সকলো গাণিতিক সত্য আপেক্ষিক আৰু সাপেক্ষ - চি.পি. ষ্টাইনমেটজ

৪.১ ভূমিকা

পূৰ্বৱৰ্তী অধ্যায়ত, আমি মেট্ৰিক্স আৰু মেট্ৰিক্সৰ বীজগণিতৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছো। আমি ইয়াও শিকিছো যে বীজগণিতীয় সমীকৰণৰ এটা প্ৰণালীক মেট্ৰিক্সৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। অৰ্থাৎ,

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

ৰ দৰে ৰৈখিক সমীকৰণৰ এটা প্ৰণালীক $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ ৰূপত প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। এতিয়া, এই সমীকৰণ প্ৰণালীৰ একক সমাধান আছে নে নাই, সেইটো $a_1 b_2-a_2 b_1$ সংখ্যাটোৰ দ্বাৰা নিৰ্ধাৰিত হয়। (মনত ৰাখিব যে যদি $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ বা, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, তেন্তে ৰৈখিক

পি.এছ. লাপ্লাছ $(1749-1827)$ সমীকৰণৰ একক সমাধান থাকে)। $a_1 b_2-a_2 b_1$ সংখ্যাটোৱে সমাধানৰ এককত্ব নিৰ্ধাৰণ কৰে আৰু ই মেট্ৰিক্স $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ ৰ সৈতে জড়িত আৰু ইয়াক A ৰ নিৰ্ণায়ক বা det A বুলি কোৱা হয়। নিৰ্ণায়কৰ অভিযান্ত্ৰিকী, বিজ্ঞান, অৰ্থনীতি, সমাজ বিজ্ঞান আদিত বহুল প্ৰয়োগ আছে।

এই অধ্যায়ত, আমি কেৱল বাস্তৱ ভুক্তিৰে তিনিটা শ্ৰেণীলৈকে নিৰ্ণায়ক অধ্যয়ন কৰিম। লগতে, আমি নিৰ্ণায়কৰ বিভিন্ন ধৰ্ম, মাইনৰ, ক’ফেক্টৰ আৰু ত্ৰিভূজৰ কালি নিৰ্ণয় কৰাত, বৰ্গ মেট্ৰিক্সৰ adjoint আৰু বিপৰীত মেট্ৰিক্স, ৰৈখিক সমীকৰণ প্ৰণালীৰ সংগতি আৰু অসংগতি আৰু মেট্ৰিক্সৰ বিপৰীত ব্যৱহাৰ কৰি দুটা বা তিনিটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ সমাধান কৰাত নিৰ্ণায়কৰ প্ৰয়োগ অধ্যয়ন কৰিম।

৪.২ নিৰ্ণায়ক

প্ৰতিটো বৰ্গ মেট্ৰিক্স $A=[a _{i j}]$ ৰ শ্ৰেণী $n$ ৰ বাবে, আমি এটা সংখ্যা (বাস্তৱ বা জটিল) সংযুক্ত কৰিব পাৰো যাক বৰ্গ মেট্ৰিক্স A ৰ নিৰ্ণায়ক বুলি কোৱা হয়, য’ত $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ হৈছে A ৰ উপাদান।

ইয়াক এটা ফাংচন হিচাপে ভাবিব পাৰি যিয়ে প্ৰতিটো বৰ্গ মেট্ৰিক্সক এটা একক সংখ্যাৰ (বাস্তৱ বা জটিল) সৈতে সংযুক্ত কৰে। যদি $M$ হৈছে বৰ্গ মেট্ৰিক্সৰ সংহতি, $K$ হৈছে সংখ্যাৰ (বাস্তৱ বা জটিল) সংহতি আৰু $f: M \to K$ ক $f(A)=k$ ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত কৰা হয়, য’ত $A \in M$ আৰু $k \in K$, তেন্তে $f(A)$ ক $A$ ৰ নিৰ্ণায়ক বুলি কোৱা হয়। ইয়াক $|A|$ বা $det A$ বা $\Delta$ ৰ দ্বাৰাও সূচোৱা হয়।

যদি $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$, তেন্তে A ৰ নিৰ্ণায়কক $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ ৰূপে লিখা হয়।

মন্তব্য

(i) মেট্ৰিক্স A ৰ বাবে, $|A|$ ক $A$ ৰ নিৰ্ণায়ক হিচাপে পঢ়া হয় আৰু $A$ ৰ মডুলাছ হিচাপে নহয়।

