পৃথিৱীত কুৎসিত গণিতৰ বাবে স্থায়ী ঠাই নাই … । গণিতীয় সৌন্দৰ্য্যৰ সংজ্ঞা দিয়া বৰ টান হ’ব পাৰে কিন্তু যিকোনো ধৰণৰ সৌন্দৰ্য্যৰ ক্ষেত্ৰতো একেই কথা, আমি এটা সুন্দৰ কবিতাৰ অৰ্থ সম্পৰ্কে নাজানিলেও, আমি এটা পঢ়োঁতে চিনাক্ত কৰাত আমাক বাধা নিদিয়ে। - জি. এইচ. হাৰ্ডি

১.১ ভূমিকা

স্বৰূপ, সম্পৰ্ক আৰু ফাংচনৰ ধাৰণা, ড’মেইন, ক’-ড’মেইন আৰু ৰেঞ্জৰ বিষয়ে ক্লাছ ইলেভেনত বিভিন্ন ধৰণৰ নিৰ্দিষ্ট বাস্তৱ মানৰ ফাংচন আৰু তেওঁলোকৰ গ্ৰাফৰ সৈতে চিনাকি কৰোৱা হৈছিল। গণিতত ‘সম্পৰ্ক’ শব্দটোৰ ধাৰণা ইংৰাজী ভাষাত সম্পৰ্কৰ অৰ্থৰ পৰা আহৰণ কৰা হৈছে, যাৰ মতে দুটা বস্তু বা পৰিমাণৰ মাজত চিনাক্ত কৰিব পৰা সংযোগ বা লিংক থাকিলে তেওঁলোকৰ মাজত সম্পৰ্ক থাকে। ধৰি লওক A হৈছে এখন স্কুলৰ ক্লাছ টৱেলভৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংহতি আৰু B হৈছে একে স্কুলৰ ক্লাছ ইলেভেনৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংহতি। তেন্তে $A$ ৰ পৰা $B$ লৈ সম্পৰ্কৰ কিছুমান উদাহৰণ হ’ল

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

লেজিউন ডিৰিচ্লেট (১৮০৫-১৮৫৯)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : a ৰ দ্বাৰা চূড়ান্ত পৰীক্ষাত পোৱা মুঠ নম্বৰ b ৰ দ্বাৰা চূড়ান্ত পৰীক্ষাত পোৱা মুঠ নম্বৰতকৈ কম $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ এ $b\}$ ৰ একে স্থানীয়তাত বাস কৰে। অৱশ্যে, ইয়াৰ পৰা বিমূৰ্ত কৰি, আমি গাণিতিকভাৱে $A$ ৰ পৰা $B$ লৈ এটা সম্পৰ্ক $R$ ক $A \times B$ ৰ এটা স্বেচ্ছাচাৰী উপসংহতি হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰোঁ।

যদি $(a, b) \in R$, আমি কওঁ যে $a$ সম্পৰ্ক $R$ ৰ অধীনত $b$ ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত আৰু আমি $a R b$ হিচাপে লিখোঁ। সাধাৰণতে, $(a, b) \in R$, আমি $a$ আৰু $b$ ৰ মাজত চিনাক্ত কৰিব পৰা সংযোগ বা লিংক আছে নে নাই সেই বিষয়ে চিন্তা নকৰোঁ। ক্লাছ ইলেভেনত দেখা হৈছিল, ফাংচনবোৰ হৈছে বিশেষ ধৰণৰ সম্পৰ্ক।

এই অধ্যায়ত, আমি বিভিন্ন ধৰণৰ সম্পৰ্ক আৰু ফাংচন, ফাংচনৰ সংযোজন, বিপৰীত কৰিব পৰা ফাংচন আৰু বাইনাৰী অপাৰেচন অধ্যয়ন কৰিম।

