৮.১ পৰিচয়

অধ্যায় ৬ত, আমি দেহবোৰৰ ঘূৰ্ণন অধ্যয়ন কৰিছিলো আৰু তাৰ পিছত উপলব্ধি কৰিছিলো যে দেহৰ গতি দেহৰ ভিতৰত ভৰ কেনেকৈ বিতৰণ কৰা হৈছে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। আমি কঠোৰ দেহৰ সহজ পৰিস্থিতিলৈ নিজকে সীমাবদ্ধ ৰাখিছিলো। কঠোৰ দেহে সাধাৰণতে এটা নিৰ্দিষ্ট আকৃতি আৰু আকাৰৰ কঠিন কঠিন বস্তুক বুজায়। কিন্তু বাস্তৱত, দেহবোৰ টানি, সংকুচিত আৰু বেঁকা কৰিব পাৰি। যথেষ্ট কঠোৰ ষ্টিলৰ দণ্ডটোও যেতিয়া ইয়াৰ ওপৰত যথেষ্ট ডাঙৰ বাহ্যিক বল প্ৰয়োগ কৰা হয় তেতিয়া বিকৃত কৰিব পাৰি। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে কঠিন দেহবোৰ সম্পূৰ্ণৰূপে কঠোৰ নহয়।

এটা কঠিন পদাৰ্থৰ নিৰ্দিষ্ট আকৃতি আৰু আকাৰ থাকে। দেহৰ আকৃতি বা আকাৰ সলনি কৰিবলৈ (বা বিকৃত কৰিবলৈ) বলৰ প্ৰয়োজন হয়। যদি আপুনি হেলিকেল স্প্ৰিঙটো ইয়াৰ মূৰ দুটা কোমলকৈ টানি দীঘল কৰে, স্প্ৰিঙৰ দৈৰ্ঘ্য অলপ বাঢ়ে। যেতিয়া আপুনি স্প্ৰিঙৰ মূৰবোৰ এৰি দিয়ে, ই ইয়াৰ মূল আকাৰ আৰু আকৃতি পুনৰুদ্ধাৰ কৰে। দেহৰ সেই ধৰ্ম, যাৰ বাবে প্ৰয়োগ কৰা বল আঁতৰোৱাৰ পিছত ই ইয়াৰ মূল আকাৰ আৰু আকৃতি পুনৰুদ্ধাৰ কৰাৰ প্ৰৱণতা দেখুৱায়, তাক স্থিতিস্থাপকতা বুলি জনা যায় আৰু সৃষ্টি হোৱা বিকৃতিক স্থিতিস্থাপক বিকৃতি বুলি কোৱা হয়। অৱশ্যে, যদি আপুনি পুট্টি বা বোকাৰ এটা ডোখৰত বল প্ৰয়োগ কৰে, তেতিয়া ইহঁতৰ পূৰ্বৰ আকৃতি পুনৰুদ্ধাৰ কৰাৰ কোনো স্পষ্ট প্ৰৱণতা নাথাকে, আৰু সিহঁত স্থায়ীভাৱে বিকৃত হয়। এনে পদাৰ্থবোৰক প্লাষ্টিক বুলি কোৱা হয় আৰু এই ধৰ্মটোক প্লাষ্টিচিটি বুলি কোৱা হয়। পুট্টি আৰু বোকা আদৰ্শ প্লাষ্টিকৰ ওচৰত।

পদাৰ্থবোৰৰ স্থিতিস্থাপক আচৰণে অভিযান্ত্ৰিক নক্সাত এক গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা পালন কৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, এটা অট্টালিকা নক্সা কৰোঁতে, ষ্টিল, কংক্ৰিট আদি পদাৰ্থৰ স্থিতিস্থাপক ধৰ্মৰ জ্ঞান অতি প্ৰয়োজনীয়। পুল, যান-বাহন, ৰ’পৱে আদিৰ নক্সাতো একেই কথা। এজনে ইয়াকো সুধিব পাৰে যে আমি এটা বিমান নক্সা কৰিব পাৰোনে যিটো অতি হালধীয়া কিন্তু যথেষ্ট শক্তিশালী? আমি এটা কৃত্ৰিম অংগ নক্সা কৰিব পাৰোনে যিটো হালধীয়া কিন্তু শক্তিশালী? ৰেলৱে ট্ৰেকৰ এটা বিশেষ আকৃতি কিয় Iৰ দৰে হয়? কাঁচ কিয় ভঙ্গুৰ কিন্তু পিতল নহয়? এনে প্ৰশ্নৰ উত্তৰ আৰম্ভ হয় তুলনামূলকভাৱে সহজ ধৰণৰ ভাৰ বা বলবোৰে কেনেকৈ বিভিন্ন কঠিন দেহবোৰ বিকৃত কৰিবলৈ কাম কৰে তাৰ অধ্যয়নৰ পৰা। এই অধ্যায়ত, আমি কঠিন পদাৰ্থবোৰৰ স্থিতিস্থাপক আচৰণ আৰু যান্ত্ৰিক ধৰ্ম অধ্যয়ন কৰিম যিয়ে বহুতো এনে প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিব।

