গণিতৰ আহার শক্তি হৈছে যুক্তি নহয় প্ৰতিফলন। - এ. ডিমৰগান

11.1 সূচনা

ক্লাছ XI ত দ্বিমিত জিয়েমিট্ৰী আৰু তিনিণ মিত জিয়েমিট্ৰী সম্পৰ্কীয় বিষয়ত বিশ্লেষণীয় জিয়েমিট্ৰী চুক্তিত আমি কেৱল কাৰ্টেছীয় পদ্ধতিত সীমাবদ্ধ থকা হৈছিল। এই বইতোৰ পূৰ্বৰ অধ্যায়ত আমি ভেক্টৰৰ কিছু মৌলিক ধাৰণাসমূহ চাবলৈ পৰিচিত হৈছিল। আমি এতিয়া ভেক্টৰ বীজগণিত ব্যৱহাৰ কৰি তিনিণ মিত জিয়েমিট্ৰীত আলোচনা কৰিম। এই পদ্ধতিত তিনিণ মিত জিয়েমিট্ৰী চাবৰ উদ্দেশ্য হল তা সহজ আৰু সৌন্দৰ্যময় হৈ যায়।

এই অধ্যায়ত আমি দুটা পয়েন্টৰ মাজৰ সংযোগী সংখ্যা আৰু দিশা কোসাইণছসমূহ আলোচনা কৰিম আৰু স্পেসত সংখ্যা আৰু পৃষ্ঠৰ সম্পৰ্কীয় সমীকৰণসমূহ, দুটা সংখ্যা, দুটা পৃষ্ঠ, এটা সংখ্যা আৰু এটা পৃষ্ঠৰ মাজৰ কোণ, দুটা স্কিউ সংখ্যাৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব আৰু এটা পয়েন্টৰ এটা পৃষ্ঠৰ পৰা দূৰত্ব সম্পৰ্কে আলোচনা কৰিম। উপৰ্যুক্ত ধাপসমূহ বেছিভাগেই ভেক্টৰ সংজ্ঞাত লিখা হৈছে। তথাপি, আমি এই ধাপসমূহক কাৰ্টেছীয় সংজ্ঞাত অনুবাদ কৰিম যিয়ে কিছু ক্ষেত্ৰত ঘটনাটোৰ জেলোমেট্ৰিক আৰু বিশ্লেষণীয় ছবি দেখুৱায়।

লিঅনাৰ্ড ইউলাৰ $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 এটা সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ আৰু দিশা অনুপ্ৰান্ত

অধ্যায় 10 পৰুৱাত মনত থৈবলৈ হৈছে যে যদি এটা নিৰ্দেশিত সংখ্যা $L$ মূলৰ পাছত যোগ কৰিছে $\alpha, \beta$ আৰু $\gamma$ কেইবাটো $x, y$ আৰু $z$-এক্সসমূহৰ সৈতে, সংখ্যা কোণসমূহ, তেন্তে এই কোণসমূহৰ কোসাইণ, অৱশ্যে, $\cos \alpha, \cos \beta$ আৰু $\cos \gamma$ হয় নিৰ্দেশিত সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছসমূহ।

$L$ এটা প্ৰতিলোম দিশা লৈ যায় তেন্তে দিশা কোণসমূহ তাৰ প্ৰতিপাদনসমূহত পুনৰ লৈ যায়, অৱশ্যে, $\pi-\alpha, \pi-\beta$ আৰু $\pi-\gamma$। সুতৰাং, দিশা কোসাইণছৰ চিহ্নসমূহ পুনৰ লৈ যায়।

চিত্ৰ 11.1

এটা দিয়া সংখ্যা স্পেসত দুটা পৰীবৰ্তনৰ সৈতে বিস্তাৰ কৰিব পাৰে আৰু তাৰ বাবে দুটা সেট দিশা কোসাইণছ আছে। এটা দিয়া সংখ্যাৰ বাবে এটা অদলবদল দিশা কোসাইণছ ধাৰা কৰিবলৈ আমি দিয়া সংখ্যা নিৰ্দেশিত হৈ থাকিব লাগিব। এই অদলবদল দিশা কোসাইণছসমূহ দল $l, m$ আৰু $n$ লৈ সোজা হৈছে।

