গণিতৰ সাৰমৰ্ম ইয়াৰ স্বাধীনতাত নিহিত হৈ আছে। - কেণ্টৰ

৩.১ পৰিচয়

গণিতৰ বিভিন্ন শাখাত মেট্ৰিক্সৰ জ্ঞানৰ প্ৰয়োজন। মেট্ৰিক্স গণিতৰ অন্যতম শক্তিশালী সঁজুলি। এই গাণিতিক সঁজুলিয়ে অন্যান্য প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰ তুলনাত আমাৰ কাম বহু পৰিমাণে সহজ কৰি তোলে। মেট্ৰিক্সৰ ধাৰণাৰ বিকাশ হৈছে ৰৈখিক সমীকৰণ প্ৰণালী সমাধানৰ সংক্ষিপ্ত আৰু সহজ পদ্ধতি প্ৰাপ্ত কৰাৰ এক প্ৰচেষ্টাৰ ফলাফল। মেট্ৰিক্স কেৱল ৰৈখিক সমীকৰণ প্ৰণালীৰ সহগবোৰৰ প্ৰতিনিধিত্ব হিচাপেহে ব্যৱহাৰ নহয়, ইয়াৰ উপযোগিতা সেই ব্যৱহাৰৰ বহু বেছি। ব্যক্তিগত কম্পিউটাৰৰ ইলেক্ট্ৰনিক স্প্ৰেডশ্বীট প্ৰগ্ৰেমবোৰত মেট্ৰিক্সৰ চিহ্ন আৰু কাৰ্য্য ব্যৱহাৰ কৰা হয়, যি আকৌ বিত্তীয় পৰিকল্পনা, বিক্ৰী প্ৰক্ষেপণ, খৰচৰ অনুমান, পৰীক্ষাৰ ফলাফল বিশ্লেষণ আদি বিভিন্ন ব্যৱসায়িক আৰু বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্ৰত ব্যৱহাৰ কৰা হয়। লগতে, বহুতো ভৌতিক কাৰ্য্য যেনে বিবৰ্ধন, ঘূৰণ আৰু সমতলৰ মাজেৰে প্ৰতিফলনকো গাণিতিকভাৱে মেট্ৰিক্সৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। মেট্ৰিক্স ক্ৰিপ্টোগ্ৰাফীতো ব্যৱহাৰ কৰা হয়। এই গাণিতিক সঁজুলি কেৱল বিজ্ঞানৰ কিছুমান শাখাতহে নহয়, জিনেটিক্স, অৰ্থনীতি, সমাজতত্ত্ব, আধুনিক মনোবিজ্ঞান আৰু উদ্যোগিক পৰিচালনাতো ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

এই অধ্যায়ত, মেট্ৰিক্স আৰু মেট্ৰিক্স বীজগণিতৰ মৌলিক বিষয়বোৰৰ সৈতে পৰিচিত হোৱাটো আমাৰ বাবে আকৰ্ষণীয় হ’ব।

৩.২ মেট্ৰিক্স

ধৰি লওঁ আমি ৰাধাৰ ১৫ খন নোটবুক আছে বুলি তথ্য প্ৰকাশ কৰিব বিচাৰো। আমি ইয়াক [১৫] হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ এই বুজি লৈ যে [ ] ৰ ভিতৰৰ সংখ্যাটো হৈছে ৰাধাৰ থকা নোটবুকৰ সংখ্যা। এতিয়া, যদি আমি প্ৰকাশ কৰিব লাগে যে ৰাধাৰ ১৫ খন নোটবুক আৰু ৬টা কলম আছে। আমি ইয়াক $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰোঁ এই বুজি লৈ যে [ ] ৰ ভিতৰৰ প্ৰথম সংখ্যাটো হৈছে নোটবুকৰ সংখ্যা আনহাতে আনটো হৈছে ৰাধাৰ থকা কলমৰ সংখ্যা। এতিয়া ধৰি লওঁ আমি ৰাধা আৰু তাইৰ দুগৰাকী বান্ধৱী ফৌজিয়া আৰু সিমৰানৰ নোটবুক আৰু কলমৰ অধিকাৰৰ তথ্য প্ৰকাশ কৰিব বিচাৰো যিটো তলত দিয়া ধৰণৰ:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

এতিয়া ইয়াক তলত দিয়া ধৰণে তালিকাৰ ৰূপত সজাব পাৰি:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