১.২ সম্পৰ্কৰ প্ৰকাৰ

এই অংশত, আমি বিভিন্ন ধৰণৰ সম্পৰ্ক অধ্যয়ন কৰিব বিচাৰো। আমি জানো যে সংহতি $A$ ত এটা সম্পৰ্ক হৈছে $A \times A$ ৰ এটা উপসংহতি। গতিকে, খালি সংহতি $\phi$ আৰু $A \times A$ হৈছে দুটা চৰম সম্পৰ্ক। উদাহৰণ হিচাপে, সংহতি $A=\{1,2,3,4\}$ ত দিয়া $R=\{(a, b): a-b=10\}$ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত এটা সম্পৰ্ক $R$ বিবেচনা কৰক। এইটো খালি সংহতি, কাৰণ কোনো যোৰ $(a, b)$ য়ে চৰ্ত $a-b=10$ পূৰণ নকৰে। একেদৰে, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ হৈছে সমগ্ৰ সংহতি $A \times A$, কাৰণ A $\times$ A ত থকা সকলো যোৰ $(a, b)$ য়ে $|a-b| \geq 0$ পূৰণ কৰে। এই দুটা চৰম উদাহৰণে আমাক তলৰ সংজ্ঞালৈ লৈ যায়।

সংজ্ঞা ১ সংহতি $A$ ত এটা সম্পৰ্ক $R$ ক খালি সম্পৰ্ক বুলি কোৱা হয়, যদি $A$ ৰ কোনো মৌল $A$ ৰ যিকোনো মৌলৰ সৈতে সম্পৰ্কিত নহয়, অৰ্থাৎ, $R=\phi \subset A \times A$।

সংজ্ঞা ২ সংহতি $A$ ত এটা সম্পৰ্ক $R$ ক সাৰ্বজনীন সম্পৰ্ক বুলি কোৱা হয়, যদি $A$ ৰ প্ৰতিটো মৌল $A$ ৰ প্ৰতিটো মৌলৰ সৈতে সম্পৰ্কিত হয়, অৰ্থাৎ, $R=A \times A$।

খালি সম্পৰ্ক আৰু সাৰ্বজনীন সম্পৰ্ক দুয়োটাকে কেতিয়াবা তুচ্ছ সম্পৰ্ক বুলিও কোৱা হয়।

উদাহৰণ ১ ধৰি লওক $A$ হৈছে এটা বয়ছ স্কুলৰ সকলো ছাত্ৰৰ সংহতি। দেখুওৱা যে $A$ ত দিয়া সম্পৰ্ক $R$ হৈছে $R=\{(a, b): a$ হৈছে $b\}$ ৰ ভনী খালি সম্পৰ্ক আৰু $R^{\prime}=\{(a, b):$ $a$ আৰু $b$ ৰ উচ্চতাৰ পাৰ্থক্য ৩ মিটাৰতকৈ কম $\}$ হৈছে সাৰ্বজনীন সম্পৰ্ক।

সমাধান স্কুলখন বয়ছ স্কুল হোৱা হেতুকে, স্কুলৰ কোনো ছাত্ৰই স্কুলৰ কোনো ছাত্ৰৰ ভনী হ’ব নোৱাৰে। গতিকে, $R=\phi$, যিয়ে দেখুৱায় যে $R$ হৈছে খালি সম্পৰ্ক। ইয়াও স্পষ্ট যে স্কুলৰ যিকোনো দুজন ছাত্ৰৰ উচ্চতাৰ পাৰ্থক্য ৩ মিটাৰতকৈ কম হ’ব লাগিব। ইয়েই দেখুৱায় যে $R^{\prime}=A \times A$ হৈছে সাৰ্বজনীন সম্পৰ্ক।

টোকা ক্লাছ ইলেভেনত, আমি এটা সম্পৰ্ক প্ৰকাশ কৰাৰ দুটা ধৰণ দেখিছিলো, নামভিত্তিক পদ্ধতি আৰু সংহতি নিৰ্মাণকাৰী পদ্ধতি। অৱশ্যে, সংহতি $\{1,2,3,4\}$ ত সংজ্ঞায়িত সম্পৰ্ক $R$ ক $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ দ্বাৰাও বহুতো লেখকে $a R b$ যদি আৰু কেৱল যদি $b=a+1$ হিচাপে প্ৰকাশ কৰে। আমি ইয়াকো সুবিধাজনক হ’লে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰো।

যদি $(a, b) \in R$, আমি কওঁ যে $a$ $b$ ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত আৰু আমি ইয়াক $a R b$ হিচাপে চিহ্নিত কৰো।

গণিতত গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা পালন কৰা আটাইতকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ সম্পৰ্কবোৰৰ ভিতৰত এটা হৈছে সমতুল্যতা সম্পৰ্ক। সমতুল্যতা সম্পৰ্ক অধ্যয়ন কৰিবলৈ, আমি প্ৰথমে তিনিটা ধৰণৰ সম্পৰ্ক বিবেচনা কৰো, নামভিত্তিক প্ৰতিবিম্বক, সমমিতিক আৰু সংক্ৰামক।

