গণিত, সাধাৰণতে, মৌলিকভাৱে নমুনা আৰু সম্পৰ্কৰ বিজ্ঞান। — ফেলিক্স ক্লেইন

2.1 ভূমিকা

অধ্যায় ১ত, আমি অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ যে এটা ফাংশন $f$ৰ প্ৰতিলোম, $f^{-1}$ৰ দ্বাৰা সূচিত, অস্তিত্বত থাকে যদি $f$ এক-এক আৰু উপস্থ হয়। বহুতো ফাংশন আছে যিবোৰ এক-এক, উপস্থ বা দুয়োটাই নহয় আৰু সেয়েহে আমি সেইবোৰৰ প্ৰতিলোমৰ বিষয়ে কথা পাতিব নোৱাৰো। শ্ৰেণী XIত, আমি অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ যে ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনবোৰ তেওঁলোকৰ প্ৰাকৃতিক ড’মেইন আৰু ৰেঞ্জৰ ওপৰত এক-এক আৰু উপস্থ নহয় আৰু সেয়েহে তেওঁলোকৰ প্ৰতিলোমৰ অস্তিত্ব নাথাকে। এই অধ্যায়ত, আমি ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনবোৰৰ ড’মেইন আৰু ৰেঞ্জৰ ওপৰত থকা নিষেধাজ্ঞাবোৰৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিম যিয়ে তেওঁলোকৰ প্ৰতিলোমৰ অস্তিত্ব নিশ্চিত কৰে আৰু গ্ৰাফিকেল প্ৰতিনিধিত্বৰ জৰিয়তে তেওঁলোকৰ আচৰণ লক্ষ্য কৰিম। ইয়াৰ উপৰিও, কিছুমান প্ৰাথমিক ধৰ্মও আলোচনা কৰা হ’ব। প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনবোৰে কেলকুলাছত এক গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা পালন কৰে কাৰণ সেইবোৰে বহুতো ইণ্টেগ্ৰেল সংজ্ঞায়িত কৰিবলৈ সেৱা আগবঢ়ায়। প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ ধাৰণাবোৰ বিজ্ঞান আৰু অভিযান্ত্ৰিকীতো ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

আৰ্যভট্ট

($476-550$ খ্ৰীষ্টাব্দ)

2.2 মৌলিক ধাৰণাসমূহ

শ্ৰেণী XIত, আমি ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনবোৰ অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ, যিবোৰ তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে:

ছাইন ফাংশন, অৰ্থাৎ, ছাইন : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ক’ছাইন ফাংশন, অৰ্থাৎ, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

টেঞ্জেণ্ট ফাংশন, অৰ্থাৎ, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

ক’টেঞ্জেণ্ট ফাংশন, অৰ্থাৎ, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

ছেকেণ্ট ফাংশন, অৰ্থাৎ, ছেক : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

ক’ছেকেণ্ট ফাংশন, অৰ্থাৎ, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

আমি অধ্যায় ১ত ইয়াও শিকিছিলোঁ যে যদি $f: X \rightarrow Y$ যেনে $f(x)=y$ এক-এক আৰু উপস্থ হয়, তেন্তে আমি এটা অনন্য ফাংশন $g: Y \rightarrow X$ সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰোঁ যেনে $g(y)=x$, য’ত $x \in X$ আৰু $y=f(x), y \in$ Y। ইয়াত, $g=$ৰ ড’মেইন হৈছে $f$ৰ ৰেঞ্জ আৰু $g=$ৰ ৰেঞ্জ হৈছে $f$ৰ ড’মেইন। ফাংশন $g$ক $f$ৰ প্ৰতিলোম বুলি কোৱা হয় আৰু $f^{-1}$ৰ দ্বাৰা সূচিত কৰা হয়। আৰু, $g$ও এক-এক আৰু উপস্থ হয় আৰু $g$ৰ প্ৰতিলোম হৈছে $f$। এইদৰে, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$। আমাৰো আছে