মন্তব্য যদি এটা দিয়া স্পেসত সংখ্যা মূলৰ পাছত নথকা হৈ থাকে তেন্তে, তাৰ দিশা কোসাইণছ বুজিবলৈ আমি মূলৰ পাছত এটা সংখ্যা লৈ যায় যা দিয়া সংখ্যাৰ সৈতে সমান্তৰাল হৈছে। এতিয়া মূলৰ পাছত দিয়া এটা নিৰ্দেশিত সংখ্যা লৈ যায় আৰু তাৰ দিশা কোসাইণছ বুজা হৈছে দুটা সমান্তৰাল সংখ্যাসমূহৰ এটা অদলবদল দিশা কোসাইণছ আছে।

এটা সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছৰ সৈতে সম্পৰ্কিত যিকোনো তিনিণ সংখ্যা হয় সংখ্যা অনুপ্ৰান্তসমূহ। $l, m, n$ হল দিশা কোসাইণছ $a, b, c$ হল এটা সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ তেন্তে $a=\lambda l, b=\lambda m$ আৰু $c=\lambda n$, যিকোনো নন-শূন্য $\lambda \in \mathbf{R}$ৰ বাবে।

নোট কিছু লেখক দিশা অনুপ্ৰান্তক দিশা সংখ্যা বুলিও কল কৰে।

$a, b, c$ হল এটা সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ $l, m$ আৰু $n$ হল সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ (d.c’s) তেন্তে

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

সুতৰাং $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

কিন্তু $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

সুতৰাং $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

অৱশ্যে $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

সুতৰাং, (1) পৰা সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছসমূহ হয় $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

যেখন, $k$ এটা ইচ্ছামতো চিহ্নৰ বাবে $l, m$ আৰু $n$ৰ বাবে এটা ধৰ্মীয় অথবা ঋণাত্মক চিহ্ন লৈ যায়। যিকোনো সংখ্যাৰ বাবে, $a, b, c$ হল এটা সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ তেন্তে $k a, k b, k c ; k \neq 0$ হল এটা দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহৰ এটা সেট। সুতৰাং, যিকোনো দুটা দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহৰ সংখ্যা প্ৰোফুল হয়। আৰু, যিকোনো সংখ্যাৰ বাবে অনন্ত কিছু দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ আছে।

11.2.1 দুটা পয়েন্টৰ মাজৰ সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ

যেহেতু দুটা দিয়া পয়েন্টৰ মাজত একক সংখ্যা হৈছে, আমি দিয়া পয়েন্টসমূহ $P(x_1, y_1, z_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2, z_2)$ লৈ যায় যা সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ নিৰ্ধাৰণ কৰিম (চিত্ৰ 11.2 (a))।

চিত্ৰ 11.2

$l, m, n$ হল সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ তা কেইবাটো লৈ যায় $\alpha, \beta$ আৰু $\gamma$ কেইবাটো লৈ যায় $x, y$ আৰু $z$-এক্সসমূহৰ সৈতে।

$P$ আৰু $Q$ লৈ এটা লম্বীকৰণ লৈ যায় $XY$-পৃষ্ঠত যা $R$ আৰু $S$ লৈ যায়। $P$ লৈ এটা লম্বীকৰণ লৈ যায় $QS$ লৈ যা $N$ লৈ যায়। এতিয়া, বৃত্তাকাৰ ত্ৰিকোণ $PNQ, \angle PQN=\gamma$ ত (চিত্ৰ 11.2 (b))।

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

সুতৰাং সুতৰাং, দুটা পয়েন্টৰ মাজৰ সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছসমূহ হয়

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

যেখন $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

নোট দুটা পয়েন্টৰ মাজৰ সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ হয়

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

উদাহৰণ 1 যদি এটা সংখ্যা কেইবাটো লৈ যায় $90^{\circ}, 60^{\circ}$ আৰু $30^{\circ}$ কেইবাটো লৈ যায় $x, y$ আৰু $z$-এক্সসমূহৰ ধৰ্মীয় দিশাৰ সৈতে তেন্তে তাৰ দিশা কোসাইণছ বুজিব।

সমাধান $d . c$। ’ $s$ সংখ্যাসমূহৰ দিশা হয় $l, m, n$। তেন্তে $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।

