বেছিভাগ বিজ্ঞানত এটা প্ৰজন্মে আন এটা প্ৰজ্ঞই নিৰ্মাণ কৰা বস্তু ভাঙি পেলায় আৰু এজনে স্থাপন কৰা বস্তু আনজনে নাইকিয়া কৰে। গণিতত মাত্ৰ প্ৰতিটো প্ৰজ্ঞই পুৰণি গঠনটোত নতুন কাহিনী সৃষ্টি কৰে। - হাৰ্মান হেংকেল

10.1 পৰিচয়

আমাৰ দৈনন্দিন জীৱনত, আমি বহুতো প্ৰশ্নৰ সন্মুখীন হওঁ যেনে - তোমাৰ উচ্চতা কিমান? এজন ফুটবল খেলুৱৈয়ে কিদৰে বলটো মাৰিব লাগে যাতে তেওঁৰ দলৰ আন এজন খেলুৱৈলৈ পাছ দিব পাৰে? লক্ষ্য কৰক যে প্ৰথম প্ৰশ্নটোৰ এটা সম্ভাব্য উত্তৰ হ’ব পাৰে 1.6 মিটাৰ, এনে এটা ৰাশি যিয়ে কেৱল এটা মান (পৰিমাণ) জড়িত কৰে যিটো এটা বাস্তৱ সংখ্যা। এনে ৰাশিবোৰক স্কেলাৰ বোলে। কিন্তু দ্বিতীয় প্ৰশ্নটোৰ উত্তৰ হৈছে এটা ৰাশি (বল বুলি কোৱা) যিয়ে স্নায়ুৰ শক্তি (পৰিমাণ) আৰু দিশ (য’ত আন খেলুৱৈজন অৱস্থিত) জড়িত কৰে। এনে ৰাশিবোৰক ভেক্টৰ বোলে। গণিত, পদাৰ্থ বিজ্ঞান আৰু অভিযান্ত্ৰিকীত, আমি প্ৰায়েই দুয়ো ধৰণৰ ৰাশিৰ সন্মুখীন হওঁ, যেনে স্কেলাৰ ৰাশি যেনে দৈৰ্ঘ্য, ভৰ, সময়, দূৰত্ব, বেগ, কালি, আয়তন, উষ্ণতা, কাম, টকা, ভল্টেজ, ঘনত্ব, ৰোধ আদি আৰু ভেক্টৰ ৰাশি যেনে সৰণ, বেগ, ত্বৰণ, বল, ওজন, ভৰবেগ, বিদ্যুৎ ক্ষেত্ৰৰ তীব্ৰতা আদি।

ডব্লিউ.আৰ. হেমিল্টন $(1805-1865)$

এই অধ্যায়ত, আমি ভেক্টৰৰ বিষয়ে কিছুমান মৌলিক ধাৰণা, ভেক্টৰৰ ওপৰত বিভিন্ন ক্ৰিয়া, আৰু সেইবোৰৰ বীজগণিতীয় আৰু জ্যামিতিক ধৰ্মসমূহ অধ্যয়ন কৰিম। এই দুয়ো ধৰণৰ ধৰ্মসমূহ, যেতিয়া একেলগে বিবেচনা কৰা হয়, ভেক্টৰৰ ধাৰণাটোৰ সম্পূৰ্ণ উপলব্ধি দিয়ে, আৰু ওপৰত উল্লেখ কৰা বিভিন্ন ক্ষেত্ৰত ইয়াৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰয়োগযোগ্যতালৈ নিয়ে।

10.2 কিছুমান মৌলিক ধাৰণা

ধৰি লওক ’ $l$ ’ সমতল বা ত্ৰিমাতিক স্থানত থকা যিকোনো সৰল ৰেখা। এই ৰেখাটোক তীৰৰ মূৰৰ সহায়ত দুটা দিশ দিয়া যাব পাৰে। এই দিশবোৰৰ এটাৰ সৈতে নিৰ্ধাৰিত ৰেখাক এটা নিৰ্দেশিত ৰেখা বোলে (চিত্ৰ 10.1 (i), (ii))।