(ii) কেৱল বৰ্গ মেট্ৰিক্সৰেহে নিৰ্ণায়ক থাকে।

৪.২.১ প্ৰথম শ্ৰেণীৰ মেট্ৰিক্সৰ নিৰ্ণায়ক

ধৰা হওক $A=[a]$ হৈছে শ্ৰেণী ১ৰ মেট্ৰিক্স, তেন্তে $A$ ৰ নিৰ্ণায়কক $a$ ৰ সমান বুলি সংজ্ঞায়িত কৰা হয়।

৪.২.২ দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ মেট্ৰিক্সৰ নিৰ্ণায়ক

$\text{ধৰা হওক}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ হৈছে } 2 \times 2 \text{ শ্ৰেণীৰ মেট্ৰিক্স}, $

তেন্তে $A$ ৰ নিৰ্ণায়কক এনেদৰে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

উদাহৰণ ১ $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান আমি পাইছো $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$।

উদাহৰণ ২ $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান আমি পাইছো

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

৪.২.৩ $3 \times 3$ শ্ৰেণীৰ মেট্ৰিক্সৰ নিৰ্ণায়ক

তৃতীয় শ্ৰেণীৰ মেট্ৰিক্সৰ নিৰ্ণায়ক দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ নিৰ্ণায়কৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰি নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। ইয়াক নিৰ্ণায়কক এটা শাৰী (বা স্তম্ভ)ৰ বৰ্ধিতকৰণ বুলি কোৱা হয়। তৃতীয় শ্ৰেণীৰ নিৰ্ণায়ক বৰ্ধিত কৰাৰ ছয়টা উপায় আছে

যি তিনিটা শাৰী $(R_1, R_2.$ আৰু $.R_3)$ আৰু তিনিটা স্তম্ভ $(C_1, C_2.$ আৰু $C_3)$ ৰ প্ৰতিটোৰ সৈতে সংগতি ৰাখি একে মান দিয়ে তলত দেখুওৱাৰ দৰে।

বৰ্গ মেট্ৰিক্স $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ ৰ নিৰ্ণায়ক বিবেচনা কৰা

$\text{অৰ্থাৎ}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

প্ৰথম শাৰীৰ বৰ্ধিতকৰণ $(\mathbf{R} _1)$

পদক্ষেপ ১ $\mathbf{R} _ {1}$ ৰ প্ৰথম উপাদান $ a _ {11}$ ক $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ ৰে পূৰণ কৰা আৰু $|A|$ ৰ প্ৰথম শাৰী $(R_1)$ আৰু প্ৰথম স্তম্ভ $(C _ {1})$ ৰ উপাদানবোৰ বিলোপ কৰি পোৱা দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ নিৰ্ণায়কৰ সৈতে গুণ কৰা কাৰণ $a _ {11}$, $ R _ {1} $ আৰু $ C _ {1} $ ত অৱস্থিত,

$\text{অৰ্থাৎ,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

পদক্ষেপ ২ $R_1$ ৰ দ্বিতীয় উপাদান $a _{12}$ ক $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ ৰে পূৰণ কৰা আৰু $|A|$ ৰ প্ৰথম শাৰী $(R_1)$ আৰু দ্বিতীয় স্তম্ভ $(C_2)$ ৰ উপাদানবোৰ বিলোপ কৰি পোৱা দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ নিৰ্ণায়কৰ সৈতে গুণ কৰা কাৰণ $a _{12}$, $R_1$ আৰু $C_2$ ত অৱস্থিত,

অৰ্থাৎ, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

পদক্ষেপ ৩ $R_1$ ৰ তৃতীয় উপাদান $a _{13}$ ক $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ ৰে পূৰণ কৰা আৰু $|A|$ ৰ প্ৰথম শাৰী $(R_1)$ আৰু তৃতীয় স্তম্ভ $(C_3)$ ৰ উপাদানবোৰ বিলোপ কৰি পোৱা দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ নিৰ্ণায়কৰ সৈতে গুণ কৰা কাৰণ $a _{13}$, $R_1$ আৰু $C_3$ ত অৱস্থিত,

অৰ্থাৎ, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

পদক্ষেপ ৪ এতিয়া A ৰ নিৰ্ণায়কৰ বৰ্ধিতকৰণ, অৰ্থাৎ $|A|$ ক ওপৰৰ পদক্ষেপ ১,২ আৰু ৩ ত পোৱা তিনিওটা পদৰ যোগফল হিচাপে লিখা হয় আৰু ইয়াক দিয়া হয়

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{বা} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

