“কেলকুলাছক চাবি হিচাপে লৈ, গণিতক প্ৰকৃতিৰ গতিপথৰ ব্যাখ্যাত সফলভাৱে প্ৰয়োগ কৰিব পাৰি।” - ৱাইটহেড

৬.১ পৰিচয়

অধ্যায় ৫ত, আমি সংযুक्त ফাংচন, বিপৰীত ত্ৰিকোণমিতিক ফাংচন, অন্তৰ্নিহিত ফাংচন, সূচকীয় ফাংচন আৰু লগাৰিদমিক ফাংচনৰ অন্তৰকলন কেনেকৈ উলিয়াব লাগে শিকিলো। এই অধ্যায়ত, আমি অন্তৰকলনৰ বিভিন্ন শাখাত, যেনে অভিযান্ত্ৰিক, বিজ্ঞান, সামাজিক বিজ্ঞান আৰু অন্যান্য বহুতো ক্ষেত্ৰত প্ৰয়োগ অধ্যয়ন কৰিম। উদাহৰণস্বৰূপে, আমি শিকিম কেনেকৈ অন্তৰকলন ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি (i) ৰাশিৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ নিৰ্ধাৰণ কৰিবলৈ, (ii) কোনো বিন্দুত বক্ৰৰ স্পৰ্শক আৰু অভিলম্বৰ সমীকৰণ উলিয়াবলৈ, (iii) ফাংচনৰ লেখত পৰিবৰ্তন বিন্দু (turning points) বিচাৰিবলৈ যিয়ে স্থানীয়ভাৱে ফাংচনৰ সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন মান থকা বিন্দুবোৰ চিনাক্ত কৰাত সহায় কৰিব। আমি ফাংচন এটা বৃদ্ধি বা হ্ৰাস হোৱা অন্তৰালবোৰ বিচাৰিবলৈও অন্তৰকলন ব্যৱহাৰ কৰিম। শেষত, আমি কিছুমান ৰাশিৰ প্ৰায়মান (approximate value) উলিয়াবলৈ অন্তৰকলন ব্যৱহাৰ কৰিম।

৬.২ ৰাশিৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ

মনত পেলাওক যে অন্তৰকলন $\\ \frac{ds}{dt} $ৰ দ্বাৰা, আমি দূৰত্ব $s$ৰ সময় $t$ৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ বুজো। একে ধৰণে, যেতিয়াই এটা ৰাশি $y$ আন এটা ৰাশি $x$ৰ সৈতে কিছু নিয়ম $y=f(x)$ মতে পৰিৱৰ্তন হয়, তেতিয়া $\frac{d y}{d x}$ (বা $f^{\prime}(x)$)ই $y$ৰ $x$ৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে আৰু $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ বা $.f^{\prime}(x_0))$ই $y$ৰ $x$ৰ সাপেক্ষে $x=x_0$ত পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

আনহাতে, যদি দুটা চলক $x$ আৰু $y$ আন এটা চলক $t$ৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তন হৈ আছে, অৰ্থাৎ যদি $x=f(t)$ আৰু $y=g(t)$, তেন্তে শৃংখল নিয়ম (Chain Rule) অনুসৰি

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

এইদৰে, $y$ৰ $x$ৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ $y$ আৰু $x$ৰ $t$ৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ ব্যৱহাৰ কৰি গণনা কৰিব পাৰি।

কিছু উদাহৰণ বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ ১ বৃত্তৰ কালিৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ প্ৰতি ছেকেণ্ডত ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$ৰ সাপেক্ষে উলিয়াওক যেতিয়া $r=5 cm$।

সমাধান ব্যাসাৰ্ধ $r$ থকা বৃত্তৰ কালি A হ’ল $A=\pi r^{2}$। গতিকে, কালি Aৰ ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$ৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ হ’ল $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$। যেতিয়া $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$। এইদৰে, বৃত্তৰ কালিৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ হ’ল $10 \pi cm^{2} / s$।

উদাহৰণ ২ এটা ঘনকৰ আয়তন প্ৰতি ছেকেণ্ডত ৯ ঘন চে.মি. হাৰত বৃদ্ধি হৈ আছে। যেতিয়া এটা কাষৰ দৈৰ্ঘ্য ১০ চে.মি., তেতিয়া পৃষ্ঠকালি কিমান দ্ৰুত হাৰত বৃদ্ধি হৈ আছে?