চিত্ৰ 10.1

এতিয়া লক্ষ্য কৰক যে যদি আমি ৰেখা $l$ ক ৰেখাখণ্ড AB লৈ সীমাবদ্ধ কৰোঁ, তেন্তে ৰেখা $l$ ত দুটা দিশৰ এটাৰ সৈতে এটা পৰিমাণ নিৰ্ধাৰণ কৰা হয়, যাতে আমি এটা নিৰ্দেশিত ৰেখাখণ্ড পাওঁ (চিত্ৰ 10.1(iii))। এইদৰে, এটা নিৰ্দেশিত ৰেখাখণ্ডৰ পৰিমাণৰ লগতে দিশো থাকে।

সংজ্ঞা 1 এটা ৰাশি যি পৰিমাণৰ লগতে দিশো থাকে তাক ভেক্টৰ বোলে।

লক্ষ্য কৰক যে এটা নিৰ্দেশিত ৰেখাখণ্ড হৈছে এটা ভেক্টৰ (চিত্ৰ 10.1(iii)), যাক $\overrightarrow{{}AB}$ বা কেৱল $\vec{a}$ হিচাপে চিহ্নিত কৰা হয়, আৰু ‘ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}AB}$’ বা ‘ভেক্টৰ $\vec{a}$’ হিচাপে পঢ়া হয়।

যি বিন্দু $A$ৰ পৰা ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}AB}$ আৰম্ভ হয় তাক ইয়াৰ আৰম্ভণি বিন্দু বোলে, আৰু যি বিন্দু $B$ত ই শেষ হয় তাক ইয়াৰ অন্তিম বিন্দু বোলে। ভেক্টৰ এটাৰ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্বক ভেক্টৰটোৰ পৰিমাণ (বা দৈৰ্ঘ্য) বোলে, যাক $|\overrightarrow{{}AB}|$, বা $|\vec{a}|$, বা $a$ হিচাপে চিহ্নিত কৰা হয়। তীৰটোৱে ভেক্টৰটোৰ দিশ সূচায়।

টোকা যিহেতু দৈৰ্ঘ্য কেতিয়াও ঋণাত্মক নহয়, সেয়েহে $|\vec{a}|<0$ চিহ্নটোৰ কোনো অৰ্থ নাই।

অৱস্থান ভেক্টৰ

শ্ৰেণী XI ৰ পৰা, ত্ৰিমাতিক সোঁহাতীয়া আয়তাকাৰ স্থানাংক ব্যৱস্থাটো (চিত্ৰ 10.2(i)) মনত কৰক। স্থানত এটা বিন্দু $P$ বিবেচনা কৰক, যি মূলবিন্দু $O(0,0,0)$ৰ সাপেক্ষে $(x, y, z)$ স্থানাংক বহন কৰে। তেতিয়া, ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}OP}$ যি $O$ আৰু $P$ ক্ৰমে ইয়াৰ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম বিন্দু হিচাপে লয়, তাক $P$ বিন্দুটোৰ $O$ৰ সাপেক্ষে অৱস্থান ভেক্টৰ বোলে। দূৰত্বৰ সূত্ৰ (শ্ৰেণী XI ৰ পৰা) ব্যৱহাৰ কৰি, $\overrightarrow{{}OP}$ (বা $\vec{r}$) ৰ পৰিমাণ দিয়া হয়

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

প্ৰকৃততে, বিন্দু $A, B, C$ আদিৰ মূলবিন্দু $O$ৰ সাপেক্ষে অৱস্থান ভেক্টৰবোৰক ক্ৰমে $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ আদিৰ দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয় (চিত্ৰ 10.2 (ii))।

চিত্ৰ 10.2

দিক কোসাইন

চিত্ৰ 10.3 ত থকাৰ দৰে বিন্দু $P(x, y, z)$ ৰ অৱস্থান ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}OP}$ (বা $\vec{r}$) বিবেচনা কৰক। ভেক্টৰ $\vec{r}$ ৰ দ্বাৰা $x, y$ আৰু $z$-অক্ষৰ ধনাত্মক দিশৰ সৈতে কৰা কোণবোৰ $\alpha$, $\beta, \gamma$ ক ইয়াৰ দিক কোণ বোলে। এই কোণবোৰৰ কোসাইন মান, অৰ্থাৎ $\cos \alpha, \cos \beta$ আৰু $\cos \gamma$ ক ভেক্টৰ $\vec{r}$ ৰ দিক কোসাইন বোলে, আৰু সাধাৰণতে ক্ৰমে $l, m$ আৰু $n$ ৰ দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয়।