উদাহৰণ 2 যদি এটা সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ 2, - 1, - 2 হৈ থাকে, তেন্তে তাৰ দিশা কোসাইণছ নিৰ্ধাৰণ কৰিব।

সমাধান দিশা কোসাইণছসমূহ হয়

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

অথবা $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

উদাহৰণ 3 দুটা পয়েন্টৰ মাজৰ সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ বুজিব $(-2,4,-5)$ আৰু $(1,2,3)$।

সমাধান আমি জানি দুটা পয়েন্টৰ মাজৰ সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছসমূহ হয়

যেখন $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

এইটো $P$ হল $(-2,4,-5)$ আৰু $Q$ হল $(1,2,3)$।

সুতৰাং $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

সুতৰাং, দুটা পয়েন্টৰ মাজৰ সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছসমূহ হয়

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

উদাহৰণ 4 $x, y$ আৰু $z$-এক্সসমূহৰ দিশা কোসাইণছ বুজিব।

সমাধান এইটো হল $x$-এক্সসমূহ কেইবাটো লৈ যায় $0^{\circ}, 90^{\circ}$ আৰু $90^{\circ}$ কেইবাটো লৈ যায় $x, y$ আৰু $z$-এক্সসমূহৰ সৈতে। সুতৰাং, $x$-এক্সসমূহৰ দিশা কোসাইণছসমূহ হয় $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ অৱশ্যে $1,0,0$। এদিকে, $y$-এক্সসমূহ আৰু $z$-এক্সসমূহৰ দিশা কোসাইণছসমূহ হয় $0,1,0$ আৰু $0,0,1$ কেইবাটো।

উদাহৰণ 5 দেখাইব যে পয়েন্টসমূহ A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ আৰু $C(3,8,-11)$ কোলাইনৰ হৈ থাকে।

সমাধান সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ সংখ্যাৰ মাজৰ A আৰু B হয়

$1-2,-2-3,3+4$ অৱশ্যে $-1,-5,7$।

সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ সংখ্যাৰ মাজৰ হয় $B$ আৰু $C$ হয় $3-1,8+2,-11-3$, অৱশ্যে $2,10,-14$।

দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহৰ দুটা সংখ্যাৰ সম্পৰ্ক হয় তাৰ ফলে, $AB$ হল $BC$ সমান্তৰাল। কিন্তু পয়েন্ট $B$ দুটাৰ মাজৰ হৈছে $AB$ আৰু $BC$। সুতৰাং, $A, B, C$ হল কোলাইনৰ পয়েন্টসমূহ।

11.3 স্পেসত এটা সংখ্যাৰ সমীকৰণ

আমি ক্লাছ XI ত দ্বিমিত জিয়েমিট্ৰীত সংখ্যাৰ সমীকৰণ চাবলৈ পৰিচিত হৈছিল, আমি এতিয়া স্পেসত এটা সংখ্যাৰ ভেক্টৰ আৰু কাৰ্টেছীয় সমীকৰণ চাব।

এটা সংখ্যা অদলবদল হৈছে যদি

(i) তা এটা দিয়া পয়েন্টৰ মাজত যোগ কৰে আৰু দিয়া দিশা লৈ যায়, অথবা

(ii) তা দুটা দিয়া পয়েন্টৰ মাজত যোগ কৰে।

11.3.1 এটা দিয়া পয়েন্টৰ মাজত যোগ কৰা এটা সংখ্যা আৰু $\vec{a}$ দিয়া ভেক্টৰ $\vec{b}$ লৈ সমান্তৰাল

$\vec{a}$ হল দিয়া পয়েন্ট Aৰ পদবী ভেক্টৰ মূলৰ পাছত যোগ কৰিছে $O$ এটা লম্বীকৰণ কাৰ্টেছীয় কাৰ্ডিনেইট চিস্টেম। $l$ হল এটা সংখ্যা যা পয়েন্টৰ মাজত যোগ কৰে $A$ আৰু হল দিয়া ভেক্টৰ লৈ সমান্তৰাল $\vec{b}$। $\vec{r}$ হল এটা অজ্ঞাত পয়েন্টৰ পদবী ভেক্টৰ $P$ সংখ্যাৰ মাজত (চিত্ৰ 11.3)।

