ছাত্ৰৰ গাণিতিক অভিজ্ঞতা সম্পূৰ্ণ নহয় যদি তেওঁ কেতিয়াও নিজে উদ্ভাৱন কৰা এটা সমস্যা সমাধান কৰাৰ সুযোগ নাপায়। - জি. পলিয়া

১২.১ পৰিচয়

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি ৰৈখিক সমীকৰণৰ প্ৰণালী আৰু দৈনন্দিন সমস্যাত সিহঁতৰ প্ৰয়োগৰ বিষয়ে আলোচনা কৰিছো। শ্ৰেণী XI-ত, আমি দুটা চলকত ৰৈখিক অসমতা আৰু ৰৈখিক অসমতাৰ প্ৰণালী আৰু সিহঁতৰ সমাধানৰ গ্ৰাফিকেল পদ্ধতি অধ্যয়ন কৰিছিলো। গণিতত বহুতো প্ৰয়োগত অসমতা/সমীকৰণৰ প্ৰণালী জড়িত থাকে। এই অধ্যায়ত, আমি ৰৈখিক অসমতা/সমীকৰণৰ প্ৰণালী কিছুমান বাস্তৱ জীৱনৰ সমস্যা সমাধান কৰিবলৈ প্ৰয়োগ কৰিম যিবোৰ তলত দিয়া ধৰণৰ:

এজন ফাৰ্ণিচাৰ ডিলাৰে কেৱল দুটা বস্তু-টেবুল আৰু চকীৰে ব্যৱসায় কৰে। তেওঁৰ বিনিয়োগ কৰিবলৈ ৫০,০০০ টকা আছে আৰু বেছিভাগ ৬০টা বস্তু সাঁচি ৰাখিবলৈ ঠাই আছে। এটা টেবুলৰ দাম ২৫০০ টকা আৰু এটা চকীৰ দাম ৫০০ টকা। তেওঁ অনুমান কৰে যে এটা টেবুলৰ বিক্ৰীৰ পৰা, তেওঁ ২৫০ টকা লাভ কৰিব পাৰে আৰু এটা

এল. কেণ্টৰোভিচ চকীৰ বিক্ৰীৰ পৰা ৭৫ টকা লাভ কৰিব পাৰে। তেওঁ জানিব বিচাৰে যে উপলব্ধ ধনৰ পৰা কিমান টেবুল আৰু চকী কিনিব লাগে যাতে তেওঁৰ মুঠ লাভ সৰ্বাধিক হয়, এইটো ধৰি লৈ যে তেওঁ কিনা সকলো বস্তু বিক্ৰী কৰিব পাৰে।এই ধৰণৰ সমস্যাবোৰ যিবোৰে লাভ (বা, খৰচ) সৰ্বাধিক (বা, ন্যূনতম) কৰিব বিচাৰে, সেইবোৰ অপ্টিমাইজেচন সমস্যা নামৰ সাধাৰণ শ্ৰেণীৰ সমস্যা গঠন কৰে। গতিকে, এটা অপ্টিমাইজেচন সমস্যাই সৰ্বাধিক লাভ, ন্যূনতম খৰচ, বা সম্পদৰ ন্যূনতম ব্যৱহাৰ আদি উলিওৱাটো জড়িত কৰিব পাৰে।

এটা বিশেষ কিন্তু অপ্টিমাইজেচন সমস্যাৰ এক অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ শ্ৰেণী হৈছে ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা। ওপৰত উল্লেখ কৰা অপ্টিমাইজেচন সমস্যাটো ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ এটা উদাহৰণ। ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাবোৰ অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ কাৰণ শিল্প, বাণিজ্য, ব্যৱস্থাপনা বিজ্ঞান আদিত সিহঁতৰ বহুল প্ৰযোজ্যতাৰ বাবে।

এই অধ্যায়ত, আমি কিছুমান ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা আৰু সিহঁতৰ সমাধান কেৱল গ্ৰাফিকেল পদ্ধতিৰে অধ্যয়ন কৰিম, যদিও এনে সমস্যা সমাধান কৰিবলৈ আন বহুতো পদ্ধতিও আছে।

১২.২ ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা আৰু ইয়াৰ গাণিতিক ৰূপায়ণ

আমি ওপৰৰ ফাৰ্ণিচাৰ ডিলাৰৰ উদাহৰণটোৰ সৈতে আমাৰ আলোচনা আৰম্ভ কৰিম যিয়ে সমস্যাটোৰ দুটা চলকত গাণিতিক ৰূপায়ণলৈ আগবঢ়াই নিব। এই উদাহৰণত, আমি লক্ষ্য কৰো