চিত্ৰ 10.3 ৰ পৰা, এজনে লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে ত্ৰিভুজ OAP সমকোণী, আৰু ইয়াত, আমি $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ আছে যিয়ে $|\vec{r}|)$ ক সূচায়। একেদৰে, সমকোণী ত্ৰিভুজ OBP আৰু OCP ৰ পৰা, আমি $\cos \beta=\frac{y}{r}$ আৰু $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ লিখিব পাৰোঁ। এইদৰে, P বিন্দুটোৰ স্থানাংকবোৰক $(l r, m r, n r)$ হিচাপেও প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। সংখ্যাবোৰ $l r, m r$ আৰু $n r$, যি দিক কোসাইনৰ সমানুপাতিক, তাক ভেক্টৰ $\vec{r}$ ৰ দিক অনুপাত বোলে, আৰু ক্ৰমে $a, b$ আৰু $c$ ৰ দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয়।

টোকা এজনে লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ কিন্তু সাধাৰণতে $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$।

10.3 ভেক্টৰৰ প্ৰকাৰ

শূন্য ভেক্টৰ এটা ভেক্টৰ যাৰ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম বিন্দু মিলি যায়, তাক শূন্য ভেক্টৰ (বা নাল ভেক্টৰ) বোলে, আৰু $\overrightarrow{{}0}$ হিচাপে চিহ্নিত কৰা হয়। শূন্য ভেক্টৰক নিৰ্দিষ্ট দিশ দিয়া নাযায় কিয়নো ইয়াৰ পৰিমাণ শূন্য। বা, আন প্ৰকাৰে ক’বলৈ গ’লে, ইয়াৰ যিকোনো দিশ থাকিব পাৰে বুলি গণ্য কৰিব পাৰি। ভেক্টৰবোৰ $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ ৰ দ্বাৰা শূন্য ভেক্টৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে,

একক ভেক্টৰ এটা ভেক্টৰ যাৰ পৰিমাণ একক (অৰ্থাৎ, 1 একক) তাক একক ভেক্টৰ বোলে। দিয়া ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ দিশত থকা একক ভেক্টৰক $\hat{a}$ ৰ দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয়।সহ-আৰম্ভণি ভেক্টৰ দুটা বা ততোধিক ভেক্টৰ যি একে আৰম্ভণি বিন্দু বহন কৰে তাক সহ-আৰম্ভণি ভেক্টৰ বোলে।

সমৰেখীয় ভেক্টৰ দুটা বা ততোধিক ভেক্টৰক সমৰেখীয় বুলি কোৱা হয় যদি সিহঁত একে ৰেখাৰ সমান্তৰাল হয়, তেওঁলোকৰ পৰিমাণ আৰু দিশৰ পৰা স্বত্বেও।

সমান ভেক্টৰ দুটা ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ক সমান বুলি কোৱা হয়, যদি তেওঁলোকৰ পৰিমাণ আৰু দিশ একে হয় তেওঁলোকৰ আৰম্ভণি বিন্দুৰ অৱস্থানৰ পৰা স্বত্বেও, আৰু $\vec{a}=\vec{b}$ হিচাপে লিখা হয়।

ভেক্টৰৰ ঋণাত্মক এটা ভেক্টৰ যাৰ পৰিমাণ দিয়া ভেক্টৰৰ (যেনে, $\overrightarrow{{}AB}$) সৈতে একে, কিন্তু দিশ ইয়াৰ বিপৰীত, তাক দিয়া ভেক্টৰৰ ঋণাত্মক বোলে। উদাহৰণস্বৰূপে, ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}BA}$ হৈছে ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}AB}$ ৰ ঋণাত্মক, আৰু $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ হিচাপে লিখা হয়।

