গণিত অধ্যয় কৰা উচিত কাৰণ গণিতৰ মাধ্যমে মাতৃভূমি সম্পৰ্কীয় সকলো প্ৰশ্নৰ সমাধান কৰা যায়। - বিৰ্কহোফ

8.1 পৰিচয়

জিওমেট্ৰীত আমি আমাকে বিভিন্ন জিওমেট্ৰিক আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰফাঁকোৰ পৰিমাণ নিশ্চিত কৰিবলৈ ফৰ্মুলা শিকিছিলো, যাতে অংকগুলো অন্ততঃ ত্ৰিকোণ, আৰ্ধবৃত্ত, ট্ৰেপজিয়া আৰু বৃত্তসহ। এই ফৰ্মুলাগুলো গণিতৰ অনেক প্ৰয়োগত সম্পৰ্কীয় প্ৰশ্নৰ সমাধানত মৌলিক ভূমিকা পালন কৰে। প্ৰাথমিক জিওমেট্ৰিৰ ফৰ্মুলাগুলো আমাকে অনেক সহজ আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ দিয়ে। তথাপিওনে, তিনিয়া আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ তিনিয়া অপৰ্যাপ্ত। তেতিয়া আমাকে সমাকলন গণিতৰ কিছু ধাৰণা আহৰণ কৰিব লাগিব।

পূৰ্বৰ অধ্যায়ত আমি ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ কৰিছিলো যে তা আকৃতি $y=f(x)$, অধ্যায় $x=a$, $x=b$ আৰু $x$-অক্ষৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা হয়, যখন সীমিত সমাকলন এটা যোগফলৰ সীমাৰ বোলে নিশ্চিত কৰা হয়। এই অধ্যায়ত, আমি সমাকলনৰ এটা নিশ্চিত প্ৰয়োগ পৰ্যবেক্ষণ কৰিছো যাতে সহজ আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো, বৃত্ত, পাৰাবৃত্ত আৰু

A.L. কসহী (1789-1857) বৃত্তাকার (কেৱল স্টেন্ডাৰ্ড ফৰ্মগুলো)ৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰা হয়। আমি উপৰ্যুক্ত আকৃতিৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিব লাগিব।

8.2 সহজ আকৃতিৰ মধ্যে ক্ষেত্ৰফাঁকো

পূৰ্বৰ অধ্যায়ত আমি সীমিত সমাকলন এটা যোগফলৰ সীমাৰ বোলে আৰু গণিতৰ মৌলিক তত্ত্বৰ সৃষ্টিত সীমিত সমাকলন মূল্যায়ন কৰিবলৈ শিকিছিলো। এতিয়া, আমি ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ সহজ আনুমানিক উৎপাদন কৰিছো যাতে আকৃতি $y=f(x), x$-অক্ষৰ আৰু অধ্যায় $x=a$ আৰু $x=b$। চিত্ৰ 8.1ৰ পৰা, আমি ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ আকৃতিৰ মধ্যে এটা বহু বিশাল সংখ্যাৰ খুব নখুব উলম্ব পলিশসমূহৰ দ্বাৰা গঠিত হব বুলি চিনাব পাৰিব। এটা যেকোনো পলিশৰ উচ্চতা $y$ আৰু প্ৰস্থ $d x$ গণ্য কৰিছো, তথাপি $d A$ (পৰিমাণগত পলিশৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো) $=y d x$, যেনে, $y=f(x)$।

এই ক্ষেত্ৰফাঁকো পৰিমাণগত ক্ষেত্ৰফাঁকো বুলি কল্পনা কৰা হয় যা এটা যেকোনো স্থানত অৱস্থিত থকা প্ৰদত্ত অঞ্চলত নিৰ্দেশ কৰিছে যা কিছু মান $x$ৰ দ্বাৰা নিৰ্দেশ কৰা হয় $a$ আৰু $b$ মধ্যে। আমি মুঠ ক্ষেত্ৰফাঁকো A নিশ্চিত কৰিবলৈ পৰিমাণগত ক্ষেত্ৰফাঁকোসমূহৰ দ্বাৰা যোগ কৰিবলৈ চিনাব পাৰিব যা প্ৰদত্ত অঞ্চল PQRSPৰ মধ্যে পলিশসমূহৰ দ্বাৰা নিৰ্দেশ কৰা হয়। চিম্বৰভাবে, আমি প্ৰকাশ কৰিব

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

আকৃতি $A$ৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ অক্ষ $x=g(y), y$ আৰু লাইন $y=c$, $y=d$ দ্বাৰা প্ৰদত্ত অঞ্চল

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

এইয়াৰ বাবে আমি চিত্ৰ 8.2ৰ লগত দেখুৱা হৈছে যে পৰিমাণগত পলিশসমূহ উলম্ব হয়।

চিত্ৰ 8.2

মন্তব্য যদি পৰ্যালোচনা কৰা আকৃতিৰ অৱস্থান অক্ষ $x$ৰ তলত থাকে, তখন $f(x)<0$ থেকে $x=a$ পৰ্যন্ত ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ নেগেটিভ হব যেনে, যেনে, চিত্ৰ 8.3ৰ লগত দেখুৱা হৈছে, আকৃতি, $x$-অক্ষ আৰু অধ্যায় $x=a, x=b$ৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা ক্ষেত্ৰফাঁকো কেৱল সংখ্যাগত মান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ নিশ্চিত কৰিব যা নেগেটিভ হব। তথাপিওনে, যদি ক্ষেত্ৰফাঁকো নেগেটিভ হয়, তখন আমি তাৰ প্ৰত্যাহাৰ মান নিৰ্ণয় কৰিব, অৱগতে, $|\int_a^{b} f(x) d x|$।