সমাধান ধৰা হওক $x$ হ’ল এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য, $V$ হ’ল আয়তন আৰু $S$ হ’ল ঘনকটোৰ পৃষ্ঠকালি। তেন্তে, $V=x^{3}$ আৰু $S=6 x^{2}$, য’ত $x$ হ’ল সময় $t$ৰ ফাংচন।

এতিয়া $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (দিয়া আছে)

গতিকে $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

বা $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

এতিয়া $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

গতিকে, যেতিয়া $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

উদাহৰণ ৩ এটা শান্ত হ্ৰদত এটা শিল পেলোৱা হৈছে আৰু ঢৌবোৰ বৃত্তাকাৰে $4 cm$ প্ৰতি ছেকেণ্ডত গতি কৰি আছে। যি মুহূৰ্তত বৃত্তাকাৰ ঢৌৰ ব্যাসাৰ্ধ $10 cm$, তেতিয়া আবদ্ধ কালি কিমান দ্ৰুত হাৰত বৃদ্ধি হৈ আছে?

সমাধান ব্যাসাৰ্ধ $r$ থকা বৃত্তৰ কালি $A$ হ’ল $A=\pi r^{2}$। গতিকে, কালি Aৰ সময় $t$ৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ হ’ল

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

দিয়া আছে যে $\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

গতিকে, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

এইদৰে, আবদ্ধ কালিৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ হ’ল $80 \pi cm^{2} / s$, যেতিয়া $r=10 cm$।

টোকা $\frac{d y}{d x}$ ধনাত্মক হয় যদি $y$ বৃদ্ধি হোৱাৰ লগে লগে $x$ বৃদ্ধি হয় আৰু ঋণাত্মক হয় যদি $y$ বৃদ্ধি হোৱাৰ লগে লগে $x$ হ্ৰাস হয়।

উদাহৰণ ৪ আয়ত এটাৰ দৈৰ্ঘ্য $x$ প্ৰতি মিনিটত $3 cm /$ হাৰত হ্ৰাস হৈ আছে আৰু প্ৰস্থ $y$ প্ৰতি মিনিটত $2 cm /$ হাৰত বৃদ্ধি হৈ আছে। যেতিয়া $x=10 cm$ আৰু $y=6 cm$, তেতিয়া (ক) পৰিসীমা আৰু (খ) আয়তটোৰ কালিৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ উলিয়াওক।

সমাধান যিহেতু দৈৰ্ঘ্য $x$ সময়ৰ সাপেক্ষে হ্ৰাস হৈ আছে আৰু প্ৰস্থ $y$ বৃদ্ধি হৈ আছে, গতিকে

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(ক) আয়ত এটাৰ পৰিসীমা $P$ হ’ল

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

গতিকে $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(খ) আয়তটোৰ কালি $A$ হ’ল

$ A=x \cdot y $

গতিকে $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { কিয়নো } x=10 \mathrm{~cm} \text { আৰু } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

উদাহৰণ ৫ $x$ একক বস্তু উৎপাদনৰ সৈতে জড়িত মুঠ খৰচ $C(x)$, টকাত, দিয়া আছে

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

যেতিয়া ৩ একক উৎপাদন হয়, তেতিয়া সীমান্ত খৰচ (marginal cost) উলিয়াওক, য’ত সীমান্ত খৰচৰ দ্বাৰা আমি উৎপাদনৰ যিকোনো স্তৰত মুঠ খৰচৰ তাত্ক্ষণিক পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ বুজো।

সমাধান যিহেতু সীমান্ত খৰচ হ’ল মুঠ খৰচৰ উৎপাদনৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ, গতিকে