টোকা আমি চাৰিওটা পদক্ষেপ একেলগে প্ৰয়োগ কৰিম।

দ্বিতীয় শাৰীৰ বৰ্ধিতকৰণ $(\mathbf{R} _2)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ ৰ বৰ্ধিতকৰণ কৰি, আমি পাইছো

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

প্ৰথম স্তম্ভৰ বৰ্ধিতকৰণ $(C_1)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ ৰ বৰ্ধিতকৰণ কৰি, আমি পাইছো

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

স্পষ্টত, $|A|$ ৰ মান (১), (২) আৰু (৩) ত সমান। পাঠকসকলক ইয়াক পৰীক্ষা কৰিবলৈ এৰি দিয়া হৈছে যে $R_3, C_2$ আৰু $C_3$ ৰ বৰ্ধিতকৰণ কৰি $|A|$ ৰ মানবোৰ (১), (২) বা (৩) ত পোৱা $|A|$ ৰ মানৰ সমান।

গতিকে, নিৰ্ণায়কক যিকোনো শাৰী বা স্তম্ভৰ বৰ্ধিতকৰণ কৰিলে একে মান পোৱা যায়।

মন্তব্য

(i) সহজ গণনাৰ বাবে, আমি নিৰ্ণায়কক সেই শাৰী বা স্তম্ভৰ বৰ্ধিতকৰণ কৰিম য’ত সৰ্বাধিক সংখ্যক শূন্য থাকে।

(ii) বৰ্ধিতকৰণ কৰোঁতে, $(-1)^{i+j}$ ৰে পূৰণ কৰাৰ সলনি, আমি +1 বা -1 ৰে পূৰণ কৰিব পাৰো যিদৰে $(i+j)$ জোৰ বা অযুগ্ম হয়।

(iii) ধৰা হওক $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ আৰু $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$। তেন্তে, ইয়াক পৰীক্ষা কৰাটো সহজ যে $A=2 B$। লগতে $|A|=0-8=-8$ আৰু $|B|=0-2=-2$।

লক্ষ্য কৰা যে, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ বা $|A|=2^{n}|B|$, য’ত $n=2$ হৈছে বৰ্গ মেট্ৰিক্স $A$ আৰু $B$ ৰ শ্ৰেণী।

সাধাৰণতে, যদি $A=k B$ য’ত $A$ আৰু $B$ হৈছে $n$ শ্ৰেণীৰ বৰ্গ মেট্ৰিক্স, তেন্তে $|A|=k^{n}$ $|B|$, য’ত $n=1,2,3$

উদাহৰণ ৩ নিৰ্ণায়ক $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান লক্ষ্য কৰা যে তৃতীয় স্তম্ভত, দুটা ভুক্তি শূন্য। গতিকে তৃতীয় স্তম্ভ $(C_3)$ ৰ বৰ্ধিতকৰণ কৰি, আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৪ $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান $R_1$ ৰ বৰ্ধিতকৰণ কৰি, আমি পাইছো

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

উদাহৰণ ৫ $x$ ৰ মানবোৰ নিৰ্ণয় কৰা য’ত $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$।

সমাধান আমি পাইছো $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$

অৰ্থাৎ $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{অৰ্থাৎ}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

গতিকে $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

৪.৩ ত্ৰিভূজৰ কালি

পূৰ্বৱৰ্তী শ্ৰেণীত, আমি অধ্যয়ন কৰিছিলো যে শীৰ্ষবিন্দু $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ আৰু $(x_3, y_3)$ ৰে গঠিত ত্ৰিভূজৰ কালি, $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ ৰ দ্বাৰা দিয়া হয়। এতিয়া এই অভিব্যক্তিটো নিৰ্ণায়কৰ ৰূপত এনেদৰে লিখিব পাৰি

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

মন্তব্য

(i) যিহেতু কালি এটা ধনাত্মক ৰাশি, আমি সদায় (১) ত নিৰ্ণায়কৰ পৰম মান লওঁ।

(ii) যদি কালি দিয়া থাকে, গণনাৰ বাবে নিৰ্ণায়কৰ ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক দুয়োটা মান ব্যৱহাৰ কৰা।

(iii) তিনিটা সমৰেখীয় বিন্দুৰে গঠিত ত্ৰিভূজৰ কালি শূন্য হয়।

উদাহৰণ ৬ ত্ৰিভূজটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শীৰ্ষবিন্দু $(3,8),(-4,2)$ আৰু $(5,1)$।

