সম্ভাৱনিতাৰ তত্ত্ব হৈছে কেৱল যুক্তিবিজ্ঞানৰ পৰিমাণগত চিকিত্সা - চি.এছ. পিয়েৰ্ছ

১৩.১ পৰিচয়

পিয়েৰ দে ফেৰ্মা $(1601-1665)$

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি সম্ভাৱনিতাক এটা প্ৰায়োগিক পৰীক্ষাৰ ঘটনাসমূহৰ অনিশ্চয়তাৰ মাপ হিচাপে অধ্যয়ন কৰিছিলো। আমি ৰাছিয়ান গণিতজ্ঞ এ.এন. কলমোগৰভ (১৯০৩-১৯৮৭) ৰ দ্বাৰা গঠিত স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিৰ আলোচনা কৰিছিলো আৰু সম্ভাৱনিতাক পৰীক্ষাৰ ফলাফলৰ এটা ফলন হিচাপে বিবেচনা কৰিছিলো। আমি সমান সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ ক্ষেত্ৰত স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্ব আৰু শাস্ত্ৰীয় সম্ভাৱনিতা তত্ত্বৰ মাজত সমতা স্থাপন কৰিছিলো। এই সম্পৰ্কৰ ভিত্তিত, আমি বিচ্ছিন্ন নমুনা স্থানৰ সৈতে জড়িত ঘটনাসমূহৰ সম্ভাৱনিতা পাইছিলো। আমি সম্ভাৱনিতাৰ যোগ নিয়মো অধ্যয়ন কৰিছিলো। এই অধ্যায়ত, আমি এটা ঘটনাৰ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতাৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণাটো আলোচনা কৰিম, য’ত আন এটা ঘটনা সংঘটিত হৈছে, যি বেইজৰ উপপাদ্য, সম্ভাৱনিতাৰ পূৰণ নিয়ম আৰু ঘটনাসমূহৰ স্বাধীনতা বুজিবত সহায়ক হ’ব। আমি এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণা যেনে যাদৃচ্ছিক চলক আৰু ইয়াৰ সম্ভাৱনিতা বিতৰণ আৰু সম্ভাৱনিতা বিতৰণৰ গড় আৰু প্ৰসাৰণো শিকিম। অধ্যায়ৰ শেষ অংশত, আমি দ্বিপদী বিতৰণ নামৰ এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ বিচ্ছিন্ন সম্ভাৱনিতা বিতৰণ অধ্যয়ন কৰিম। গোটেই অধ্যায়জুৰি, আমি সমান সম্ভাৱ্য ফলাফল থকা পৰীক্ষাসমূহ ল’ম, যদি আনথিনি কোৱা নহয়।

১৩.২ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতা

এতিয়ালৈকে সম্ভাৱনিতাত, আমি ঘটনাসমূহৰ সম্ভাৱনিতা উলিওৱাৰ পদ্ধতিসমূহ আলোচনা কৰিছো। যদি আমি একে নমুনা স্থানৰ পৰা দুটা ঘটনা লওঁ, তেন্তে এটা ঘটনাৰ সংঘটনৰ তথ্যই আন ঘটনাটোৰ সম্ভাৱনিতাক প্ৰভাৱিত কৰেনে? এটা প্ৰায়োগিক পৰীক্ষা লৈ এই প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিবলৈ চেষ্টা কৰোঁ য’ত ফলাফলসমূহ সমান সম্ভাৱ্য হৈ সংঘটিত হয়।

তিনিটা ন্যায্য মুদ্ৰা টছ কৰা পৰীক্ষাটো বিবেচনা কৰা। পৰীক্ষাটোৰ নমুনা স্থান হৈছে

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

মুদ্ৰাকেইটা ন্যায্য হোৱা হেতুকে, আমি প্ৰতিটো নমুনা বিন্দুত $\frac{1}{8}$ সম্ভাৱনিতা নিয়োজিত কৰিব পাৰো। ধৰা হওক $E$ হৈছে ‘সৰ্বনিম্ন দুটা মুৰ ওলোৱা’ৰ ঘটনা আৰু $F$ হৈছে ‘প্ৰথম মুদ্ৰাই নেজ দেখুৱায়’ৰ ঘটনা। তেন্তে