$ \begin{aligned} \text{ সীমান্ত } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ যেতিয়া } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় সীমান্ত খৰচ হ’ল ₹ 30.02 (প্ৰায়)।

উদাহৰণ ৬ $x$ একক উৎপাদন বিক্ৰীৰ পৰা পোৱা মুঠ আয়, টকাত, দিয়া আছে $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$। সীমান্ত আয় (marginal revenue) উলিয়াওক, যেতিয়া $x=5$, য’ত সীমান্ত আয়ৰ দ্বাৰা আমি যিকোনো মুহূৰ্তত বিক্ৰী হোৱা বস্তুৰ সংখ্যাৰ সাপেক্ষে মুঠ আয়ৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ বুজো।

সমাধান যিহেতু সীমান্ত আয় হ’ল মুঠ আয়ৰ বিক্ৰী হোৱা এককৰ সংখ্যাৰ সাপেক্ষে পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ, গতিকে

$ \begin{aligned} \text{ সীমান্ত আয় } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ যেতিয়া } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় সীমান্ত আয় হ’ল ₹ 66।

৬.৩ বৃদ্ধি আৰু হ্ৰাস হোৱা ফাংচন

এই অংশত, আমি অন্তৰকলন ব্যৱহাৰ কৰি এটা ফাংচন বৃদ্ধি হৈছে নে হ্ৰাস হৈছে নাইবা কোনোটো নহয় তাক নিৰ্ণয় কৰিম।

$f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ দ্বাৰা দিয়া ফাংচন $f$ বিবেচনা কৰোঁ। এই ফাংচনৰ লেখ চিত্ৰ ৬.১ত দিয়া ধৰণৰ পেৰাব’লা।

মূলবিন্দুৰ বাওঁফালৰ মানসমূহ

বাওঁফালৰ পৰা সোঁফাললৈ যাওঁতে, লেখৰ উচ্চতা হ্ৰাস পায়

বাওঁফালৰ পৰা সোঁফাললৈ যাওঁতে, লেখৰ উচ্চতা বৃদ্ধি পায় মূলবিন্দুৰ সোঁফালৰ মানসমূহ

প্ৰথমে মূলবিন্দুৰ সোঁফালৰ লেখ (চিত্ৰ ৬.১) বিবেচনা কৰোঁ। লক্ষ্য কৰক যে আমি লেখৰ বাওঁফালৰ পৰা সোঁফাললৈ যাওঁতে, লেখৰ উচ্চতা অবিৰতভাৱে বৃদ্ধি পায়। এই কাৰণতে, ফাংচনটোক বাস্তৱ সংখ্যা $x>0$ৰ বাবে বৃদ্ধি হোৱা ফাংচন বুলি কোৱা হয়।

এতিয়া মূলবিন্দুৰ বাওঁফালৰ লেখ বিবেচনা কৰোঁ আৰু ইয়াত লক্ষ্য কৰক যে আমি লেখৰ বাওঁফালৰ পৰা সোঁফাললৈ যাওঁতে, লেখৰ উচ্চতা অবিৰতভাৱে হ্ৰাস পায়। ফলস্বৰূপে, ফাংচনটোক বাস্তৱ সংখ্যা $x<0$ৰ বাবে হ্ৰাস হোৱা ফাংচন বুলি কোৱা হয়।

এতিয়া আমি এটা ফাংচনৰ বাবে তলত দিয়া বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞা দিম যি কোনো অন্তৰালত বৃদ্ধি বা হ্ৰাস হৈ আছে।

সংজ্ঞা ১ ধৰা হওক I হ’ল এটা বাস্তৱমানৰ ফাংচন $f$ৰ প্ৰান্তৰ (domain)ত থকা এটা অন্তৰাল। তেন্তে $f$ক তলত দিয়া ধৰণেৰে কোৱা হয়:

(i) Iত বৃদ্ধি হোৱা যদি $x_1<x_2$ Iত থকা সকলো $x_1, x_2 \in I$ৰ বাবে $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ হয়।