আৰু $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

ছাইন ফাংশনৰ ড’মেইন হৈছে সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি আৰু ৰেঞ্জ হৈছে বন্ধ অন্তৰাল $[-1,1]$। যদি আমি ইয়াৰ ড’মেইন $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$লৈ সীমাবদ্ধ কৰোঁ, তেন্তে ই এক-এক আৰু উপস্থ হৈ পৰে ৰেঞ্জ $[-1,1]$ৰ সৈতে। প্ৰকৃততে, ছাইন ফাংশন যিকোনো অন্তৰাল $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ আদিলৈ সীমাবদ্ধ কৰিলে, এক-এক হয় আৰু ইয়াৰ ৰেঞ্জ হৈছে $[-1,1]$। আমি সেয়েহে ছাইন ফাংশনৰ প্ৰতিলোমক এই প্ৰতিটো অন্তৰালত সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰোঁ। আমি ছাইন ফাংশনৰ প্ৰতিলোমক $\sin ^{-1}$ (আৰ্ক ছাইন ফাংশন)ৰ দ্বাৰা সূচিত কৰোঁ। এইদৰে, $\sin ^{-1}$ হৈছে এটা ফাংশন যাৰ ড’মেইন হৈছে $[-1,1]$ আৰু ৰেঞ্জ হ’ব পাৰে যিকোনো অন্তৰাল $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ বা $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$, ইত্যাদি। প্ৰতিটো এনে অন্তৰালৰ সৈতে সংগতি ৰাখি, আমি $\sin ^{-1}$ ফাংশনৰ এটা শাখা পাওঁ। ৰেঞ্জ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ থকা শাখাটোক প্ৰধান মান শাখা বুলি কোৱা হয়, আনহাতে ৰেঞ্জ হিচাপে অন্য অন্তৰালবোৰে $\sin ^{-1}$ৰ বিভিন্ন শাখা দিয়ে। যেতিয়া আমি $\sin ^{-1}$ ফাংশনটোৰ কথা কওঁ, আমি ইয়াক এনে ফাংশন হিচাপে লওঁ যাৰ ড’মেইন হৈছে $[-1,1]$ আৰু ৰেঞ্জ হৈছে $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$। আমি লিখোঁ $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

প্ৰতিলোম ফাংশনৰ সংজ্ঞাৰ পৰা ইয়াক অনুসৰণ কৰে যে $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ যদি $-1 \leq x \leq 1$ আৰু $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ যদি $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$। অন্য কথাত, যদি $y=\sin ^{-1} x$, তেন্তে $\sin y=x$।

মন্তব্য

(i) আমি অধ্যায় ১ৰ পৰা জানো যে, যদি $y=f(x)$ এটা উল্টাব পৰা ফাংশন হয়, তেন্তে $x=f^{-1}(y)$। এইদৰে, $\sin^{-1}$ ফাংশনৰ গ্ৰাফটো মূল ফাংশনৰ গ্ৰাফৰ পৰা $x$ আৰু $y$ অক্ষবোৰ সলনি কৰি পোৱা যাব পাৰে, অৰ্থাৎ, যদি $(a, b)$ ছাইন ফাংশনৰ গ্ৰাফত এটা বিন্দু হয়, তেন্তে $(b, a)$ ছাইন ফাংশনৰ প্ৰতিলোমৰ গ্ৰাফত সংশ্লিষ্ট বিন্দু হৈ পৰে। এইদৰে, $y=\sin ^{-1} x$ ফাংশনৰ গ্ৰাফটো $y=\sin x$ৰ গ্ৰাফৰ পৰা $x$ আৰু $y$ মানবোৰ সলনি কৰি পোৱা যাব পাৰে। $y=\sin x$ আৰু $y=\sin ^{-1} x$ৰ গ্ৰাফবোৰ চিত্ৰ 2.1 (i), (ii), (iii)ত দিয়া ধৰণে আছে। $y=\sin ^{-1} x$ৰ গ্ৰাফৰ গাঢ় অংশটোৱে প্ৰধান মান শাখাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

(ii) দেখুৱাব পাৰি যে প্ৰতিলোম ফাংশনৰ গ্ৰাফটো মূল ফাংশনৰ সংশ্লিষ্ট গ্ৰাফৰ পৰা ৰেখা $y=x$ৰ বৰাবৰ দাপোনৰ ছবি (অৰ্থাৎ, প্ৰতিফলন) হিচাপে পোৱা যাব পাৰে। ইয়াক $y=\sin x$ আৰু $y=\sin ^{-1} x$ৰ গ্ৰাফবোৰ একে অক্ষত (চিত্ৰ 2.1 (iii)) দিয়াৰ দৰে চাই কল্পনা কৰিব পাৰি।