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

বা $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

সেয়েহে $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

বা $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$ ৰ সৈতে

সেয়েহে $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

এতিয়া, ধৰি লোৱা হ’ল যে প্ৰথম মুদ্ৰাই নেজ দেখুৱায়, অৰ্থাৎ F সংঘটিত হয়, তেন্তে $E$ ৰ সংঘটনৰ সম্ভাৱনিতা কিমান? $F$ ৰ সংঘটনৰ তথ্যৰ সৈতে, আমি নিশ্চিত যে যি ক্ষেত্ৰত প্ৰথম মুদ্ৰাই নেজ নিদিয়ে সেইবোৰ $E$ ৰ সম্ভাৱনিতা উলিওঁতে বিবেচনা কৰা নহ’ব। এই তথ্যই আমাৰ নমুনা স্থানক $S$ সমূহৰ পৰা ইয়াৰ উপসমূহ $F$ লৈ $E$ ঘটনাৰ বাবে হ্ৰাস কৰে। অন্য কথাত, অতিৰিক্ত তথ্যই প্ৰকৃততে আমাক কৈছে যে পৰিস্থিতিটোক এটা নতুন প্ৰায়োগিক পৰীক্ষাৰ দৰে বিবেচনা কৰিব পাৰি যাৰ নমুনা স্থানত কেৱল সেই ফলাফলবোৰহে থাকে যিবোৰ $F$ ঘটনাৰ সংঘটনৰ অনুকূল।

এতিয়া, $F$ ৰ নমুনা বিন্দু যি $E$ ঘটনাৰ অনুকূল হৈছে সেয়া হৈছে THH।

সেয়েহে, $E$ ৰ সম্ভাৱনিতা, $F$ ক নমুনা স্থান $=\frac{1}{4}$ হিচাপে বিবেচনা কৰি,

বা $\quad$ $E$ ৰ সম্ভাৱনিতা যিদৰে $F$ ঘটনাটো সংঘটিত হৈছে $=\frac{1}{4}$

$E$ ঘটনাটোৰ এই সম্ভাৱনিতাক $E$ ৰ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতা বোলা হয় যিদৰে $F$ ইতিমধ্যে সংঘটিত হৈছে, আৰু ইয়াক $P(E \mid F)$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়।

সেয়েহে $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

মন কৰক যে $F$ ৰ উপাদানবোৰ যিবোৰে $E$ ঘটনাটোক অনুকূল কৰে সেয়া হৈছে $E$ আৰু $F$ ৰ সাধাৰণ উপাদান, অৰ্থাৎ $E \cap F$ ৰ নমুনা বিন্দুবোৰ।

সেয়েহে, আমি $E$ ৰ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতাকো লিখিব পাৰো যিদৰে $F$ সংঘটিত হৈছে

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

লৱ আৰু হৰক নমুনা স্থানৰ মৌলিক ঘটনাসমূহৰ মুঠ সংখ্যাৰে হৰণ কৰি, আমি দেখো যে $P(EIF)$ ক এনেদৰেও লিখিব পাৰি

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

মন কৰক যে (1) কেৱল তেতিয়াহে বৈধ যেতিয়া $P(F) \neq 0$ অৰ্থাৎ, $F \neq \phi$ (কিয়?) সেয়েহে, আমি সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতাক তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰো :

সংজ্ঞা 1 যদি $E$ আৰু $F$ এটা প্ৰায়োগিক পৰীক্ষাৰ একে নমুনা স্থানৰ সৈতে জড়িত দুটা ঘটনা হয়, তেন্তে $E$ ঘটনাটোৰ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতা যিদৰে $F$ সংঘটিত হৈছে, অৰ্থাৎ $P(E \mid F)$ দিয়া হৈছে

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

১৩.২.১ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতাৰ ধৰ্মসমূহ

ধৰা হওক $E$ আৰু $F$ এটা পৰীক্ষাৰ নমুনা স্থান $S$ ৰ ঘটনা, তেন্তে আমি পাইছো

ধৰ্ম $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

আমি জানো যে $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

সেয়েহে $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

বা $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

ধৰ্ম 2 যদি $A$ আৰু $B$ নমুনা স্থান $S$ ৰ যিকোনো দুটা ঘটনা হয় আৰু $F$ হৈছে $S$ ৰ এটা ঘটনা যেনে $P(F) \neq 0$, তেন্তে