সংজ্ঞা ৩ সংহতি $A$ ত এটা সম্পৰ্ক $R$ ক কোৱা হয়

(i) প্ৰতিবিম্বক, যদি $(a, a) \in R$, প্ৰতিটো $a \in A$ ৰ বাবে,

(ii) সমমিতিক, যদি $(a_{1}, a_{2}) \in R$ ইয়াৰ অৰ্থ $(a_{2}, a_{1}) \in R$, সকলো $a_{1}, a_{2} \in A$ ৰ বাবে।

(iii) সংক্ৰামক, যদি $(a_{1}, a_{2}) \in R$ আৰু $(a_{2}, a_{3}) \in R$ ইয়াৰ অৰ্থ $(a_{1}, a_{3}) \in R$, সকলো $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ ৰ বাবে।

সংজ্ঞা ৪ সংহতি $A$ ত এটা সম্পৰ্ক $R$ ক সমতুল্যতা সম্পৰ্ক বুলি কোৱা হয় যদি $R$ প্ৰতিবিম্বক, সমমিতিক আৰু সংক্ৰামক হয়।

উদাহৰণ ২ ধৰি লওক $T$ হৈছে এটা সমতলত থকা সকলো ত্ৰিভুজৰ সংহতি আৰু $T$ ত দিয়া সম্পৰ্ক $R$ হৈছে $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ হৈছে $.T_{2}\}$ ৰ সৈতে সৰ্বাংগসম। দেখুওৱা যে $R$ হৈছে এটা সমতুল্যতা সম্পৰ্ক।

সমাধান $R$ প্ৰতিবিম্বক, কাৰণ প্ৰতিটো ত্ৰিভুজ নিজৰ সৈতে সৰ্বাংগসম। আৰু, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$ হৈছে $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ ৰ সৈতে সৰ্বাংগসম $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$ হৈছে সৰ্বাংগসম। গতিকে, $R$ সমমিতিক। তদুপৰি, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ হৈছে $T_{2}$ ৰ সৈতে সৰ্বাংগসম আৰু $T_{2}$ হৈছে $T_{3} \Rightarrow T_{1}$ ৰ সৈতে সৰ্বাংগসম $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ হৈছে সৰ্বাংগসম। গতিকে, $R$ হৈছে এটা সমতুল্যতা সম্পৰ্ক।

উদাহৰণ ৩ $ Let L$ হৈছে এটা সমতলত থকা সকলো ৰেখাৰ সংহতি আৰু $L$ ত সংজ্ঞায়িত সম্পৰ্ক $R$ হৈছে $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ হৈছে $.L_{2}\}$ ৰ লম্ব। দেখুওৱা যে $R$ সমমিতিক কিন্তু প্ৰতিবিম্বক বা সংক্ৰামক নহয়।

সমাধান $R$ প্ৰতিবিম্বক নহয়, কাৰণ এটা ৰেখা $L_{1}$ নিজৰ লম্ব হ’ব নোৱাৰে, অৰ্থাৎ, $(L_{1}, L_{1})$ $\notin R$। R সমমিতিক কাৰণ $(L_{1}, L_{2}) \in R$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$R$ সংক্ৰামক নহয়। নিশ্চিতভাৱে, যদি $L_{1}$ হৈছে $L_{2}$ ৰ লম্ব আৰু $L_{2}$ হৈছে $L_{3}$ ৰ লম্ব, তেন্তে $L_{1}$ কেতিয়াও $L_{3}$ ৰ লম্ব হ’ব নোৱাৰে। প্ৰকৃততে, $L_{1}$ হৈছে $L_{3}$ ৰ সমান্তৰাল, অৰ্থাৎ, $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$ কিন্তু $(L_{1}, L_{3}) \notin R$।

চিত্ৰ ১.১

উদাহৰণ ৪ দেখুওৱা যে সংহতি $\{1,2,3\}$ ত থকা সম্পৰ্ক $R$ হৈছে R=$\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ প্ৰতিবিম্বক কিন্তু সমমিতিক বা সংক্ৰামক নহয়।