বা

যাক তলত দিয়া ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি:

প্ৰথম বিন্যাসত প্ৰথম স্তম্ভৰ ভিতৰৰ সংখ্যাবোৰে ক্ৰমে ৰাধা, ফৌজিয়া আৰু সিমৰানৰ থকা নোটবুকৰ সংখ্যা প্ৰতিনিধিত্ব কৰে, আৰু দ্বিতীয় স্তম্ভৰ ভিতৰৰ সংখ্যাবোৰে ক্ৰমে ৰাধা, ফৌজিয়া আৰু সিমৰানৰ থকা কলমৰ সংখ্যা প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। একেদৰে, দ্বিতীয় বিন্যাসত, প্ৰথম শাৰীৰ ভিতৰৰ সংখ্যাবোৰে ক্ৰমে ৰাধা, ফৌজিয়া আৰু সিমৰানৰ থকা নোটবুকৰ সংখ্যা প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। দ্বিতীয় শাৰীৰ ভিতৰৰ সংখ্যাবোৰে ক্ৰমে ৰাধা, ফৌজিয়া আৰু সিমৰানৰ থকা কলমৰ সংখ্যা প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। ওপৰৰ ধৰণৰ এটা বিন্যাস বা প্ৰদৰ্শনক মেট্ৰিক্স বোলে। আনুষ্ঠানিকভাৱে, আমি মেট্ৰিক্সক এনেদৰে সংজ্ঞায়িত কৰো:

সংজ্ঞা ১ মেট্ৰিক্স হৈছে সংখ্যা বা ফাংচনৰ এক ক্ৰমিক আয়তাকাৰ bmatrix। সংখ্যা বা ফাংচনবোৰক মেট্ৰিক্সৰ উপাদান বা ভিতৰৰ সংখ্যা বোলে।

আমি মেট্ৰিক্সবোৰক ডাঙৰ আখৰেৰে সূচাও। তলত মেট্ৰিক্সৰ কিছুমান উদাহৰণ দিয়া হৈছে:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

ওপৰৰ উদাহৰণবোৰত, উপাদানবোৰৰ আনুভূমিক শাৰীবোৰক মেট্ৰিক্সৰ শাৰী বুলি কোৱা হয় আৰু উপাদানবোৰৰ উলম্ব শাৰীবোৰক মেট্ৰিক্সৰ স্তম্ভ বুলি কোৱা হয়। গতিকে $A$ ৰ ৩টা শাৰী আৰু ২টা স্তম্ভ আছে, $B$ ৰ ৩টা শাৰী আৰু ৩টা স্তম্ভ আছে আনহাতে $C$ ৰ ২টা শাৰী আৰু ৩টা স্তম্ভ আছে।

৩.২.১ মেট্ৰিক্সৰ ক্ৰম

$m$ টা শাৰী আৰু $n$ টা স্তম্ভ থকা মেট্ৰিক্সক $m \times n$ ক্ৰমৰ মেট্ৰিক্স বা কেৱল $m \times n$ মেট্ৰিক্স বোলে ($m$ ৰ দ্বাৰা $n$ মেট্ৰিক্স হিচাপে পঢ়িব)। গতিকে ওপৰৰ মেট্ৰিক্সৰ উদাহৰণবোৰৰ কথা কৈ, আমি $A$ ক $3 \times 2$ মেট্ৰিক্স, $B$ ক $3 \times 3$ মেট্ৰিক্স আৰু $C$ ক $2 \times 3$ মেট্ৰিক্স হিচাপে পাইছো। আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে $A$ ৰ $3 \times 2=6$ টা উপাদান আছে, $B$ আৰু $C$ ৰ ক্ৰমে ৯টা আৰু ৬টা উপাদান আছে।

সাধাৰণতে, এটা $m \times n$ মেট্ৰিক্সৰ তলত দিয়া আয়তাকাৰ bmatrix থাকে:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

বা $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

গতিকে $i^{\text {th }}$ তম শাৰীটোত $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ উপাদানবোৰ থাকে, আনহাতে $j^{\text {th }}$ তম স্তম্ভটোত $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ উপাদানবোৰ থাকে,