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

নিৰ্দিষ্টভাৱে, যদি $A$ আৰু $B$ অসংযুক্ত ঘটনা হয়, তেন্তে

আমাৰ আছে $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

আমি জানো $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(সংহতিৰ ওপৰত সংহতিৰ বিতৰণমূলক নিয়মৰ দ্বাৰা)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

যেতিয়া $A$ আৰু $B$ অসংযুক্ত ঘটনা হয়, তেন্তে

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

যেতিয়া $\mathrm{A}$ আৰু $\mathrm{B}$ অসংযুক্ত ঘটনা হয়, তেন্তে $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

ধৰ্ম $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

ধৰ্ম 1 ৰ পৰা, আমি জানো যে $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

এতিয়া আমি কেইটামান উদাহৰণ লওঁ।

উদাহৰণ 1 যদি $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ আৰু $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$, $P(A \mid B)$ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান আমাৰ আছে $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

উদাহৰণ 2 এটা পৰিয়ালৰ দুটা সন্তান আছে। সিহঁতৰ এটাও ল’ৰা হোৱা হ’লে দুয়োটাই ল’ৰা হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা কিমান?

সমাধান ধৰা হওক $b$ ৰ অৰ্থ ল’ৰা আৰু $g$ ৰ অৰ্থ ছোৱালী। পৰীক্ষাটোৰ নমুনা স্থান হৈছে

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

ধৰা হওক $E$ আৰু $F$ ৰ দ্বাৰা তলৰ ঘটনাকেইটা সূচোৱা হৈছে :

E : ‘দুয়োটাই ল’ৰা’

$F$ : ‘সিহঁতৰ এটাও ল’ৰা’

তেন্তে $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

এতিয়া $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

সেয়েহে $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

সেয়েহে $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

উদাহৰণ 3 ১ ৰ পৰা ১০ লৈ ক্ৰমাংকিত দহটা কাৰ্ড এখন বাকচত ৰখা হৈছে, ভালদৰে মিহলি কৰা হৈছে আৰু তাৰ পিছত এটা কাৰ্ড যাদৃচ্ছিকভাৱে টনা হৈছে। যদি টনা কাৰ্ডটোৰ সংখ্যাটো ৩ তকৈ বেছি বুলি জনা যায়, তেন্তে ইটা জোৰ সংখ্যা হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা কিমান?

সমাধান ধৰা হওক A হৈছে ঘটনা ‘টনা কাৰ্ডটোৰ সংখ্যাটো জোৰ’ আৰু B হৈছে ঘটনা ‘টনা কাৰ্ডটোৰ সংখ্যাটো ৩ তকৈ বেছি’। আমি $P(AlB)$ উলিয়াব লাগিব।

এতিয়া, পৰীক্ষাটোৰ নমুনা স্থান হৈছে $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

তেন্তে $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

আৰু $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

আৰু $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

উদাহৰণ 4 এখন স্কুলত, ১০০০ জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছে, যাৰ ভিতৰত ৪৩০ গৰাকী ছোৱালী। জনা গৈছে যে ছোৱালীসকলৰ $430,10 \%$ দ্বাদশ শ্ৰেণীত পঢ়ে। এজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা হ’লে দ্বাদশ শ্ৰেণীত পঢ়াৰ সম্ভাৱনিতা কিমান, যদি বাছনি কৰা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীজনী ছোৱালী?

সমাধান ধৰা হওক E ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হৈছে যে এজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা হৈছে দ্বাদশ শ্ৰেণীত পঢ়ে আৰু $F$ হৈছে ঘটনা যে যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীজনী ছোৱালী। আমি $P(EIF)$ উলিয়াব লাগিব।

এতিয়া $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ আৰু $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$ (কিয়?)

তেন্তে $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

উদাহৰণ 5 এটা ফাঁক তিনিবাৰ দলিওৱা হৈছে। ঘটনা A আৰু B তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে:

A : তৃতীয় দলিয়াত ৪

B : প্ৰথম দলিয়াত ৬ আৰু দ্বিতীয় দলিয়াত ৫

B ইতিমধ্যে সংঘটিত হোৱা হ’লে A ৰ সম্ভাৱনিতা উলিওৱা।

সমাধান নমুনা স্থানটোৰ ২১৬টা ফলাফল আছে।

এতিয়া

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

আৰু $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

এতিয়া $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

তেন্তে $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

উদাহৰণ 6 এটা ফাঁক দুবাৰ দলিওৱা হৈছে আৰু ওলোৱা সংখ্যাবোৰৰ যোগফল ৬ হোৱা দেখা গৈছে। সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতা কিমান যে সংখ্যাটো ৪ অন্ততঃ এবাৰ ওলাইছে?