তেন্তে $\overrightarrow{{}AP}$ হল ভেক্টৰৰ সৈতে সমান্তৰাল সংখ্যা $\vec{b}$, অৱশ্যে $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, যেখন $\lambda$ কোনো ভাল সংখ্যা।

কিন্তু $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

অৱশ্যে $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

প্ৰতিলোম, পৰামিতিৰ যিকোনো মানৰ বাবে, এই সমীকৰণ পদবী ভেক্টৰ দেখায় এটা পয়েন্টৰ বাবে $P$ সংখ্যাৰ মাজত। সুতৰাং, সংখ্যাৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ হয়

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

মন্তব্য $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$, তেন্তে $a, b, c$ হল সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ আৰু প্ৰতিলোম, $a, b, c$ হল এটা সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ তেন্তে $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ হল সংখ্যাৰ মাজত সমান্তৰাল হয়। এইটো $b$ লৈ সোজা হৈছে $|\vec{b}|$। ভেক্টৰ সংজ্ঞাৰ পৰা কাৰ্টেছীয় সংজ্ঞাৰ প্ৰতিফলন

দিয়া পয়েন্টৰ সংখ্যা $A$ হল $(x_1, y_1, z_1)$ আৰু সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ $a, b, c$। এটা অজ্ঞাত পয়েন্টৰ সংখ্যা চিন্তা কৰিব $P$ হল $(x, y, z)$। তেন্তে

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

আৰু $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

এই মানসমূহ লৈ যায় (1) আৰু $\hat{i}, \hat{j}$ আৰু $\hat{k}$ৰ কোফিচিএণ্টসমূহ সমান কৰিব

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

এইটো সংখ্যাৰ পাৰামিট্ৰিক সমীকৰণ। পৰামিতি বাদ দিব $\lambda$ (2) পৰা

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

এইটো হল সংখ্যাৰ কাৰ্টেছীয় সমীকৰণ।

নোট $l, m, n$ হল সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ তেন্তে সংখ্যাৰ সমীকৰণ হয়

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

উদাহৰণ 6 দুটা পয়েন্টৰ মাজত যোগ কৰা সংখ্যাৰ ভেক্টৰ আৰু কাৰ্টেছীয় সমীকৰণ বুজিব $(5,2,-4)$ আৰু যা দিয়া ভেক্টৰ লৈ সমান্তৰাল $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$।

সমাধান আমি আছি

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

সুতৰাং, সংখ্যাৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ হয়

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

এতিয়া, $\vec{r}$ হল যিকোনো পয়েন্টৰ পদবী $P(x, y, z)$ সংখ্যাৰ মাজত।

সুতৰাং, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ বাদ দিব

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

যা হল সংখ্যাৰ কাৰ্টেছীয় সংজ্ঞাৰ সমীকৰণ।

11.4 দুটা সংখ্যাৰ মাজৰ কোণ

$L_1$ আৰু $L_2$ হল দুটা সংখ্যা যা মূলৰ পাছত যোগ কৰে আৰু দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ $a_1, b_1, c_1$ আৰু $a_2, b_2, c_2$, কেইবাটো। $P$ হল এটা পয়েন্ট $L_1$ আৰু $Q$ হল এটা পয়েন্ট $L_2$। দিয়া নিৰ্দেশিত সংখ্যাসমূহ $OP$ আৰু $OQ$ লৈ চিন্তা কৰিব যা চিত্ৰ 11.6 ত দেখা যায়। $\theta$ হল ওপ আৰু ওক লৈ যায় এটা তুলনামূলক কোণ। এতিয়া মনত থৈবলৈ হৈছে যে নিৰ্দেশিত সংখ্যাৰ স্বাক্ষৰসমূহ ওপ আৰু ওক হল ভেক্টৰসমূহ $a_1, b_1, c_1$ আৰু $a_2, b_2, c_2$, কেইবাটোৰ কম্পোনেণ্টসমূহ। সুতৰাং, কোণ $\theta$ তাৰ মান হয় $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$