সাধাৰণতে $a_{i j}$, হৈছে $i^{\text {th }}$ তম শাৰী আৰু $j^{\text {th }}$ তম স্তম্ভত অৱস্থিত এটা উপাদান। আমি ইয়াক $A$ ৰ $(i, j)^{\text {th }}$ তম উপাদান হিচাপেও ক’ব পাৰো। এটা $m \times n$ মেট্ৰিক্সত থকা উপাদানৰ সংখ্যা $m n$ ৰ সমান হ’ব।

টোকা এই অধ্যায়ত

১. আমি তলৰ চিহ্নটো অনুসৰণ কৰিম, অৰ্থাৎ $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ ইয়াৰ দ্বাৰা সূচাব যে $A$ হৈছে $m \times n$ ক্ৰমৰ মেট্ৰিক্স।

২. আমি কেৱল সেইবোৰ মেট্ৰিক্স বিবেচনা কৰিম যিবোৰৰ উপাদানবোৰ বাস্তৱ সংখ্যা বা বাস্তৱ মান লোৱা ফাংচন।

আমি সমতলত থকা যিকোনো বিন্দু $(x, y)$ ক মেট্ৰিক্স (স্তম্ভ বা শাৰী) হিচাপে $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (বা $.[x, y]$) ৰূপত প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰো। উদাহৰণস্বৰূপে বিন্দু $P(0,1)$ ক মেট্ৰিক্স প্ৰতিনিধিত্ব হিচাপে তলত দিয়া ধৰণে দিব পাৰি

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

লক্ষ্য কৰক যে এই ধৰণে আমি এটা বন্ধ ৰেখাময় চিত্ৰৰ ক্ৰমবিন্দুবোৰকো মেট্ৰিক্সৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰো। উদাহৰণস্বৰূপে, এটা চতুৰ্ভুজ $A B C D$ বিবেচনা কৰা য’ত ক্ৰমবিন্দু A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$।

এতিয়া, চতুৰ্ভুজ $ABCD$ ক মেট্ৰিক্স ৰূপত, তলত দিয়া ধৰণে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি

গতিকে, মেট্ৰিক্সক সমতলত থকা জ্যামিতিক চিত্ৰৰ ক্ৰমবিন্দুবোৰৰ প্ৰতিনিধিত্ব হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি।

এতিয়া, আমি কিছুমান উদাহৰণ বিবেচনা কৰো।

উদাহৰণ ১ তলত দিয়া তথ্য বিবেচনা কৰা য’ত তিনিটা কাৰখানা I, II আৰু III ত থকা পুৰুষ আৰু মহিলা শ্ৰমিকৰ সংখ্যা দিয়া হৈছে

ওপৰৰ তথ্যক $3 \times 2$ মেট্ৰিক্সৰ ৰূপত প্ৰতিনিধিত্ব কৰা। তৃতীয় শাৰী আৰু দ্বিতীয় স্তম্ভত থকা ভিতৰৰ সংখ্যাটোৱে কি প্ৰতিনিধিত্ব কৰে?

সমাধান তথ্যটো $3 \times 2$ মেট্ৰিক্সৰ ৰূপত তলত দিয়া ধৰণে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

তৃতীয় শাৰী আৰু দ্বিতীয় স্তম্ভত থকা ভিতৰৰ সংখ্যাটোৱে কাৰখানা III ত থকা মহিলা শ্ৰমিকৰ সংখ্যা প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

উদাহৰণ ২ যদি এটা মেট্ৰিক্সৰ ৮টা উপাদান থাকে, ইয়াৰ সম্ভাব্য ক্ৰমবোৰ কি কি হ’ব পাৰে?

সমাধান আমি জানো যে যদি এটা মেট্ৰিক্স $m \times n$ ক্ৰমৰ হয়, ইয়াৰ $m n$ টা উপাদান থাকে। গতিকে, ৮টা উপাদান থকা মেট্ৰিক্সৰ সকলো সম্ভাব্য ক্ৰম উলিয়াবলৈ, আমি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সকলো ক্ৰমিক যোৰ বিচাৰিম, যাৰ পূৰণফল ৮।

গতিকে, সকলো সম্ভাব্য ক্ৰমিক যোৰ হৈছে $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ সেয়েহে, সম্ভাব্য ক্ৰমবোৰ হৈছে $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$

উদাহৰণ ৩ এটা $3 \times 2$ মেট্ৰিক্স গঠন কৰা যাৰ উপাদানবোৰ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ দ্বাৰা দিয়া হৈছে।