সমাধান ধৰা হওক $E$ হৈছে ঘটনা ‘সংখ্যাটো ৪ অন্ততঃ এবাৰ ওলায়’ আৰু $F$ হৈছে ঘটনা ‘ওলোৱা সংখ্যাবোৰৰ যোগফল ৬’।

তেন্তে, $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

আৰু আমাৰ আছে $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ and } P(F)=\frac{5}{36} $$

আৰু $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

সেয়েহে $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

সেয়েহে, প্ৰয়োজনীয় সম্ভাৱনিতা $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

ওপৰত আলোচনা কৰা সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতাৰ বাবে, আমি পৰীক্ষাটোৰ মৌলিক ঘটনাসমূহক সমান সম্ভাৱ্য হিচাপে বিবেচনা কৰিছিলো আৰু ঘটনা এটাৰ সম্ভাৱনিতাৰ সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা ব্যৱহাৰ কৰিছিলো। অৱশ্যে, একে সংজ্ঞাটো সাধাৰণ ক্ষেত্ৰতো ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি য’ত নমুনা স্থানৰ মৌলিক ঘটনাসমূহ সমান সম্ভাৱ্য নহয়, সম্ভাৱনিতাসমূহ $P(E \cap F)$ আৰু $P(F)$ তদনুযায়ী গণনা কৰা হয়। তলৰ উদাহৰণটো লওঁ।

উদাহৰণ 7 এটা মুদ্ৰা টছ কৰা পৰীক্ষাটো বিবেচনা কৰা। যদি মুদ্ৰাটোৱে মুৰ দেখুৱায়, আকৌ টছ কৰা, কিন্তু যদি ই নেজ দেখুৱায়, তেন্তে এটা ফাঁক দলিওৱা। ঘটনা ‘ফাঁকটোৱে ৪ তকৈ ডাঙৰ সংখ্যা দেখুৱায়’ৰ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতা উলিওৱা, যিদৰে ‘অন্ততঃ এটা নেজ আছে’।

সমাধান পৰীক্ষাটোৰ ফলাফলবোৰ তলৰ চিত্ৰাত্মক পদ্ধতিৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি যাক ‘বৃক্ষ চিত্ৰ’ বোলা হয়।

পৰীক্ষাটোৰ নমুনা স্থান বৰ্ণনা কৰিব পাৰি

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

য’ত $(H, H)$ ৰ অৰ্থ দুয়োটা টছৰ ফলত মুৰ ওলায় আৰু $(T, i)$ ৰ অৰ্থ প্ৰথম টছৰ ফলত নেজ ওলায় আৰু ফাঁকটোত $i$ সংখ্যাটো ওলায় $i=1,2,3,4,5,6$ ৰ বাবে। সেয়েহে, ৮টা মৌলিক ঘটনাত নিয়োজিত সম্ভাৱনিতাসমূহ

$(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3)(T, 4),(T, 5),(T, 6)$ হৈছে ক্ৰমে $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$

যি চিত্ৰ ১৩.২ ৰ পৰা স্পষ্ট।

ধৰা হওক $F$ হৈছে ঘটনা ‘অন্ততঃ এটা নেজ আছে’ আৰু $E$ হৈছে ঘটনা ‘ফাঁকটোৱে ৪ তকৈ ডাঙৰ সংখ্যা দেখুৱায়’।

তেন্তে $$ \begin{aligned} & F=\{(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} \\ & E=\{(T, 5),(T, 6)\} \text{ and } E \cap F=\{(T, 5),(T, 6)\} \end{aligned} $$

এতিয়া $$ \begin{aligned} P(F)= & P(\{(H, T)\})+P(\{(T, 1)\})+P(\{(T, 2)\})+P(\{(T, 3)\}) \\ & +P(\{(T, 4)\})+P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\}) \\ = & \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