৮.২ পীড়ন আৰু বিকৃতি

যেতিয়া দেহৰ ওপৰত বলবোৰ এনেদৰে প্ৰয়োগ কৰা হয় যে দেহটো স্থিতি সাম্যতাত থাকে, দেহটোৰ পদাৰ্থৰ প্ৰকৃতি আৰু বিকৃতিকাৰী বলৰ পৰিমাণৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি সৰু বা ডাঙৰ পৰিমাণে বিকৃত হয়। বহুতো পদাৰ্থত দৃশ্যমানভাৱে বিকৃতিটো লক্ষ্য কৰিব নোৱাৰিব পাৰি কিন্তু ই থাকে। যেতিয়া দেহটো বিকৃতিকাৰী বলৰ সন্মুখীন হয়, দেহটোত এটা পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলৰ বিকাশ হয়। এই পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বল প্ৰয়োগ কৰা বলৰ সমান পৰিমাণৰ কিন্তু বিপৰীত দিশত। প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলত পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলক পীড়ন বুলি জনা যায়। যদি $F$ হৈছে ক্ৰছ-ছেকচনলৈ লম্বভাৱে প্ৰয়োগ কৰা বল আৰু $A$ হৈছে দেহৰ ক্ৰছ ছেকচনৰ ক্ষেত্ৰফল

$$ \text{Magnitude of the stress} =F / A \tag{8.1}$$

পীড়নৰ SI একক হৈছে $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ বা পাস্কেল $(\mathrm{Pa})$ আৰু ইয়াৰ মাত্ৰিক সূত্ৰ হৈছে $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$।

যেতিয়া বাহ্যিক বল এটা কঠিন পদাৰ্থৰ ওপৰত কাম কৰে, ইয়াৰ মাত্ৰা সলনি কৰাৰ তিনিটা উপায় আছে। এইবোৰ চিত্ৰ ৮.১ত দেখুওৱা হৈছে। চিত্ৰ ৮.১(ক)ত, চিলিণ্ডাৰ এটাক ইয়াৰ ক্ৰছ-ছেকচন এলেকালৈ লম্বভাৱে প্ৰয়োগ কৰা দুটা সমান বলৰ দ্বাৰা টানি দীঘল কৰা হৈছে। এই ক্ষেত্ৰত প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলত পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলক টেনছাইল পীড়ন বুলি কোৱা হয়। যদি চিলিণ্ডাৰটো প্ৰয়োগ কৰা বলৰ ক্ৰিয়াৰ অধীনত সংকুচিত হয়, প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলত পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলক কম্প্ৰেছিভ পীড়ন বুলি জনা যায়। টেনছাইল বা কম্প্ৰেছিভ পীড়নক লংগিচিউডিনেল পীড়ন বুলিও কোৱা হয়।

উভয় ক্ষেত্ৰতে, চিলিণ্ডাৰৰ দৈৰ্ঘ্যত পৰিৱৰ্তন হয়। দৈৰ্ঘ্যৰ পৰিৱৰ্তন $\Delta L$ দেহৰ (এই ক্ষেত্ৰত চিলিণ্ডাৰ) মূল দৈৰ্ঘ্য $L$ৰ সৈতে লংগিচিউডিনেল ষ্ট্ৰেইন বুলি জনা যায়।

$$ \begin{equation*} \text { Longitudinal strain }=\frac{\Delta L}{L} \tag{8.2} \end{equation*} $$

অৱশ্যে, যদি দুটা সমান আৰু বিপৰীত বিকৃতিকাৰী বল চিলিণ্ডাৰৰ ক্ৰছ-ছেকচন এলেকাৰ সমান্তৰালভাৱে প্ৰয়োগ কৰা হয়, যেনেকৈ চিত্ৰ ৮.১(খ)ত দেখুওৱা হৈছে, চিলিণ্ডাৰৰ বিপৰীত মুখৰ মাজত আপেক্ষিক স্থানচ্যুতি হয়। প্ৰয়োগ কৰা স্পৰ্শক বলৰ বাবে বিকশিত প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলত পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলক টেনজেন্সিয়েল বা শ্বিয়েৰিং পীড়ন বুলি জনা যায়। প্ৰয়োগ কৰা স্পৰ্শক বলৰ ফলত, চিত্ৰ ৮.১(খ)ত দেখুওৱাৰ দৰে চিলিণ্ডাৰৰ বিপৰীত মুখৰ মাজত আপেক্ষিক স্থানচ্যুতি $\Delta x$ আছে। এনেদৰে উৎপন্ন হোৱা ষ্ট্ৰেইনক শ্বিয়েৰিং ষ্ট্ৰেইন বুলি জনা যায় আৰু ইয়াক মুখবোৰৰ আপেক্ষিক স্থানচ্যুতি $\Delta x$ৰ চিলিণ্ডাৰৰ দৈৰ্ঘ্য $L$ৰ সৈতে অনুপাত হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়।

$$ \begin{equation*} \text { Shearing strain }=\frac{\Delta x}{L}=\tan \theta \tag{8.3} \end{equation*} $$