সংখ্যাৰ কোণ তাৰ মানত দেখায় $\sin \theta$ হয়

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

নোট যদি সংখ্যা $L_1$ আৰু $L_2$ মূলৰ পাছত নথকা হৈ থাকে, তেন্তে আমি সংখ্যা $L_1^{\prime}$ আৰু $L_2^{\prime}$ লৈ যায় যা দিয়া সংখ্যাৰ সৈতে সমান্তৰাল হৈছে $L_1$ আৰু $L_2$ কেইবাটো আৰু মূলৰ পাছত যোগ কৰে।

যদি সংখ্যা $L_1$ আৰু $L_2$ৰ বাবে দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ নহয় দিশা কোসাইণছ, অৱশ্যে, $l_1, m_1, n_1$ $L_1$ আৰু $l_2, m_2, n_2$ $L_2$ লৈ যায় তেন্তে (1) আৰু (2) এই আকৃতি লৈ যায়

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

আৰু $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

দুটা সংখ্যা $a_1, b_1, c_1$ আৰু $a_2, b_2, c_2$ৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ হয়

(i) বিপৰীত অৱস্থাত যদি $\theta=90^{\circ}$ (1) পৰা

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ii) সমান্তৰাল অৱস্থাত যদি $\theta=0$ (2) পৰা

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$$

এতিয়া, আমি দুটা সংখ্যাৰ কোণ বুজিব যেনে তাৰ সমীকৰণসমূহ দিয়া হৈছে। $\theta$ হল এটা তুলনামূলক কোণ সংখ্যা $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ আৰু $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ লৈ যায় কাৰ্টেছীয় সংজ্ঞাত, $\theta$ হল সংখ্যাৰ কোণ তেন্তে

তেন্তে $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

আৰু $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

যেখন, $a_1, b _{1,} c_1$ আৰু $a _{2,}, b_2, c_2$ হল সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ (1) আৰু (2), কেইবাটো।

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

উদাহৰণ 7 দুটা সংখ্যাৰ কোণ বুজিব দিয়া সংখ্যাৰ দুটা পৰিষ্কৃত দিশা দিয়া হৈছে

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

আৰু $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

সমাধান এইটো হল $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ আৰু $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

দুটা সংখ্যাৰ মাজৰ কোণ $\theta$ দেখায়

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

সুতৰাং $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

উদাহৰণ 8 দুটা সংখ্যাৰ কোণ বুজিব

আৰু $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

সমাধান প্ৰথম সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ 3, 5, 4 আৰু দ্বিতীয় সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ $1,1,2$। $\theta$ হল তাৰ মাজৰ কোণ তেন্তে

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

সুতৰাং, দিয়া কোণ হয় $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$।

11.5 দুটা সংখ্যাৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব

যদি দুটা সংখ্যা স্পেসত এটা পয়েন্টত যোগ কৰে, তেন্তে তাৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব শূন্য। আৰু, যদি দুটা সংখ্যা স্পেসত সমান্তৰাল হৈ থাকে, তেন্তে তাৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব হয় বিপৰীত দূৰত্ব, অৱশ্যে, এটা পয়েন্টৰ এটা সংখ্যাৰ মাজত এটা লম্বীকৰণ লৈ যায় অন্য এটা সংখ্যাৰ মাজত।

আৰু, এটা স্পেসত, তা দুটা সংখ্যা হয় যা যোগ নকৰে আৰু সমান্তৰাল নহয়। এই ধৰণৰ দুটা সংখ্যা হল নন কোপ্লানাৰ আৰু তা হল স্কিউ সংখ্যাসমূহ। উদাহৰণকৈ, আমি এটা ঘৰৰ আকাৰ চিন্তা কৰিব 1, 3, 2 একক লৈ

চিত্ৰ 11.5 $x, y$ আৰু $z$-এক্সসমূহৰ সৈতে চিত্ৰ 11.5।

সেই সংখ্যা জি যা ডাঙৰ কৰিছে ছেইলত আৰু সংখ্যা ডিবি যা এটা কোণৰ এটা কোণৰ মাজত যোগ কৰে ছেইলৰ এটা কোণৰ মাজত যা ডাঙৰ কৰে গাছৰ পৰা। এই সংখ্যাসমূহ হল স্কিউ কাৰণ তা সমান্তৰাল নহয় আৰু কেতিয়াও মিলিব নাযায়।