আৰু $\quad P(E \cap F)=P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

সেয়েহে $\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}$

১৩.৩ সম্ভাৱনিতাৰ ওপৰত পূৰণ উপপাদ্য

ধৰা হওক $E$ আৰু $F$ নমুনা স্থান $S$ ৰ সৈতে জড়িত দুটা ঘটনা। স্পষ্টভাৱে, সমূহ $E \cap F$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হৈছে যে $E$ আৰু $F$ দুয়োটা সংঘটিত হৈছে। অন্য কথাত, $E \cap F$ ৰ দ্বাৰা $E$ আৰু $F$ ঘটনাকেইটাৰ একে সময়তে সংঘটন সূচোৱা হৈছে। $E \cap F$ ঘটনাটোক $EF$ ৰ দ্বাৰাও লিখা হয়।

বহু সময়ত আমি EF ঘটনাটোৰ সম্ভাৱনিতা উলিয়াব লাগে। উদাহৰণস্বৰূপে, দুটা কাৰ্ড একেৰাহে টনা পৰীক্ষাত, আমি ‘এটা ৰজা আৰু এটা ৰাণী’ ঘটনাটোৰ সম্ভাৱনিতা উলিওৱাত আগ্ৰহী হ’ব পাৰো। EF ঘটনাটোৰ সম্ভাৱনিতা সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতা ব্যৱহাৰ কৰি তলত দিয়া ধৰণে পোৱা যায় :

আমি জানো যে $E$ ঘটনাটোৰ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতা যিদৰে $F$ সংঘটিত হৈছে তাক $P(E \mid F)$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয় আৰু ইয়াক দিয়া হয়

$$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $$

এই ফলাফলৰ পৰা, আমি লিখিব পাৰো

$$ P(E \cap F)=P(F) . P(E \mid F) \tag{1} $$

আৰু, আমি জানো যে

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=\frac{P(F \cap E)}{P(E)}, P(E) \neq 0 \\ & P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}(\text{ since } E \cap F=F \cap E) \end{aligned} $$

সেয়েহে, $$ P(E \cap F)=P(E) . P(F \mid E) \tag{2} $$

(1) আৰু (2) সংযুক্ত কৰি, আমি পাইছো যে

$$ \begin{aligned} P(E \cap F) & =P(E) P(F \mid E) \\ & =P(F) P(E \mid F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \text{ and } P(F) \neq 0 . \end{aligned} $$

ওপৰৰ ফলাফলটোক সম্ভাৱনিতাৰ পূৰণ নিয়ম বুলি জনা যায়।

এতিয়া আমি এটা উদাহৰণ লওঁ।

উদাহৰণ 8 এটা কলচত ১০টা ক’লা আৰু ৫টা বগা বল আছে। কলচটোৰ পৰা দুটা বল একেৰাহে প্ৰতিস্থাপন নকৰাকৈ টনা হৈছে। টনা বল দুটা ক’লা হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা কিমান?

সমাধান ধৰা হওক $E$ আৰু $F$ ৰ দ্বাৰা ক্ৰমে সূচোৱা হৈছে যে প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় টনা বল ক’লা। আমি $P(E \cap F)$ বা $P(EF)$ উলিয়াব লাগিব।

এতিয়া $$ P(E)=P(\text{ black ball in first draw })=\frac{10}{15} $$

আৰু দিয়া আছে যে প্ৰথম টনা বলটো ক’লা, অৰ্থাৎ, $E$ ঘটনাটো সংঘটিত হৈছে, এতিয়া কলচটোত ৯টা ক’লা বল আৰু ৫টা বগা বল বাকী আছে। সেয়েহে, দ্বিতীয় টনা বলটো ক’লা হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা, যিদৰে প্ৰথম টনা বলটো ক’লা, সেয়া হৈছে $F$ ৰ সাপেক্ষে সম্ভাৱনিতা যিদৰে $E$ সংঘটিত হৈছে।

অৰ্থাৎ $$ P(F \mid E)=\frac{9}{14} $$

সম্ভাৱনিতাৰ পূৰণ নিয়মৰ দ্বাৰা, আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) & =\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G} \mid \mathrm{EF}) \\ & =\frac{10}{15} \times \frac{9}{14}=\frac{3}{7} \end{aligned} $$

দুটাৰ অধিক ঘটনাৰ বাবে সম্ভাৱনিতাৰ পূৰণ নিয়ম যদি $E, F$ আৰু $G$ নমুনা স্থানৰ তিনিটা ঘটনা হয়, আমি পাইছো

$$ P(E \cap F \cap G)=P(E) P(F \mid E) P(G \mid(E \cap F))=P(E) P(F \mid E) P(G \mid E F) $$