য’ত $\theta$ হৈছে উলম্বৰ পৰা চিলিণ্ডাৰৰ কৌণিক স্থানচ্যুতি (চিলিণ্ডাৰৰ মূল অৱস্থান)। সাধাৰণতে $\theta$ অতি সৰু, $\tan \theta$ প্ৰায় কোণ $\theta$ৰ সমান, (যদি $\theta=10^{\circ}$, উদাহৰণস্বৰূপে, $\theta$ আৰু $\tan \theta$ৰ মাজত মাত্ৰ $1 \%$ৰ পাৰ্থক্য আছে )। ইয়াক দৃশ্যমান কৰিব পাৰি, যেতিয়া কিতাপ এখন হাতৰে হেঁচা মাৰি আৰু অনুভূমিকভাৱে ঠেলা হয়, যেনেকৈ চিত্ৰ ৮.২ (গ)ত দেখুওৱা হৈছে।

$$\text{Thus, shearing strain } =\tan \theta \approx \theta \tag{8.4}$$

চিত্ৰ ৮.১ (ঘ)ত, উচ্চ চাপত থকা তৰলত ৰখা কঠিন গোলক এটাক সকলো ফালে সমানে সংকুচিত কৰা হয়। তৰলৰ দ্বাৰা প্ৰয়োগ কৰা বল পৃষ্ঠৰ প্ৰতিটো বিন্দুত লম্ব দিশত কাম কৰে আৰু দেহটো হাইড্ৰলিক কম্প্ৰেছনৰ অধীনত বুলি কোৱা হয়। ইয়াৰ ফলত ইয়াৰ জ্যামিতিক আকাৰৰ কোনো পৰিৱৰ্তন নোহোৱাকৈ ইয়াৰ আয়তন হ্ৰাস পায়।

চিত্ৰ ৮.১ (ক) টেনছাইল পীড়নৰ অধীনত এটা চিলিণ্ডাৰিকেল দেহ ∆Lৰ দ্বাৰা দীঘল হয় (খ) চিলিণ্ডাৰ এটাত শ্বিয়েৰিং পীড়নে ইয়াক θ কোণেৰে বিকৃত কৰে (গ) শ্বিয়েৰিং পীড়নৰ সন্মুখীন হোৱা দেহ (ঘ) প্ৰতিটো বিন্দুত পৃষ্ঠলৈ লম্ব পীড়নৰ অধীনত কঠিন দেহ (হাইড্ৰলিক পীড়ন)। ভলিউমেট্ৰিক ষ্ট্ৰেইন হৈছে ∆V/V, কিন্তু আকাৰত কোনো পৰিৱৰ্তন নাই।

দেহটোৱে আভ্যন্তৰীণ পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বলবোৰৰ বিকাশ কৰে যিবোৰ তৰলৰ দ্বাৰা প্ৰয়োগ কৰা বলৰ সমান আৰু বিপৰীত (দেহটোৱে তৰলৰ পৰা উলিয়াই অনাৰ পিছত ইয়াৰ মূল আকাৰ আৰু আকাৰ পুনৰুদ্ধাৰ কৰে)। এই ক্ষেত্ৰত আভ্যন্তৰীণ পুনৰুদ্ধাৰকাৰী বল প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলক হাইড্ৰলিক পীড়ন বুলি জনা যায় আৰু পৰিমাণত হাইড্ৰলিক চাপৰ সমান (প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলত প্ৰয়োগ কৰা বল)।

হাইড্ৰলিক চাপৰ দ্বাৰা উৎপন্ন হোৱা ষ্ট্ৰেইনক ভলিউম ষ্ট্ৰেইন বুলি কোৱা হয় আৰু ইয়াক আয়তনৰ পৰিৱৰ্তন $(\Delta V)$ৰ মূল আয়তন $(V)$ৰ সৈতে অনুপাত হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়।

$$ \begin{equation*} \text { Volume Strain }=\frac{\Delta V}{V} \tag{8.5} \end{equation*} $$

ষ্ট্ৰেইন হৈছে মাত্ৰাৰ পৰিৱৰ্তনৰ মূল মাত্ৰাৰ সৈতে অনুপাত, ইয়াৰ কোনো একক বা মাত্ৰিক সূত্ৰ নাই।