সমাধান $R$ প্ৰতিবিম্বক, কাৰণ $(1,1),(2,2)$ আৰু $(3,3)$ $R$ ত থাকে। আৰু, $R$ সমমিতিক নহয়, কাৰণ $(1,2) \in R$ কিন্তু $(2,1) \notin R$। একেদৰে, $R$ সংক্ৰামক নহয়, কাৰণ $(1,2) \in R$ আৰু $(2,3) \in R$ কিন্তু $(1,3) \notin R$।

উদাহৰণ ৫ দেখুওৱা যে পূৰ্ণাংকৰ সংহতি $\mathbf{Z}$ ত থকা সম্পৰ্ক $R$ হৈছে $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ এটা সমতুল্যতা সম্পৰ্ক।

সমাধান $R$ প্ৰতিবিম্বক, কাৰণ 2 ৱে $(a-a)$ ক $a \in \mathbf{Z}$ সকলোৰ বাবে বিভাজিত কৰে। আৰু, যদি $(a, b) \in R$, তেন্তে 2 ৱে $a-b$ ক বিভাজিত কৰে। গতিকে, 2 ৱে $b-a$ ক বিভাজিত কৰে। গতিকে, $(b, a) \in R$, যিয়ে দেখুৱায় যে $R$ সমমিতিক। একেদৰে, যদি $(a, b) \in R$ আৰু $(b, c) \in R$, তেন্তে $a-b$ আৰু $b-c$ 2 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য। এতিয়া, $a-c=(a-b)+(b-c)$ যুগ্ম (কিয়?)। গতিকে, $(a-c)$ 2 ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য। ইয়েই দেখুৱায় যে $R$ সংক্ৰামক। গতিকে, $R$ হৈছে $\mathbf{Z}$ ত এটা সমতুল্যতা সম্পৰ্ক।

উদাহৰণ ৫ ত, লক্ষ্য কৰক যে সকলো যুগ্ম পূৰ্ণাংক শূন্যৰ সৈতে সম্পৰ্কিত, কাৰণ $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ আদি $R$ ত থাকে আৰু কোনো অযুগ্ম পূৰ্ণাংক 0 ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত নহয়, কাৰণ $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ আদি $R$ ত নাথাকে। একেদৰে, সকলো অযুগ্ম পূৰ্ণাংক একৰ সৈতে সম্পৰ্কিত আৰু কোনো যুগ্ম পূৰ্ণাংক একৰ সৈতে সম্পৰ্কিত নহয়। গতিকে, সকলো যুগ্ম পূৰ্ণাংকৰ সংহতি $E$ আৰু সকলো অযুগ্ম পূৰ্ণাংকৰ সংহতি $O$ হৈছে $\mathbf{Z}$ ৰ উপসংহতি যিয়ে তলৰ চৰ্তবোৰ পূৰণ কৰে:

(i) $E$ ৰ সকলো মৌল ইটো সিটোৰ সৈতে সম্পৰ্কিত আৰু $O$ ৰ সকলো মৌল ইটো সিটোৰ সৈতে সম্পৰ্কিত।

(ii) $E$ ৰ কোনো মৌল $O$ ৰ যিকোনো মৌলৰ সৈতে সম্পৰ্কিত নহয় আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটোও।

(iii) $E$ আৰু $O$ পৰস্পৰ পৃথক আৰু $\mathbf{Z}=E \cup O$।

উপসংহতি $E$ ক শূন্য ধাৰণ কৰা সমতুল্যতা শ্ৰেণী বুলি কোৱা হয় আৰু ইয়াক [0] ৰ দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয়। একেদৰে, $O$ হৈছে 1 ধাৰণ কৰা সমতুল্যতা শ্ৰেণী আৰু ইয়াক [1] ৰ দ্বাৰা চিহ্নিত কৰা হয়। লক্ষ্য কৰক যে $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ আৰু $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$। প্ৰকৃততে, ওপৰত আমি যি দেখিলো সেয়া সংহতি $X$ ত থকা এটা স্বেচ্ছাচাৰী সমতুল্যতা সম্পৰ্ক $R$ ৰ বাবে সত্য। স্বেচ্ছাচাৰী সংহতি $X, R$ ত থকা এটা স্বেচ্ছাচাৰী সমতুল্যতা সম্পৰ্ক $R$ ৱে $X$ ক পৰস্পৰ পৃথক উপসংহতি $A_{i}$ লৈ বিভক্ত কৰে যাক $X$ ৰ বিভাজন বা উপবিভাজন বুলি কোৱা হয় যিয়ে তলৰবোৰ পূৰণ কৰে:

(i) $A_{i}$ ৰ সকলো মৌল ইটো সিটোৰ সৈতে সম্পৰ্কিত, সকলো $i$ ৰ বাবে।

(ii) $A_{i}$ ৰ কোনো মৌল $A_{j}, i \neq j$ ৰ যিকোনো মৌলৰ সৈতে সম্পৰ্কিত নহয়।

(iii) $\cup A_{j}=X$ আৰু $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$।

উপসংহতিবোৰ $A_{i}$ ক সমতুল্যতা শ্ৰেণী বুলি কোৱা হয়। পৰিস্থিতিৰ আকৰ্ষণীয় অংশ হ’ল যে আমি বিপৰীতটোও কৰিব পাৰো। উদাহৰণস্বৰূপে, সংহতি $\mathbf{Z}$ ৰ এটা উপবিভাজন বিবেচনা কৰক যিটো তিনিটা পৰস্পৰ পৃথক উপসংহতি $A_{1}, A_{2}$ আৰু $A_{3}$ ৰ দ্বাৰা দিয়া হয় যাৰ সংযোগ হৈছে $\mathbf{Z}$

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

সংহতি $\mathbf{Z}$ ত এটা সম্পৰ্ক $R$ সংজ্ঞায়িত কৰক যিটো $R=\{(a, b): 3$ ৱে $a-b\}$ ক বিভাজিত কৰে। উদাহৰণ ৫ ত ব্যৱহাৰ কৰা যুক্তিৰ সৈতে মিল থকা যুক্তি অনুসৰণ কৰি, আমি দেখুৱাব পাৰো যে $R$ হৈছে এটা সমতুল্যতা সম্পৰ্ক। আৰু, $A_{1}$ শূন্যৰ সৈতে সম্পৰ্কিত $\mathbf{Z}$ ত থকা সকলো পূৰ্ণাংকৰ সংহতিৰ সৈতে মিলে, $A_{2}$ 1 ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত সকলো পূৰ্ণাংকৰ সংহতিৰ সৈতে মিলে আৰু $A_{3}$ 2 ৰ সৈতে সম্পৰ্কিত $\mathbf{Z}$ ত থকা সকলো পূৰ্ণাংকৰ সংহতিৰ সৈতে মিলে। গতিকে, $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$ আৰু $A_{3}=[2]$। প্ৰকৃততে, $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$ আৰু $A_{3}=[3 r+2]$, সকলো $r \in \mathbf{Z}$ ৰ বাবে।

উদাহৰণ ৬ ধৰি লওক $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ সংহতিত সংজ্ঞায়িত সম্পৰ্ক $R$ হৈছে R=$\{(a, b) :$ a আৰু b দুয়োটাই হয় অযুগ্ম নহয় যুগ্ম $\}$। দেখুওৱা যে $R$ হৈছে এটা সমতুল্যতা সম্পৰ্ক। আৰু, দেখুওৱা যে উপসংহতি $\{1,3,5,7\}$ ৰ সকলো মৌল ইটো সিটোৰ সৈতে সম্পৰ্কিত আৰু উপসংহতি $\{2,4,6\}$ ৰ সকলো মৌল ইটো সিটোৰ সৈতে সম্পৰ্কিত, কিন্তু উপসংহতি $\{1,3,5,7\}$ ৰ কোনো মৌল উপসংহতি $\{2,4,6\}$ ৰ যিকোনো মৌলৰ সৈতে সম্পৰ্কিত নহয়।