এনেদৰে, সম্ভাৱনিতাৰ পূৰণ নিয়মক চাৰিটা বা ততোধিক ঘটনাৰ বাবে বঢ়াব পাৰি।

তলৰ উদাহৰণটোৱে তিনিটা ঘটনাৰ বাবে সম্ভাৱনিতাৰ পূৰণ নিয়মৰ সম্প্ৰসাৰণ বুজায়।

উদাহৰণ 9 তিনিটা কাৰ্ড ক্ৰমাগতভাৱে, প্ৰতিস্থাপন নকৰাকৈ ৫২টা ভালদৰে মিহলি কৰা কাৰ্ডৰ পেকৰ পৰা টনা হৈছে। প্ৰথম দুটা কাৰ্ড ৰজা আৰু তৃতীয় টনা কাৰ্ডটো এছ হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা কিমান?

সমাধান ধৰা হওক $K$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হৈছে যে টনা কাৰ্ডটো ৰজা আৰু $A$ হৈছে ঘটনা যে টনা কাৰ্ডটো এছ। স্পষ্টভাৱে, আমি P (KKA) উলিয়াব লাগিব

এতিয়া $$ P(K)=\frac{4}{52} $$

আৰু, $P(K \mid K)$ হৈছে দ্বিতীয় ৰজাৰ সম্ভাৱনিতা যিদৰে এটা ৰজা ইতিমধ্যে টনা হৈছে। এতিয়া $(52-1)=51$টা কাৰ্ডত তিনিটা ৰজা আছে।

সেয়েহে $$ P(K \mid K)=\frac{3}{51} $$

শেষত, $P(A \mid KK)$ হৈছে তৃতীয় টনা কাৰ্ডটো এছ হোৱাৰ সম্ভাৱনিতা, যিদৰে দুটা ৰজা ইতিমধ্যে টনা হৈছে। এতিয়া বাকী ৫০টা কাৰ্ডত চাৰিটা এছ আছে।

সেয়েহে $$ P(A \mid KK)=\frac{4}{50} $$

সম্ভাৱনিতাৰ পূৰণ নিয়মৰ দ্বাৰা, আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} P(KKA) & =P(K) \quad P(K \mid K) \quad P(A \mid KK) \\ & =\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50}=\frac{2}{5525} \end{aligned} $$

১৩.৪ স্বাধীন ঘটনা

৫২টা খেলৰ কাৰ্ডৰ ডেকৰ পৰা এটা কাৰ্ড টনা পৰীক্ষাটো বিবেচনা কৰা, য’ত মৌলিক ঘটনাসমূহ সমান সম্ভাৱ্য হিচাপে ধৰা হৈছে। যদি $E$ আৰু $F$ ৰ দ্বাৰা ক্ৰমে ঘটনা ‘টনা কাৰ্ডটো স্পেড’ আৰু ‘টনা কাৰ্ডটো এছ’ সূচোৱা হয়, তেন্তে

$$ P(E)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} \text{ and } P(F)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} $$

আৰু $E$ আৰু $F$ হৈছে ঘটনা ‘টনা কাৰ্ডটো স্পেডৰ এছ’ সেয়েহে

সেয়েহে $$ \begin{aligned} & P(E \cap F)=\frac{1}{52} \\ & P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{1}{13}}=\frac{1}{4} \end{aligned} $$

কিয়নো $P(E)=\frac{1}{4}=P(E \mid F)$, আমি ক’ব পাৰো যে $F$ ঘটনাটোৰ সংঘটনে $E$ ঘটনাটোৰ সংঘটনৰ সম্ভাৱনিতাক প্ৰভাৱিত কৰা নাই।

আমাৰ আৰু আছে $$ P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{13}=P(F) $$

আকৌ, $P(F)=\frac{1}{13}=P(F \mid E)$ ৰ দ্বাৰা দেখুৱা হয় যে $E$ ঘটনাটোৰ সংঘটনে $F$ ঘটনাটোৰ সংঘটনৰ সম্ভাৱনিতাক প্ৰভাৱিত কৰা নাই।

সেয়েহে, $E$ আৰু $F$ দুটা ঘটনা যেনে ইয়াৰ এটাৰ সংঘটনৰ সম্ভাৱনিতাক আনটোৰ সংঘটনে প্ৰভাৱিত নকৰে।