(i) ডিলাৰজনে টেবুল বা চকী বা সিহঁতৰ সংমিশ্ৰণ কিনি তেওঁৰ ধন বিনিয়োগ কৰিব পাৰে। আৰু তেওঁ বিভিন্ন বিনিয়োগ কৌশল অনুসৰণ কৰি বিভিন্ন লাভ অৰ্জন কৰিব।

(ii) কিছুমান অতিৰিক্ত অৱস্থা বা সীমাবদ্ধতা আছে যেনে, তেওঁৰ বিনিয়োগ বেছিভাগ ৫০,০০০ টকলৈ সীমাবদ্ধ আৰু তেওঁৰ সাঁচি ৰখাৰ ঠাইয়ো বেছিভাগ ৬০টা বস্তুলৈ সীমাবদ্ধ।

ধৰি লওক তেওঁ কেৱল টেবুল কিনিবলৈ সিদ্ধান্ত লয় আৰু চকী নকিনে, গতিকে তেওঁ $50000 \div 2500$, অৰ্থাৎ ২০টা টেবুল কিনিব পাৰে। এই ক্ষেত্ৰত তেওঁৰ লাভ হ’ব $(250 \times 20)$ টকা, অৰ্থাৎ $\mathbf{5 0 0 0}$ টকা।

ধৰি লওক তেওঁ কেৱল চকী কিনিবলৈ বাছি লয় আৰু টেবুল নকিনে। তেওঁৰ ৫০,০০০ টকাৰ মূলধনৰ সৈতে, তেওঁ $50000 \div 500$, অৰ্থাৎ ১০০টা চকী কিনিব পাৰে। কিন্তু তেওঁ কেৱল ৬০টা বস্তু সাঁচি ৰাখিব পাৰে। সেয়েহে, তেওঁ কেৱল ৬০টা চকী কিনিবলৈ বাধ্য হয় যিয়ে তেওঁক মুঠ লাভ $(60 \times 75)$ টকা, অৰ্থাৎ ৪৫০০ টকা দিব।

আন বহুতো সম্ভাৱনা আছে, উদাহৰণস্বৰূপে, তেওঁ ১০টা টেবুল আৰু ৫০টা চকী কিনিবলৈ বাছি ল’ব পাৰে, কাৰণ তেওঁ কেৱল ৬০টা বস্তু সাঁচি ৰাখিব পাৰে। এই ক্ষেত্ৰত মুঠ লাভ হ’ব $(10 \times 250+50 \times 75)$ টকা, অৰ্থাৎ $\mathbf{6 2 5 0}$ টকা আদি।

আমি এনেদৰে দেখো যে ডিলাৰজনে তেওঁৰ ধন বিভিন্ন ধৰণে বিনিয়োগ কৰিব পাৰে আৰু তেওঁ বিভিন্ন বিনিয়োগ কৌশল অনুসৰণ কৰি বিভিন্ন লাভ অৰ্জন কৰিব।

এতিয়া সমস্যাটো হ’ল: সৰ্বাধিক লাভ পাবলৈ তেওঁ তেওঁৰ ধন কেনেদৰে বিনিয়োগ কৰিব লাগে? এই প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিবলৈ, সমস্যাটো গাণিতিকভাৱে ৰূপায়ণ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰো আহক।

১২.২.১ সমস্যাটোৰ গাণিতিক ৰূপায়ণ

ধৰি লওক $x$ হ’ল টেবুলৰ সংখ্যা আৰু $y$ হ’ল চকীৰ সংখ্যা যিবোৰ ডিলাৰজনে কিনে। স্পষ্টতেই, $x$ আৰু $y$ অঋণাত্মক হ’ব লাগিব, অৰ্থাৎ,

$$ \begin{align*} & x \geq 0 \tag{1}\\ & y \geq 0 \tag{2} \end{align*} \text { (Non-negative constraints) } $$

ডিলাৰজনে বিনিয়োগ কৰিব পৰা সৰ্বাধিক পৰিমাণ (ইয়াত ৫০,০০০ টকা) আৰু সাঁচি ৰাখিব পৰা সৰ্বাধিক বস্তুৰ সংখ্যাৰ (ইয়াত ৬০টা) দ্বাৰা সীমাবদ্ধ।

গাণিতিকভাৱে কোৱা হ’ল,

বা $$ \begin{array}{rlrl} 2500 x+500 y & \leq 50,000 & \text { (investment constraint ) } \\ 5 x+y & \leq 100 & & \\ x+y & \leq 60 & & \text { (storage constraint) } \tag{4} \end{array} $$

