এজন পৰ্বতাৰোহীয়ে যিদৰে পৰ্বতত উঠে - কাৰণ সি তাত আছে, তেনেদৰে এজন ভাল গণিতৰ ছাত্ৰয়ে নতুন বিষয়বস্তু অধ্যয়ন কৰে কাৰণ সি তাত আছে। - জেমছ বি. ব্ৰিষ্টল

7.1 পৰিচয়

অন্তৰকলন কেলকুলাছৰ কেন্দ্ৰবিন্দু হৈছে অন্তৰকলজৰ ধাৰণা। অন্তৰকলজৰ মূল উদ্দেশ্য আছিল ফাংশনৰ লেখৰ স্পৰ্শক ৰেখা সংজ্ঞায়িত কৰা আৰু এনে ৰেখাৰ ঢাল গণনা কৰাৰ সমস্যা। সমাকলন কেলকুলাছৰ উদ্দেশ্য হৈছে ফাংশনৰ লেখৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ অঞ্চলৰ কালি সংজ্ঞায়িত কৰা আৰু গণনা কৰাৰ সমস্যা।

যদি এটা ফাংশন $f$ এটা অন্তৰাল $I$-ত অন্তৰকলনযোগ্য হয়, অৰ্থাৎ, ইয়াৰ অন্তৰকলজ $f$ ’ I-ৰ প্ৰতিটো বিন্দুত বিদ্যমান, তেন্তে এটা স্বাভাৱিক প্ৰশ্ন উঠে যে I-ৰ প্ৰতিটো বিন্দুত $f^{\prime}$ দিয়া হ’লে, আমি ফাংশনটো নিৰ্ণয় কৰিব পাৰোনে? যি ফাংশনসমূহে সম্ভৱতঃ দিয়া ফাংশনটোক অন্তৰকলজ হিচাপে দিব পাৰে, সেইবোৰক ফাংশনটোৰ প্ৰতিঅন্তৰকলজ (বা আদিম) বুলি কোৱা হয়। আৰু, যি সূত্ৰই

জি.ডব্লিউ. লাইবনিজ (১৬৪৬ - ১৭১৬)

এই সকলোবোৰ প্ৰতিঅন্তৰকলজ দিয়ে, তাক ফাংশনটোৰ অনিৰ্দিষ্ট সমাকল বুলি কোৱা হয় আৰু প্ৰতিঅন্তৰকলজ বিচাৰি উলিওৱা এনে প্ৰক্ৰিয়াক সমাকলন বুলি কোৱা হয়। এনে ধৰণৰ সমস্যা বহুতো ব্যৱহাৰিক পৰিস্থিতিত দেখা দিয়ে। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি আমি কোনো বস্তুৰ যিকোনো মুহূৰ্তত তাৎক্ষণিক বেগ জানো, তেন্তে এটা স্বাভাৱিক প্ৰশ্ন উঠে, অৰ্থাৎ, আমি বস্তুটোৰ যিকোনো মুহূৰ্তত অৱস্থান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰোনে? বহুতো এনে ব্যৱহাৰিক আৰু তাত্ত্বিক পৰিস্থিতি আছে য’ত সমাকলন প্ৰক্ৰিয়া জড়িত হৈ থাকে। সমাকলন কেলকুলাছৰ বিকাশ নিম্নলিখিত ধৰণৰ সমস্যাসমূহ সমাধান কৰাৰ চেষ্টাৰ পৰা ওলাই আহিছে:

(ক) যেতিয়া ইয়াৰ অন্তৰকলজ দিয়া হয়, তেতিয়া ফাংশন এটা উলিওৱাৰ সমস্যা,

(খ) নিৰ্দিষ্ট শর্তত ফাংশন এটাৰ লেখৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ কালি উলিওৱাৰ সমস্যা।

এই দুটা সমস্যাই দুটা ধৰণৰ সমাকললৈ নিয়ে, যেনে, অনিৰ্দিষ্ট আৰু নিৰ্দিষ্ট সমাকল, যিবোৰ একেলগে সমাকলন কেলকুলাছ গঠন কৰে।

