ যোগফল যেনেকৈ চিত্ৰ ৭.৪ ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ ৭.৪ বিন্দু ভৰ m1 ৰ ওপৰত মহাকৰ্ষণ বল হৈছে m2, m3 আৰু m4 ৰ দ্বাৰা প্ৰয়োগ কৰা মহাকৰ্ষণ বলবোৰৰ ভেক্টৰ যোগফল।

$m_1$ ৰ ওপৰত মুঠ বল

$$ F_1=\frac{G m_2 m_1}{r_{21}^2} \hat{r_{21}}+\frac{G m_3 m_1}{r_{31}^2} \hat{r_{31}}+\frac{G m_4 m_1}{r_{41}^2} \hat{r_{41}} $$

উদাহৰণ ৭.২ তিনিটা সমান ভৰ $m \mathrm{~kg}$ প্ৰতিটো সমবাহু ত্ৰিভুজ $\mathrm{ABC}$ ৰ শীৰ্ষবিন্দুত স্থিৰ কৰা হৈছে।

(ক) কেন্দ্ৰবিন্দু $\mathrm{G}$ ত স্থাপন কৰা $2 m$ ভৰৰ ওপৰত ক্ৰিয়া কৰা বল কিমান?

(খ) যদি শীৰ্ষবিন্দু $\mathrm{A}$ ৰ ভৰ দুগুণ কৰা হয় তেন্তে বল কিমান?

$\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ লোৱা (চিত্ৰ ৭.৫ চোৱা)

উত্তৰ (ক) GC আৰু ধনাত্মক $x$-অক্ষৰ মাজৰ কোণটো $30^{\circ}$ আৰু GB আৰু ঋণাত্মক $x$-অক্ষৰ মাজৰ কোণটোও একে। ভেক্টৰ চিহ্নত পৃথক বলবোৰ হৈছে

চিত্ৰ ৭.৫ ∆ ABC ৰ তিনিটা শীৰ্ষবিন্দুত তিনিটা সমান ভৰ স্থাপন কৰা হৈছে। কেন্দ্ৰবিন্দু G ত 2m ভৰ স্থাপন কৰা হৈছে।

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{GA}}=\frac{G m(2 m)}{1} \hat{\mathbf{j}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{GB}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ & \mathbf{F_\mathrm{GC}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(+\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \end{aligned} $$

অধিস্থাপনৰ নীতি আৰু ভেক্টৰ যোগৰ সূত্ৰৰ পৰা, $(2 m)$ ৰ ওপৰত হোৱা পৰিণামী মহাকৰ্ষণ বল $\mathbf{F}_{\mathrm{R}}$ হৈছে

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{R}}= \mathbf{F_\mathrm{GA}}+\mathbf{F_\mathrm{GB}}+\mathbf{F_\mathrm{GC}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{R}}=2 G m^{2} \hat{\mathbf{j}}+2 G m^{2}\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ &+2 G m^{2}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right)=0 \end{aligned} $$

ইতিবাচকভাৱে, সমমিতিৰ ভিত্তিত আশা কৰা হয় যে পৰিণামী বল শূন্য হ’ব লাগে।

(খ) এতিয়া যদি শীৰ্ষবিন্দু A ৰ ভৰ দুগুণ কৰা হয় তেন্তে

$$ \begin{aligned} & \mathrm{F_{G A}^{\prime}}=\frac{\mathrm{G} 2 m \cdot 2 m}{1} \hat{\mathrm{j}}=4 \mathrm{Gm}^{2} \hat{\mathrm{j}} \\ & \mathrm{F_{G B}^{\prime}}=\mathrm{F_G B} \text { and } \mathrm{F_G C}^{\prime}=\mathrm{F_G C} \\ & \mathrm{~F_{R}^{\prime}}=\mathrm{F_G A}^{\prime}+\mathrm{F_G B}^{\prime}+\mathrm{F_G C}^{\prime} \\ & \mathrm{F_{\mathrm{R}}^{\prime}}=2 G m^{2} \hat{\mathrm{j}} \end{aligned} $$

বিস্তৃত বস্তু (যেনে পৃথিৱী) আৰু বিন্দু ভৰৰ মাজৰ মহাকৰ্ষণ বলৰ বাবে, সমীকৰণ (৭.৫) প্ৰত্যক্ষভাৱে প্ৰযোজ্য নহয়। বিস্তৃত বস্তুটোৰ প্ৰতিটো বিন্দু ভৰই দিয়া বিন্দু ভৰটোৰ ওপৰত বল প্ৰয়োগ কৰিব আৰু এই বলবোৰ একে দিশত নহ’ব। মুঠ বল পাবলৈ আমি বিস্তৃত বস্তুটোৰ সকলো বিন্দু ভৰৰ বাবে ভেক্টৰীয়ভাৱে এই বলবোৰ যোগ কৰিব লাগিব। কেলকুলাছ ব্যৱহাৰ কৰি এইটো সহজে কৰিব পাৰি। দুটা বিশেষ ক্ষেত্ৰত, আপুনি তাক কৰিলে এক সহজ সূত্ৰ প্ৰাপ্ত হয়:

(১) সমান ঘনত্বৰ ফোপোলা গোলাকাৰ খোলা আৰু বাহিৰত অৱস্থিত বিন্দু ভৰৰ মাজৰ আকৰ্ষণ বল হৈছে যেনেদৰে যদি খোলাটোৰ সমগ্ৰ ভৰ খোলাটোৰ কেন্দ্ৰত কেন্দ্ৰীভূত হৈছে।

গুণাত্মকভাৱে এইটো তলত দিয়া ধৰণেৰে বুজিব পাৰি: খোলাটোৰ বিভিন্ন অঞ্চলৰ দ্বাৰা হোৱা মহাকৰ্ষণ বলৰ বিন্দু ভৰটোক কেন্দ্ৰৰ লগত সংযোগ কৰা ৰেখাৰ বৰাবৰ উপাদানৰ লগতে এই ৰেখালৈ লম্ব দিশত উপাদান থাকে। খোলাটোৰ সকলো অঞ্চলৰ ওপৰত যোগ কৰোঁতে এই ৰেখালৈ লম্ব উপাদানবোৰ বাতিল হয় আৰু কেৱল বিন্দুটোক কেন্দ্ৰৰ লগত সংযোগ কৰা ৰেখাৰ বৰাবৰ এক পৰিণামী বল এৰি ৰাখে। এই বলৰ মান ওপৰত উল্লেখ কৰাৰ দৰে কাম কৰে।

(২) সমান ঘনত্বৰ ফোপোলা গোলাকাৰ খোলাৰ বাবে হোৱা আকৰ্ষণ বল, ইয়াৰ ভিতৰত অৱস্থিত বিন্দু ভৰৰ ওপৰত শূন্য।

গুণাত্মকভাৱে, আমি আকৌ এই ফলাফল বুজিব পাৰোঁ। গোলাকাৰ খোলাটোৰ বিভিন্ন অঞ্চলে ইয়াৰ ভিতৰত থকা বিন্দু ভৰটোক বিভিন্ন দিশত আকৰ্ষণ কৰে। এই বলবোৰে পৰস্পৰক সম্পূৰ্ণৰূপে বাতিল কৰে।

৭.৪ মহাকৰ্ষণ ধ্ৰুৱক

বিশ্বজনীন মহাকৰ্ষণ সূত্ৰত সোমোৱা মহাকৰ্ষণ ধ্ৰুৱক $G$ ৰ মান পৰীক্ষামূলকভাৱে নিৰ্ধাৰণ কৰিব পাৰি আৰু এইটো প্ৰথমে ইংৰাজ বিজ্ঞানী হেনৰি কেভেণ্ডিছে ১৭৯৮ চনত কৰিছিল। তেওঁ ব্যৱহাৰ কৰা সঁজুলিটো চিত্ৰ ৭.৬ ত পৰিকল্পনামূলকভাৱে দেখুওৱা হৈছে

চিত্ৰ ৭.৬ কেভেণ্ডিছৰ পৰীক্ষাৰ পৰিকল্পনামূলক অংকন। S1 আৰু S2 হৈছে ডাঙৰ গোলক যিবোৰ A আৰু B ৰ ভৰবোৰৰ দুয়োটা ফালে (ছায়া দিয়া) ৰখা হৈছে। যেতিয়া ডাঙৰ গোলকবোৰ ভৰবোৰৰ আন ফাললৈ নিয়া হয় (বিন্দুযুক্ত বৃত্তৰে দেখুওৱা), AB দণ্ডটোৱে অলপ ঘূৰে কিয়নো টৰ্কটোৱে দিশ সলনি কৰে। ঘূৰণৰ কোণটো পৰীক্ষামূলকভাৱে জোখিব পাৰি।