সমাধান A ত যিকোনো মৌল $a$ দিয়া হ’লে, $a$ আৰু $a$ দুয়োটাই হয় অযুগ্ম নহয় যুগ্ম হ’ব লাগিব, যাতে $(a, a) \in R$। আৰু, $(a, b) \in R \Rightarrow$ $a$ আৰু $b$ দুয়োটাই হয় অযুগ্ম নহয় যুগ্ম হ’ব লাগিব $\Rightarrow(b, a) \in R$। একেদৰে, $(a, b) \in R$ আৰু $(b, c) \in R \Rightarrow$ সকলো মৌল $a, b, c$, একে সময়তে হয় যুগ্ম নহয় অযুগ্ম হ’ব লাগিব $\Rightarrow(a, c) \in R$। গতিকে, $R$ হৈছে এটা সমতুল্যতা সম্পৰ্ক। আৰু, $\{1,3,5,7\}$ ৰ সকলো মৌল ইটো সিটোৰ সৈতে সম্পৰ্কিত, কাৰণ এই উপসংহতিৰ সকলো মৌল অযুগ্ম। একেদৰে, উপসংহতি $\{2,4,6\}$ ৰ সকলো মৌল ইটো সিটোৰ সৈতে সম্পৰ্কিত, কাৰণ ইহঁত সকলো যুগ্ম। আৰু, উপসংহতি $\{1,3,5,7\}$ ৰ কোনো মৌল $\{2,4,6\}$ ৰ যিকোনো মৌলৰ সৈতে সম্পৰ্কিত হ’ব নোৱাৰে, কাৰণ $\{1,3,5,7\}$ ৰ মৌলবোৰ অযুগ্ম, আনহাতে $\{2,4,6\}$ ৰ মৌলবোৰ যুগ্ম।

১.৩ ফাংচনৰ প্ৰকাৰ

ফাংচনৰ ধাৰণা আৰু কিছুমান বিশেষ ফাংচন যেনে অভেদ ফাংচন, ধ্ৰুৱক ফাংচন, বহুপদ ফাংচন, পৰিমেয় ফাংচন, মডুলাছ ফাংচন, চাইনাম ফাংচন আদি তেওঁলোকৰ গ্ৰাফৰ সৈতে ক্লাছ ইলেভেনত দিয়া হৈছিল।

দুটা ফাংচনৰ যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণো অধ্যয়ন কৰা হৈছিল। ফাংচনৰ ধাৰণাটো গণিতত আৰু অন্যান্য শাখাতো অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ হোৱা হেতুকে, আমি আগতে য’ত শেষ কৰিছিলো তাতকৈ ফাংচন সম্পৰ্কে আমাৰ অধ্যয়ন সম্প্ৰসাৰিত কৰিব বিচাৰো। এই অংশত, আমি বিভিন্ন ধৰণৰ ফাংচন অধ্যয়ন কৰিব বিচাৰো।

তলৰ চিত্ৰৰ দ্বাৰা দিয়া ফাংচন $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ আৰু $f_{4}$ বিবেচনা কৰক।

চিত্ৰ ১.২ ত, আমি লক্ষ্য কৰো যে ফাংচন $f_{1}$ ৰ অধীনত $X_{1}$ ৰ পৃথক মৌলবোৰৰ প্ৰতিবিম্ব পৃথক, কিন্তু $f_{2}$ ৰ অধীনত $X_{1}$ ৰ দুটা পৃথক মৌল ১ আৰু ২ ৰ প্ৰতিবিম্ব একে, অৰ্থাৎ $b$। আৰু, $X_{2}$ ত $e$ আৰু $f$ ৰ দৰে কিছুমান মৌল আছে যিবোৰ $f_{1}$ ৰ অধীনত $X_{1}$ ৰ যিকোনো মৌলৰ প্ৰতিবিম্ব নহয়, আনহাতে $X_{3}$ ৰ সকলো মৌল $f_{3}$ ৰ অধীনত $X_{1}$ ৰ কিছুমান মৌলৰ প্ৰতিবিম্ব। ওপৰৰ লক্ষণবোৰে তলৰ সংজ্ঞালৈ লৈ যায়:

সংজ্ঞা ৫ $ A$ ফাংচন $f: X \rightarrow Y$ ক এক-এক (বা ইনজেক্টিভ) বুলি সংজ্ঞায়িত কৰা হয়, যদি $f$ ৰ অধীনত $X$ ৰ পৃথক মৌলবোৰৰ প্ৰতিবিম্ব পৃথক হয়, অৰ্থাৎ, প্ৰতিটো $x_{1}, x_{2} \in X, f(x_{1})=f(x_{2})$ ৰ বাবে $x_{1}=x_{2}$ ইয়াৰ অৰ্থ। নহ’লে, $f$ ক বহু-এক বুলি কোৱা হয়।

চিত্ৰ ১.২ (i) আৰু (iv) ত থকা ফাংচন $f_{1}$ আৰু $f_{4}$ এক-এক আৰু চিত্ৰ ১.২ (ii) আৰু (iii) ত থকা ফাংচন $f_{2}$ আৰু $f_{3}$ বহু-এক।