৮.৩ হুকৰ নিয়ম

চিত্ৰ (৮.১)ত চিত্ৰিত পৰিস্থিতিবোৰত পীড়ন আৰু বিকৃতি বিভিন্ন ৰূপ লয়। সৰু বিকৃতিৰ বাবে পীড়ন আৰু বিকৃতি ইটোৰ সৈতে সিটোৰ সমানুপাতিক। ইয়াক হুকৰ নিয়ম বুলি জনা যায়।

এইদৰে,

পীড়ন $\propto$ বিকৃতি

$$ \begin{equation*} \text { stress }=k \times \text { strain } \tag{8.6} \end{equation*} $$

য’ত $k$ হৈছে সমানুপাতিকতা ধ্ৰুৱক আৰু ইলাষ্টিচিটি মডিউলাছ হিচাপে জনা যায়।

হুকৰ নিয়ম হৈছে এটা অভিজ্ঞতামূলক নিয়ম আৰু বেছিভাগ পদাৰ্থৰ বাবে বৈধ বুলি পোৱা যায়। অৱশ্যে, কিছুমান পদাৰ্থ আছে যিবোৰে এই ৰৈখিক সম্পৰ্ক প্ৰদৰ্শন নকৰে।

৮.৪ পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰ

টেনছাইল পীড়নৰ অধীনত দিয়া পদাৰ্থৰ বাবে পীড়ন আৰু বিকৃতিৰ মাজৰ সম্পৰ্ক প্ৰায়োগিকভাৱে পোৱা যাব পাৰি। টেনছাইল ধৰ্মৰ এটা প্ৰমাণিত পৰীক্ষাত, পৰীক্ষাৰ চিলিণ্ডাৰ বা তাঁৰ এডাল প্ৰয়োগ কৰা বলৰ দ্বাৰা টানি দীঘল কৰা হয়। দৈৰ্ঘ্যৰ ভগ্নাংশ পৰিৱৰ্তন (ষ্ট্ৰেইন) আৰু ষ্ট্ৰেইন সৃষ্টি কৰিবলৈ প্ৰয়োজনীয় প্ৰয়োগ কৰা বল ৰেকৰ্ড কৰা হয়। প্ৰয়োগ কৰা বল ক্ৰমান্বয়ে বৃদ্ধি কৰা হয় আৰু দৈৰ্ঘ্যৰ পৰিৱৰ্তন লক্ষ্য কৰা হয়। পীড়ন (যিটো প্ৰতি একক ক্ষেত্ৰফলত প্ৰয়োগ কৰা বলৰ সমান পৰিমাণৰ) আৰু উৎপন্ন হোৱা ষ্ট্ৰেইনৰ মাজত এটা গ্ৰাফ প্লট কৰা হয়। ধাতুৰ বাবে এটা সাধাৰণ গ্ৰাফ চিত্ৰ ৮.২ত দেখুওৱা হৈছে। কম্প্ৰেছন আৰু শ্বিয়েৰ পীড়নৰ বাবে একে ধৰণৰ গ্ৰাফো পোৱা যাব পাৰে। পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰবোৰ পদাৰ্থৰ পৰা পদাৰ্থলৈ ভিন্ন হয়। এই বক্ৰবোৰে আমাক বুজাবলৈ সহায় কৰে যে দিয়া পদাৰ্থটোৱে বঢ়া ভাৰৰ সৈতে কেনেকৈ বিকৃত হয়। গ্ৰাফৰ পৰা, আমি দেখিব পাৰো যে $\mathrm{O}$ৰ পৰা $\mathrm{A}$লৈ অঞ্চলত, বক্ৰটো ৰৈখিক। এই অঞ্চলত, হুকৰ নিয়ম মানি চলে। প্ৰয়োগ কৰা বল আঁতৰোৱাৰ পিছত দেহটোৱে ইয়াৰ মূল মাত্ৰা পুনৰুদ্ধাৰ কৰে। এই অঞ্চলত, কঠিন পদাৰ্থটোৱে স্থিতিস্থাপক দেহৰ দৰে আচৰণ কৰে।

চিত্ৰ ৮.২ ধাতুৰ বাবে এটা সাধাৰণ পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰ।

Aৰ পৰা Bলৈ অঞ্চলত, পীড়ন আৰু বিকৃতি সমানুপাতিক নহয়। তথাপিও, ভাৰ আঁতৰোৱাৰ পিছতো দেহটো ইয়াৰ মূল মাত্ৰালৈ ঘূৰি আহে। বক্ৰৰ $\mathrm{B}$ বিন্দুটোক য়িল্ড পইণ্ট (ইলাষ্টিক লিমিট হিচাপেও জনা যায়) বুলি জনা যায় আৰু সংশ্লিষ্ট পীড়নক পদাৰ্থৰ য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথ $\left(\sigma_{y}\right)$ বুলি জনা যায়।