দণ্ড $\mathrm{AB}$ ৰ মূৰত দুটা সৰু সীহৰ গোলক সংলগ্ন কৰা হৈছে। দণ্ডটো সূক্ষ্ম তাঁৰেৰে এটা দৃঢ় আধাৰৰ পৰা ওলোমাই ৰখা হৈছে। দুটা ডাঙৰ সীহৰ গোলক সৰুবোৰৰ ওচৰলৈ আনিছে কিন্তু বিপৰীত ফালে যেনেকৈ দেখুওৱা হৈছে। ডাঙৰ গোলকবোৰে ওচৰৰ সৰুবোৰক সমান আৰু বিপৰীত বলৰে আকৰ্ষণ কৰে। দণ্ডটোৰ ওপৰত কোনো নিট বল নাথাকে কিন্তু কেৱল এটা টৰ্ক থাকে যি স্পষ্টভাৱে দণ্ডটোৰ দৈৰ্ঘ্যৰ $\mathrm{F}$ গুণৰ সমান, য’ত $\mathrm{F}$ হৈছে এটা ডাঙৰ গোলক আৰু ইয়াৰ ওচৰৰ সৰু গোলকৰ মাজৰ আকৰ্ষণ বল। এই টৰ্কৰ বাবে, ওলোমাই ৰখা তাঁৰডাল মেৰিয়াই যায় যেতিয়ালৈকে তাঁৰডালৰ পুনৰুদ্ধাৰকাৰী টৰ্কটো মহাকৰ্ষণ টৰ্কৰ সমান নহয়। যদি $\theta$ হৈছে ওলোমাই ৰখা তাঁৰডালৰ মেৰিওৱাৰ কোণ, পুনৰুদ্ধাৰকাৰী টৰ্কটো $\theta$ ৰ সমানুপাতিক, $\tau \theta$ ৰ সমান। য’ত $\tau$ হৈছে প্ৰতি একক মেৰিওৱাৰ কোণৰ পুনৰুদ্ধাৰকাৰী যুগ্ম। $\tau$ স্বতন্ত্ৰভাৱে জোখিব পাৰি যেনে এটা জনা টৰ্ক প্ৰয়োগ কৰি আৰু মেৰিওৱাৰ কোণ জুখি। গোলাকাৰ বলবোৰৰ মাজৰ মহাকৰ্ষণ বল একে হয় যেনেদৰে যদি ইহঁতৰ ভৰবোৰ ইহঁতৰ কেন্দ্ৰত কেন্দ্ৰীভূত হৈছে। সেয়েহে যদি $d$ হৈছে ডাঙৰ আৰু ইয়াৰ ওচৰৰ সৰু বলৰ কেন্দ্ৰবোৰৰ মাজৰ পৃথকীকৰণ, $\mathrm{M}$ আৰু $\mathrm{m}$ ইহঁতৰ ভৰ, ডাঙৰ গোলক আৰু ইয়াৰ ওচৰৰ সৰু বলৰ মাজৰ মহাকৰ্ষণ বল

$$ \begin{equation*} F=G \frac{M m}{d^{2}} \tag{7.6} \end{equation*} $$

যদি $L$ হৈছে দণ্ড $A B$ ৰ দৈৰ্ঘ্য, তেন্তে $F$ ৰ পৰা ওপজা টৰ্কটো হৈছে $F$ ক L ৰে পূৰণ কৰা। সমতাত, এইটো পুনৰুদ্ধাৰকাৰী টৰ্কৰ সমান আৰু সেয়েহে

$$ \begin{equation*} G \frac{M m}{d^{2}} L=\tau \theta \tag{7.7} \end{equation*} $$

$\theta$ ৰ পৰ্যবেক্ষণে সেয়েহে এজনক এই সমীকৰণৰ পৰা $G$ গণনা কৰিবলৈ সক্ষম কৰে।

কেভেণ্ডিছৰ পৰীক্ষাৰ পৰা, $G$ ৰ জোখ উন্নত কৰা হৈছে আৰু বৰ্তমান গৃহীত মান হৈছে

$$ \begin{equation*} G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} \tag{7.8} \end{equation*} $$

৭.৫ পৃথিৱীৰ মহাকৰ্ষণৰ বাবে হোৱা ত্বৰণ

পৃথিৱীক বহুতো এককেন্দ্ৰিক গোলাকাৰ খোলাৰে তৈয়াৰী গোলক হিচাপে কল্পনা কৰিব পাৰি য’ত সৰুটো কেন্দ্ৰত আৰু ডাঙৰটো ইয়াৰ পৃষ্ঠত। পৃথিৱীৰ বাহিৰৰ বিন্দু এটা স্পষ্টতঃ সকলো খোলাৰ বাহিৰত। সেয়েহে, সকলো খোলাই বাহিৰৰ বিন্দুটোত মহাকৰ্ষণ বল প্ৰয়োগ কৰে যেনেদৰে যদি ইহঁতৰ ভৰবোৰ অনুচ্ছেদ ৭.৩ ত উল্লেখ কৰা ফলাফল অনুসৰি ইহঁতৰ সাধাৰণ কেন্দ্ৰত কেন্দ্ৰীভূত হৈছে। সকলো খোলাৰ মুঠ ভৰ হৈছে কেৱল পৃথিৱীৰ ভৰ। সেয়েহে, পৃথিৱীৰ বাহিৰৰ বিন্দুত, মহাকৰ্ষণ বল হৈছে যেনেদৰে যদি পৃথিৱীৰ সমগ্ৰ ভৰ ইয়াৰ কেন্দ্ৰত কেন্দ্ৰীভূত হৈছে।

পৃথিৱীৰ ভিতৰৰ বিন্দুৰ বাবে, পৰিস্থিতি বেলেগ। এইটো চিত্ৰ ৭.৭ ত চিত্ৰিত কৰা হৈছে।

<img src