দুটা সংখ্যাৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব বুলি এটা পয়েন্টৰ এটা সংখ্যাৰ মাজত যোগ কৰা এটা পয়েন্ট অন্য এটা সংখ্যাৰ মাজত যায় যাতে প্ৰাপ্ত স্বাক্ষৰৰ দৈৰ্ঘ্য সৰ্বনিম্ন হৈ থাকে। স্কিউ সংখ্যাসমূহৰ বাবে, সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্বৰ সংখ্যা হয় বিপৰীত সংখ্যা যা দুটা সংখ্যাসমূহৰ সৈতে বিপৰীত।

11.5.1 দুটা স্কিউ সংখ্যাৰ মাজৰ দূৰত্ব

আমি এতিয়া দুটা স্কিউ সংখ্যাৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব নিৰ্ধাৰণ কৰিম এই পদ্ধতিত: $l_1$ আৰু $l_2$ হল দুটা স্কিউ সংখ্যা যাৰ সমীকৰণসমূহ হল (চিত্ৰ. 11.6)

আৰু $$ \vec{r} = \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1} \tag{1}$$ $$ \vec{r} = \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2} \tag{2} $$

এটা যিকোনো পয়েন্ট লৈ যায় $ S $ $l_ {1} $ ত পদবী ভেক্টৰ $ \overrightarrow{{}a}_ {1} $ আৰু $ T $ $ l_ {2} $, পদবী ভেক্টৰ $ \overrightarrow{{}a}_ {2} $। তেন্তে সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্বৰ ভেক্টৰৰ পৰিমাণ হয় সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্বৰ দিশাত স্ট লৈ যায় প্ৰফেকশনৰ পৰিমাণৰ সৈতে (চুক্তি 10.6.2)।

$\overrightarrow{{}PQ}$ হল $l_1$ আৰু $l_2$ লৈ যায় সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্বৰ ভেক্টৰ তেন্তে তা বিপৰীত হৈছে দুটা সংখ্যাসমূহৰ সৈতে $ \vec{b} _1$ আৰু $ \vec{b} _2$, এটা একক ভেক্টৰ $\hat{n}$ লৈ যায় $\overrightarrow{{}PQ}$ ত যায় তেন্তে

চিত্ৰ 11.6

$$ \hat{n} = \frac{ \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|} \tag{3} $$

তেন্তে $$ \overrightarrow{{}PQ}=d \hat{n} $$

যেখন, $d$ হল সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্বৰ ভেক্টৰৰ পৰিমাণ। $\theta$ হল কোণ $\overrightarrow{{}ST}$ আৰু $\overrightarrow{{}PQ}$ লৈ যায়। তেন্তে

কিন্তু $$ \begin{aligned} PQ & = ST|\cos \theta| \\ \cos \theta & = |\frac{\overrightarrow{{}PQ} \cdot \overrightarrow{{}ST}}{|\overrightarrow{{}PQ}||\overrightarrow{{}ST}|}| \\ & = |\frac{d \hat{n} \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{d ST}| \quad(\text{ since } \overrightarrow{{}ST}= \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1}) \\ & = |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{ST| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

সুতৰাং, দিয়া হল অথবা $$ \begin{aligned} & d = PQ = ST|\cos \theta| \\ & \boldsymbol{{}d} = |\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2} \times \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

কাৰ্টেছীয় সংজ্ঞা

আৰু $$ l _{1}: \frac{x-x _{1}}{a _{1}}=\frac{y-y _{1}}{b _{1}}=\frac{z-z _{1}}{c _{1}} $$

আৰু $$ l _{2}: \frac{x-x _{2}}{a _{2}}=\frac{y-y _{2}}{b _{2}}=\frac{z-z _{2}}{c _{2}} $$

$$ \frac{\left|\begin{array}{ccc} x _{2}-x _{1} & y _{2}-y _{1} & z _{2}-z _{1} \\ a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \end{array}\right|}{\sqrt{\left(b _{1} c _{2}-b _{2} c _{1}\right)^{2}+\left(c _{1} a _{2}-c _{2} a _{1}\right)^{2}+\left(a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}\right)^{2}}} $$