এটা সংযোগ আছে, যাক কেলকুলাছৰ মৌলিক উপপাদ্য বুলি জনা যায়, অনিৰ্দিষ্ট সমাকল আৰু নিৰ্দিষ্ট সমাকলৰ মাজত, যিয়ে নিৰ্দিষ্ট সমাকলক বিজ্ঞান আৰু অভিযান্ত্ৰিকতাৰ বাবে এক ব্যৱহাৰিক সঁজুলি হিচাপে গঢ়ি তোলে। নিৰ্দিষ্ট সমাকল অৰ্থনীতি, বিত্ত আৰু সম্ভাৱনাৰ দৰে বিভিন্ন শাখাৰ পৰা বহুতো আকৰ্ষণীয় সমস্যা সমাধান কৰিবলেও ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

এই অধ্যায়ত, আমি অনিৰ্দিষ্ট আৰু নিৰ্দিষ্ট সমাকল আৰু সমাকলনৰ কিছুমান কৌশলকে ধৰি ইয়াৰ মৌলিক ধৰ্মসমূহৰ অধ্যয়নলৈ সীমাবদ্ধ থাকিম।

7.2 অন্তৰকলনৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া হিচাপে সমাকলন

সমাকলন হৈছে অন্তৰকলনৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া। ফাংশন এটা অন্তৰকলন কৰাৰ পৰিৱৰ্তে, আমাক ফাংশন এটাৰ অন্তৰকলজ দিয়া হয় আৰু ইয়াৰ আদিম, অৰ্থাৎ, মূল ফাংশনটো বিচাৰিবলৈ কোৱা হয়। এনে প্ৰক্ৰিয়াক সমাকলন বা প্ৰতিঅন্তৰকলন বুলি কোৱা হয়। আহক আমি নিম্নলিখিত উদাহৰণবোৰ বিবেচনা কৰো:

$\text{ আমি জানো যে }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ আৰু }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

আমি লক্ষ্য কৰো যে (1)-ত, ফাংশন $\cos x$ হৈছে $\sin x$-ৰ অন্তৰকলিত ফাংশন। আমি কওঁ যে $\sin x$ হৈছে $\cos x$-ৰ এটা প্ৰতিঅন্তৰকলজ (বা সমাকল)। একেদৰে, (2) আৰু (3)-ত, $\frac{x^{3}}{3}$ আৰু $e^{x}$ হৈছে ক্ৰমে $x^{2}$ আৰু $e^{x}$-ৰ প্ৰতিঅন্তৰকলজ (বা সমাকল)। আকৌ, আমি লক্ষ্য কৰো যে যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা $C$-ৰ বাবে, ধ্ৰুৱক ফাংশন হিচাপে গণ্য কৰিলে, ইয়াৰ অন্তৰকলজ শূন্য আৰু গতিকে, আমি (1), (2) আৰু (3) তলত দিয়া ধৰণে লিখিব পাৰো :

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

এইদৰে, ওপৰত উল্লেখ কৰা ফাংশনসমূহৰ প্ৰতিঅন্তৰকলজ (বা সমাকল) একক নহয়। প্ৰকৃততে, এই প্ৰতিটো ফাংশনৰ অসংখ্য প্ৰতিঅন্তৰকলজ আছে যিবোৰ বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতিৰ পৰা $C$ ইচ্ছামতে বাছি লৈ পোৱা যায়। এই কাৰণতে $C$-ক সাধাৰণতে ইচ্ছাধীন ধ্ৰুৱক বুলি কোৱা হয়। প্ৰকৃততে, $C$ হৈছে পৰামিতি যিকি সলনি কৰি দিয়া ফাংশনটোৰ বিভিন্ন প্ৰতিঅন্তৰকলজ (বা সমাকল) পোৱা যায়।

আৰু সাধাৰণভাৱে, যদি এটা ফাংশন $F$ এনে হয় যে $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (অন্তৰাল), তেন্তে যিকোনো ইচ্ছাধীন বাস্তৱ সংখ্যা $C$-ৰ বাবে, (সমাকলন ধ্ৰুৱকও বোলা হয়)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

এইদৰে, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

টোকা একে অন্তৰকলজ থকা ফাংশনবোৰ ধ্ৰুৱক এটাৰ দ্বাৰা পৃথক হয়। ইয়াক দেখুৱাবলৈ, ধৰা হওক $g$ আৰু $h$ হৈছে I অন্তৰালত একে অন্তৰকলজ থকা দুটা ফাংশন।