ছাইন ফাংশনৰ দৰে, ক’ছাইন ফাংশন হৈছে এটা ফাংশন যাৰ ড’মেইন হৈছে সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি আৰু ৰেঞ্জ হৈছে সংহতি $[-1,1]$। যদি আমি ক’ছাইন ফাংশনৰ ড’মেইন $[0, \pi]$লৈ সীমাবদ্ধ কৰোঁ, তেন্তে ই এক-এক আৰু উপস্থ হৈ পৰে ৰেঞ্জ $[-1,1]$ৰ সৈতে। প্ৰকৃততে, ক’ছাইন ফাংশন যিকোনো অন্তৰাল $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ আদিলৈ সীমাবদ্ধ কৰিলে, দ্বিমুখী হয় ৰেঞ্জ $[-1,1]$ হিচাপে। আমি সেয়েহে ক’ছাইন ফাংশনৰ প্ৰতিলোমক এই প্ৰতিটো অন্তৰালত সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰোঁ। আমি ক’ছাইন ফাংশনৰ প্ৰতিলোমক $\cos ^{-1}$ (আৰ্ক ক’ছাইন ফাংশন)ৰ দ্বাৰা সূচিত কৰোঁ। এইদৰে, $\cos ^{-1}$ হৈছে এটা ফাংশন যাৰ ড’মেইন হৈছে $[-1,1]$ আৰু ৰেঞ্জ হ’ব পাৰে যিকোনো অন্তৰাল $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ আদি। প্ৰতিটো এনে অন্তৰালৰ সৈতে সংগতি ৰাখি, আমি $\cos ^{-1}$ ফাংশনৰ এটা শাখা পাওঁ। ৰেঞ্জ $[0, \pi]$ থকা শাখাটোক $\cos ^{-1}$ ফাংশনৰ প্ৰধান মান শাখা বুলি কোৱা হয়। আমি লিখোঁ

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ৰ দ্বাৰা দিয়া ফাংশনৰ গ্ৰাফটো $y=\sin ^{-1} x$ৰ গ্ৰাফৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা ধৰণে একে ধৰণে অংকন কৰিব পাৰি। $y=\sin x$ আৰু $y=\cos ^{-1} x$ৰ গ্ৰাফবোৰ চিত্ৰ 2.2 (i) আৰু (ii)ত দিয়া হৈছে।

চিত্ৰ. 2.2 (i)

চিত্ৰ 2.2 (ii)

আকৌ, $\csc^{-1} x$ আৰু $\sec^{-1} x$ৰ বিষয়ে এতিয়া আলোচনা কৰোঁ আহক:

যিহেতু, $cosec x=\frac{1}{\sin x}$, ক’ছেক ফাংশনৰ ড’মেইন হৈছে সংহতি $\{x: x \in \mathbf{R}$ আৰু $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ আৰু ৰেঞ্জ হৈছে সংহতি $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ বা $y \leq -1\}$ অৰ্থাৎ, সংহতি $\mathbf{R}-(-1,1)$। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে $y=cosec x$য়ে $-1<y<1$ বাদে সকলো বাস্তৱ মান গ্ৰহণ কৰে আৰু $\pi$ৰ পূৰ্ণাংক গুণিতকৰ বাবে সংজ্ঞায়িত নহয়। যদি আমি ক’ছেক ফাংশনৰ ড’মেইন $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$লৈ সীমাবদ্ধ কৰোঁ, তেন্তে ই এক-এক আৰু উপস্থ হয় ইয়াৰ ৰেঞ্জ সংহতি $\mathbf{R}-(-1,1)$ হিচাপে। প্ৰকৃততে, ক’ছেক ফাংশন যিকোনো অন্তৰাল $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ আদিলৈ সীমাবদ্ধ কৰিলে, দ্বিমুখী হয় আৰু ইয়াৰ ৰেঞ্জ হৈছে সকলো বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি $\mathbf{R}-(-1,1)$। এইদৰে $cosec^{-1}$ক এটা ফাংশন হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি যাৰ ড’মেইন হৈছে $\mathbf{R}-(-1,1)$ আৰু ৰেঞ্জ হ’ব পাৰে যিকোনো অন্তৰাল $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ আদি। ৰেঞ্জ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ৰ সৈতে সংগতি ৰখা ফাংশনটোক $cosec^{-1}$ৰ প্ৰধান মান শাখা বুলি কোৱা হয়। আমি এইদৰে প্ৰধান শাখা পাইছোঁ