যদি ভাৰ আৰু বৃদ্ধি কৰা হয়, বিকশিত পীড়নে য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথক অতিক্ৰম কৰে আৰু পীড়নৰ সৰু পৰিৱৰ্তনৰ বাবেও বিকৃতি দ্ৰুতগতিত বৃদ্ধি পায়। $B$ আৰু $D$ৰ মাজৰ বক্ৰৰ অংশই ইয়াক দেখুৱায়। যেতিয়া ভাৰ আঁতৰোৱা হয়, $\mathrm{B}$ আৰু $\mathrm{D}$ৰ মাজৰ কিছুমান বিন্দু $\mathrm{C}$ত কওক, দেহটোৱে ইয়াৰ মূল মাত্ৰা পুনৰুদ্ধাৰ নকৰে। এই ক্ষেত্ৰত, পীড়ন শূন্য হ’লেও, বিকৃতি শূন্য নহয়। পদাৰ্থটোৰ স্থায়ী ছেট আছে বুলি কোৱা হয়। বিকৃতিটোক প্লাষ্টিক বিকৃতি বুলি কোৱা হয়। গ্ৰাফৰ $D$ বিন্দুটো হৈছে পদাৰ্থৰ আল্টিমেট টেনছাইল ষ্ট্ৰেংথ $\left(\sigma_{u}\right)$। এই বিন্দুৰ পিছত, হ্ৰাস কৰা প্ৰয়োগ কৰা বলৰ দ্বাৰাও অতিৰিক্ত বিকৃতি উৎপন্ন হয় আৰু $\mathrm{E}$ বিন্দুত ভংগ হয়। যদি আল্টিমেট ষ্ট্ৰেংথ আৰু ভংগ বিন্দু $\mathrm{D}$ আৰু $\mathrm{E}$ ওচৰত থাকে, পদাৰ্থটো ভঙ্গুৰ বুলি কোৱা হয়। যদি সিহঁত বহু দূৰত থাকে, পদাৰ্থটোক নমনীয় বুলি কোৱা হয়।

চিত্ৰ ৮.৩ হৃদয়ৰ পৰা তেজ কঢ়িওৱা ডাঙৰ নলী (জাহাজ) অৰ্টাৰ স্থিতিস্থাপক কলাৰ বাবে পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰ।

পূৰ্বতে উল্লেখ কৰাৰ দৰে, পীড়ন-বিকৃতি আচৰণ পদাৰ্থৰ পৰা পদাৰ্থলৈ ভিন্ন হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ৰবৰক ইয়াৰ মূল দৈৰ্ঘ্যৰ কেইবাগুণো টানি দীঘল কৰিব পাৰি আৰু তেতিয়াও ইয়াৰ মূল আকাৰলৈ ঘূৰি আহে। চিত্ৰ ৮.৩ত হৃদয়ত উপস্থিত থকা অৰ্টাৰ স্থিতিস্থাপক কলাৰ বাবে পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰ দেখুওৱা হৈছে। লক্ষ্য কৰক যে যদিও স্থিতিস্থাপক অঞ্চল অতি ডাঙৰ, পদাৰ্থটোৱে বেছিভাগ অঞ্চলত হুকৰ নিয়ম মানি নচলে। দ্বিতীয়তে, কোনো স্পষ্টভাৱে সংজ্ঞায়িত প্লাষ্টিক অঞ্চল নাই। অৰ্টাৰ কলা, ৰবৰ আদি পদাৰ্থবোৰক ডাঙৰ বিকৃতি সৃষ্টি কৰিবলৈ টানি দীঘল কৰিব পাৰি তাক ইলাষ্টোমাৰ বুলি কোৱা হয়।

৮.৫ স্থিতিস্থাপক মডিউলাই

পীড়ন-বিকৃতি বক্ৰৰ স্থিতিস্থাপক সীমাৰ ভিতৰৰ সমানুপাতিক অঞ্চল (চিত্ৰ ৮.২ত অঞ্চল OA) গঠনমূলক আৰু উৎপাদন অভিযান্ত্ৰিক নক্সাৰ বাবে অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ। পীড়ন আৰু বিকৃতিৰ অনুপাত, যাক ইলাষ্টিচিটি মডিউলাছ বুলি কোৱা হয়, পদাৰ্থৰ বৈশিষ্ট্য হিচাপে পোৱা যায়।

৮.৫.১ ইয়ংৰ মডিউলাছ

প্ৰায়োগিক পৰ্যবেক্ষণে দেখুৱায় যে দিয়া পদাৰ্থৰ বাবে, উৎপন্ন হোৱা বিকৃতিৰ পৰিমাণ একে হয় পীড়ন টেনছাইল নে কম্প্ৰেছিভ। টেনছাইল (বা কম্প্ৰেছিভ) পীড়ন $(\sigma)$ৰ লংগিচিউডিনেল ষ্ট্ৰেইন $(\varepsilon)$ৰ সৈতে অনুপাতক ইয়ংৰ মডিউলাছ বুলি সংজ্ঞায়িত কৰা হয় আৰু ইয়াক $Y$ চিহ্নৰে চিহ্নিত কৰা হয়।