এনেবোৰ ঘটনাক স্বাধীন ঘটনা বোলা হয়।

সংজ্ঞা 2 দুটা ঘটনা $E$ আৰু $F$ ক স্বাধীন বুলি কোৱা হয়, যদি

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=P(F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \\ & P(E \mid F)=P(E) \text{ provided } P(F) \neq 0 \end{aligned} $$

আৰু সেয়েহে, এই সংজ্ঞাত আমি $P(E) \neq 0$ আৰু $P(F) \neq 0$ লাগে

এতিয়া, সম্ভাৱনিতাৰ পূৰণ নিয়মৰ দ্বাৰা, আমি পাইছো

$$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F \mid E) \tag{1} $$

যদি $E$ আৰু $F$ স্বাধীন হয়, তেন্তে (1) হৈছে

$$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F) \tag{2} $$

সেয়েহে, (2) ব্যৱহাৰ কৰি, দুটা ঘটনাৰ স্বাধীনতাক তলত দিয়া ধৰণেও সংজ্ঞায়িত কৰা হয়:

সংজ্ঞা 3 ধৰা হওক $E$ আৰু $F$ একে প্ৰায়োগিক পৰীক্ষাৰ সৈতে জড়িত দুটা ঘটনা হয়, তেন্তে $E$ আৰু $F$ ক স্বাধীন বুলি কোৱা হয় যদি

$$ P(E \cap F)=P(E) . P(F) $$

মন্তব্য

(i) দুটা ঘটনা $E$ আৰু $F$ ক নিৰ্ভৰশীল বুলি কোৱা হয় যদি সিহঁত স্বাধীন নহয়, অৰ্থাৎ যদি $ P(E \cap F) \neq P(E) . P(F) $

(ii) কেতিয়াবা স্বাধীন ঘটনা আৰু পাৰস্পৰিক বৰ্জনীয় ঘটনাৰ মাজত গোলমাল হয়। ‘স্বাধীন’ শব্দটো ‘ঘটনাসমূহৰ সম্ভাৱনিতা’ৰ ভিত্তিত সংজ্ঞায়িত কৰা হয় য’ত পাৰস্পৰিক বৰ্জনীয়ক ঘটনাৰ ভিত্তিত সংজ্ঞায়িত কৰা হয় (নমুনা স্থানৰ উপসমূহ)। তদুপৰি, পাৰস্পৰিক বৰ্জনীয় ঘটনাত কেতিয়াও সাধাৰণ ফলাফল নাথাকে, কিন্তু স্বাধীন ঘটনাত, সাধাৰণ ফলাফল থাকিব পাৰে। স্পষ্টভাৱে, ‘স্বাধীন’ আৰু ‘পাৰস্পৰিক বৰ্জনীয়’ৰ একে অৰ্থ নাই।

অন্য কথাত, শূন্য নোহোৱা সংঘটনৰ সম্ভাৱনিতা থকা দুটা স্বাধীন ঘটনা পাৰস্পৰিক বৰ্জনীয় হ’ব নোৱাৰে, আৰু বিপৰীতক্ৰমে, অৰ্থাৎ শূন্য নোহোৱা সংঘটনৰ সম্ভাৱনিতা থকা দুটা পাৰস্পৰিক বৰ্জনীয় ঘটনা স্বাধীন হ’ব নোৱাৰে।

(iii) দুটা পৰীক্ষাক স্বাধীন বুলি কোৱা হয় যদি প্ৰতিটো যোৰ ঘটনা $E$ আৰু $F$ ৰ বাবে, য’ত $E$ প্ৰথম পৰীক্ষাৰ সৈতে জড়িত আৰু $F$ দ্বিতীয় পৰীক্ষাৰ সৈতে জড়িত, $E$ আৰু $F$ ঘটনাকেইটাৰ একে সময়তে সংঘটনৰ সম্ভাৱনিতা যেতিয়া দুটা পৰীক্ষা কৰা হয় সেয়া হৈছে $P(E)$ আৰু $P(F)$ ৰ গুণফল যাক দুটা পৰীক্ষাৰ ভিত্তিত পৃথককৈ গণনা কৰা হয়, অৰ্থাৎ, $P(E \cap F)=P(E)$। $P(F)$