সংজ্ঞা ৬ এটা ফাংচন $f: X \rightarrow Y$ ক অণ্টু (বা ছাৰজেক্টিভ) বুলি কোৱা হয়, যদি $Y$ ৰ প্ৰতিটো মৌল $f$ ৰ অধীনত $X$ ৰ কিছুমান মৌলৰ প্ৰতিবিম্ব হয়, অৰ্থাৎ, প্ৰতিটো $y \in Y$ ৰ বাবে, $X$ ত এটা মৌল $x$ থাকে যাতে $f(x)=y$।

চিত্ৰ ১.২ (iii), (iv) ত থকা ফাংচন $f_{3}$ আৰু $f_{4}$ অণ্টু আৰু চিত্ৰ ১.২ (i) ত থকা ফাংচন $f_{1}$ অণ্টু নহয় কাৰণ $X_{2}$ ত থকা মৌল $e, f$ বোৰ $f_{1}$ ৰ অধীনত $X_{1}$ ৰ যিকোনো মৌলৰ প্ৰতিবিম্ব নহয়।

চিত্ৰ ১.২ (i) ৰ পৰা (iv)

টোকা $f: X \rightarrow Y$ অণ্টু যদি আৰু কেৱল যদি $f=Y$ ৰ ৰেঞ্জ।

সংজ্ঞা ৭ এটা ফাংচন $f: X \rightarrow Y$ ক এক-এক আৰু অণ্টু (বা বাইজেক্টিভ) বুলি কোৱা হয়, যদি $f$ একে সময়তে এক-এক আৰু অণ্টু হয়।

চিত্ৰ ১.২ (iv) ত থকা ফাংচন $f_{4}$ এক-এক আৰু অণ্টু।

উদাহৰণ ৭ ধৰি লওক A হৈছে এখন স্কুলৰ ক্লাছ $X$ ৰ ৫০ গৰাকী ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংহতি। ধৰি লওক $f: A \rightarrow \mathbf{N}$ হৈছে $f(x)=$ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত ফাংচন যিটো হৈছে ছাত্ৰ $x$ ৰ ৰ’ল নম্বৰ। দেখুওৱা যে $f$ এক-এক কিন্তু অণ্টু নহয়।

সমাধান ক্লাছৰ দুটা ভিন্ন ছাত্ৰৰ একে ৰ’ল নম্বৰ হ’ব নোৱাৰে। গতিকে, $f$ এক-এক হ’ব লাগিব। আমি কোনো ক্ষতি নোহোৱাকৈ ধৰি ল’ব পাৰো যে ছাত্ৰসকলৰ ৰ’ল নম্বৰ ১ ৰ পৰা ৫০ লৈ। ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল যে $\mathbf{N}$ ত থকা ৫১ হৈছে ক্লাছৰ কোনো ছাত্ৰৰ ৰ’ল নম্বৰ নহয়, গতিকে ৫১ ক $f$ ৰ অধীনত $X$ ৰ যিকোনো মৌলৰ প্ৰতিবিম্ব হ’ব নোৱাৰে। গতিকে, $f$ অণ্টু নহয়।

উদাহৰণ ৮ দেখুওৱা যে ফাংচন $f: \mathbf{N}\rightarrow \mathbf{N}$, $f(x)=2 x$ দ্বাৰা দিয়া, এক-এক কিন্তু অণ্টু নহয়।

সমাধান ফাংচন $f$ এক-এক, কাৰণ $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$। আৰু, $f$ অণ্টু নহয়, কাৰণ $1 \in \mathbf{N}$ ৰ বাবে, $\mathbf{N}$ ত কোনো $x$ নাথাকে যাতে $f(x)=2 x=1$।

উদাহৰণ ৯ প্ৰমাণ কৰা যে ফাংচন $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, $f(x)=2 x$ দ্বাৰা দিয়া, এক-এক আৰু অণ্টু। সমাধান $f$ এক-এক, কাৰণ $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$। আৰু, $R$ ত যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা $y$ দিয়া হ’লে, $R$ ত $\frac{y}{2}$ থাকে যাতে $f(\frac{y}{2})=2 .(\frac{y}{2})=y$। গতিকে, $f$ অণ্টু।