ফাংশন $f=g-h$ বিবেচনা কৰা হওক যাক $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে

তেন্তে $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

বা $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

অৰ্থাৎ, $f$-ৰ সাপেক্ষে $x$-ৰ সলনিৰ হাৰ I-ত শূন্য আৰু গতিকে $f$ ধ্ৰুৱক।

ওপৰৰ টোকাৰ দৃষ্টিত, এইটো অনুমান কৰাটো ন্যায়সংগত যে $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ পৰিয়ালটোৱে $f$-ৰ সকলো সম্ভাৱ্য প্ৰতিঅন্তৰকলজ প্ৰদান কৰে।

আমি এটা নতুন চিহ্নৰ সৈতে পৰিচয় কৰাইছো, অৰ্থাৎ, $\int f(x) d x$ যিয়ে প্ৰতিঅন্তৰকলজৰ সম্পূৰ্ণ শ্ৰেণীটোক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব, $f$-ৰ সাপেক্ষে $x$-ৰ অনিৰ্দিষ্ট সমাকল হিচাপে পঢ়া হয়।

চিহ্নগতভাৱে, আমি লিখো $\int f(x) d x=F(x)+C$।

সংকেতন দিয়া আছে যে $\frac{d y}{d x}=f(x)$, আমি লিখো $y=\int f(x) d x$।

সুবিধাৰ বাবে, আমি তলত নিম্নলিখিত চিহ্ন/পদ/বাক্যাংশবোৰ উল্লেখ কৰিছো

তালিকা 7.1

আমি ইতিমধ্যে বহুতো গুৰুত্বপূৰ্ণ ফাংশনৰ অন্তৰকলজৰ সূত্ৰবোৰ জানো। এই সূত্ৰবোৰৰ পৰা, আমি তলত তালিকাভুক্ত কৰাৰ দৰে এই ফাংশনবোৰৰ সমাকলৰ বাবে তৎক্ষণাত সংশ্লিষ্ট সূত্ৰবোৰ (মানক সূত্ৰ বুলি কোৱা হয়) লিখিব পাৰো, যিবোৰ অন্যান্য ফাংশনৰ সমাকল উলিয়াবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হ’ব।

$ \begin{array}{ll} \text{অন্তৰকলজ} & \text{সমাকল (প্ৰতিঅন্তৰকলজ)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{বিশেষকৈ, আমি লক্ষ্য কৰো যে} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

টোকা ব্যৱহাৰত, আমি সাধাৰণতে বিভিন্ন ফাংশন সংজ্ঞায়িত কৰা অন্তৰালটো উল্লেখ নকৰো। অৱশ্যে, কোনো নিৰ্দিষ্ট সমস্যাত ইয়াক মনত ৰাখিব লাগিব।

7.2.1 অনিৰ্দিষ্ট সমাকলৰ কিছুমান ধৰ্ম

এই উপ-বিভাগত, আমি অনিৰ্দিষ্ট সমাকলৰ কিছুমান ধৰ্ম উলিয়াম।

(I) অন্তৰকলন আৰু সমাকলনৰ প্ৰক্ৰিয়া দুটা পৰস্পৰৰ বিপৰীত নিম্নলিখিত ফলাফলৰ অৰ্থত :

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

আৰু $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

প্ৰমাণ ধৰা হওক $F$ হৈছে $f$-ৰ যিকোনো প্ৰতিঅন্তৰকলজ, অৰ্থাৎ,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ গতিকে }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

একেদৰে, আমি লক্ষ্য কৰো যে

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

আৰু গতিকে$\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

য’ত $C$ হৈছে ইচ্ছাধীন ধ্ৰুৱক যাক সমাকলন ধ্ৰুৱক বুলি কোৱা হয়।

(II) একে অন্তৰকলজ থকা দুটা অনিৰ্দিষ্ট সমাকলে একে পৰিয়ালৰ বক্ৰলৈ নিয়ে আৰু সেয়েহে সিহঁত সমতুল্য।

প্ৰমাণ ধৰা হওক $f$ আৰু $g$ হৈছে দুটা ফাংশন যেনে

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

বা $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

গতিকে $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, য’ত $C$ যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা

বা $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

গতিকে, বক্ৰৰ পৰিয়াল $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

আৰু $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

গতিকে, এই অৰ্থত, $\int f(x) d x$ আৰু $\int g(x) d x$ সমতুল্য।

টোকা $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ আৰু $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ পৰিয়ালৰ সমতুল্যতা সাধাৰণতে $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ লিখি প্ৰকাশ কৰা হয়, পৰামিতি উল্লেখ নকৰাকৈ।

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

প্ৰমাণ ধৰ্ম (I) অনুসৰি, আমি পাইছো

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

আনহাতে, আমি দেখো যে

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

এইদৰে, ধৰ্ম (II)ৰ দৃষ্টিত, (1) আৰু (2)ৰ দ্বাৰা ইয়াক পোৱা যায়

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$-ৰ বাবে

প্ৰমাণ ধৰ্ম (I) অনুসৰি, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$।

আকৌ $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

গতিকে, ধৰ্ম (II) ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাইছো $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$।

(V) ধৰ্ম (III) আৰু (IV)ক সসীম সংখ্যক ফাংশন $f_1, f_2, \ldots, f_n$ আৰু বাস্তৱ সংখ্যা, $k_1, k_2, \ldots, k_n$-লৈ সাধাৰণীকৰণ কৰিব পাৰি, দি

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

দিয়া ফাংশন এটাৰ প্ৰতিঅন্তৰকলজ উলিয়াবলৈ, আমি স্বজ্ঞাতভাৱে এটা ফাংশন বিচাৰো যাৰ অন্তৰকলজ হৈছে দিয়া ফাংশন। প্ৰতিঅন্তৰকলজ বিচাৰি উলিওৱাৰ বাবে প্ৰয়োজনীয় ফাংশনৰ সন্ধানক নিৰীক্ষণ পদ্ধতিৰে সমাকলন বুলি কোৱা হয়। আমি কিছুমান উদাহৰণৰ জৰিয়তে ইয়াক বুজাইছো।

উদাহৰণ 1 নিৰীক্ষণ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰতিটো ফাংশনৰ বাবে এটা প্ৰতিঅন্তৰকলজ লিখা:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

সমাধান

(i) আমি এটা ফাংশন বিচাৰো যাৰ অন্তৰকলজ $\cos 2 x$। মনত ৰাখা যে

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

বা $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

গতিকে, $\cos 2 x$-ৰ এটা প্ৰতিঅন্তৰকলজ হৈছে $\frac{1}{2} \sin 2 x$।

(ii) আমি এটা ফাংশন বিচাৰো যাৰ অন্তৰকলজ $3 x^{2}+4 x^{3}$। লক্ষ্য কৰা যে

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

গতিকে, $3 x^{2}+4 x^{3}$-ৰ এটা প্ৰতিঅন্তৰকলজ হৈছে $x^{3}+x^{4}$।

(iii) আমি জানো যে

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ আৰু $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

ওপৰৰবোৰ সংযোগ কৰি, আমি পাইছো $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$

গতিকে, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$ হৈছে $\frac{1}{x}$-ৰ প্ৰতিঅন্তৰকলজসমূহৰ এটা।

উদাহৰণ 2 নিম্নলিখিত সমাকলবোৰ উলিওৱা:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

সমাধান

(i) আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ by Property } V) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ are constants of integration } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, where } C=C_1-C_2 \text{ is another constant of integration. } \end{aligned} $$

টোকা এতিয়াৰ পৰা, আমি চূড়ান্ত উত্তৰত কেৱল এটা সমাকলন ধ্ৰুৱক লিখিম।

(ii) আমি পাইছো $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \\ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) আমি পাইছো $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \\ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

উদাহৰণ 3 নিম্নলিখিত সমাকলবোৰ উলিওৱা:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

সমাধান

(i) আমি পাইছো $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \\ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) আমি পাইছো $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \\ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) আমি পাইছো $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \\ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \\ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

উদাহৰণ 4 $f$ দ্বাৰা সংজ্ঞায়িত $F$-ৰ প্ৰতিঅন্তৰকলজ $f(x)=4 x^{3}-6$ উলিওৱা, য’ত $F(0)=3$