(ii) $I$ত হ্ৰাস হোৱা, যদি $x_1, x_2$ Iত থকা সকলো $x_1, x_2 \in I$ৰ বাবে $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ হয়।

(iii) $I$ত ধ্ৰুৱক, যদি $f(x)=c$ সকলো $x \in I$ৰ বাবে হয়, য’ত $c$ এটা ধ্ৰুৱক।

(iv) Iত হ্ৰাস হোৱা যদি $x_1<x_2$ Iত থকা সকলো $x_1, x_2 \in I$ৰ বাবে $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ হয়।

(v) Iত কঠোৰভাৱে হ্ৰাস হোৱা (strictly decreasing) যদি $x_1<x_2$ Iত থকা সকলো $x_1, x_2 \in I$ৰ বাবে $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ হয়।

এনে ফাংচনৰ চিত্ৰাত্মক প্ৰতিনিধিত্বৰ বাবে চিত্ৰ ৬.২ চাওক।

এতিয়া আমি সংজ্ঞায়িত কৰিম কেতিয়া এটা ফাংচন কোনো বিন্দুত বৃদ্ধি বা হ্ৰাস হৈ আছে।

সংজ্ঞা ২ ধৰা হওক $x_0$ হ’ল এটা বাস্তৱমানৰ ফাংচন $f$ৰ সংজ্ঞাৰ প্ৰান্তৰত থকা এটা বিন্দু। তেন্তে $f$ক $x_0$ত বৃদ্ধি হোৱা, হ্ৰাস হোৱা বুলি কোৱা হয় যদি $x_0$ক অন্তৰ্ভুক্ত কৰি এটা মুক্ত অন্তৰাল I থাকে যাতে $f$ ক্ৰমে Iত বৃদ্ধি হোৱা, হ্ৰাস হোৱা হয়।

বৃদ্ধি হোৱা ফাংচনৰ বাবে এই সংজ্ঞাটো স্পষ্ট কৰোঁ।

উদাহৰণ ৭ দেখুওৱা যে $\mathbf{R}$ত $f(x)=7 x-3$ দ্বাৰা দিয়া ফাংচনটো বৃদ্ধি হৈ আছে।

সমাধান ধৰা হওক $x_1$ আৰু $x_2$ হ’ল $\mathbf{R}$ত থকা যিকোনো দুটা সংখ্যা। তেন্তে

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

এইদৰে, সংজ্ঞা ১ অনুসৰি, ইয়াৰ পৰা অনুসৰণ কৰে যে $f$ $\mathbf{R}$ত কঠোৰভাৱে বৃদ্ধি হৈ আছে।

এতিয়া আমি বৃদ্ধি আৰু হ্ৰাস হোৱা ফাংচনৰ বাবে প্ৰথম অন্তৰকলন পৰীক্ষা (first derivative test) দিম। এই পৰীক্ষাৰ প্ৰমাণৰ বাবে অধ্যায় ৫ত অধ্যয়ন কৰা গড় মান উপপাদ্য (Mean Value Theorem)ৰ প্ৰয়োজন।

উপপাদ্য ১ ধৰা হওক $f$ $[a, b]$ত অবিৰত (continuous) আৰু মুক্ত অন্তৰাল $(a, b)$ত অন্তৰকলনযোগ্য (differentiable)। তেন্তে

(ক) $f$ $[a, b]$ত বৃদ্ধি হৈ আছে যদি $f^{\prime}(x)>0$ প্ৰতিটো $x \in(a, b)$ৰ বাবে হয়

(খ) $f$ $[a, b]$ত হ্ৰাস হৈ আছে যদি $f^{\prime}(x)<0$ প্ৰতিটো $x \in(a, b)$ৰ বাবে হয়

(গ) $f$ $[a, b]$ত ধ্ৰুৱক ফাংচন যদি $f^{\prime}(x)=0$ প্ৰতিটো $x \in(a, b)$ৰ বাবে হয়