টোকা ওপৰত সংজ্ঞায়িত ভেক্টৰবোৰ এনে যে ইয়াৰ যিকোনো এটাক ইয়াৰ পৰিমাণ আৰু দিশ সলনি নকৰাকৈ ইয়াৰ সমান্তৰাল স্থানান্তৰৰ সাপেক্ষত কৰিব পাৰি। এনে ভেক্টৰবোৰক মুক্ত ভেক্টৰ বোলে। এই অধ্যায়টো জুৰি, আমি কেৱল মুক্ত ভেক্টৰৰ সৈতেহে ব্যৱহাৰ কৰিম।

উদাহৰণ 1 দক্ষিণৰ পশ্চিমে $40 km, 30^{\circ}$ সৰণৰ চিত্ৰণ প্ৰতিনিধিত্ব কৰক।

সমাধান ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}OP}$ ৰ দ্বাৰা প্ৰয়োজনীয় সৰণ প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয় (চিত্ৰ 10.4)।

চিত্ৰ 10.4

উদাহৰণ 2 তলৰ জোখবোৰক শ্ৰেণীভুক্ত কৰক স্কেলাৰ আৰু ভেক্টৰ হিচাপে।

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ উত্তৰৰ ফালে

সমাধান

(i) সময়-স্কেলাৰ

(ii) আয়তন-স্কেলাৰ

(iii) বল-ভেক্টৰ

(iv) দ্ৰুতি-স্কেলাৰ

(v) ঘনত্ব-স্কেলাৰ

(vi) বেগ-ভেক্টৰ

উদাহৰণ 3 চিত্ৰ 10.5 ত, ভেক্টৰবোৰৰ কোনবোৰ:

(i) সমৰেখীয়

(ii) সমান

(iii) সহ-আৰম্ভণি

সমাধান

(i) সমৰেখীয় ভেক্টৰ: $\vec{a}, \vec{c}$ আৰু $\vec{d}$।

(ii) সমান ভেক্টৰ : $\vec{a}$ আৰু $\vec{c}$।

(iii) সহ-আৰম্ভণি ভেক্টৰ : $\vec{b}, \vec{c}$ আৰু $\vec{d}$।

10.4 ভেক্টৰৰ যোগ

এটা ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}AB}$ ৰ অৰ্থ হৈছে কেৱল A বিন্দুৰ পৰা বিন্দু $B$ লৈ সৰণ। এতিয়া এটা পৰিস্থিতি বিবেচনা কৰক যে এজনী ছোৱালী $A$ ৰ পৰা $B$ লৈ আৰু তাৰ পিছত $B$ ৰ পৰা $C$ লৈ যায় (চিত্ৰ 10.7)। ছোৱালীজনীয়ে বিন্দু $A$ ৰ পৰা বিন্দু $C$ লৈ কৰা মুঠ সৰণ, ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}AC}$ ৰ দ্বাৰা দিয়া হয় আৰু ইয়াক এনেদৰে প্ৰকাশ কৰা হয়

চিত্ৰ 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

ইয়াক ভেক্টৰ যোগৰ ত্ৰিভুজ সূত্র বুলি জনা যায়।

সাধাৰণতে, যদি আমি দুটা ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ (চিত্ৰ 10.8 (i)) থাকে, তেন্তে সিহঁতক যোগ কৰিবলৈ, সিহঁতক এনেদৰে স্থাপন কৰা হয় যাতে এটাৰ আৰম্ভণি বিন্দু আনটোৰ অন্তিম বিন্দুৰ সৈতে মিলি যায় (চিত্ৰ 10.8(ii))।

চিত্ৰ 10.8

উদাহৰণস্বৰূপে, চিত্ৰ 10.8 (ii) ত, আমি ভেক্টৰ $\vec{b}$ ক ইয়াৰ পৰিমাণ আৰু দিশ সলনি নকৰাকৈ স্থানান্তৰিত কৰিছোঁ, যাতে ইয়াৰ আৰম্ভণি বিন্দু $\vec{a}$ ৰ অন্তিম বিন্দুৰ সৈতে মিলি যায়। তেতিয়া, ভেক্টৰ $\vec{a}+\vec{b}$, যাক ত্ৰিভুজ $ABC$ ৰ তৃতীয় বাহু $AC$ ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, আমাক ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ৰ যোগফল (বা পৰিণামী) দিয়ে অৰ্থাৎ, ত্ৰিভুজ $ABC$ (চিত্ৰ 10.8 (ii)) ত, আমি আছে