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\sigma}{\varepsilon} \tag{8.7} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (৮.১) আৰু (৮.২)ৰ পৰা, আমি পাইছো

$$ \begin{align*} Y & =(F / A) /(\Delta L / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta L) \tag{8.8} \end{align*} $$

ষ্ট্ৰেইন হৈছে মাত্ৰাহীন ৰাশি হোৱা হেতুকে, ইয়ংৰ মডিউলাছৰ একক পীড়নৰ এককৰ সৈতে একে অৰ্থাৎ $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ বা পাস্কেল (Pa)। তালিকা ৮.১ত কিছুমান পদাৰ্থৰ ইয়ংৰ মডিউলাই আৰু য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথৰ মান দিয়া হৈছে।

তালিকা ৮.১ত দিয়া তথ্যৰ পৰা, দেখা যায় যে ধাতুৰ বাবে ইয়ংৰ মডিউলাইবোৰ ডাঙৰ।

তালিকা ৮.১ কিছুমান পদাৰ্থৰ ইয়ংৰ মডিউলাই আৰু য়িল্ড ষ্ট্ৰেংথ

কম্প্ৰেছনৰ অধীনত পৰীক্ষা কৰা পদাৰ্থ

গতিকে, এই পদাৰ্থবোৰে দৈৰ্ঘ্যত সৰু পৰিৱৰ্তন সৃষ্টি কৰিবলৈ ডাঙৰ বলৰ প্ৰয়োজন হয়। $0.1 \mathrm{~cm}^{2}$ ক্ৰছছেকচন এলেকাৰ পাতল ষ্টিলৰ তাঁৰ এডালৰ দৈৰ্ঘ্য $0.1 \%$ বৃদ্ধি কৰিবলৈ, $2000 \mathrm{~N}$ বলৰ প্ৰয়োজন হয়। একে ক্ৰছ-ছেকচন এলেকাৰ এলুমিনিয়াম, পিতল আৰু কপাৰৰ তাঁৰত একে বিকৃতি উৎপন্ন কৰিবলৈ প্ৰয়োজনীয় বল ক্ৰমে $690 \mathrm{~N}$, $900 \mathrm{~N}$ আৰু $1100 \mathrm{~N}$। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে ষ্টিল কপাৰ, পিতল আৰু এলুমিনিয়ামতকৈ বেছি স্থিতিস্থাপক। এই কাৰণতে ডাঙৰ ডাঙৰ মেচিন আৰু গঠনমূলক নক্সাত ষ্টিলক পছন্দ কৰা হয়। কাঠ, হাড়, কংক্ৰিট আৰু কাঁচৰ ইয়ংৰ মডিউলাই বৰ সৰু।

উদাহৰণ ৮.১ গঠনমূলক ষ্টিলৰ দণ্ড এটাৰ ব্যাসাৰ্ধ $10 \mathrm{~mm}$ আৰু দৈৰ্ঘ্য $1.0 \mathrm{~m}$। $100 \mathrm{kN}$ বল এটাই ইয়াক ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যৰ বাবে টানি দীঘল কৰে। গণনা কৰক (ক) পীড়ন, (খ) দীঘলীকৰণ, আৰু (গ) দণ্ডৰ বিকৃতি। গঠনমূলক ষ্টিলৰ ইয়ংৰ মডিউলাছ হৈছে $2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$।

উত্তৰ আমি ধৰি লওঁ যে দণ্ডটো এটা মূৰত ক্লেম্পৰে ধৰি ৰখা হৈছে, আৰু বল $F$ আনটো মূৰত, দণ্ডৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সমান্তৰালভাৱে প্ৰয়োগ কৰা হয়। তেতিয়া দণ্ডৰ পীড়ন দিয়া হয়

$$ \begin{aligned} \text { Stress } & =\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi r^{2}} \\ & =\frac{100 \times 10^{3} \mathrm{~N}}{3.14 \times\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}} \\ & =3.18 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \end{aligned} $$

দীঘলীকৰণ,

$$ \begin{aligned} \Delta L & =\frac{(F / A) L}{Y} \\ & =\frac{\left(3.18 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)(1 \mathrm{~m})}{2 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}} \\ & =1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \\ & =1.59 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

ষ্ট্ৰেইন দিয়া হয়

$$ \begin{aligned} \text{Strain }& = \Delta L / L \\ & =\left(1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right) /(1 \mathrm{~m}) \\ & =1.59 \times 10^{-3} \\ & =0.16 \% \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৮.২ দৈৰ্ঘ্য $2.2 \mathrm{~m}$ৰ কপাৰ তাঁৰ এডাল আৰু দৈৰ্ঘ্য $1.6 \mathrm{~m}$ৰ ষ্টিল তাঁৰ এডাল, দুয়োটাৰে ব্যাস $3.0 \mathrm{~mm}$, মূৰৰ পৰা মূৰলৈ সংযোগ কৰা হৈছে। যেতিয়া ভাৰৰ দ্বাৰা টানি দীঘল কৰা হয়, নেট দীঘলীকৰণ $0.70 \mathrm{~mm}$ বুলি পোৱা যায়। প্ৰয়োগ কৰা ভাৰ প্ৰাপ্ত কৰক।