সমাধান সাধাৰণতে এটা $3 \times 2$ মেট্ৰিক্স $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ দ্বাৰা দিয়া হয়।

এতিয়া $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

সেয়েহে $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

গতিকে প্ৰয়োজনীয় মেট্ৰিক্সটো $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ দ্বাৰা দিয়া হয়।

৩.৩ মেট্ৰিক্সৰ প্ৰকাৰ

এই অংশত, আমি বিভিন্ন প্ৰকাৰৰ মেট্ৰিক্সৰ বিষয়ে আলোচনা কৰিম।

(i) স্তম্ভ মেট্ৰিক্স

এটা মেট্ৰিক্সক স্তম্ভ মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াৰ কেৱল এটা স্তম্ভ থাকে।

উদাহৰণস্বৰূপে, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ হৈছে $4 \times 1$ ক্ৰমৰ স্তম্ভ মেট্ৰিক্স।

সাধাৰণতে, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ হৈছে $m \times 1$ ক্ৰমৰ স্তম্ভ মেট্ৰিক্স।

(ii) শাৰী মেট্ৰিক্স

এটা মেট্ৰিক্সক শাৰী মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াৰ কেৱল এটা শাৰী থাকে।

উদাহৰণস্বৰূপে, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ হৈছে শাৰী মেট্ৰিক্স।

সাধাৰণতে, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ হৈছে $1 \times n$ ক্ৰমৰ শাৰী মেট্ৰিক্স।

(iii) বৰ্গ মেট্ৰিক্স

যি মেট্ৰিক্সত শাৰীৰ সংখ্যা স্তম্ভৰ সংখ্যাৰ সমান, তাক বৰ্গ মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয়। গতিকে এটা $m \times n$ মেট্ৰিক্সক বৰ্গ মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয় যদি $m=n$ আৰু ই ‘$n$’ ক্ৰমৰ বৰ্গ মেট্ৰিক্স হিচাপে জনা যায়।

উদাহৰণস্বৰূপে $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ হৈছে ৩ ক্ৰমৰ বৰ্গ মেট্ৰিক্স।

সাধাৰণতে, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ হৈছে $m$ ক্ৰমৰ বৰ্গ মেট্ৰিক্স।

টোকা যদি $A=[a_{i j}]$ হৈছে $n$ ক্ৰমৰ বৰ্গ মেট্ৰিক্স, তেন্তে উপাদানবোৰ (ভিতৰৰ সংখ্যাবোৰ) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

ক মেট্ৰিক্স A ৰ কৰ্ণ বুলি কোৱা হয়। গতিকে, যদি $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$।

তেন্তে A ৰ কৰ্ণৰ উপাদানবোৰ হৈছে ১, ৪, ৬।

(iv) কৰ্ণ মেট্ৰিক্স

এটা বৰ্গ মেট্ৰিক্স $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ক কৰ্ণ মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াৰ সকলো অ-কৰ্ণীয় উপাদান শূন্য হয়, অৰ্থাৎ এটা মেট্ৰিক্স $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ক কৰ্ণ মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয় যদি $b_{i j}=0$, যেতিয়া $i \neq j$।

উদাহৰণস্বৰূপে, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, ক্ৰমে ১,২,৩ ক্ৰমৰ কৰ্ণ মেট্ৰিক্স।

(v) স্কেলাৰ মেট্ৰিক্স

এটা কৰ্ণ মেট্ৰিক্সক স্কেলাৰ মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াৰ কৰ্ণীয় উপাদানবোৰ সমান হয়, অৰ্থাৎ, এটা বৰ্গ মেট্ৰিক্স $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ ক স্কেলাৰ মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয় যদি

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { when } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { when } i=j, \text { for some constant } k . \end{aligned} $$

উদাহৰণস্বৰূপে $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

ক্ৰমে ১,২ আৰু ৩ ক্ৰমৰ স্কেলাৰ মেট্ৰিক্স।

(vi) অভেদ মেট্ৰিক্স

যি বৰ্গ মেট্ৰিক্সত কৰ্ণত থকা উপাদানবোৰ সকলো ১ আৰু বাকীবোৰ সকলো শূন্য, তাক অভেদ মেট্ৰিক্স বোলে। অন্য কথাত, বৰ্গ মেট্ৰিক্স $A=[a_{i j}]_{n \times n}$ হৈছে