সমাধান $f(x)$-ৰ এটা প্ৰতিঅন্তৰকলজ হৈছে $x^{4}-6 x$ কাৰণ

$$ \frac{d}{d x}(x^{4}-6 x)=4 x^{3}-6 $$

$$ F(x)=x^{4}-6 x+C \text{, where } C \text{ is constant. } $$

গতিকে, প্ৰতিঅন্তৰকলজ $F$ তলত দিয়া ধৰণে দিয়া হৈছে

দিয়া আছে $$ \begin{aligned} F(0) & =3, \text{ which gives } \\ 3 & =0-6 \times 0+C \text{ or } C=3 \end{aligned} $$

গতিকে, প্ৰয়োজনীয় প্ৰতিঅন্তৰকলজ হৈছে অনন্য ফাংশন $F$ যাক তলত দিয়া ধৰণে সংজ্ঞায়িত কৰা হৈছে $\mathrm{F}(x)=x^{4}-6 x+3$

টোকা

(i) আমি দেখো যে যদি $F$ হৈছে $f$-ৰ এটা প্ৰতিঅন্তৰকলজ, তেন্তে $F+C$ও তেনেকুৱা, য’ত $C$ যিকোনো ধ্ৰুৱক। গতিকে, যদি আমি ফাংশন $f$-ৰ এটা প্ৰতিঅন্তৰকলজ $F$ জানো, আমি $f$-ৰ অসংখ্য প্ৰতিঅন্তৰকলজ $F$-লৈ যিকোনো ধ্ৰুৱক যোগ কৰি লিখিব পাৰো, যাক $F(x)+C, C \in \mathbf{R}$ দ্বাৰা প্ৰকাশ কৰা হয়। প্ৰয়োগত, এটা অতিৰিক্ত শর্ত পূৰণ কৰাটো প্ৰায়ে প্ৰয়োজন হয় যিয়ে $C$-ৰ এক নিৰ্দিষ্ট মান নিৰ্ধাৰণ কৰি দিয়া ফাংশনটোৰ অনন্য প্ৰতিঅন্তৰকলজ দিয়ে।

(ii) কেতিয়াবা, $F$-ক মৌলিক ফাংশন যেনে বহুপদ, লগাৰিথমিক, সূচকীয়, ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশন আৰু ইহঁতৰ বিপৰীত আদিৰ সহায়ত প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি। গতিকে, $\int f(x) d x$ উলিওৱাত আমি বাধাপ্ৰাপ্ত হওঁ। উদাহৰণস্বৰূপে, নিৰীক্ষণৰ দ্বাৰা $\int e^{-x^{2}} d x$ উলিওৱাটো সম্ভৱ নহয় কাৰণ আমি এটা ফাংশন বিচাৰি পোৱা নাই যাৰ অন্তৰকলজ $e^{-x^{2}}$

(iii) যেতিয়া সমাকলনৰ চলকটো $x$-ৰ বাহিৰে আন চলকৰ দ্বাৰা সূচিত কৰা হয়, তেতিয়া সমাকল সূত্ৰবোৰ তদনুসাৰে সলনি কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে

$$ \int y^{4} d y=\frac{y^{4+1}}{4+1}+C=\frac{1}{5} y^{5}+C $$

7.3 সমাকলনৰ পদ্ধতিসমূহ

পূৰ্বৱৰ্তী বিভাগত, আমি সেইবোৰ ফাংশনৰ সমাকল আলোচনা কৰিছিলো যিবোৰ কিছুমান ফাংশনৰ অন্তৰকলজৰ পৰা সহজে পোৱা গৈছিল। ই নিৰীক্ষণৰ ওপৰত আধাৰিত আছিল, অৰ্থাৎ, এটা ফাংশন $F$-ৰ সন্ধান যাৰ অন্তৰকলজ $f$, যিয়ে আমাক $f$-ৰ সমাকললৈ লৈ গৈছিল। অৱশ্যে, এই পদ্ধতি, যি নিৰীক্ষণৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল, বহুতো ফাংশনৰ বাবে বৰ উপযুক্ত নহয়। গতিকে, সমাকলবোৰক মানক ৰূপলৈ হ্ৰাস কৰি সমাকল উলিওৱাৰ বাবে আমি অতিৰিক্ত কৌশল বা পদ্ধতি বিকশিত কৰাৰ প্ৰয়োজন। ইয়াৰ ভিতৰত উল্লেখযোগ্য হৈছে:

1. প্ৰতিষ্ঠাপনৰ দ্বাৰা সমাকলন

2. আংশিক ভগ্নাংশ ব্যৱহাৰ কৰি সমাকলন

3. অংশাংশৰ দ্বাৰা সমাকলন

7.3.1 প্ৰতিষ্ঠাপনৰ দ্বাৰা সমাকলন

এই বিভাগত, আমি প্ৰতিষ্ঠাপনৰ দ্বাৰা সমাকলন পদ্ধতি বিবেচনা কৰো।

দিয়া সমাকল $\int f(x) d x$-ক স্বাধীন চলক $x$-ক $t$-লৈ সলনি কৰি, $x=g(t)$ প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি আন এটা ৰূপলৈ ৰূপান্তৰিত কৰিব পাৰি।

বিবেচনা কৰা হওক $$ I=\int f(x) d x $$

$x=g(t)$ বহুৱাওক যাতে $\frac{d x}{d t}=g^{\prime}(t)$।

আমি লিখো $$ d x=g^{\prime}(t) d t $$

এইদৰে $$ I=\int f(x) d x=\int f(g(t)) g^{\prime}(t) d t $$

চলক সলনি কৰাৰ এই সূত্ৰটো হৈছে আমাৰ বাবে উপলব্ধ গুৰুত্বপূৰ্ণ সঁজুলিসমূহৰ ভিতৰত এটা, প্ৰতিষ্ঠাপনৰ দ্বাৰা সমাকলন নামেৰে। সাধাৰণতে, কোনটো প্ৰতিষ্ঠাপন উপযোগী হ’ব, সেইটো অনুমান কৰাটো প্ৰায়ে গুৰুত্বপূৰ্ণ। সাধাৰণতে, আমি এটা ফাংশনৰ বাবে প্ৰতিষ্ঠাপন কৰো যাৰ অন্তৰকলজও সমাকল্যত উপস্থিত থাকে, যেনে নিম্নলিখিত উদাহৰণবোৰত দেখুৱা হৈছে।

উদাহৰণ 5 $x$-ৰ সাপেক্ষে নিম্নলিখিত ফাংশনবোৰ সমাকলন কৰা :

(i) $\sin m x$

(ii) $2 x \sin (x^{2}+1)$

(iii) $\frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

(iv) $\frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^{2}}$

সমাধান

(i) আমি জানো যে $m x$-ৰ অন্তৰকলজ হৈছে $m$। এইদৰে, আমি প্ৰতিষ্ঠাপন $m x=t$ বহুৱাওঁ যাতে $m d x=d t$।

গতিকে, $\quad \int \sin m x d x=\frac{1}{m} \int \sin t d t=-\frac{1}{m} \cos t+C=-\frac{1}{m} \cos m x+C$

(ii) $x^{2}+1$-ৰ অন্তৰকলজ হৈছে $2 x$। এইদৰে, আমি প্ৰতিষ্ঠাপন $x^{2}+1=t$ ব্যৱহাৰ কৰো যাতে $2 x d x=d t$।

গতিকে, $$\int 2 x \sin (x^{2}+1) d x=\int \sin t d t=-\cos t+C=-\cos (x^{2}+1)+C$$

(iii) $\sqrt{x}$-ৰ অন্তৰকলজ হৈছে $\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$। এইদৰে, আমি প্ৰতিষ্ঠাপন ব্যৱহাৰ কৰো

$\sqrt{x}=t$ যাতে $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t$ দি $d x=2 t d t$।

এইদৰে, $\quad \int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\int \frac{2 t \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t}{t}=2 \int \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t$

আকৌ, আমি আন এটা প্ৰতিষ্ঠাপন $\tan t=u$ বহুৱাওঁ যাতে $\quad \sec ^{2} t d t=d u$

গতিকে,$2 \int \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t=2 \int u^{4} d u=2 \frac{u^{5}}{5}+\mathrm{C}$ $$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \tan ^{5} t+\mathrm{C}(\text { क्योंकि } u=\tan t) \\ & =\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+\mathrm{C}(\text { क्योंकि } t=\sqrt{x}) \end{aligned} $$