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

এতিয়া আকৌ, যিহেতু $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$, ওপৰৰ সমীকৰণৰ পৰা, আমি আছে

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে যেতিয়া ত্ৰিভুজৰ বাহুবোৰ ক্ৰমত লোৱা হয়, ই শূন্য পৰিণামীৰ দিশে লৈ যায় কিয়নো আৰম্ভণি আৰু অন্তিম বিন্দু মিলি যায় (চিত্ৰ 10.8(iii))।

এতিয়া, এটা ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ সৃষ্টি কৰক যাতে ইয়াৰ পৰিমাণ ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}BC}$ ৰ সৈতে একে হয়, কিন্তু ইয়াৰ বিপৰীত দিশত (চিত্ৰ 10.8 (iii)), অৰ্থাৎ, $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ তাৰ পিছত, চিত্ৰ 10.8 (iii) ৰ পৰা ত্ৰিভুজ সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি, আমি আছে $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ ক $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ৰ পাৰ্থক্য প্ৰতিনিধিত্ব কৰা বুলি কোৱা হয়।

এতিয়া, নদী এখনত এটা নাও বিবেচনা কৰক যি নদীৰ প্ৰবাহৰ লম্বভাৱে নদীৰ এটা পাৰৰ পৰা আনটো পাৰলৈ যায়। তেতিয়া, ই দুটা বেগ ভেক্টৰৰ দ্বাৰা ক্ৰিয়া কৰা হয়-এটা হৈছে ইয়াৰ ইঞ্জিনৰ দ্বাৰা নাওটোক দিয়া বেগ আৰু আনটো হৈছে নদীৰ পানীৰ প্ৰবাহৰ বেগ। এই দুটা বেগৰ একেলগে প্ৰভাৱত, নাওখন প্ৰকৃততে বেলেগ বেগেৰে ভ্ৰমণ কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰে। নাওখনৰ ফলপ্ৰসূ গতি আৰু দিশ (অৰ্থাৎ, পৰিণামী বেগ)ৰ বিষয়ে সঠিক ধাৰণা কৰিবলৈ, আমি ভেক্টৰ যোগৰ তলৰ সূত্ৰটো আছে।

যদি আমি দুটা ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ থাকে যাক সামান্তৰিকৰ দুটা সংলগ্ন বাহুৰ দ্বাৰা পৰিমাণ আৰু দিশত প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয় (চিত্ৰ 10.9), তেন্তে তেওঁলোকৰ যোগফল $\vec{a}+\vec{b}$ ক তেওঁলোকৰ সাধাৰণ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণৰ দ্বাৰা পৰিমাণ আৰু দিশত প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। ইয়াক ভেক্টৰ যোগৰ সামান্তৰিক সূত্র বুলি জনা যায়।

চিত্ৰ 10.9

টোকা চিত্ৰ 10.9 ৰ পৰা, ত্ৰিভুজ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি, এজনে লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ বা $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ (যিহেতু $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ )

যি সামান্তৰিক সূত্ৰ। এইদৰে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে ভেক্টৰ যোগৰ দুটা সূত্ৰ পৰস্পৰৰ সমতুল্য।

ভেক্টৰ যোগৰ ধৰ্ম

ধৰ্ম 1 যিকোনো দুটা ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ৰ বাবে,

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

(বিনিময় ধৰ্ম) প্ৰমাণ সামান্তৰিক $ABCD$ (চিত্ৰ 10.10) বিবেচনা কৰক। ধৰি লওক $\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$ আৰু $\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$, তেতিয়া ত্ৰিভুজ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি, ত্ৰিভুজ $ABC$ ৰ পৰা, আমি আছে $ \overrightarrow{{}AC}=\vec{a}+\vec{b} $

এতিয়া, যিহেতু সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান আৰু সমান্তৰাল, চিত্ৰ 10.10 ৰ পৰা, আমি আছে, $\overrightarrow{{}AD}=\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ আৰু $\overrightarrow{{}DC}=\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$। আকৌ ত্ৰিভুজ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি,

চিত্ৰ 10.10 ত্ৰিভুজ $ADC$ ৰ পৰা, আমি আছে

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AD}+\overrightarrow{{}DC}=\vec{b}+\vec{a} $