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ আৰু $y=\csc^{-1} x$ৰ গ্ৰাফবোৰ চিত্ৰ 2.3 (i), (ii)ত দিয়া হৈছে।

আকৌ, যিহেতু $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, $y=\sec x$ৰ ড’মেইন হৈছে সংহতি $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ আৰু ৰেঞ্জ হৈছে সংহতি $\mathbf{R}-(-1,1)$। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে ছেক (ছেকেণ্ট ফাংশন)য়ে $-1<y<1$ বাদে সকলো বাস্তৱ মান গ্ৰহণ কৰে আৰু $\frac{\pi}{2}$ৰ বিজোড় গুণিতকৰ বাবে সংজ্ঞায়িত নহয়। যদি আমি ছেকেণ্ট ফাংশনৰ ড’মেইন $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$লৈ সীমাবদ্ধ কৰোঁ, তেন্তে ই এক-এক আৰু উপস্থ হয় ইয়াৰ ৰেঞ্জ সংহতি $\mathbf{R}-(-1,1)$ হিচাপে। প্ৰকৃততে, ছেকেণ্ট ফাংশন যিকোনো অন্তৰাল $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ আদিলৈ সীমাবদ্ধ কৰিলে, দ্বিমুখী হয় আৰু ইয়াৰ ৰেঞ্জ হৈছে $\mathbf{R}-{-1,1}$। এইদৰে $\sec ^{-1}$ক এটা ফাংশন হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি যাৰ ড’মেইন হৈছে $\mathbf{R}-(-1,1)$ আৰু ৰেঞ্জ হ’ব পাৰে যিকোনো অন্তৰাল $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ আদি। এই প্ৰতিটো অন্তৰালৰ সৈতে সংগতি ৰাখি, আমি $sec^{-1}$ ফাংশনৰ বিভিন্ন শাখা পাওঁ। ৰেঞ্জ $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ থকা শাখাটোক $sec^{-1}$ ফাংশনৰ প্ৰধান মান শাখা বুলি কোৱা হয়। আমি এইদৰে পাইছোঁ

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

$y=\sec x$ আৰু $y=\sec^{-1} x$ ফাংশনবোৰৰ গ্ৰাফ চিত্ৰ 2.4 (i), (ii)ত দিয়া হৈছে।

অৱশেষত, আমি এতিয়া $\tan ^{-1}$ আৰু $\cot ^{-1}$ৰ বিষয়ে আলোচনা কৰোঁ

আমি জানো যে টেন ফাংশনৰ (টেঞ্জেণ্ট ফাংশন) ড’মেইন হৈছে সংহতি $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ আৰু ৰেঞ্জ হৈছে $\mathbf{R}$। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে ফাংশনটো $\frac{\pi}{2}$ৰ বিজোড় গুণিতকৰ বাবে সংজ্ঞায়িত নহয়। যদি আমি টেঞ্জেণ্ট ফাংশনৰ ড’মেইন $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$লৈ সীমাবদ্ধ কৰোঁ, তেন্তে ই এক-এক আৰু উপস্থ হয় ইয়াৰ ৰেঞ্জ $\mathbf{R}$ হিচাপে। প্ৰকৃততে, টেঞ্জেণ্ট ফাংশন যিকোনো অন্তৰাল $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ আদিলৈ সীমাবদ্ধ কৰিলে, দ্বিমুখী হয় আৰু ইয়াৰ ৰেঞ্জ হৈছে $\mathbf{R}$। এইদৰে $\tan ^{-1}$ক এটা ফাংশন হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি যাৰ ড’মেইন হৈছে $\mathbf{R}$ আৰু ৰেঞ্জ হ’ব পাৰে যিকোনো অন্তৰাল $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ আদি। এই অন্তৰালবোৰে $\tan ^{-1}$ ফাংশনৰ বিভিন্ন শাখা দিয়ে। ৰেঞ্জ $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ থকা শাখাটোক $\tan ^{-1}$ ফাংশনৰ প্ৰধান মান শাখা বুলি কোৱা হয়। আমি এইদৰে পাইছোঁ