ডিলাৰজনে এনেদৰে বিনিয়োগ কৰিব বিচাৰে যাতে তেওঁৰ লাভ, ধৰি লওক, $Z$ সৰ্বাধিক হয়, যাক $x$ আৰু $y$ৰ ফাংচন হিচাপে প্ৰকাশ কৰা হৈছে

$Z=250 x+75 y$ (লক্ষ্য ফাংচন বুলি কোৱা হয়)

গাণিতিকভাৱে, দিয়া সমস্যাটো এতিয়া হ্ৰাস পাইছে:

সৰ্বাধিক কৰক $Z=250 x+75 y$

সীমাবদ্ধতাবোৰৰ সাপেক্ষে:

$$ \begin{aligned} 5 x+y & \leq 100 \\ x+y & \leq 60 \\ x \geq 0, y & \geq 0 \end{aligned} $$

গতিকে, আমাক ৰৈখিক ফাংচন $Z$ কেৱল অঋণাত্মক চলক থকা ৰৈখিক অসমতাৰ সংহতিৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত কিছুমান অৱস্থাৰ সাপেক্ষে সৰ্বাধিক কৰিব লাগিব। আন কিছুমান সমস্যাও আছে য’ত আমাক ৰৈখিক ফাংচন এটা অঋণাত্মক চলক থকা ৰৈখিক অসমতাৰ সংহতিৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত কিছুমান অৱস্থাৰ সাপেক্ষে ন্যূনতম কৰিব লাগিব। এনে সমস্যাবোৰক ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা বুলি কোৱা হয়।

এইদৰে, ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা হৈছে এনে এটা সমস্যা যি কিছুমান চলকৰ (ধৰি লওক $x$ আৰু $y$) ৰৈখিক ফাংচন (লক্ষ্য ফাংচন বুলি কোৱা হয়)ৰ অপ্টিমাল মান (সৰ্বাধিক বা ন্যূনতম মান) উলিওৱাৰ সৈতে জড়িত, চলকবোৰ অঋণাত্মক আৰু ৰৈখিক অসমতাৰ সংহতি (ৰৈখিক সীমাবদ্ধতা বুলি কোৱা হয়) পূৰণ কৰাৰ সাপেক্ষে। ৰৈখিক শব্দটোৱে ইংগিত দিয়ে যে সমস্যাটোত ব্যৱহৃত সকলো গাণিতিক সম্পৰ্ক ৰৈখিক সম্পৰ্ক, আনহাতে প্ৰগ্ৰেমিং শব্দটোৱে এটা বিশেষ প্ৰগ্ৰাম বা কাৰ্য্যৰ পৰিকল্পনা নিৰ্ধাৰণ কৰা পদ্ধতিক সূচায়।

আমি আগবাঢ়ি যোৱাৰ আগতে, আমি এতিয়া আনুষ্ঠানিকভাৱে কিছুমান পৰিভাষা (যিবোৰ ওপৰত ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে) সংজ্ঞায়িত কৰো যিবোৰ আমি ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাত ব্যৱহাৰ কৰিম:

লক্ষ্য ফাংচন ৰৈখিক ফাংচন $Z=a x+b y$, য’ত $a, b$ ধ্ৰুৱক, যাক সৰ্বাধিক বা ন্যূনতম কৰিব লাগে তাক ৰৈখিক লক্ষ্য ফাংচন বুলি কোৱা হয়।

ওপৰৰ উদাহৰণত, $Z=250 x+75 y$ এটা ৰৈখিক লক্ষ্য ফাংচন। চলক $x$ আৰু $y$ক সিদ্ধান্ত চলক বুলি কোৱা হয়।

সীমাবদ্ধতা ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ চলকবোৰৰ ওপৰত ৰৈখিক অসমতা বা সমীকৰণ বা নিষেধাজ্ঞাবোৰক সীমাবদ্ধতা বুলি কোৱা হয়। অৱস্থা $x \geq 0, y \geq 0$ক অঋণাত্মক নিষেধাজ্ঞা বুলি কোৱা হয়। ওপৰৰ উদাহৰণত, অসমতাৰ সংহতি (1) ৰ পৰা (4) লৈ সীমাবদ্ধতা।