গতিকে, $\quad \int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+C$

বিকল্পভাৱে, প্ৰতিষ্ঠাপন $\tan \sqrt{x}=t$ বহুৱাওক

(iv) $\tan ^{-1} x=\frac{1}{1+x^{2}}$-ৰ অন্তৰকলজ। এইদৰে, আমি প্ৰতিষ্ঠাপন ব্যৱহাৰ কৰো $ \tan ^{-1} x=t \text{ so that } \frac{d x}{1+x^{2}}=d t $

গতিকে, $\int \frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^{2}} d x=\int \sin t d t=-\cos t+C=-\cos (\tan ^{-1} x)+C$

এতিয়া, আমি ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশন জড়িত কিছুমান গুৰুত্বপূৰ্ণ সমাকল আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন কৌশল ব্যৱহাৰ কৰি ইহঁতৰ মানক সমাকল আলোচনা কৰো। এইবোৰ পিছত উল্লেখ নকৰাকৈ ব্যৱহাৰ কৰা হ’ব।

(i) $\int \tan x d x=\log |\sec x|+C$

আমি পাইছো $ \int \tan x d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} d x $

$\cos x=t$ বহুৱাওক যাতে $\sin x d x=-d t$

তেন্তে $\qquad \int \tan x d x=-\int \frac{d t}{t}=-\log |t|+C=-\log |\cos x|+C$

বা $\quad \int \tan x d x=\log |\sec x|+C$

(ii) $\int \cot x d x=\log |\sin x|+C$

আমি পাইছো $\int \cot x d x=\int \frac{\cos x}{\sin x} d x$

$\sin x=t$ বহুৱাওক যাতে $\cos x d x=d t$

তেন্তে $$ \int \cot x d x=\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C=\log |\sin x|+C $$

(iii) $\int \sec x d x=\log |\sec x+\tan x|+C$

আমি পাইছো $ \int \sec x d x=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x $

sec $x+\tan x=t$ বহুৱাওক যাতে $\sec x(\tan x+\sec x) d x=d t$

গতিকে, $\int \sec x d x=\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C=\log |\sec x+\tan x|+C$

(iv) $\int cosec x d x=\log |cosec x-\cot x|+C$

আমি পাইছো $ \int cosec x d x=\int \frac{cosec x(cosec x+\cot x)}{(cosec x+\cot x)} d x $

$cosec x+\cot x=t$ বহুৱাওক যাতে $-cosec x(cosec x+\cot x) d x=d t$

গতিকে $ \begin{aligned} \int cosec x d x & =-\int \frac{d t}{t}=-\log |t|=-\log |cosec x+\cot x|+C \\ & =-\log |\frac{cosec^{2} x-\cot ^{2} x}{cosec x-\cot x}|+C \\ & =\log |cosec x-\cot x|+C \end{aligned} $

উদাহৰণ 6 নিম্নলিখিত সমাকলবোৰ উলিওৱা:

(i) $\int \sin ^{3} x \cos ^{2} x d x$

(ii) $\int \frac{\sin x}{\sin (x+a)} d x$

(iii) $\int \frac{1}{1+\tan x} d x$

সমাধান

(i) আমি পাইছো $$ \begin{aligned} \int \sin ^{3} x \cos ^{2} x d x & =\int \sin ^{2} x \cos ^{2} x(\sin x) d x \\ & =\int(1-\cos ^{2} x) \cos ^{2} x(\sin x) d x \end{aligned} $$

$t=\cos x$ বহুৱাওক যাতে $d t=-\sin x d x$

গতিকে, $\int \sin ^{2} x \cos ^{2} x(\sin x) d x=-\int(1-t^{2}) t^{2} d t$

$$ \begin{aligned} & =-\int(t^{2}-t^{4}) d t=-(\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{5}}{5})+C \\ & =-\frac{1}{3} \cos ^{3} x+\frac{1}{5} \cos ^{5} x+C \end{aligned} $$