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

$y=\tan x$ আৰু $y=\arctan x$ ফাংশনৰ গ্ৰাফবোৰ চিত্ৰ 2.5 (i), (ii)ত দিয়া হৈছে।

আমি জানো যে ক’ট ফাংশনৰ (ক’টেঞ্জেণ্ট ফাংশন) ড’মেইন হৈছে সংহতি $\{x: x \in \mathbf{R}$ আৰু $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ আৰু ৰেঞ্জ হৈছে $\mathbf{R}$। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে ক’টেঞ্জেণ্ট ফাংশন $\pi$ৰ পূৰ্ণাংক গুণিতকৰ বাবে সংজ্ঞায়িত নহয়। যদি আমি ক’টেঞ্জেণ্ট ফাংশনৰ ড’মেইন $(0, \pi)$লৈ সীমাবদ্ধ কৰোঁ, তেন্তে ই দ্বিমুখী হয় ৰেঞ্জ $\mathbf{R}$ৰ সৈতে। প্ৰকৃততে, ক’টেঞ্জেণ্ট ফাংশন যিকোনো অন্তৰাল $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ আদিলৈ সীমাবদ্ধ কৰিলে, দ্বিমুখী হয় আৰু ইয়াৰ ৰেঞ্জ হৈছে $\mathbf{R}$। এইদৰে $\cot ^{-1}$ক এটা ফাংশন হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি যাৰ ড’মেইন হৈছে $\mathbf{R}$ আৰু ৰেঞ্জ হিচাপে যিকোনো অন্তৰাল $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ আদি। এই অন্তৰালবোৰে $\cot ^{-1}$ ফাংশনৰ বিভিন্ন শাখা দিয়ে। ৰেঞ্জ $(0, \pi)$ থকা ফাংশনটোক $\cot ^{-1}$ ফাংশনৰ প্ৰধান মান শাখা বুলি কোৱা হয়। আমি এইদৰে পাইছোঁ

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ আৰু $y=\cot^{-1} x$ৰ গ্ৰাফবোৰ চিত্ৰ 2.6 (i), (ii)ত দিয়া হৈছে।

তলৰ তালিকাখনে প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশন (প্ৰধান মান শাখা)বোৰ তেওঁলোকৰ ড’মেইন আৰু ৰেঞ্জৰ সৈতে দিয়ে।

টোকা

1. $\sin ^{-1} x$ক $(\sin x)^{-1}$ৰ সৈতে গুলিয়াব নালাগে। প্ৰকৃততে $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ আৰু অন্যান্য ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ বাবে একেদৰে।

2. যেতিয়াও প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ কোনো শাখা উল্লেখ কৰা নহয়, আমি সেই ফাংশনৰ প্ৰধান মান শাখাক বুজোঁ।

3. প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ যি মান প্ৰধান শাখাৰ ৰেঞ্জত থাকে তাক সেই প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ প্ৰধান মান বুলি কোৱা হয়।

আমি এতিয়া কিছুমান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ:

উদাহৰণ 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ৰ প্ৰধান মান নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান ধৰা হওক $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$। তেন্তে, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$।

আমি জানো যে $\sin ^{-1}$ৰ প্ৰধান মান শাখাৰ ৰেঞ্জ হৈছে $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ আৰু $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$। সেয়েহে, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ৰ প্ৰধান মান হৈছে $\frac{\pi}{4}$

উদাহৰণ 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ৰ প্ৰধান মান নিৰ্ণয় কৰা

সমাধান ধৰা হওক $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$। তেন্তে,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

আমি জানো যে $\cot ^{-1}$ৰ প্ৰধান মান শাখাৰ ৰেঞ্জ হৈছে $(0, \pi)$ আৰু $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$। গতিকে, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ৰ প্ৰধান মান হৈছে $\frac{2 \pi}{3}$