এটা অভেদ মেট্ৰিক্স, যদি $a_{ij}=\begin{cases}1 & \text { if } & i=j \\ 0 & \text { if } & i \neq j\end{cases}.$।

আমি $n$ ক্ৰমৰ অভেদ মেট্ৰিক্সক $I_{n}$ ৰ দ্বাৰা সূচাও। যেতিয়া ক্ৰমটো পৰিস্থিতিৰ পৰা স্পষ্ট হয়, আমি কেৱল I হিচাপে লিখো।

উদাহৰণস্বৰূপে [১], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ ক্ৰমে ১, ২ আৰু ৩ ক্ৰমৰ অভেদ মেট্ৰিক্স।

লক্ষ্য কৰক যে এটা স্কেলাৰ মেট্ৰিক্স হৈছে অভেদ মেট্ৰিক্স যেতিয়া $k=1$। কিন্তু প্ৰতিটো অভেদ মেট্ৰিক্স স্পষ্টভাৱেই এটা স্কেলাৰ মেট্ৰিক্স।

(vii) শূন্য মেট্ৰিক্স

এটা মেট্ৰিক্সক শূন্য মেট্ৰিক্স বা নাল মেট্ৰিক্স বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াৰ সকলো উপাদান শূন্য হয়।

উদাহৰণস্বৰূপে, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ সকলো শূন্য মেট্ৰিক্স। আমি শূন্য মেট্ৰিক্সক $O$ ৰ দ্বাৰা সূচাও। ইয়াৰ ক্ৰম পৰিস্থিতিৰ পৰা স্পষ্ট হ’ব।

৩.৩.১ মেট্ৰিক্সৰ সমতা

সংজ্ঞা ২ দুটা মেট্ৰিক্স $A=[a_{i j}]$ আৰু $B=[b_{i j}]$ ক সমান বুলি কোৱা হয় যদি

(i) সিহঁত একে ক্ৰমৰ হয়

(ii) $A$ ৰ প্ৰতিটো উপাদান $B$ ৰ অনুক্ৰম উপাদানৰ সমান হয়, অৰ্থাৎ $a_{i j}=b_{i j}$ সকলো $i$ আৰু $j$ ৰ বাবে।

উদাহৰণস্বৰূপে, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ আৰু $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ সমান মেট্ৰিক্স কিন্তু $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ আৰু $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ সমান মেট্ৰিক্স নহয়। চিহ্নৰূপে, যদি দুটা মেট্ৰিক্স $A$ আৰু $B$ সমান হয়, আমি $A=B$ লিখো।

$ \text { যদি }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, তেন্তে }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

উদাহৰণ ৪ যদি $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$

$a, b, c, x, y$ আৰু $z$ ৰ মান উলিওৱা।

সমাধান দিয়া মেট্ৰিক্স দুটা সমান হোৱা হেতুকে, সিহঁতৰ অনুক্ৰম উপাদানবোৰ সমান হ’ব লাগিব। অনুক্ৰম উপাদানবোৰ তুলনা কৰি, আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} & x+3=0, \\ & z+4=6 \\ & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, \\ & 0=2 c+2 \\ & b-3=2 b+4 \text {, } \end{aligned} $$

সৰলীকৰণ কৰি, আমি পাইছো

$$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $$

উদাহৰণ ৫ তলৰ সমীকৰণৰ পৰা $a, b, c$, আৰু $d$ ৰ মান উলিওৱা:

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} $$

সমাধান দুটা মেট্ৰিক্সৰ সমতাৰ দ্বাৰা, অনুক্ৰম উপাদানবোৰ সমীকৰণ কৰি, আমি পাইছো

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & =4 & 5 c-d & =11 \\ a-2 b & =-3 & 4 c+3 d & =24 \end{bmatrix} $$

এই সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰি, আমি পাইছো

$$ a=1, b=2, c=3 \text { and } d=4 $$

৩.৪ মেট্ৰিক্সৰ ওপৰত কাৰ্য্য

এই অংশত, আমি মেট্ৰিক্সৰ ওপৰত কিছুমান কাৰ্য্যৰ সৈতে পৰিচয় কৰাম, যেনে, মেট্ৰিক্সৰ যোগ, স্কেলাৰৰ দ্বাৰা মেট্ৰিক্সৰ পূৰণ, পাৰ্থক্য আৰু মেট্ৰিক্সৰ পূৰণ।