অপ্টিমাইজেচন সমস্যা এটা সমস্যা যিয়ে ৰৈখিক ফাংচন এটা (ধৰি লওক দুটা চলক $x$ আৰু $y$ৰ) ৰৈখিক অসমতাৰ সংহতিৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত কিছুমান সীমাবদ্ধতাৰ সাপেক্ষে সৰ্বাধিক বা ন্যূনতম কৰিব বিচাৰে তাক অপ্টিমাইজেচন সমস্যা বুলি কোৱা হয়। ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাবোৰ অপ্টিমাইজেচন সমস্যাৰ বিশেষ প্ৰকাৰ। ওপৰৰ সমস্যাটো য’ত ডিলাৰজনে চকী আৰু টেবুল কিনি দিয়া পৰিমাণ বিনিয়োগ কৰে সেয়া অপ্টিমাইজেচন সমস্যা আৰু ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ এটা উদাহৰণ।

এতিয়া আমি আলোচনা কৰিম যে ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ সমাধান কেনেদৰে উলিয়াব পাৰি। এই অধ্যায়ত, আমি কেৱল গ্ৰাফিকেল পদ্ধতিৰ সৈতে জড়িত হ’ম।

১২.২.২ ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা সমাধানৰ গ্ৰাফিকেল পদ্ধতি

শ্ৰেণী XI-ত, আমি দুটা চলক $x$ আৰু $y$ জড়িত ৰৈখিক অসমতাৰ প্ৰণালীৰ গ্ৰাফ কেনেকৈ আঁকিব পাৰি আৰু ইয়াৰ সমাধান গ্ৰাফিকেলভাৱে কেনেকৈ উলিয়াব পাৰি শিকিছিলো। আহক আমি ১২.২ অনুচ্ছেদত আলোচনা কৰা টেবুল আৰু চকীত বিনিয়োগৰ সমস্যাটোলৈ উল্লেখ কৰো। আমি এতিয়া এই সমস্যাটো গ্ৰাফিকেলভাৱে সমাধান কৰিম। আহক আমি ৰৈখিক অসমতা হিচাপে প্ৰকাশ কৰা সীমাবদ্ধতাবোৰৰ গ্ৰাফ আঁকো:

$$ \begin{align*} 5 x+y & \leq 100 \tag{1} \\ x+y & \leq 60 \tag{2} \\ x & \geq 0 \tag{3} \\ y & \geq 0 \tag{4} \end{align*} $$

এই প্ৰণালীৰ গ্ৰাফ (ছায়াবৃত অঞ্চল) অসমতা (1) ৰ পৰা (4) লৈ নিৰ্ধাৰিত সকলো আধা তলৰ সাধাৰণ বিন্দুবোৰৰ সমন্বয়ে গঠিত (চিত্ৰ ১২.১)। এই অঞ্চলৰ প্ৰতিটো বিন্দুৱে টেবুল আৰু চকীত বিনিয়োগ কৰিবলৈ ডিলাৰৰ বাবে মুকলি এটা সম্ভাব্য পছন্দক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। গতিকে, অঞ্চলটোক সমস্যাটোৰ বাবে সম্ভাব্য অঞ্চল বুলি কোৱা হয়। এই অঞ্চলৰ প্ৰতিটো বিন্দুক সমস্যাটোৰ সম্ভাব্য সমাধান বুলি কোৱা হয়। এইদৰে, আমি পাইছো,

চিত্ৰ ১২.১

সম্ভাব্য অঞ্চল ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ অঋণাত্মক সীমাবদ্ধতা $x, y \geq 0$ সহ সকলো সীমাবদ্ধতাৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত সাধাৰণ অঞ্চলটোক সমস্যাটোৰ বাবে সম্ভাব্য অঞ্চল (বা সমাধান অঞ্চল) বুলি কোৱা হয়। চিত্ৰ ১২.১ত, অঞ্চল OABC (ছায়াবৃত) হৈছে সমস্যাটোৰ বাবে সম্ভাব্য অঞ্চল। সম্ভাব্য অঞ্চলৰ বাহিৰৰ অঞ্চলটোক অসম্ভাব্য অঞ্চল বুলি কোৱা হয়।

সম্ভাব্য সমাধান সম্ভাব্য অঞ্চলৰ ভিতৰত আৰু সীমাত থকা বিন্দুবোৰে সীমাবদ্ধতাবোৰৰ সম্ভাব্য সমাধানক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। চিত্ৰ ১২.১ত, সম্ভাব্য অঞ্চল $OABC$ৰ ভিতৰত আৰু সীমাত থকা প্ৰতিটো বিন্দুৱে সমস্যাটোৰ সম্ভাব্য সমাধানক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, বিন্দু $(10,50)$ হৈছে সমস্যাটোৰ এটা সম্ভাব্য সমাধান আৰু বিন্দু $(0,60),(20,0)$ আদিও তেনেকুৱা।