সেয়েহে

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

ধৰ্ম 2 যিকোনো তিনিটা ভেক্টৰ $a, b$ আৰু $c$ ৰ বাবে

$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $

প্ৰমাণ ধৰি লওক ভেক্টৰবোৰ $\vec{a}, \vec{b}$ আৰু $\vec{c}$ ক ক্ৰমে $\overrightarrow{{}PQ}, \overrightarrow{{}QR}$ আৰু $\overrightarrow{{}RS}$ ৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়, যিদৰে চিত্ৰ 10.11(i) আৰু (ii) ত দেখুওৱা হৈছে।

চিত্ৰ 10.11

তেতিয়া $$\quad\quad\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QR}=\overrightarrow{{}PR}$$

আৰু $$ \quad\quad\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}QR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}QS}$$

সেয়েহে $$ \quad\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\overrightarrow{{}PR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}PS}$$

আৰু $$\quad \quad\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QS}=\overrightarrow{{}PS}$$

সেয়েহে $$\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$$

টোকা ভেক্টৰ যোগৰ সহযোগী ধৰ্মে আমাক তিনিটা ভেক্টৰ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ৰ যোগফলক বন্ধনী ব্যৱহাৰ নকৰাকৈ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ হিচাপে লিখিবলৈ সক্ষম কৰায়।

লক্ষ্য কৰক যে যিকোনো ভেক্টৰ $a$ ৰ বাবে, আমি আছে

$$ \vec{a}+\overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}+\vec{a}=\vec{a} $$

ইয়াত, শূন্য ভেক্টৰ $\overrightarrow{{}0}$ ক ভেক্টৰ যোগৰ বাবে যোগাত্মক অভেদ বুলি কোৱা হয়।

10.5 স্কেলাৰৰ দ্বাৰা ভেক্টৰৰ গুণন

ধৰি লওক $\vec{a}$ এটা দিয়া ভেক্টৰ আৰু $\lambda$ এটা স্কেলাৰ। তেতিয়া ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ স্কেলাৰ $\lambda$ ৰ দ্বাৰা গুণফল, যাক $\lambda \vec{a}$ হিচাপে চিহ্নিত কৰা হয়, তাক ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ স্কেলাৰ $\lambda$ ৰ দ্বাৰা গুণন বোলে। লক্ষ্য কৰক যে, $\lambda \vec{a}$ ও এটা ভেক্টৰ, ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ লগত সমৰেখীয়। ভেক্টৰ $\lambda \vec{a}$ ৰ দিশ ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ দিশৰ সৈতে একে (বা বিপৰীত) হয় $\lambda$ ৰ মান ধনাত্মক (বা ঋণাত্মক) হোৱাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি। লগতে, ভেক্টৰ $\lambda \vec{a}$ ৰ পৰিমাণ হৈছে ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ পৰিমাণৰ $|\lambda|$ গুণ, অৰ্থাৎ,

$$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}| $$

স্কেলাৰ এটাৰ দ্বাৰা ভেক্টৰ এটাৰ গুণনৰ এটা জ্যামিতিক দৃশ্যায়ন চিত্ৰ 10.12 ত দিয়া হৈছে।

চিত্ৰ 10.12

যেতিয়া $\lambda=-1$, তেতিয়া $\lambda \vec{a}=-\vec{a}$, যি এটা ভেক্টৰ যাৰ পৰিমাণ $\vec{a}$ ৰ পৰিমাণৰ সৈতে সমান আৰু দিশ $\vec{a}$ ৰ দিশৰ বিপৰীত। ভেক্টৰ $-\vec{a}$ ক ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ ঋণাত্মক (বা যোগাত্মক বিপৰীত) বোলে আৰু আমি সদায় আছে

$ \vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\overrightarrow{{}0} $

লগতে, যদি $\lambda=\frac{1}{|a|}$, যেতিয়া $\vec{a} \neq 0$ অৰ্থাৎ $\vec{a}$ শূন্য ভেক্টৰ নহয়,

তেতিয়া $$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|=\frac{1}{|\vec{a}|}|\vec{a}|=1 $$