11.5.2 সমান্তৰাল সংখ্যাৰ মাজৰ দূৰত্ব

যদি দুটা সংখ্যা $l_1$ আৰু $l_2$ হল সমান্তৰাল তেন্তে তা হল কোপ্লানাৰ। দিয়া সংখ্যা হল

$$ \begin{align*} & \vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} \tag{1}\\ & \vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} \tag{2} \end{align*} $$

যেখন, $ \vec{a} _1$ হল এটা পয়েন্টৰ পদবী $S$ $l_1$ ত যোগ কৰিছে আৰু $ \vec{a} _2$ হল এটা পয়েন্টৰ পদবী $T$ $l_2$ ত যোগ কৰিছে চিত্ৰ 11.7।

$l_1, l_2$ হল কোপ্লানাৰ, যদি বিপৰীতৰ লম্বীকৰণ $T$ লৈ যায় সংখ্যা $l_1$ ত হল $P$, তেন্তে সংখ্যাৰ মাজৰ দূৰত্ব $l_1$ আৰু $l_2=|TP|$।

$\theta$ হল ভেক্টৰৰ মাজৰ কোণ $\overrightarrow{{}ST}$ আৰু $\vec{b}$। তেন্তে

$$ \vec{b} \times \overrightarrow{{}ST}=(|\vec{b}||\overrightarrow{{}ST}| \sin \theta) \hat{n} \ldots \tag{3} $$

যেখন $\hat{n}$ হল একক ভেক্টৰ বিপৰীত পৃষ্ঠত সংখ্যা $l_1$ আৰু $l_2$।

কিন্তু $$ \overrightarrow{{}ST} = \vec{a} _2 - \vec{a} _1 $$

সুতৰাং, (3) পৰা আমি প্ৰাপ্ত কৰিম $$ \begin{matrix} & \quad \vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1) = \vec{b} , |PT| \hat{n} \quad (\text{since } PT = ST \sin \theta) \\ \text{i.e.,} & |\vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1)| = |\vec{b}| , |PT| \cdot 1 \quad (\text{as } |\hat{n}| = 1) \end{matrix} $$

সুতৰাং, দিয়া সমান্তৰাল সংখ্যাসমূহৰ মাজৰ দূৰত্ব হয়

$$ d=|\overrightarrow{{}\mathbf{P T}}| = |\frac{\vec{b} \times(\vec{a} _ {2}-\vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}| $$

উদাহৰণ 9 সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব বুজিব সংখ্যা $l_1$ আৰু $l_2$ যাৰ ভেক্টৰ সমীকৰণসমূহ হল

$$ \begin{aligned} & \vec{r} =\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \\ \text{ and } \qquad& \vec{r} =2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) \end{aligned} $$

সমাধান তুলনা কৰিব (1) আৰু (2) $\vec{r} = \vec{a} _ {1} + \lambda \vec{b} _ {1} $ আৰু $ \overrightarrow{{}r} = \overrightarrow{{}a} _ {2} + \mu \overrightarrow{{}b} _ {2} $ কেইবাটো লৈ যায় তেন্তে আমি প্ৰাপ্ত কৰিম

$ \begin{aligned} & a _{1}=\hat{i}+\hat{j}, b _{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \\ & a _{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \text { and } b _{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} $

সুতৰাং $\qquad a _{2}-a _{1}=\hat{i}-\hat{k}$

আৰু $\qquad b _{1} \times b _{2}=(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$

$$ =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{array}\right|=3 \hat{i}-\hat{j}-7 \hat{k} $$

সুতৰাং, $$ \left|b _{1} \times b _{2}\right|=\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59} $$

সুতৰাং, দিয়া সংখ্যাসমূহৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব দেখায়

$$ d=|\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot(\overrightarrow{{}a}_ {2}-\overrightarrow{{}a}_ {1})}{|\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}|}|=\frac{|3-0+7|}{\sqrt{59}}=\frac{10}{\sqrt{59}} $$

উদাহৰণ 10 দূৰত্ব বুজিব সংখ্যা $l_1$ আৰু $l_2$ দিয়া হৈছে $$ \begin{aligned} & \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \\ \text{ and } \qquad& \vec{r}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \end{aligned} $$

সমাধান দুটা সংখ্যা হল সমান্তৰাল (কেননা?) আমি আছি

$$ \overrightarrow{{}a}_ {1}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}, \overrightarrow{{}a}_ {2}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k} $$