(ii) $x+a=t$ বহুৱাওক। তেন্তে $d x=d t$। গতিকে

$$ \begin{aligned} \int \frac{\sin x}{\sin (x+a)} d x & =\int \frac{\sin (t-a)}{\sin t} d t \\ & =\int \frac{\sin t \cos a-\cos t \sin a}{\sin t} d t \\ & =\cos a \int d t-\sin a \int \cot t d t \\ & =(\cos a) t-(\sin a)[\log |\sin t|+C_1] \\ & =(\cos a)(x+a)-(\sin a)[\log |\sin (x+a)|+C_1] \\ & =x \cos a+a \cos a-(\sin a) \log |\sin (x+a)|-C_1 \sin a \end{aligned} $$

গতিকে, $\int \frac{\sin x}{\sin (x+a)} d x=x \cos a-\sin a \log |\sin (x+a)|+C$,

য’ত, $C=-C_1 \sin a+a \cos a$, হৈছে আন এটা ইচ্ছাধীন ধ্ৰুৱক।

(iii) $\int \frac{d x}{1+\tan x}=\int \frac{\cos x d x}{\cos x+\sin x}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x+\cos x-\sin x) d x}{\cos x+\sin x} \\ & =\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x \\ & =\frac{x}{2}+\frac{C_1}{2}+\frac{1}{2} \int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x \end{aligned} $$

এতিয়া, বিবেচনা কৰা হওক $I=\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} d x$

$\cos x+\sin x=t$ বহুৱাওক যাতে $(\cos x-\sin x) d x=d t$

গতিকে $\quad I=\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C_2=\log |\cos x+\sin x|+C_2$

ইয়াক (1)-ত বহুৱাই, আমি পাইছো

$$ \begin{aligned} \int \frac{d x}{1+\tan x} & =\frac{x}{2}+\frac{C_1}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x+\sin x|+\frac{C_2}{2} \\ & =\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x+\sin x|+\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{2} \\ & =\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \log |\cos x+\sin x|+C,(C=\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{2}) \end{aligned} $$

7.3.2 ত্ৰিকোণমিতিক অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি সমাকলন

যেতিয়া সমাকল্যত কিছুমান ত্ৰিকোণমিতিক ফাংশন জড়িত থাকে, আমি সমাকলটো উলিওৱাৰ বাবে কিছুমান জনা অভেদ ব্যৱহাৰ কৰো, যেনে নিম্নলিখিত উদাহৰণটোৰ জৰিয়তে বুজাইছে।

উদাহৰণ 7 উলিওৱা

(i) $\int \cos ^{2} x d x$

(ii) $\int \sin 2 x \cos 3 x d x$

(iii) $\int \sin ^{3} x d x$

সমাধান

(i) অভেদ $\cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1$ মনত ৰাখা, যিয়ে দিয়ে

$$ \cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2} $$

গতিকে, $\quad \int \cos ^{2} x d x=\frac{1}{2} \int(1+\cos 2 x) d x=\frac{1}{2} \int d x+\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x$

$$ =\frac{x}{2}+\frac{1}{4} \sin 2 x+C $$

(ii) অভেদ $\sin x \cos y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)]$ মনত ৰাখা

তেন্তে $\int \sin 2 x \cos 3 x d x=\frac{1}{2}$ $[\int \sin 5 x d x-\int \sin x d x]$

$$ \begin{aligned} $\int \sin 2 x \cos 3 x d x=\frac{1}{2}[\int \sin 5 x d x-\int \sin x d x]$\\ & =\frac{1}{2}[-\frac{1}{5} \cos 5 x+\cos x]+C \\ & =-\frac{1}{10} \cos 5 x+\frac{1}{2} \cos x+C \end{aligned} $$

(iii) অভেদ $\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$ৰ পৰা, আমি দেখো যে

$ \sin ^{3} x=\frac{3 \sin x-\sin 3 x}{4} $

গতিকে, $\quad \int \sin ^{3} x d x=\frac{3}{4} \int \sin x d x-\frac{1}{4} \int \sin 3 x d x$

$$ =-\frac{3}{4} \cos x+\frac{1}{12} \cos 3 x+C $$

বিকল্পভাৱে, $\int \sin ^{3} x d x=\int \sin ^{2} x \sin x d x=\int(1-\cos ^{2} x) \sin x d x$

⟦