সেয়েহে, $\lambda \vec{a}$ ৰ দ্বাৰা $\vec{a}$ ৰ দিশত থকা একক ভেক্টৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। আমি ইয়াক এনেদৰে লিখোঁ

$$ \hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} $$

টোকা যিকোনো স্কেলাৰ $k, k \overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}$ ৰ বাবে।

10.5.1 ভেক্টৰৰ উপাদান

আকৌ লওক বিন্দুবোৰ $A(1,0,0), B(0,1,0)$ আৰু $C(0,0,1)$ ক্ৰমে $x$-অক্ষ, $y$-অক্ষ আৰু $z$-অক্ষত। তেতিয়া, স্পষ্টভাৱে

$$ |\overrightarrow{{}OA}|=1,|\overrightarrow{{}OB}|=1 \text{ and }|\overrightarrow{{}OC}|=1 $$

ভেক্টৰবোৰ $\overrightarrow{{}OA}, \overrightarrow{{}OB}$ আৰু $\overrightarrow{{}OC}$, প্ৰতিটোৰ পৰিমাণ 1 , ক ক্ৰমে অক্ষবোৰ $OX, OY$ আৰু $OZ$ বৰাবৰ একক ভেক্টৰ বুলি কোৱা হয়, আৰু ক্ৰমে $\hat{i}, \hat{j}$ আৰু $\hat{k}$ ৰ দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয় (চিত্ৰ 10.13)।

এতিয়া, বিন্দু $P(x, y, z)$ ৰ অৱস্থান ভেক্টৰ $\overline{OP}$ বিবেচনা কৰক চিত্ৰ 10.13 যিদৰে চিত্ৰ 10.14 ত আছে। ধৰি লওক $P_1$ হৈছে P ৰ পৰা XOY সমতললৈ টনা লম্বৰ ভৰি। আমি এইদৰে দেখোঁ যে $P_1 P$ হৈছে $z$-অক্ষৰ সমান্তৰাল। যিহেতু $\hat{i}, \hat{j}$ আৰু $\hat{k}$ ক্ৰমে $x, y$ আৰু $z$-অক্ষবোৰ বৰাবৰ একক ভেক্টৰ, আৰু $P$ ৰ স্থানাংকৰ সংজ্ঞা অনুসৰি, আমি আছে $\overrightarrow{{}P_1 P}=\overrightarrow{{}OR}=z \hat{k}$। একেদৰে, $\overrightarrow{{}QP_1}=\overrightarrow{{}OS}=y \hat{j}$ আৰু $\overrightarrow{{}OQ}=x \hat{i}$।

সেয়েহে, ইয়াৰ পৰা অনুসৰণ কৰে যে

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}OP_1}=\overrightarrow{{}OQ}+\overrightarrow{{}QP_1}=x \hat{i}+y \hat{j} \\ & \overrightarrow{{}OP}=\overrightarrow{{}OP_1}+\overrightarrow{{}P_1 P}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} \end{aligned} $$

সেয়েহে, $O$ ৰ সাপেক্ষে $P$ ৰ অৱস্থান ভেক্টৰ দিয়া হয়

$ \overrightarrow{{}OP}(\text{ বা } \vec{r})=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} $

ভেক্টৰ যিকোনো ৰূপক ইয়াৰ উপাদান ৰূপ বোলে। ইয়াত, $x, y$ আৰু $z$ ক $\vec{r}$ ৰ স্কেলাৰ উপাদান বুলি কোৱা হয়, আৰু $x \hat{i}, y \hat{j}$ আৰু $z \hat{k}$ ক ক্ৰমে সংশ্লিষ্ট অক্ষবোৰ বৰাবৰ $\vec{r}$ ৰ ভেক্টৰ উপাদান বুলি কোৱা হয়। কেতিয়াবা $x, y$ আৰু $z$ ক আয়তাকাৰ উপাদান বুলিও কোৱা হয়।

যিকোনো ভেক্টৰ $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ ৰ দৈৰ্ঘ্য, পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য দুবাৰ প্ৰয়োগ কৰি সহজে নিৰ্ধাৰণ কৰা হয়। আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে সমকোণী ত্ৰিভুজ OQP (চিত্ৰ 10.14) ত $^{\text{(F) }}$

$$ |\overrightarrow{{}OP_1}|=\sqrt{|\overrightarrow{{}OQ}|^{2}+|\overrightarrow{{}QP_1}|^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, $$