প্ৰমাণ (ক) ধৰা হওক $x_1, x_2 \in[a, b]$ যেন $x_1<x_2$।

তেন্তে, গড় মান উপপাদ্য (অধ্যায় ৫ৰ উপপাদ্য ৮) অনুসৰি, এটা বিন্দু $c$ থাকে যি $x_1$ আৰু $x_2$ৰ মাজত থাকে আৰু

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

অৰ্থাৎ $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

অৰ্থাৎ $f(x_2)>f(x_1)$

এইদৰে, আমি পাইছোঁ $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$

গতিকে, $f$ $[a, b]$ত এটা বৃদ্ধি হোৱা ফাংচন।

(খ) আৰু (গ) অংশৰ প্ৰমাণ একে ধৰণৰ। ইয়াক পাঠকৰ বাবে অনুশীলনী হিচাপে এৰি দিয়া হ’ল।

মন্তব্য

এটা অধিক সাধাৰণীকৃত উপপাদ্য আছে, যিয়ে কয় যে যদি $f \phi(x)>0$ কোনো অন্তৰালৰ অন্তিম বিন্দুবোৰ বাদ দি $x$ৰ বাবে হয় আৰু $f$ সেই অন্তৰালত অবিৰত হয়, তেন্তে $f$ বৃদ্ধি হৈ আছে। একেদৰে, যদি $f \phi(x)<0$ কোনো অন্তৰালৰ অন্তিম বিন্দুবোৰ বাদ দি $x$ৰ বাবে হয় আৰু $f$ সেই অন্তৰালত অবিৰত হয়, তেন্তে $f$ হ্ৰাস হৈ আছে।

উদাহৰণ ৮ দেখুওৱা যে $f$ দ্বাৰা দিয়া ফাংচনটো

$\mathbf{R}$ত বৃদ্ধি হৈ আছে।

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

সমাধান লক্ষ্য কৰক যে

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

গতিকে, ফাংচন $f$ $\mathbf{R}$ত বৃদ্ধি হৈ আছে।

উদাহৰণ ৯ প্ৰমাণ কৰা যে $f(x)=\cos x$ দ্বাৰা দিয়া ফাংচনটো

(ক) $(0, \pi)$ত হ্ৰাস হৈ আছে

(খ) $(\pi, 2 \pi)$ত বৃদ্ধি হৈ আছে, আৰু

(গ) $(0,2 \pi)$ত বৃদ্ধিও নহয় হ্ৰাসও নহয়।

সমাধান লক্ষ্য কৰক যে $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(ক) যিহেতু প্ৰতিটো $x \in(0, \pi), \sin x>0$ৰ বাবে, আমি $f^{\prime}(x)<0$ পাইছোঁ আৰু গতিকে $f$ $(0, \pi)$ত হ্ৰাস হৈ আছে।

(খ) যিহেতু প্ৰতিটো $x \in(\pi, 2 \pi)$ৰ বাবে, $\sin x<0$, আমি $f^{\prime}(x)>0$ পাইছোঁ আৰু গতিকে $f$ $(\pi, 2 \pi)$ত বৃদ্ধি হৈ আছে।

(গ) স্পষ্টভাৱে ওপৰৰ (ক) আৰু (খ) অনুসৰি, $f$ $(0,2 \pi)$ত বৃদ্ধিও নহয় হ্ৰাসও নহয়।

উদাহৰণ ১০ $f(x)=x^{2}-4 x+6$ দ্বাৰা দিয়া ফাংচন $f$ কোনবোৰ অন্তৰালত (ক) বৃদ্ধি হৈ আছে (খ) হ্ৰাস হৈ আছে উলিয়াওক।

সমাধান আমি পাইছোঁ

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ বা \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

গতিকে, $f^{\prime}(x)=0$ই $x=2$ দিয়ে। এতিয়া বিন্দু $x=2$ই বাস্তৱ ৰেখাক দুটা পৃথক অন্তৰালত ভাগ কৰে, সেয়া হ’ল $(-\infty, 2)$ আৰু $(2, \infty)$ (চিত্ৰ ৬.৩)। অন্তৰাল $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$ত $-4<0$।