৩.৪.১ মেট্ৰিক্সৰ যোগ

ধৰি লওঁ ফাতিমাৰ A আৰু B ঠাইত দুটা কাৰখানা আছে। প্ৰতিটো কাৰখানাই ল’ৰা আৰু ছোৱালীৰ বাবে তিনিটা ভিন্ন মূল্য শ্ৰেণীত চিহ্নিত কৰি স্পৰ্টছ জোতা উৎপাদন কৰে। প্ৰতিটো কাৰখানাই উৎপাদিত পৰিমাণ তলত দিয়া ধৰণে মেট্ৰিক্স হিচাপে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হৈছে:

ধৰি লওঁ ফাতিমাই প্ৰতিটো মূল্য শ্ৰেণীত স্পৰ্টছ জোতাৰ মুঠ উৎপাদন জানিব বিচাৰে। তেন্তে মুঠ উৎপাদন

শ্ৰেণী ১ ত : ল’ৰাৰ বাবে $(80+90)$, ছোৱালীৰ বাবে $(60+50)$

শ্ৰেণী ২ ত : ল’ৰাৰ বাবে $(75+70)$, ছোৱালীৰ বাবে $(65+55)$

শ্ৰেণী ৩ ত : ল’ৰাৰ বাবে $(90+75)$, ছোৱালীৰ বাবে $(85+75)$

ইয়াক মেট্ৰিক্স ৰূপত তলত দিয়া ধৰণে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি

$\begin{bmatrix}80+90 & 60+50 \\ 75+70 & 65+55 \\ 90+75 & 85+75\end{bmatrix}$।

এই নতুন মেট্ৰিক্সটো হৈছে ওপৰৰ দুটা মেট্ৰিক্সৰ যোগফল। আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে দুটা মেট্ৰিক্সৰ যোগফল হৈছে দিয়া মেট্ৰিক্স দুটাৰ অনুক্ৰম উপাদানবোৰ যোগ কৰি পোৱা মেট্ৰিক্স। ইয়াৰ উপৰি, দুটা মেট্ৰিক্স একে ক্ৰমৰ হ’ব লাগিব।

গতিকে, যদি $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}$ হৈছে এটা $2 \times 3$ মেট্ৰিক্স আৰু $B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{bmatrix}$ হৈছে আন এটা

$2 \times 3$ মেট্ৰিক্স। তেন্তে, আমি সংজ্ঞায়িত কৰো $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}$।

সাধাৰণতে, যদি $A=[a_{i j}]$ আৰু $B=[b_{i j}]$ হৈছে একে ক্ৰমৰ দুটা মেট্ৰিক্স, ধৰি লওঁ $m \times n$। তেন্তে, A আৰু B দুটা মেট্ৰিক্সৰ যোগফলক এটা মেট্ৰিক্স $= [c _{ij}] _{m \times n} $ হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়, য’ত $ c _{i j} = a _{ij} + b _{ij} $, i আৰু j ৰ সকলো সম্ভাব্য মানৰ বাবে।

উদাহৰণ ৬ দিয়া আছে $A=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0\end{bmatrix}$ আৰু $B=\begin{bmatrix}2 & \sqrt{5} & 1 \\ -2 & 3 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$, $A+B$ উলিওৱা

যিহেতু A, B একে ক্ৰম $2 \times 3$ ৰ, সেয়েহে A আৰু B ৰ যোগ সংজ্ঞায়িত আৰু ই তলত দিয়া ধৰণে দিয়া হয়

$$ A+B=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 1-1 \\ 2-2 & 3+3 & 0+\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 6 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$

টোকা

১. আমি গুৰুত্ব দিওঁ যে যদি A আৰু B একে ক্ৰমৰ নহয়, তেন্তে A + B সংজ্ঞায়িত নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে যদি $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$, তেন্তে $A+B$ সংজ্ঞায়িত নহয়।

২. আমি লক্ষ্য কৰিব পাৰোঁ যে মেট্ৰিক্সৰ যোগ হৈছে একে ক্ৰমৰ মেট্ৰিক্সৰ সংহতিৰ ওপৰত বাইনাৰী কাৰ্য্যৰ এটা উদাহৰণ।

৩.৪.২ স্কেলাৰৰ দ্বাৰা মেট্ৰিক্সৰ পূৰণ

এতিয়া ধৰি লওঁ যে ফাতিমাই সকলো শ্ৰেণীত কাৰখানা A ৰ উৎপাদন দুগুণ কৰিছে (৩.৪.১ চোৱা)।