সুতৰাং, সংখ্যাৰ মাজৰ দূৰত্ব দেখায়

$$ \begin{aligned} & d =\left|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}\right| =\left|\frac{ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} }{\sqrt{4+9+36}}\right| , \\ &=\frac{|-9 \hat{i}+14 \hat{j}-4 \hat{k}|}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{7} \\ \end{aligned} $$

সংক্ষিপ্ত তথ্য

• এটা সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছসমূহ হল কোণৰ কোসাইণ যা সংখ্যা কেইবাটো লৈ যায় ধৰ্মীয় দিশাৰ কাৰ্ডিনেইট এক্সসমূহৰ সৈতে।

• $l, m, n$ হল এটা সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ তেন্তে $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$।

• দুটা পয়েন্টৰ মাজৰ সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছসমূহ হয়

• $ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

যেখন $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

• $\Delta$ এটা সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ হল সংখ্যা যা এটা সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছৰ সৈতে সম্পৰ্কিত।
• $l, m, n$ হল দিশা কোসাইণছ $a, b, c$ হল দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ তেন্তে

$$ l=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; m=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; n=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $$

• স্কিউ সংখ্যাসমূহ হল স্পেসত সংখ্যা যা সমান্তৰাল নহয় আৰু যোগ নকৰে। তা বিভিন্ন পৃষ্ঠত থকে।
• স্কিউ সংখ্যাসমূহৰ মাজৰ কোণ হল কোণ দুটা যোগ কৰা সংখ্যা লৈ যায় যিকোনো পয়েন্ট লৈ যায় (পছন্দ হৈছে মূলৰ পাছত) স্কিউ সংখ্যাসমূহৰ প্ৰতিটোৰ সৈতে সমান্তৰাল।
• $l_1, m_1, n_1$ আৰু $l_2, m_2, n_2$ হল দুটা সংখ্যাৰ দিশা কোসাইণছ; $\theta$ হল দুটা সংখ্যাৰ মাজৰ এটা তুলনামূলক কোণ; তেন্তে

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| $$

$a_1, b_1, c_1$ আৰু $a_2, b_2, c_2$ হল দুটা সংখ্যাৰ দিশা অনুপ্ৰান্তসমূহ $\theta$ হল দুটা সংখ্যাৰ মাজৰ এটা তুলনামূলক কোণ; তেন্তে

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

• এটা দিয়া পয়েন্টৰ পদবী $\vec{a}$ আৰু দিয়া ভেক্টৰ লৈ সমান্তৰাল এটা সংখ্যা যা যোগ কৰে $\vec{b}$ হল ভেক্টৰ সমীকৰণ $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$।

• এটা পয়েন্টৰ মাজত যোগ কৰা সংখ্যাৰ সমীকৰণ $(x_1, y_1, z_1)$ আৰু যাৰ দিশা কোসাইণছ $l, m, n$ হল $ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $

• দুটা পয়েন্টৰ পদবী $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ লৈ যায় এটা সংখ্যাৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ $\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$।

• $\Delta$ $\theta$ লৈ যায় এটা তুলনামূলক কোণ $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ আৰু $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\lambda \vec{b} _ {2}$, তেন্তে $\cos \theta=|\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}|$

• $\checkmark$ $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$ আৰু $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$

• হল দুটা সংখ্যাৰ সমীকৰণসমূহ, তেন্তে দুটা সংখ্যাৰ মাজৰ এটা তুলনামূলক কোণ দেখায় $\cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2|$।

• দুটা স্কিউ সংখ্যাৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব হল সংখ্যাৰ স্বাক্ষৰ যা দুটা সংখ্যাসমূহৰ সৈতে বিপৰীত।

• $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ আৰু $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2}$ লৈ যায় সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব

$$ |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| $$

• সংখ্যাৰ মাজৰ সৰ্বশ্ৰুতিমূলক দূৰত্ব: $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ আৰু $ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \text{ is } $

$$ \frac{ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} }{\sqrt{(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}}} $$

সমান্তৰাল সংখ্যাৰ মাজৰ দূৰত্ব $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b}$ আৰু $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b}$ হয়

$$|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}|$$