সম্ভাব্য অঞ্চলৰ বাহিৰৰ যিকোনো বিন্দুক অসম্ভাব্য সমাধান বুলি কোৱা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, বিন্দু $(25,40)$ হৈছে সমস্যাটোৰ এটা অসম্ভাব্য সমাধান।

অপ্টিমাল (সম্ভাব্য) সমাধান: সম্ভাব্য অঞ্চলৰ যিকোনো বিন্দুৱে লক্ষ্য ফাংচনৰ অপ্টিমাল মান (সৰ্বাধিক বা ন্যূনতম) দিলে তাক অপ্টিমাল সমাধান বুলি কোৱা হয়।

এতিয়া, আমি দেখো যে সম্ভাব্য অঞ্চল $OABC$ৰ প্ৰতিটো বিন্দুৱে (1) ৰ পৰা (4) লৈ দিয়া সকলো সীমাবদ্ধতা পূৰণ কৰে, আৰু যিহেতু অসীম সংখ্যক বিন্দু আছে, সেয়েহে লক্ষ্য ফাংচন $Z=250 x+75 y$ৰ সৰ্বাধিক মান দিয়া বিন্দু এটা কেনেকৈ উলিয়াব লাগে সেয়া স্পষ্ট নহয়। এই পৰিস্থিতি হাতত ল’বলৈ, আমি তলৰ উপপাদ্যবোৰ ব্যৱহাৰ কৰো যিবোৰ ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা সমাধান কৰাত মৌলিক। এই উপপাদ্যবোৰৰ প্ৰমাণ কিতাপৰ পৰিসৰৰ বাহিৰত।

উপপাদ্য 1 ধৰি লওক $R$ হৈছে ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ বাবে সম্ভাব্য অঞ্চল (উত্তল বহুভুজ) আৰু ধৰি লওক $Z=a x+b y$ হৈছে লক্ষ্য ফাংচন। যেতিয়া $Z$ৰ অপ্টিমাল মান (সৰ্বাধিক বা ন্যূনতম) থাকে, য’ত চলক $x$ আৰু $y$ ৰৈখিক অসমতাৰ দ্বাৰা বৰ্ণিত সীমাবদ্ধতাৰ সাপেক্ষে, এই অপ্টিমাল মান সম্ভাব্য অঞ্চলৰ কোণ বিন্দু* (শীৰ্ষবিন্দু) এটাত হ’ব লাগিব।

উপপাদ্য 2 ধৰি লওক $R$ হৈছে ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ বাবে সম্ভাব্য অঞ্চল, আৰু ধৰি লওক $Z=a x+b y$ হৈছে লক্ষ্য ফাংচন। যদি $R$ সীমাবদ্ধ**, তেন্তে লক্ষ্য ফাংচন $Z$ৰ $R$ত এটা সৰ্বাধিক আৰু এটা ন্যূনতম মান দুয়োটাই থাকে আৰু ইয়াৰ প্ৰতিটোৱে Rৰ কোণ বিন্দু (শীৰ্ষবিন্দু) এটাত ঘটে।

টোকা যদি $R$ অসীম, তেন্তে লক্ষ্য ফাংচনৰ সৰ্বাধিক বা ন্যূনতম মান নাথাকিব পাৰে। কিন্তু, যদি ই থাকে, ই Rৰ কোণ বিন্দু এটাত হ’ব লাগিব। (উপপাদ্য 1ৰ মতে)।

ওপৰৰ উদাহৰণত, সীমাবদ্ধ (সম্ভাব্য) অঞ্চলৰ কোণ বিন্দুবোৰ (শীৰ্ষবিন্দু): $O, A, B$ আৰু $C$ আৰু সিহঁতৰ স্থানাংক যথাক্ৰমে $(0,0),(20,0),(10,50)$ আৰু $(0,60)$ হিচাপে উলিওৱা সহজ। আহক আমি এতিয়া $Z$ৰ মান এই বিন্দুবোৰত গণনা কৰো।

আমাৰ আছে

• সম্ভাব্য অঞ্চলৰ কোণ বিন্দু হৈছে অঞ্চলৰ এনে বিন্দু যি দুটা সীমাৰেখাৰ ছেদবিন্দু।

• ৰৈখিক অসমতাৰ প্ৰণালীৰ সম্ভাব্য অঞ্চলক সীমাবদ্ধ বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াক বৃত্ত এটাৰ ভিতৰত আবদ্ধ কৰিব পাৰি। নহ’লে, ইয়াক অসীম বুলি কোৱা হয়। অসীমৰ অৰ্থ হৈছে যে সম্ভাব্য অঞ্চল যিকোনো দিশত অনিৰ্দিষ্টকাললৈ বিস্তাৰিত হয়।