পূৰ্বে কাৰখানা A ৰ দ্বাৰা উৎপাদিত পৰিমাণ (মানক এককত) আছিল

কাৰখানা $A$ ৰ দ্বাৰা উৎপাদিত সংশোধিত পৰিমাণ তলত দিয়া ধৰণে দিয়া হৈছে:

ইয়াক মেট্ৰিক্স ৰূপত $\begin{bmatrix}160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170\end{bmatrix}$ হিচাপে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে

নতুন মেট্ৰিক্সটো পূৰ্বৰ মেট্ৰিক্সৰ প্ৰতিটো উপাদানক ২ ৰে পূৰণ কৰি পোৱা গৈছে।

সাধাৰণতে, আমি স্কেলাৰৰ দ্বাৰা মেট্ৰিক্সৰ পূৰণক তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰো: যদি $ A=[a_{ij}]_{m\times n} $ হৈছে এটা মেট্ৰিক্স আৰু k হৈছে এটা স্কেলাৰ, তেন্তে k A হৈছে আন এটা মেট্ৰিক্স যিটো A ৰ প্ৰতিটো উপাদানক স্কেলাৰ k ৰে পূৰণ কৰি পোৱা যায়।

অন্য কথাত, $ kA = k[a_{ij}]_ {m\times n} $ $ =[k(a _{ij})] _{m\times n} $ অৰ্থাৎ, kA ৰ $ (i,j)^{th} $ তম উপাদান হৈছে $ka _ {ij} $ i আৰু j ৰ সকলো সম্ভাব্য মানৰ বাবে

উদাহৰণস্বৰূপে, যদি $A=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5\end{bmatrix}$, তেন্তে

$$ 3 A=3[\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}]=[\begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3 \sqrt{5} & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix}] $$

মেট্ৰিক্সৰ ঋণাত্মক মেট্ৰিক্সৰ ঋণাত্মকক $-A$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়। আমি সংজ্ঞায়িত কৰো $-A=(-1) A$। উদাহৰণস্বৰূপে, ধৰি লওঁ $$ \begin{aligned} A & =\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}, \text { then }-A \text { is given by } \\ -A & =(-1) A=(-1)\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 5 & -x \end{bmatrix} \end{aligned} $$

মেট্ৰিক্সৰ পাৰ্থক্য যদি $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ হৈছে একে ক্ৰমৰ দুটা মেট্ৰিক্স, ধৰি লওঁ $m \times n$, তেন্তে পাৰ্থক্য $A-B$ ক এটা মেট্ৰিক্স $D=[d_{i j}]$ হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়,

য’ত $d_{i j}=a_{i j}-b_{i j}$, $i$ আৰু $j$ ৰ সকলো মানৰ বাবে। অন্য কথাত, $D=A-B=A+(-1) B$, অৰ্থাৎ মেট্ৰিক্স $A$ আৰু মেট্ৰিক্স -B ৰ যোগফল।

উদাহৰণ ৭ যদি $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{bmatrix}$ আৰু $B=\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2\end{bmatrix}$, তেন্তে $2 A-B$ উলিওৱা।

সমাধান আমাৰ আছে

$$ \begin{aligned} & 2 A-B=2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \\ & \begin{bmatrix} 2-3 & 4+1 & 6-3 \\ 4+1 & 6+0 & 2-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

৩.৪.৩ মেট্ৰিক্স যোগৰ ধৰ্ম

মেট্ৰিক্সৰ যোগই তলত দিয়া ধৰ্মবোৰ পৰিতৃপ্ত কৰে:

(i) বিনিময় বিধি যদি $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ হৈছে একে ক্ৰমৰ মেট্ৰিক্স, ধৰি লওঁ $m \times n$, তেন্তে $A+B=B+A$।

এতিয়া $$ \begin{aligned} A+B & =[a_{i j}]+[b_{i j}]=[a_{i j}+b_{i j}] \\ & =[b_{i j}+a_{i j}] \text { (addition of numbers is commutative) } \\ & =([b_{i j}]+[a_{i j}])=B+A \end{aligned} $$

(ii) সহযোগী বিধি যিকোনো তিনিটা মেট্ৰিক্স $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}], C=[c_{i j}]$ ৰ বাবে একে ক্ৰমৰ, ধৰি লওঁ $m \times n,(A+B)+C=A+(B+C)$।