গতিকে, $f$ এই অন্তৰালত হ্ৰাস হৈ আছে। আনহাতে, অন্তৰাল $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$ত আৰু গতিকে ফাংচন $f$ এই অন্তৰালত বৃদ্ধি হৈ আছে।

উদাহৰণ ১১ $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 দ্বাৰা দিয়া ফাংচন $f$ কোনবোৰ অন্তৰালত (ক) বৃদ্ধি হৈ আছে (খ) হ্ৰাস হৈ আছে উলিয়াওক।

সমাধান আমি পাইছোঁ

$$ \text{ or } \quad \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $$

গতিকে, $f^{\prime}(x)=0$ই $x=-2,3$ দিয়ে। বিন্দুবোৰ $x=-2$ আৰু $x=3$ই বাস্তৱ ৰেখাক তিনিটা পৃথক অন্তৰালত ভাগ কৰে, সেয়া হ’ল $(-\infty,-2),(-2,3)$

চিত্ৰ ৬.৪ আৰু $(3, \infty)$।

অন্তৰাল $(-\infty,-2)$ আৰু $(3, \infty), f^{\prime}(x)$ত ধনাত্মক হোৱাৰ লগে লগে অন্তৰাল $(-2,3)$ত, $f^{\prime}(x)$ ঋণাত্মক। ফলস্বৰূপে, ফাংচন $f$ অন্তৰাল $(-\infty,-2)$ আৰু $(3, \infty)$ত বৃদ্ধি হৈ আছে য’ত ফাংচনটো অন্তৰাল $(-2,3)$ত হ্ৰাস হৈ আছে। কিন্তু, $f$ $\mathbf{R}$ত বৃদ্ধিও নহয় হ্ৰাসও নহয়।

উদাহৰণ ১২ $f(x)=\sin 3 x, x \in 0, \frac{\pi}{2}$ দ্বাৰা দিয়া ফাংচন কোনবোৰ অন্তৰালত (ক) বৃদ্ধি হৈ আছে (খ) হ্ৰাস হৈ আছে উলিয়াওক।

সমাধান আমি পাইছোঁ

$f(x) =\sin 3 x $

বা $\quad f(x) =3 \cos 3 x$

গতিকে, $f^{\prime}(x)=0$ই $\cos 3 x=0$ দিয়ে যিয়ে আকৌ $3 x=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ দিয়ে (কিয়নো $x \in 0, \frac{\pi}{2}$ই $3 x \in[0, \frac{3 \pi}{2}]$ সূচায়)। গতিকে $x=\frac{\pi}{6}$ আৰু $\frac{\pi}{2}$। বিন্দু $x=\frac{\pi}{6}$ই অন্তৰাল $0, \frac{\pi}{2}$ক দুটা পৃথক অন্তৰাল $[0, \frac{\pi}{6})$ আৰু $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$ত ভাগ কৰে।

চিত্ৰ ৬.৫

এতিয়া, $f^{\prime}(x)>0$ সকলো $x \in[0, \frac{\pi}{6})$ৰ বাবে কিয়নো $0 \leq x<\frac{\pi}{6} \Rightarrow 0 \leq 3 x<\frac{\pi}{2}$ আৰু $f^{\prime}(x)<0$ সকলো $x \in(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ৰ বাবে কিয়নো $\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{2}<3 x<\frac{3 \pi}{2}$।

গতিকে, $f$ $[0, \frac{\pi}{6})$ত বৃদ্ধি হৈ আছে আৰু $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ত হ্ৰাস হৈ আছে।

আনহাতে, দিয়া ফাংচন $x=0$ আৰু $x=\frac{\pi}{6}$ত অবিৰত। গতিকে, উপপাদ্য ১ অনুসৰি, $f$ $ [0, \frac{\pi}{6}]$ত বৃদ্ধি হৈ আছে আৰু $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ত হ্ৰাস হৈ আছে।