চিত্ৰ ১.৩

উদাহৰণ ১০ দেখুওৱা যে ফাংচন $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, $f(1)=f(2)=1$ দ্বাৰা দিয়া আৰু $f(x)=x-1$, প্ৰতিটো $x>2$ ৰ বাবে, অণ্টু কিন্তু এক-এক নহয়।

সমাধান $f$ এক-এক নহয়, কাৰণ $f(1)=f(2)=1$। কিন্তু $f$ অণ্টু, কাৰণ যিকোনো $y \in \mathbf{N}, y \neq 1$ দিয়া হ’লে, আমি $x$ ক $y+1$ হিচাপে বাছনি কৰিব পাৰো যাতে $f(y+1)=y+1-1=y$। আৰু $1 \in \mathbf{N}$ ৰ বাবে, আমি $f(1)=1$ পাইছো।

উদাহৰণ ১১ দেখুওৱা যে ফাংচন $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, $f(x)=x^{2}$ ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত, এক-এক বা অণ্টু নহয়।

সমাধান কাৰণ $f(-1)=1=f(1), f$ এক-এক নহয়। আৰু, ক’-ড’মেইন $\mathbf{R}$ ত থকা মৌল -2 হৈছে ড’মেইন $\mathbf{R}$ ত থকা যিকোনো মৌল $x$ ৰ প্ৰতিবিম্ব নহয় (কিয়?)। গতিকে $f$ অণ্টু নহয়।

উদাহৰণ ১২ দেখুওৱা যে $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, তলত দিয়াৰ দ্বাৰা

$$ f(x)=\begin{aligned} & x+1, \text { if } x \text { is odd, } \\ & x-1, \text { if } x \text { is even } \end{aligned} $$ একে সময়তে এক-এক আৰু অণ্টু।

চিত্ৰ ১.৪

সমাধান ধৰি লওক $f(x_{1})=f(x_{2})$। লক্ষ্য কৰক যে যদি $x_{1}$ অযুগ্ম আৰু $x_{2}$ যুগ্ম, তেন্তে আমি $x_{1}+1=x_{2}-1$ পাম, অৰ্থাৎ $x_{2}-x_{1}=2$ যিটো অসম্ভৱ। একেদৰে, $x_{1}$ যুগ্ম আৰু $x_{2}$ অযুগ্ম হোৱাৰ সম্ভাৱনাকো একে যুক্তিৰে বাদ দিব পাৰি। গতিকে, $x_{1}$ আৰু $x_{2}$ দুয়োটাই হয় অযুগ্ম নহয় যুগ্ম হ’ব লাগিব। ধৰি লওক $x_{1}$ আৰু $x_{2}$ দুয়োটাই অযুগ্ম। তেন্তে $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}+1=x_{2}+1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}$। একেদৰে, যদি $x_{1}$ আৰু $x_{2}$ দুয়োটাই যুগ্ম, তেন্তে $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}-1=x_{2}-1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}$। গতিকে, $f$ এক-এক। আৰু, ক’-ড’মেইন $\mathbf{N}$ ত থকা যিকোনো অযুগ্ম সংখ্যা $2 r+1$ হৈছে ড’মেইন $\mathbf{N}$ ত থকা $2 r+2$ ৰ প্ৰতিবিম্ব আৰু ক’-ড’মেইন $\mathbf{N}$ ত থকা যিকোনো যুগ্ম সংখ্যা $2 r$ হৈছে ড’মেইন $\mathbf{N}$ ত থকা $2 r-1$ ৰ প্ৰতিবিম্ব। গতিকে, $f$ অণ্টু।

উদাহৰণ ১৩ দেখুওৱা যে এটা অণ্টু ফাংচন $f:\{1,2,3\} \Rightarrow\{1,2,3\}$ সদায় এক-এক হয়।

সমাধান ধৰি লওক $f$ এক-এক নহয়। তেন্তে ড’মেইনত দুটা মৌল থাকে, ধৰি লওক ১ আৰু ২ যিৰ প্ৰতিবিম্ব ক’-ড’মেইনত একে। আৰু, $f$ ৰ অধীনত ৩ ৰ প্ৰতিবিম্ব কেৱল এটা মৌল হ’ব পাৰে। গতিকে, ৰেঞ্জ সংহতিয়ে ক’-ড’মেইন $\{1,2,3\}$ ৰ বেছিৰ পৰা দুটা মৌল থাকিব পাৰে, যিয়ে দেখুৱায় যে $f$ অণ্টু ন