সমাধান ত্ৰিভূজৰ কালি দিয়া হয়

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৭ নিৰ্ণায়ক ব্যৱহাৰ কৰি $A(1,3)$ আৰু $B(0,0)$ সংযোগী ৰেখাৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা আৰু $k$ নিৰ্ণয় কৰা যদি $D(k, 0)$ এনে এটা বিন্দু যে ABD ত্ৰিভূজৰ কালি 3 বৰ্গ একক।

সমাধান ধৰা হওক $P(x, y)$ হৈছে $AB$ ৰ যিকোনো বিন্দু। তেন্তে, ABP ত্ৰিভূজৰ কালি শূন্য (কিয়?)।

$\text{গতিকে}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{ইয়ে দিয়ে}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { বা } y=3 x $

যি হৈছে প্ৰয়োজনীয় ৰেখা $AB$ ৰ সমীকৰণ।

লগতে, যিহেতু ABD ত্ৰিভূজৰ কালি 3 বৰ্গ একক, আমি পাইছো

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ ইয়ে দিয়ে, $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$, অৰ্থাৎ, $k=\mp 2$।

৪.৪ মাইনৰ আৰু ক’ফেক্টৰ

এই অংশত, আমি মাইনৰ আৰু ক’ফেক্টৰ ব্যৱহাৰ কৰি নিৰ্ণায়কৰ বৰ্ধিতকৰণ সংক্ষিপ্ত ৰূপত লিখিবলৈ শিকিম।

সংজ্ঞা ১ নিৰ্ণায়কৰ এটা উপাদান $a _{i j}$ ৰ মাইনৰ হৈছে $i$ তম শাৰী আৰু $j$ তম স্তম্ভ বিলোপ কৰি পোৱা নিৰ্ণায়ক য’ত উপাদান $a _{i j}$ অৱস্থিত। উপাদান $a _{i j}$ ৰ মাইনৰক $M _{i j}$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়।

মন্তব্য $n(n \geq 2)$ শ্ৰেণীৰ নিৰ্ণায়কৰ এটা উপাদানৰ মাইনৰ হৈছে $n-1$ শ্ৰেণীৰ নিৰ্ণায়ক।

উদাহৰণ ৮ নিৰ্ণায়ক $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ ত উপাদান 6 ৰ মাইনৰ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান যিহেতু 6 দ্বিতীয় শাৰী আৰু তৃতীয় স্তম্ভত অৱস্থিত, ইয়াৰ মাইনৰ $M _{23}$ দিয়া হয়

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (Δ ৰ } R_2 \text{ আৰু } C_3 \text{ বিলোপ কৰি পোৱা)। } $

সংজ্ঞা ২ উপাদান $a _{i j}$ ৰ ক’ফেক্টৰ, $A _{i j}$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা, সংজ্ঞায়িত কৰা হয়

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, য’ত } M _{i j} \text{ হৈছে } a _{i j} \text{ ৰ মাইনৰ। } $

উদাহৰণ ৯ নিৰ্ণায়ক $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$ ৰ সকলো উপাদানৰ মাইনৰ আৰু ক’ফেক্টৰ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান উপাদান $a _{i j}$ ৰ মাইনৰ হৈছে $M _{i j}$

ইয়াত $a _{11}=1$। গতিকে $M _{11}=$ $a _{11}=3$ ৰ মাইনৰ

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { Minor of the element } a _{12} =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { Minor of the element } a _{21} =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { Minor of the element } a _{22} =1 \end{aligned} $$

এতিয়া, $a _{i j}$ ৰ ক’ফেক্টৰ হৈছে $A _{i j}$। গতিকে

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

উদাহৰণ ১০ নিৰ্ণায়ক $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $ ত উপাদান $a _{11}, a _{21}$ ৰ মাইনৰ আৰু ক’ফেক্টৰ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান মাইনৰ আৰু ক’ফেক্টৰৰ সংজ্ঞা অনুসৰি, আমি পাইছো

$a _{11}=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ ৰ মাইনৰ
$a _{11}=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ ৰ ক’ফেক্টৰ
$a _{21}=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$ ৰ মাইনৰ
$a _{21}=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$ ৰ ক’ফেক্টৰ

মন্তব্য নিৰ্ণায়ক $\Delta$ ক উদাহৰণ ২১ ত, $R_1$ ৰ বৰ্ধিতকৰণ কৰি, আমি পাইছো

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, য’ত } A _{i j} \text{ হৈছে } a _{i j} \text{ ৰ ক’ফেক্টৰ} \\ & =\text{ } R_1 \text{ ৰ উপাদানবোৰৰ তেওঁলোকৰ অনুক্ৰমীয় ক’ফেক্টৰৰ সৈতে গুণফলৰ যোগফল } \end{aligned} $