উদাহৰণ ১৩ $f$ দ্বাৰা দিয়া ফাংচন

$ f(x)=\sin x+\cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi $

কোনবোৰ অন্তৰালত বৃদ্ধি বা হ্ৰাস হৈ আছে উলিয়াওক।

সমাধান আমি পাইছোঁ

$$ \begin{array}{lrlr} & f(x) & =\sin x+\cos x, \quad 0 \leq x \leq 2 \pi \\ \text{or }&f^{\prime}(x) & =\cos x-\sin x & \end{array} $$

এতিয়া $f^{\prime}(x)=0$ই $\sin x=\cos x$ দিয়ে যিয়ে দিয়ে যে $x=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ কিয়নো $0 \leq x \leq 2 \pi$

বিন্দুবোৰ $x=\frac{\pi}{4}$ আৰু $x=\frac{5 \pi}{4}$ই অন্তৰাল $[0,2 \pi]$ক তিনিটা পৃথক অন্তৰালত ভাগ কৰে,

সেয়া হ’ল $[0, \frac{\pi}{4}), \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ আৰু $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$।

চিত্ৰ ৬.৬

লক্ষ্য কৰক যে $f^{\prime}(x)>0$ যদি $x \in[0, \frac{\pi}{4}) \cup(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$

বা $\quad f$ অন্তৰাল $[0, \frac{\pi}{4})$ আৰু $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$ত বৃদ্ধি হৈ আছে

আনহাতে $\quad f^{\prime}(x)<0$ যদি $x \in \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$

বা $\quad f$ $\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ত হ্ৰাস হৈ আছে

৬.৪ স্থানীয় সৰ্বোচ্চ আৰু স্থানীয় সৰ্বনিম্ন (Maxima and Minima)

এই অংশত, আমি বিভিন্ন ফাংচনৰ সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন মান গণনা কৰিবলৈ অন্তৰকলনৰ ধাৰণা ব্যৱহাৰ কৰিম। প্ৰকৃততে, আমি ফাংচনৰ লেখৰ ‘পৰিবৰ্তন বিন্দু’ (turning points) বিচাৰিম আৰু এইদৰে সেই বিন্দুবোৰ বিচাৰিম য’ত লেখ স্থানীয়ভাৱে ইয়াৰ সৰ্বোচ্চ (বা সৰ্বনিম্ন) মান পায়। এনে বিন্দুবোৰৰ জ্ঞান দিয়া ফাংচনৰ লেখ অংকন কৰাত বহুত উপযোগী। আনহাতে, আমি ফাংচন এটাৰ পৰম সৰ্বোচ্চ (absolute maximum) আৰু পৰম সৰ্বনিম্ন (absolute minimum) মানও বিচাৰিম যিবোৰ বহুতো প্ৰয়োগ সমস্যাৰ সমাধানৰ বাবে প্ৰয়োজনীয়।

দৈনন্দিন জীৱনত উঠা তলৰ সমস্যাবোৰ বিবেচনা কৰোঁ।

(i) কমলা গছৰ বাগিচাৰ পৰা লাভ $P(x)=a x+b x^{2}$ দ্বাৰা দিয়া আছে, য’ত $a, b$ ধ্ৰুৱক আৰু $x$ হ’ল প্ৰতি একৰত থকা কমলা গছৰ সংখ্যা। প্ৰতি একৰত কিমানটা গছ থাকিলে লাভ সৰ্বোচ্চ হ’ব?

(ii) ৬০ মিটাৰ ওখ দালানৰ পৰা বায়ুত দলিওৱা বল এটাই $h(x)=60+x-\frac{x^{2}}{60}$ দ্বাৰা দিয়া পথেৰে গতি কৰে, য’ত $x$ হ’ল দালানৰ পৰা আনুভূমিক দূৰত্ব আৰু $h(x)$ হ’ল বলৰ উচ্চতা। বলটোৱে কিমান সৰ্বোচ্চ উচ্চতা পাব?