এতিয়া $$ \begin{aligned} (A+B)+C & =([a_{i j}]+[b_{i j}])+[c_{i j}] \\ & =[a_{i j}+b_{i j}]+[c_{i j}]=[(a_{i j}+b_{i j})+c_{i j}] \\ & =[a_{i j}+(b_{i j}+c_{i j})] \quad(\text { Why? }) \\ & =[a_{i j}]+[(b_{i j}+c_{i j})]=[a_{i j}]+([b_{i j}]+[c_{i j}])=A+(B+C) \end{aligned} $$

(iii) যোগাত্মক অভেদৰ অস্তিত্ব ধৰি লওঁ $A=[a_{i j}]$ হৈছে এটা $m \times n$ মেট্ৰিক্স আৰু $O$ হৈছে এটা $m \times n$ শূন্য মেট্ৰিক্স, তেন্তে $A+O=O+A=A$। অন্য কথাত, $O$ হৈছে মেট্ৰিক্স যোগৰ বাবে যোগাত্মক অভেদ।

(iv) যোগাত্মক বিপৰীতৰ অস্তিত্ব ধৰি লওঁ $A=[a_{ij}]_{m \times n}$
যিকোনো মেট্ৰিক্স হওক, তেন্তে আমাৰ আছে আন এটা মেট্ৰিক্স হিচাপে

$-A=[-a_{ij}]_{m \times n}$ যেনে $A+(-A)=(-A)+A=O$। গতিকে $-A$ হৈছে $A$ ৰ যোগাত্মক বিপৰীত বা $A$ ৰ ঋণাত্মক।

৩.৪.৪ মেট্ৰিক্সৰ স্কেলাৰ পূৰণৰ ধৰ্ম

যদি $A=[a_{i j}]$ আৰু $B=[b_{i j}]$ হৈছে একে ক্ৰমৰ দুটা মেট্ৰিক্স, ধৰি লওঁ $m \times n$, আৰু $k$ আৰু $l$ হৈছে স্কেলাৰ, তেন্তে

(i) $k(A+B)=k A+k B$, (ii) $(k+l) A=k A+l A$

(iii) $k(A+B)=k([a_{i j}]+[b_{i j}])$

$$ \begin{aligned} & =k[a_{i j}+b_{i j}]=[k(a_{i j}+b_{i j})]=[(k a_{i j})+(k b_{i j})] \\ & =[k a_{i j}]+[k b_{i j}]=k[a_{i j}]+k[b_{i j}]=k A+k B \end{aligned} $$

(iv) $(k+l) A=(k+l)[a_{i j}]$

$$ =[(k+l) a_{i j}]+[k a_{i j}]+[l a_{i j}]=k[a_{i j}]+l[a_{i j}]=k A+l A $$

উদাহৰণ ৮ যদি $A=\begin{bmatrix}8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6\end{bmatrix}$ আৰু $B=\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1\end{bmatrix}$, তেন্তে

মেট্ৰিক্স $X$ উলিওৱা, যেনে $2 A+3 X=5 B$।

সমাধান আমাৰ আছে $2 A+3 X=5 B$

বা $\hspace{17 mm}2 A-2 A+3 X=5 B-2 A$ $\quad \quad$ (মেট্ৰিক্স যোগ বিনিময়শীল)

বা $\hspace{17 mm}3 X=5 B-2 A$ $\hspace{25 mm}$ (O হৈছে যোগাত্মক অভেদ)

বা $\hspace{17 mm}$$X=\frac{1}{3}(5 B-2 A)$

$$ X=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}5\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -16 & 0 \\ -8 & 4 \\ -6 & -12 \end{bmatrix}\end{pmatrix} $$

$$ =\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 10-16 & -10+0 \\ 20-8 & 10+4 \\ -25-6 & 5-12 \end{bmatrix}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & \frac{-10}{3} \\ \\ 4 & \frac{14}{3} \\ \\ \frac{-31}{3} & \frac{-7}{3} \end{bmatrix} $$

Example 9 Find $X$ and $Y$, if $X+Y=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$ and $X-Y=\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$.

Solution We have $(X+Y)+(X-Y)=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$.

or $$ \begin{gathered} (X+X)+(Y-Y)=\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 X=\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \\ X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}