এনেদৰে, $\Delta$ ক বৰ্ধিতকৰণৰ অন্যান্য পাঁচটা উপায়েৰে গণনা কৰিব পাৰি যি হৈছে $R_2, R_3$, $C_1, C_2$ আৰু $C_3$ ৰ বৰ্ধিতকৰণ।

গতিকে $\Delta$ = যিকোনো শাৰী (বা স্তম্ভ)ৰ উপাদানবোৰৰ তেওঁলোকৰ অনুক্ৰমীয় ক’ফেক্টৰৰ সৈতে গুণফলৰ যোগফল।

টোকা যদি এটা শাৰী (বা স্তম্ভ)ৰ উপাদানবোৰক অন্য যিকোনো শাৰী (বা স্তম্ভ)ৰ ক’ফেক্টৰৰে পূৰণ কৰা হয়, তেন্তে তেওঁলোকৰ যোগফল শূন্য হয়। উদাহৰণস্বৰূপে,

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11} A _{21}+a _{12} A _{22}+a _{13} A _{23} \\ & =a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}=0 \text{ কাৰণ } R_1 \text{ আৰু } R_2 \text{ একে } \end{aligned} $

এনেদৰে, আমি অন্যান্য শাৰী আৰু স্তম্ভৰ বাবে চেষ্টা কৰিব পাৰো।

উদাহৰণ ১১ নিৰ্ণায়ক

$ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} \text{ ৰ উপাদানবোৰৰ মাইনৰ আৰু ক’ফেক্টৰ নিৰ্ণয় কৰা আৰু পৰীক্ষা কৰা যে } a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}=0 $

সমাধান আমি পাইছো $M _{11}=\begin{vmatrix}0 & 4 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=0-20=-20 ; A _{11}=(-1)^{1+1}(-20)=-20$

$M _{12}=\begin{vmatrix}6 & 4 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-42-4=-46 ; \quad A _{12}=(-1)^{1+2}(-46)=46$

$M _{13}=\begin{vmatrix}6 & 0 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=30-0=30 ; \quad A _{13}=(-1)^{1+3}(30)=30$

$M _{21}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=21-25=-4 ; \quad A _{21}=(-1)^{2+1}(-4)=4$

$M _{22}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-14-5=-19 ; \quad A _{22}=(-1)^{2+2}(-19)=-19$

$M _{23}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=10+3=13 ; \quad A _{23}=(-1)^{2+3}(13)=-13$

$M _{31}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{vmatrix}=-12-0=-12 ; \quad A _{31}=(-1)^{3+1}(-12)=-12$

$M _{32}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 6 & 4\end{vmatrix}=8-30=-22 ; \quad A _{32}=(-1)^{3+2}(-22)=22$

আৰু $\quad M _{33}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 6 & 0\end{vmatrix}=0+18=18 ; \quad A _{33}=(-1)^{3+3}(18)=18$

এতিয়া $\quad a _{11}=2, a _{12}=-3, a _{13}=5 ; A _{31}=-12, A _{32}=22, A _{33}=18$

গতিকে $\quad a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}$

$=2(-12)+(-3)(22)+5(18)=-24-66+90=0$

৪.৫ মেট্ৰিক্সৰ adjoint আৰু বিপৰীত মেট্ৰিক্স

পূৰ্বৱৰ্তী অধ্যায়ত, আমি মেট্ৰিক্সৰ বিপৰীত অধ্যয়ন কৰিছিলো। এই অংশত, আমি মেট্ৰিক্সৰ বিপৰীত অস্তিত্বৰ বাবে চৰ্ত আলোচনা কৰিম।

মেট্ৰিক্স A ৰ বিপৰীত, অৰ্থাৎ $A^{-1}$ নিৰ্ণয় কৰিবলৈ, আমি প্ৰথমে মেট্ৰিক্সৰ adjoint সংজ্ঞায়িত কৰিম।

৪.৫.১ মেট্ৰিক্সৰ adjoint

সংজ্ঞা ৩ বৰ্গ মেট্ৰিক্স $A=[a _{i j}] _{n \times n}$ ৰ adjoint ক $[A _{i j}] _{n \times n}$ মেট্ৰিক্সৰ ট্ৰান্সপজ হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয়, য’ত $A _{i j}$ হৈছে উপাদান $a _{i j}$ ৰ ক’ফেক্টৰ। মেট্ৰিক্স A ৰ adjoint ক adj $A$ ৰ দ্বাৰা সূচোৱা হয়।

ধৰা হওক $ A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33