(iv) তিনিটা ঘটনা A, B আৰু C ক পাৰস্পৰিকভাৱে স্বাধীন বুলি কোৱা হয়, যদি

$$ \begin{aligned} P(A \cap B) & =P(A) P(B) \\ P(A \cap C) & =P(A) P(C) \\ P(B \cap C) & =P(B) P(C) \end{aligned} $$

$$ \text{ and } \quad P(A \cap B \cap C)=P(A) P(B) P(C) $$

যদি তিনিটা দিয়া ঘটনাৰ বাবে ওপৰৰ এটাও সত্য নহয়, তেন্তে আমি কওঁ যে ঘটনাকেইটা স্বাধীন নহয়।

উদাহৰণ 10 $A$ ফাঁক দলিওৱা হৈছে। যদি $E$ হৈছে ঘটনা ‘ওলোৱা সংখ্যাটো ৩ ৰ গুণিতক’ আৰু $F$ হৈছে ঘটনা ‘ওলোৱা সংখ্যাটো জোৰ’ তেন্তে $E$ আৰু $F$ স্বাধীন নেকি নিৰ্ণয় কৰা?

সমাধান আমি জানো যে নমুনা স্থান হৈছে $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

এতিয়া $$ E=\{3,6\}, F=\{2,4,6\} \text{ and } E \cap F=\{6\} $$

তেন্তে $$ P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, P(F)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{6} $$

স্পষ্টভাৱে $$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F) $$

সেয়েহে $\quad E$ আৰু $F$ স্বাধীন ঘটনা।

উদাহৰণ 11 এটা পক্ষপাতহীন ফাঁক দুবাৰ দলিওৱা হৈছে। ধৰা হওক ঘটনা A হৈছে ‘প্ৰথম দলিয়াত অযুগ্ম সংখ্যা’ আৰু B হৈছে ঘটনা ‘দ্বিতীয় দলিয়াত অযুগ্ম সংখ্যা’। ঘটনা A আৰু B ৰ স্বাধীনতা পৰীক্ষা কৰা।

সমাধান যদি পৰীক্ষাটোৰ ৩৬টা মৌলিক ঘটনাসমূহ সমান সম্ভাৱ্য হিচাপে বিবেচনা কৰা হয়, আমি পাইছো

আৰু $$ P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2} \text{ and } P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2} $$

$$ P(A \cap B)=P(\text{ odd number on both throws }) $$

$$ =\frac{9}{36}=\frac{1}{4} $$

এতিয়া $$ P(A) P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} $$

স্পষ্টভাৱে $$ P(A \cap B)=P(A) \times P(B) $$

সেয়েহে, $\quad A$ আৰু $B$ স্বাধীন ঘটনা

উদাহৰণ 12 তিনিটা মুদ্ৰা একে সময়তে টছ কৰা হৈছে। ঘটনা $E$ ‘তিনিটা মুৰ বা তিনিটা নেজ’, $F$ ‘অন্ততঃ দুটা মুৰ’ আৰু $G$ ‘সৰ্বাধিক দুটা মুৰ’ বিবেচনা কৰা। যোৰ (E,F), $(E, G)$ আৰু $(F, G)$ ৰ ভিতৰত, কোনবোৰ স্বাধীন? কোনবোৰ নিৰ্ভৰশীল?

সমাধান পৰীক্ষাটোৰ নমুনা স্থান দিয়া হৈছে

$$ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $$

স্পষ্টভাৱে $\quad E=\{HHH, TTT\}, F=\{HHH, HHT, HTH, THH\}$

আৰু $$ G=\{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $$

আৰু $E \cap F=\{HHH\}, E \cap G=\{TTT\}, F \cap G=\{HHT, HTH, THH\}$

সেয়েহে $$ \begin{array}{r} \mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}, \mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{7}{8} \\ \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G})=\frac{3}{8} \end{array} $$

আৰু $$ P(E) \cdot P(F)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}, P(E) \cdot P(G)=\frac{1}{4} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{32} $$ $$ P(F) \cdot P(G)=\frac{1}{2} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{16} $$

সেয়েহে $$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F) $$

$$ P(E \cap G) \neq P(E) \cdot P(G) $$

আৰু $$ P(F \cap G) \neq P(F) . P(G) $$

সেয়েহে, ঘটনাবোৰ ( $E$ আৰু $F$ ) স্বাধীন, আৰু ঘটনাবোৰ $(E$ আৰু $G)$ আৰু $(F$ আৰু $G)$ নিৰ্ভৰশ