আমি লক্ষ্য কৰো যে ডিলাৰৰ সৰ্বাধিক লাভ ফলন হয় বিনিয়োগ কৌশল $(10,50)$ৰ পৰা, অৰ্থাৎ ১০টা টেবুল আৰু ৫০টা চকী কিনিলে।

ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা সমাধানৰ এই পদ্ধতিক কোণ বিন্দু পদ্ধতি বুলি কোৱা হয়। পদ্ধতিটো তলৰ পদক্ষেপবোৰৰ সমন্বয়ে গঠিত:

১. ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ সম্ভাব্য অঞ্চল উলিওৱা আৰু ইয়াৰ কোণ বিন্দুবোৰ (শীৰ্ষবিন্দু) পৰিদৰ্শনৰ দ্বাৰা বা সেই বিন্দুত ছেদ কৰা ৰেখাৰ দুটা সমীকৰণ সমাধান কৰি নিৰ্ধাৰণ কৰা।

২. প্ৰতিটো কোণ বিন্দুত লক্ষ্য ফাংচন $Z=a x+b y$ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা। ধৰি লওক $\mathbf{M}$ আৰু $m$, যথাক্ৰমে এই বিন্দুবোৰৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ আৰু সৰু মানক সূচায়।

৩. (i) যেতিয়া সম্ভাব্য অঞ্চল সীমাবদ্ধ, $M$ আৰু $m$ হৈছে $Z$ৰ সৰ্বাধিক আৰু ন্যূনতম মান।

(ii) যি ক্ষেত্ৰত, সম্ভাব্য অঞ্চল অসীম, আমি পাইছো:

৪. (a) $M$ হৈছে $Z$ৰ সৰ্বাধিক মান, যদি $a x+b y>M$ৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত মুকলি আধা তলৰ সম্ভাব্য অঞ্চলৰ সৈতে কোনো বিন্দুৰ সাধাৰণ নাথাকে। নহ’লে, $Z$ৰ সৰ্বাধিক মান নাথাকে।

(b) একেদৰে, $m$ হৈছে $Z$ৰ ন্যূনতম মান, যদি $a x+b y<m$ৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত মুকলি আধা তলৰ সম্ভাব্য অঞ্চলৰ সৈতে কোনো বিন্দুৰ সাধাৰণ নাথাকে। নহ’লে, $Z$ৰ ন্যূনতম মান নাথাকে।

আমি এতিয়া কিছুমান উদাহৰণ বিবেচনা কৰি কোণ বিন্দু পদ্ধতিৰ এই পদক্ষেপবোৰ চিত্ৰিত কৰিম:

উদাহৰণ 1 তলৰ ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাটো গ্ৰাফিকেলভাৱে সমাধান কৰা:

সৰ্বাধিক কৰক $Z=4 x+y$ সীমাবদ্ধতাবোৰৰ সাপেক্ষে:

$$ \begin{aligned} x+y & \leq 50 \\ 3 x+y & \leq 90 \\ x \geq 0, y & \geq 0 \end{aligned} $$

সমাধান চিত্ৰ ১২.২ত ছায়াবৃত অঞ্চলটো হৈছে সীমাবদ্ধতাৰ প্ৰণালী (2) ৰ পৰা (4) লৈ নিৰ্ধাৰিত সম্ভাব্য অঞ্চল। আমি লক্ষ্য কৰো যে সম্ভাব্য অঞ্চল OABC সীমাবদ্ধ। গতিকে, আমি এতিয়া $Z$ৰ সৰ্বাধিক মান নিৰ্ধাৰণ কৰিবলৈ কোণ বিন্দু পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰো।

কোণ বিন্দু $O, A, B$ আৰু $C$ৰ স্থানাংকবোৰ যথাক্ৰমে $(0,0),(30,0),(20,30)$ আৰু $(0,50)$। এতিয়া আমি প্ৰতিটো কোণ বিন্দুত $Z$ৰ মান নিৰ্ণয় কৰো।

চিত্ৰ ১২.২

গতিকে, $Z$ৰ সৰ্বাধিক মান হৈছে 120 বিন্দু $(30,0)$ত।

উদাহৰণ 2 তলৰ ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাটো গ্ৰাফিকেলভাৱে সমাধান কৰা:

ন্যূনতম কৰক $Z=200 x+500 y$

সীমাবদ্ধতাবোৰৰ সাপেক্ষে:

$$ \begin{align*} x+2 y & \geq 10 \tag{1}\\ 3 x+4 y & \leq 24 \tag{2}\\ x \geq 0, y & \geq 0 \tag{3} \end{align*} $$

সমাধান চিত্ৰ ১২.৩ত ছায়াবৃত অঞ্চলটো হৈছে সীমাবদ্ধতাৰ প্ৰণালী (2) ৰ পৰা (4) লৈ নিৰ্ধাৰিত সম্ভাব্য অঞ্চল ABC, যিটো সীমাবদ্ধ। কোণ বিন্দু A, B আৰু $C$ৰ স্থানাংকবোৰ যথাক্ৰমে $(0,5),(4,3)$ আৰু $(0,6)$। এতিয়া আমি এই বিন্দুবোৰত $Z=200 x+500 y$ৰ মান নিৰ্ণয় কৰো।

চিত্ৰ ১২.৩

গতিকে, $Z$ৰ ন্যূনতম মান হৈছে 2300 বিন্দু $(4,3)$ত পোৱা যায়।

উদাহৰণ 3 তলৰ সমস্যাটো গ্ৰাফিকেলভাৱে সমাধান কৰা:

ন্যূনতম আৰু সৰ্বাধিক কৰক $Z=3 x+9 y$

সীমাবদ্ধতাবোৰৰ সাপেক্ষে: $\quad x+3 y \leq 60$

$$ \begin{align*} x+3 y & \leq 60 \tag{1}\\ x+y & \geq 10 \tag{2}\\ x & \leq y \tag{3}\\ x \geq 0, y & \geq 0 \tag{4} \end{align*} $$

সমাধান প্ৰথমে, আহক আমি ৰৈখিক অসমতাৰ প্ৰণালী (2) ৰ পৰা (5) লৈ সম্ভাব্য অঞ্চলৰ গ্ৰাফ আঁকো। সম্ভাব্য অঞ্চল $ABCD$ চিত্ৰ ১২.৪ত দেখুওৱা হৈছে। লক্ষ্য কৰক যে অঞ্চলটো সীমাবদ্ধ। কোণ বিন্দু A, B, C আৰু Dৰ স্থানাংকবোৰ যথাক্ৰমে $(0,10),(5,5),(15,15)$ আৰু $(0,20)$।

চিত্ৰ ১২.৪

আমি এতিয়া $Z$ৰ ন্যূনতম আৰু সৰ্বাধিক মান উলিয়াওঁ। তালিকাৰ পৰা, আমি পাইছো যে $Z$ৰ ন্যূনতম মান হৈছে 60 সম্ভাব্য অঞ্চলৰ বিন্দু $B(5,5)$ত।

সম্ভাব্য অঞ্চলত $Z$ৰ সৰ্বাধিক মান ঘটে দুটা কোণ বিন্দু $C(15,15)$ আৰু $D(0,20)$ত আৰু ই প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত 180।

টোকা লক্ষ্য কৰক যে ওপৰৰ উদাহৰণত, সমস্যাটোৰ কোণ বিন্দু $C$ আৰু $D$ত একাধিক অপ্টিমাল সমাধান আছে, অৰ্থাৎ দুয়োটা বিন্দুৱে একে সৰ্বাধিক মান 180 উৎপন্ন কৰে। এনে ক্ষেত্ৰত, আপুনি দেখিব পাৰে যে দুটা কোণ বিন্দু $C$ আৰু $D$ক সংযোগ কৰা CD ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰতিটো বিন্দুৱেও একে সৰ্বাধিক মান দিয়ে। যদি দুয়োটা বিন্দুৱে একে ন্যূনতম মান উৎপন্ন কৰে তেতিয়াও একে কথা প্ৰযোজ্য হয়।

উদাহৰণ 4 গ্ৰাফিকেলভাৱে লক্ষ্য ফাংচনৰ ন্যূনতম মান নিৰ্ধাৰণ কৰা

$$ Z=-50 x+20 y $$

সীমাবদ্ধতাবোৰৰ সাপেক্ষে:

$$ \begin{aligned} & 2 x-y \geq-5 \\ & 3 x+y \geq 3 \\ & 2 x-3 y \leq 12 \\ & x \geq 0, y \geq 0 \end{aligned} $$