উত্তৰ কপাৰ আৰু ষ্টিল তাঁৰবোৰ টেনছাইল পীড়নৰ অধীনত কিয়নো সিহঁতৰ একে টেনশ্যন (ভাৰ $W$ৰ সমান) আৰু একে ক্ৰছ-ছেকচন এলেকা $A$ আছে। সমীকৰণ (৮.৭)ৰ পৰা আমি পীড়ন $=$ ষ্ট্ৰেইন $\times$ ইয়ংৰ মডিউলাছ পাইছো। গতিকে

$$ W / A=Y_{c} \times\left(\Delta L_{c} / L_{c}\right)=Y_{s} \times\left(\Delta L_{s} / L_{s}\right) $$

য’ত সাবস্ক্ৰিপ্টবোৰ $c$ আৰু $s$ ক্ৰমে কপাৰ আৰু ষ্টেইনলেছ ষ্টিলক সূচায়। বা,

$$ \Delta L_{c} / \Delta L_{s}=\left(Y_{s} / Y_{c}\right) \times\left(L_{c} / L_{s}\right) $$

দিয়া আছে $$ L_{c}=2.2 \mathrm{~m}, L_{s}=1.6 \mathrm{~m} , $$

তালিকা $$9.1 Y_{c}=1.1 \times 10^{11} \mathrm{~N}^{-2}$$ৰ পৰা, আৰু

$$ Y_{s}^{c}=2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{-2} . $$

$$\Delta L_{c} / \Delta L_{s}=\left(2.0 \times 10^{11} / 1.1 \times 10^{11}\right) \times(2.2 / 1.6)=2.5$$.

মুঠ দীঘলীকৰণ দিয়া আছে

$$ \Delta L_{c}+\Delta L_{s}=7.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

ওপৰৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰি,

$$ \Delta L _{c}=5.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} \text {, and } \Delta L _{s}=2.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

গতিকে

$W=\left(A \times Y_{c} \times \Delta L_{c}\right) / L_{c}$

$=\pi\left(1.5 \times 10^{-3}\right)^{2} \times\left[\left(5.0 \times 10^{-4} \times 1.1 \times 10^{11}\right) / 2.2\right]$

$=1.8 \times 10^{2} \mathrm{~N}$

উদাহৰণ ৮.৩ চাৰ্কাছত মানুহৰ পিৰামিডত, সন্তুলিত গোটৰ মুঠ ওজন এজন শিল্পীৰ ভৰিত সমৰ্থিত হৈ থাকে যিজনে ইয়াৰ পিঠিত শুই আছে (চিত্ৰ ৮.৪ত দেখুওৱাৰ দৰে)। কাৰ্য্য কৰা সকলো ব্যক্তিৰ একত্ৰিত ভৰ, আৰু টেবুল, ফলক আদিৰ জড়িত ভৰ হৈছে $280 \mathrm{~kg}$। পিৰামিডৰ তলত ইয়াৰ পিঠিত শুই থকা শিল্পীজনৰ ভৰ হৈছে $60 \mathrm{~kg}$। এই শিল্পীজনৰ প্ৰতিটো উৰুৰ হাড়ৰ (ফেমাৰ) দৈৰ্ঘ্য $50 \mathrm{~cm}$ আৰু প্ৰভাৱশালী ব্যাসাৰ্ধ $2.0 \mathrm{~cm}$। অতিৰিক্ত ভাৰৰ অধীনত প্ৰতিটো উৰুৰ হাড় কিমান পৰিমাণে সংকুচিত হয় নিৰ্ধাৰণ কৰক।

চিত্ৰ ৮.৪ চাৰ্কাছত মানুহৰ পিৰামিড।

উত্তৰ সকলো শিল্পী, টেবুল, ফলক আদিৰ মুঠ ভৰ $\quad=280 \mathrm{~kg}$

শিল্পীৰ ভৰ $=60 \mathrm{~kg}$

পিৰামিডৰ তলত থকা শিল্পীৰ ভৰিয়ে সমৰ্থিত ভৰ

$=280-60=220 \mathrm{~kg}$

এই সমৰ্থিত ভৰৰ ওজন

$=220 \mathrm{~kg} \mathrm{wt} .=220 \times 9.8 \mathrm{~N}=2156 \mathrm{~N}$.

শিল্পীৰ প্ৰতিটো উৰুৰ হাড়ৰ দ্বাৰা সমৰ্থিত ওজন $=1 / 2(2156) \mathrm{N}=1078 \mathrm{~N}$.