2.3 প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ ধৰ্মসমূহ

এই অংশত, আমি প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ কিছুমান গুৰুত্বপূৰ্ণ ধৰ্ম প্ৰমাণ কৰিম। ইয়াত উল্লেখ কৰিব পাৰি যে এই ফলাফলবোৰ সংশ্লিষ্ট প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ প্ৰধান মান শাখাৰ ভিতৰত আৰু য’ত তেওঁলোক সংজ্ঞায়িত তাত বৈধ। কিছুমান ফলাফল প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ ড’মেইনৰ সকলো মানৰ বাবে বৈধ নহ’ব পাৰে। প্ৰকৃততে, সেইবোৰ কেৱল $x$ৰ কিছুমান মানৰ বাহালে বৈধ হ’ব যিবোৰৰ বাবে প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশন সংজ্ঞায়িত। আমি ড’মেইনত $x$ৰ এই মানবোৰৰ বিতং বিৱৰণলৈ নাযাওঁ কাৰণ এই আলোচনা এই পাঠ্যপুথিৰ পৰিসৰৰ বাহিৰত যায়।

আমি মনত ৰাখোঁ যে যদি $y=\sin ^{-1} x$, তেন্তে $x=\sin y$ আৰু যদি $x=\sin y$, তেন্তে $y=\sin ^{-1} x$। ইয়াক এনেদৰে সমতুল্য

$$ \sin (\sin ^{-1} x)=x, x \in[-1,1] \text { and } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$

ড’মেইনত উপযুক্ত মানৰ বাবে, বাকী থকা ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনবোৰৰ বাবে একে ধৰণৰ ফলাফল অনুসৰণ কৰে। আমি এতিয়া কিছুমান উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

প্ৰমাণ কৰা যে

(i) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x, 0 \leq x \leq 1$

সমাধান

(i) ধৰা হওক $x=\sin \theta$। তেন্তে $\sin ^{-1} x=\theta$, $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ৰ বাবে। আমাৰ আছে

$$ \begin{alignedat} \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) \\ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \quad \text{for } \theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \\ & = 2 \sin^{-1} x \end{aligned} $$

(ii) ধৰা হওক $x=\cos \theta$, তেন্তে ওপৰৰ দৰে আগবাঢ়ি, আমি পাইছোঁ, $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$

উদাহৰণ 4 $\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x},-\frac{3 \pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ক সৰলতম ৰূপত প্ৰকাশ কৰা।

সমাধান আমি লিখোঁ

$$ \begin{alignedat} \tan ^{-1}(\frac{\cos x}{1-\sin x}) & =\tan ^{-1}[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})^{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}]=\tan ^{-1}[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})]=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} + n\pi \text{ for some integer } n \end{aligned} $$

উদাহৰণ 5 $\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}), x>1$ক সৰলতম ৰূপত লিখা।

সমাধান ধৰা হওক $x=\sec \theta$, তেন্তে $\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}=\tan \theta$

সেয়েহে, $\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x$, যিটো সৰলতম ৰূপ।

বিবিধ উদাহৰণ

উদাহৰণ 6 $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা

আমি জানো যে $\sin ^{-1}(\sin x)=x$। সেয়েহে, $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\frac{3 \pi}{5}$

কিন্তু $\quad \frac{3 \pi}{5} \notin[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, যিটো $\sin ^{-1} x$ৰ প্ৰধান শাখা

তথাপি $\quad \sin (\frac{3 \pi}{5})=\sin (\pi-\frac{3 \pi}{5})=\sin \frac{2 \pi}{5}$ আৰু $\frac{2 \pi}{5} \in[0, \frac{\pi}{2}]$

সেয়েহে $\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5}$

সাৰাংশ

প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনবোৰৰ ড’মেইন আৰু ৰেঞ্জ (প্ৰধান মান শাখা) তলৰ তালিকাত দিয়া হৈছে:

• $\sin ^{-1} x$ক $(\sin x)^{-1}$ৰ সৈতে গুলিয়াব নালাগে। প্ৰকৃততে $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ আৰু অন্যান্য ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ বাবে একেদৰে।
• প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ যি মান ইয়াৰ প্ৰধান মান শাখাত থাকে তাক সেই প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ প্ৰধান মান বুলি কোৱা হয়।

কिसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान, जो उसकी मुख्य कोण होता है, उसे मुख्य मान कहते हैं। $y=\sin ^{-1} x \Rightarrow x=\sin y$
$x=\sin y \Rightarrow y=\sin ^{-1} x$
$\sin (\sin ^{-1} x)=x$
$\sin ^{-1}(\sin x)=x$ for $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$

ঐতিহাসিক টোকা

ত্ৰিকোণমিতিৰ অধ্যয়ন প্ৰথমে গ্ৰীচত আৰম্ভ হৈছিল। প্ৰাচীন ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকল, আৰ্যভট্ট (৪৭৬ খ্ৰীষ্টাব্দ), ব্ৰহ্মগুপ্ত (৫৯৮ খ্ৰীষ্টাব্দ), ভাস্কৰ I (৬০০ খ্ৰীষ্টাব্দ) আৰু ভাস্কৰ II (১১১৪ খ্ৰীষ্টাব্দ)ই ত্ৰিকোণমিতিৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ ফলাফল পাইছিল। এই সকলো জ্ঞান ভাৰতৰ পৰা আৰৱলৈ গৈছিল আৰু তাৰ পিছত তাতৰ পৰা ইউৰোপলৈ গৈছিল। গ্ৰীকসকলেও ত্ৰিকোণমিতিৰ অধ্যয়ন আৰম্ভ কৰিছিল কিন্তু তেওঁলোকৰ পদ্ধতি ইমানেই বেমেজালি আছিল যে যেতিয়া ভাৰতীয় পদ্ধতি জনাজাত হ’ল, ইয়াৰ লগে লগে ই সমগ্ৰ বিশ্বজুৰি গ্ৰহণ কৰা হ’ল।

ভাৰতত, আধুনিক ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশনৰ পূৰ্বসূৰী, যাক কোণৰ ছাইন বুলি জনা যায়, আৰু ছাইন ফাংশনৰ প্ৰৱৰ্তনে সিদ্ধান্ত (সংস্কৃত জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ গ্ৰন্থ)বোৰৰ গণিতলৈ দিয়া অন্যতম মূল অৱদানক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

ভাস্কৰ I (প্ৰায় ৬০০ খ্ৰীষ্টাব্দ)ই $90^{\circ}$তকৈ বেছি কোণৰ বাবে ছাইন ফাংশনৰ মান উলিওৱাৰ সূত্ৰ দিছিল। ষোড়শ শতিকাৰ মালয়ালম গ্ৰন্থ যুক্তিভাষাত $\sin (A+B)$ৰ সম্প্ৰসাৰণৰ বাবে প্ৰমাণ আছে। $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$ আদিৰ ছাইন বা ক’ছাইনৰ সঠিক অভিব্যক্তি ভাস্কৰ IIৰ দ্বাৰা দিয়া হৈছিল।

$\sin ^{-1} x, \cos ^{-3} x$ আদি চিহ্নবোৰ, $arc \sin x, arc \cos x$ আদিৰ বাবে, জ্যোতিৰ্বিদ ছাৰ জন এফ.ডব্লিউ. হাৰ্শেলে (১৮১৩) প্ৰস্তাৱ কৰিছিল। থেলছৰ (প্ৰায় ৬০০ খ্ৰীষ্টপূৰ্ব) নাম সদায় উচ্চতা আৰু দূৰত্বৰ সমস্যাসমূহৰ সৈতে জড়িত। তেওঁক মিচৰৰ এখন ডাঙৰ পিৰামিডৰ উচ্চতা পিৰামিড আৰু এটা সহায়ক ষ্টাফ (বা গনমন)ৰ ছাঁ জুখি আৰু অনুপাত তুলনা কৰি নিৰ্ণয় কৰাৰ কৃতিত্ব দিয়া হয়:

$$ \frac{H}{S}=\frac{h}{S}=\tan \left( \text{sun’s altitude} \right) $$

থেলছক একে ধৰণৰ ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ সমানুপাতিকতাৰ জৰিয়তে সাগৰত থকা জাহাজৰ দূৰত্ব গণনা কৰা বুলিও কোৱা হয়। সাদৃশ্য ধৰ্ম ব্যৱহাৰ কৰি উচ্চতা আৰু দূৰত্বৰ সমস্যাবোৰ প্ৰাচীন ভাৰতীয় গ্ৰন্থতো পোৱা যায়।