আৰু সমকোণী ত্ৰিভুজ $OP_1 P$ ত, আমি আছে

$$ \overrightarrow{{}OP}=\sqrt{|\overrightarrow{{}OP_1}|^{2}+|\overrightarrow{{}P_1 P}|^{2}}=\sqrt{(x^{2}+y^{2})+z^{2}} $$

সেয়েহে, যিকোনো ভেক্টৰ $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ ৰ দৈৰ্ঘ্য দিয়া হয় $$ |\vec{r}|=|x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

যদি $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ক্ৰমে উপাদান ৰূপ $a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ আৰু $b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ ত দিয়া যিকোনো দুটা ভেক্টৰ হয়, তেন্তে

(i) ভেক্টৰবোৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ৰ যোগফল (বা পৰিণামী) দিয়া হয়

$$ \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1) \hat{i}+(a_2+b_2) \hat{j}+(a_3+b_3) \hat{k} $$

(ii) ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ৰ পাৰ্থক্য দিয়া হয়

$$ \vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1) \hat{i}+(a_2-b_2) \hat{j}+(a_3-b_3) \hat{k} $$

(iii) ভেক্টৰবোৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ সমান হয় যদি আৰু কেৱল যদি

$$ a_1=b_1, a_2=b_2 \quad \text{ and } \quad a_3=b_3 $$

(iv) ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ যিকোনো স্কেলাৰ $\lambda$ ৰ দ্বাৰা গুণন দিয়া হয়

$$ \lambda \vec{a}=(\lambda a_1) \hat{i}+(\lambda a_2) \hat{j}+(\lambda a_3) \hat{k} $$

ভেক্টৰৰ যোগ আৰু ভেক্টৰ এটাৰ স্কেলাৰ এটাৰ দ্বাৰা গুণনে একেলগে তলৰ বিতৰণ ধৰ্মবোৰ দিয়ে:

ধৰি লওক $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ যিকোনো দুটা ভেক্টৰ, আৰু $k$ আৰু $m$ যিকোনো স্কেলাৰ। তেতিয়া

(i) $k \vec{a}+m \vec{a}=(k+m) \vec{a}$

(ii) $k(m \vec{a})=(k m) \vec{a}$

(iii) $k(\vec{a}+\vec{b})=k \vec{a}+k \vec{b}$

টোকা

(i) এজনে লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে $\lambda$ ৰ মান যিয়েই নহওক, ভেক্টৰ $\lambda \vec{a}$ সদায় ভেক্টৰ $\vec{a}$ ৰ লগত সমৰেখীয় হয়। প্ৰকৃততে, দুটা ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ সমৰেখীয় হয় যদি আৰু কেৱল যদি এটা অশূন্য স্কেলাৰ $\lambda$ থাকে যাতে $\vec{b}=\lambda \vec{a}$। যদি ভেক্টৰবোৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ দিয়া হয় উপাদান ৰূপত, অৰ্থাৎ $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ আৰু $\vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$, তেন্তে দুটা ভেক্টৰ সমৰেখীয় হয় যদি আৰু কেৱল যদি

$$ \begin{array}{cc} & b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=\lambda\left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right) \\ \Leftrightarrow & b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=\left(\lambda a_1\right) \hat{i}+\left(\lambda a_2\right) \hat{j}+\left(\lambda a_3\right) \hat{k} \\ \Leftrightarrow & b_1=\lambda a_1, b_2=\lambda a_2, b_3=\lambda a_3 \\ \Leftrightarrow & \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}=\lambda \end{array} $$

(ii) যদি $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$, তেতিয়া $a_1, a_2, a_3$ ক $\vec{a}$ ৰ দিক অনুপাত বুলিও কোৱা হয়।

(iii) যদি দিয়া থাকে যে $l, m, n$ হৈছে ভেক্টৰ এটাৰ দিক কোসাইন, তেতিয়া $l \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}$ $=(\cos \alpha) \hat{i}+(\cos \beta) \hat{j}+(\cos \gamma) \hat{k}$ হৈছে সেই ভেক্টৰৰ দিশত থকা একক ভেক্টৰ, য’ত $\alpha, \beta$ আ