তালিকা ৯.১ৰ পৰা, হাড়ৰ বাবে ইয়ংৰ মডিউলাছ দিয়া হৈছে

$$ Y=9.4 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \text {. } $$

প্ৰতিটো উৰুৰ হাড়ৰ দৈৰ্ঘ্য $L=0.5 \mathrm{~m}$ উৰুৰ হাড়ৰ ব্যাসাৰ্ধ $=2.0 \mathrm{~cm}$

এইদৰে উৰুৰ হাড়ৰ ক্ৰছ-ছেকচন এলেকা $A=\pi \times\left(2 \times 10^{-2}\right)^{2} \mathrm{~m}^{2}=1.26 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$.

সমীকৰণ (৯.৮) ব্যৱহাৰ কৰি, প্ৰতিটো উৰুৰ হাড়ৰ সংকোচন $(\Delta L)$ গণনা কৰিব পাৰি

$$ \begin{aligned} \Delta L & =[(F \times L) /(Y \times A)] \\ & =\left[(1078 \times 0.5) /\left(9.4 \times 10^{9} \times 1.26 \times 10^{-3}\right)\right] \\ & =4.55 \times 10^{-5} \mathrm{~m} \text { or } 4.55 \times 10^{-3} \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

এইটো এটা অতি সৰু পৰিৱৰ্তন! উৰুৰ হাড়ত ভগ্নাংশ হ্ৰাস হৈছে $\Delta L / L=0.000091$ বা $0.0091 \%$

৮.৫.২ শ্বিয়েৰ মডিউলাছ

শ্বিয়েৰিং পীড়নৰ সংশ্লিষ্ট শ্বিয়েৰিং ষ্ট্ৰেইনৰ অনুপাতক পদাৰ্থৰ শ্বিয়েৰ মডিউলাছ বুলি কোৱা হয় আৰু ইয়াক $G$ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। ইয়াক মডিউলাছ অফ ৰিজিডিটি বুলিও কোৱা হয়।

$$ \begin{align*} G & =\text { shearing stress }\left(\sigma_{\mathrm{s}}\right) / \text { shearing strain } \\ G & =(F / A) /(\Delta x / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta x) \tag{8.10} \end{align*} $$

একেদৰে, সমীকৰণ (৯.৪)ৰ পৰা

$$ \begin{align*} G & =(F / A) / \theta \\ & =F /(A \times \theta) \tag{8.11} \end{align*} $$

শ্বিয়েৰিং পীড়ন $\sigma_{\mathrm{s}}$ক এনেদৰেও প্ৰকাশ কৰিব পাৰি

$$ \begin{equation*} \sigma_{\mathrm{s}}=G \times \theta \tag{8.12} \end{equation*} $$

শ্বিয়েৰ মডিউলাছৰ SI একক হৈছে $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ বা $\mathrm{Pa}$। কিছুমান সাধাৰণ পদাৰ্থৰ শ্বিয়েৰ মডিউলাই তালিকা ৯.২ত দিয়া হৈছে। দেখা যাব পাৰে যে শ্বিয়েৰ মডিউলাছ (বা মডিউলাছ অফ ৰিজিডিটি) সাধাৰণতে ইয়ংৰ মডিউলাছতকৈ কম (তালিকা ৯.১ৰ পৰা)। বেছিভাগ পদাৰ্থৰ বাবে $G \approx Y / 3$।

তালিকা ৮.২ কিছুমান সাধাৰণ পদাৰ্থৰ শ্বিয়েৰ মডিউলাই (G)

উদাহৰণ ৮.৪ ৫০ $\mathrm{cm}$ বাহু আৰু $10 \mathrm{~cm}$ ডাঠৰ বৰ্গাকাৰ লেড শ্লেব এটাক শ্বিয়েৰিং বলৰ (ইয়াৰ সংকীৰ্ণ মুখত) সন্মুখীন কৰোৱা হয় $9.0 \times$ $10^{4} \mathrm{~N}$। তলৰ কাষটো মজিয়ালৈ ৰিভেট কৰা হৈছে। ওপৰৰ কাষটো কিমান স্থানচ্যুত হ’ব?

উত্তৰ লেড শ্লেবটো স্থিৰ কৰা হৈছে আৰু বলটো চিত্ৰ ৮.৬ত দেখুওৱাৰ দৰে সংকীৰ্ণ মুখৰ সমান্তৰালভাৱে প্ৰয়োগ কৰা হয়। যি মুখৰ সমান্তৰালভাৱে এই বল প্ৰয়োগ কৰা হয় তাৰ এলেকা

$$ \begin{aligned} A & =50 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm} \\ & =0.5 \mathrm{~m} \times 0.1 \mathrm{~m} \\ & =0.05 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

গতিকে, প্ৰয়োগ