(iii) শত্ৰুৰ এটা এপাচী হেলিকপ্টাৰ $f(x)=x^{2}+7$ দ্বাৰা দিয়া বক্ৰৰ পথেৰে উৰি আছে। $(1,2)$ বিন্দুত স্থাপন কৰা এজন সৈনিকে হেলিকপ্টাৰটো তেওঁৰ ওচৰচুবুৰীয়া হ’লে গুলীয়াব বিচাৰে। ওচৰচুবুৰীয়া দূৰত্বটো কিমান?

ওপৰৰ প্ৰতিটো সমস্যাত, এটা সাধাৰণ কথা আছে, অৰ্থাৎ আমি দিয়া ফাংচনবোৰৰ সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন মান বিচাৰিব বিচাৰোঁ। এনে সমস্যা সমাধান কৰিবলৈ, আমি প্ৰথমে আনুষ্ঠানিকভাৱে ফাংচন এটাৰ সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন মান, স্থানীয় সৰ্বোচ্চ আৰু স্থানীয় সৰ্বনিম্ন বিন্দু আৰু এনে বিন্দু নিৰ্ধাৰণ কৰাৰ পৰীক্ষা সংজ্ঞায়িত কৰোঁ।

সংজ্ঞা ৩ ধৰা হওক $f$ হ’ল অন্তৰাল Iত সংজ্ঞায়িত ফাংচন এটা। তেন্তে

(ক) $f$ক Iত সৰ্বোচ্চ মান থকা বুলি কোৱা হয়, যদি Iত এটা বিন্দু $c$ থাকে যাতে $f(c)>f(x)$, সকলো $x \in I$ৰ বাবে।

সংখ্যাটো $f(c)$ক $f$ৰ Iত সৰ্বোচ্চ মান বুলি কোৱা হয় আৰু বিন্দু $c$ক $f$ৰ $I$ত সৰ্বোচ্চ মানৰ বিন্দু বুলি কোৱা হয়।

(খ) $f$ক $I$ত সৰ্বনিম্ন মান থকা বুলি কোৱা হয়, যদি $I$ত এটা বিন্দু $c$ থাকে যাতে $f(c)<f(x)$, সকলো $x \in I$ৰ বাবে।

সংখ্যাটো $f(c)$, এই ক্ষেত্ৰত, $f$ৰ Iত সৰ্বনিম্ন মান বুলি কোৱা হয় আৰু বিন্দু $c$, এই ক্ষেত্ৰত, $f$ৰ $I$ত সৰ্বনিম্ন মানৰ বিন্দু বুলি কোৱা হয়।

(গ) $f$ক $I$ত চৰম মান (extreme value) থকা বুলি কোৱা হয় যদি Iত এটা বিন্দু $c$ থাকে যাতে $f(c)$ হয় $f$ৰ $I$ত সৰ্বোচ্চ মান বা সৰ্বনিম্ন মান।

সংখ্যাটো $f(c)$, এই ক্ষেত্ৰত, $f$ৰ $I$ত চৰম মান বুলি কোৱা হয় আৰু বিন্দু $c$ক চৰম বিন্দু বুলি কোৱা হয়।

মন্তব্য চিত্ৰ ৬.৭(ক), (খ) আৰু (গ)ত, আমি কিছুমান নিৰ্দিষ্ট ফাংচনৰ লেখ দেখুৱাইছোঁ যিয়ে কোনো বিন্দুত সৰ্বোচ্চ মান আৰু সৰ্বনিম্ন মান বিচাৰাত সহায় কৰে। প্ৰকৃততে, লেখৰ জৰিয়তে আমি ফাংচনৰ সৰ্বোচ্চ/সৰ্বনিম্ন মান এনে বিন্দুত বিচাৰিব পাৰোঁ য’ত ই অন্তৰকলনযোগ্যও নহয় (উদাহৰণ ১৫)।

চিত্ৰ ৬.৭

উদাহৰণ ১৪ ফাংচন $f$ দ্বাৰা দিয়া