সমাধান প্ৰথমে, আহক আমি অসমতাৰ প্ৰণালী (2) ৰ পৰা (5) লৈ সম্ভাব্য অঞ্চলৰ গ্ৰাফ আঁকো। সম্ভাব্য অঞ্চল (ছায়াবৃত) চিত্ৰ ১২.৫ত দেখুওৱা হৈছে। লক্ষ্য কৰক যে সম্ভাব্য অঞ্চল অসীম।

আমি এতিয়া কোণ বিন্দুবোৰত $Z$ৰ মান নিৰ্ণয় কৰো।

চিত্ৰ ১২.৫

এই তালিকাৰ পৰা, আমি পাইছো যে -300 হৈছে $Z$ৰ সৰ্বনিম্ন মান কোণ বিন্দু $(6,0)$ত। আমি ক’ব পাৰো নে যে $Z$ৰ ন্যূনতম মান -300? লক্ষ্য কৰক যে যদি অঞ্চলটো সীমাবদ্ধ হ’লহেঁতেন, $Z$ৰ এই সৰ্বনিম্ন মান হ’লহেঁতেন $Z$ৰ ন্যূনতম মান (উপপাদ্য 2)। কিন্তু ইয়াত আমি দেখো যে সম্ভাব্য অঞ্চল অসীম। গতিকে, -300 হ’ব পাৰে $Z$ৰ ন্যূনতম মান নহ’বও পাৰে। এই বিষয়টো সিদ্ধান্ত ল’বলৈ, আমি অসমতাৰ গ্ৰাফ আঁকো

$$ -50 x+20 y<-300 \text{ (see Step 3(ii) of corner Point Method.) } $$

অৰ্থাৎ, $$ -5 x+2 y<-30 $$

আৰু পৰীক্ষা কৰো যে ফলত হোৱা মুকলি আধা তলৰ সম্ভাব্য অঞ্চলৰ সৈতে সাধাৰণ বিন্দু আছে নে নাই। যদি ইয়াৰ সাধাৰণ বিন্দু থাকে, তেন্তে -300 হ’ব নোৱাৰে $Z$ৰ ন্যূনতম মান। নহ’লে, -300 হ’ব $Z$ৰ ন্যূনতম মান।

চিত্ৰ ১২.৫ত দেখুওৱাৰ দৰে, ইয়াৰ সাধাৰণ বিন্দু আছে। গতিকে, $Z=-50 x+20 y$ৰ দিয়া সীমাবদ্ধতাবোৰৰ সাপেক্ষে ন্যূনতম মান নাই।

ওপৰৰ উদাহৰণত, আপুনি ক’ব পাৰেনে যে $z=-50 x+20 y$ৰ সৰ্বাধিক মান 100 বিন্দু $(0,5)$ত আছে নে? ইয়াৰ বাবে, পৰীক্ষা কৰক যে $-50 x+20 y>100$ৰ গ্ৰাফৰ সম্ভাব্য অঞ্চলৰ সৈতে সাধাৰণ বিন্দু আছে নে নাই। (কিয়?)

উদাহৰণ 5 ন্যূনতম কৰক $Z=3 x+2 y$

সীমাবদ্ধতাবোৰৰ সাপেক্ষে:

$$ \begin{align*} x+y & \geq 8 \tag{1}\\ 3 x+5 y & \leq 15 \tag{2}\\ x \geq 0, y & \geq 0 \tag{3} \end{align*} $$

সমাধান আহক আমি অসমতা (1) ৰ পৰা (3) লৈ গ্ৰাফ আঁকো (চিত্ৰ ১২.৬)। কোনো সম্ভাব্য অঞ্চল আছে নে? কিয় এনে হ’ল?

চিত্ৰ ১২.৬ৰ পৰা, আপুনি দেখিব পাৰে যে সকলো সীমাবদ্ধতা একেলগে পূৰণ কৰা কোনো বিন্দু নাই। এইদৰে, সমস্যাটোৰ কোনো সম্ভাব্য অঞ্চল নাই আৰু সেয়েহে কোনো সম্ভাব্য সমাধান নাই।

টোকা আমি এতিয়ালৈকে আলোচনা কৰা উদাহৰণবোৰৰ পৰা, আমি ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাবোৰৰ কিছুমান সাধাৰণ বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য কৰো:

(i) সম্ভাব্য অঞ্চল সদায় উত্তল অঞ্চল হয়।

(ii) লক্ষ্য ফাংচনৰ সৰ্বাধিক (বা ন্যূনতম)

চিত্ৰ ১২.৬ সমাধান সম্ভাব্য অঞ্চলৰ শীৰ্ষবিন্দু