চিত্ৰ 8.3

সাধাৰণত, কিছু অংশ আকৃতি $x$-অক্ষৰ ওপৰত থাকিব পাৰে আৰু কিছু অংশ অক্ষ $x$ৰ তলত থাকিব পাৰে যেনে, চিত্ৰ 8.4ৰ লগত দেখুৱা হৈছে। এইয়াৰ বাবে, $A_1<0$ আৰু $A_2>0$। তথাপিওনে, আকৃতি $y=f(x), x$-অক্ষ আৰু অধ্যায় $x=a$ আৰু $x=b$ৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা ক্ষেত্ৰফাঁকো A নিশ্চিত কৰিবলৈ $A=|A_1|+A_2$।

চিত্ৰ 8.4

উদাহৰণ 1 বৃত্ত $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰক।

সমাধান চিত্ৰ 8.5ৰ পৰা, প্ৰদত্ত বৃত্তৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা মুঠ ক্ষেত্ৰফাঁকো $=4$ (অঞ্চল AOBAৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ আকৃতি, $x$-অক্ষ আৰু অধ্যায় $x=0$ আৰু $x=a$ ) [কেননা বৃত্ত উভয় অক্ষ $x$ আৰু $y$ৰ লগত সমতলতা আছে]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

কেননা $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ দ্বাৰা $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

চিত্ৰ 8.5

কেননা অঞ্চল AOBA প্ৰথম কোণত অৱস্থিত, $y$ পজেটিভ হিচাপে নিৰ্ণয় কৰা হয়। সমাকলন কৰিছো, তথাপি প্ৰদত্ত বৃত্তৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা মুঠ ক্ষেত্ৰফাঁকো

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

বৈকল্পিকভাৱে, চিত্ৰ 8.6ৰ লগত দেখুৱা হৈছে যে পৰিমাণগত পলিশসমূহ নিৰ্ণয় কৰিছো, বৃত্তৰ মুঠ অঞ্চল

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(কেননা?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

চিত্ৰ 8.6

উদাহৰণ 2 বৃত্তাকার $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰক।

সমাধান চিত্ৰ 8.7ৰ পৰা, বৃত্তাকারৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা অঞ্চল $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(কেননা বৃত্তাকার উভয় অক্ষ $x$ আৰু $y$ৰ লগত সমতলতা আছে)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (উলম্ব পলিশসমূহ নিৰ্ণয় কৰিছো)

এতিয়া $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ দ্বাৰা $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$, কিন্তু কেননা অঞ্চল AOBA প্ৰথম কোণত অৱস্থিত, $y$ পজেটিভ হিচাপে নিৰ্ণয় কৰা হয়। তথাপিওনে, প্ৰয়োজনীয় ক্ষেত্ৰফাঁকো

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (কেননা) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

চিত্ৰ 8.7

বৈকল্পিকভাৱে, চিত্ৰ 8.8ৰ লগত দেখুৱা হৈছে যে পৰিমাণগত পলিশসমূহ নিৰ্ণয় কৰিছো, বৃত্তাকারৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

চিত্ৰ 8.8

বিভিন্ন উদাহৰণ

উদাহৰণ 3 লাইন $y=3 x+2$, $x$-অক্ষ আৰু অধ্যায় $x=-1$ আৰু $x=1$ৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা অঞ্চলৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰক।

সমাধান চিত্ৰ 8.9ৰ লগত দেখুৱা হৈছে, লাইন $y=3 x+2$ অক্ষ $x$ৰ লগত মিলিব $x=\frac{-2}{3}$ আৰু তাৰ গ্ৰাফ $x$-অক্ষ তলত অধ্যায় $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ আৰু $x$-অক্ষ ওপৰত অধ্যায় $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ৰ বাবে অৱস্থিত।

প্ৰয়োজনীয় ক্ষেত্ৰফাঁকো $=$ অঞ্চলৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো $ACBA+$ অঞ্চল ADEAৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

চিত্ৰ 8.9

উদাহৰণ 4 আকৃতি $y=\cos x$ৰ দ্বাৰা সীমাবদ্ধ থকা ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰক $x=0$ আৰু $x=2 \pi$ মধ্যে।

সমাধান চিত্ৰ 8.10ৰ পৰা, প্ৰয়োজনীয় ক্ষেত্ৰফাঁকো $=$ অঞ্চলৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো $OABO+$ অঞ্চল $BCDB+$ অঞ্চল DEFD।

চিত্ৰ 8.10

তথাপিওনে, আমাকে প্ৰয়োজনীয় ক্ষেত্ৰফাঁকো আহৰণ কৰিব লাগিব

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

সংক্ষিপ্ত তথ্য

আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ অক্ষ $y=f(x), x$ আৰু লাইন $x=a$ আৰু $x=b(b>a)$ৰ দ্বাৰা প্ৰদত্ত অঞ্চলৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো ফৰ্মুলা: ক্ষেত্ৰফাঁকো $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$। আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো নিশ্চিত কৰিবলৈ অক্ষ $x=\phi(y), y$ আৰু লাইন $y=c, y=d$ৰ দ্বাৰা প্ৰদত্ত অঞ্চলৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো ফৰ্মুলা: ক্ষেত্ৰফাঁকো $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$।

ঐতিহাসিক তথ্য

সমাকলন গণিতৰ উৎপত্তি গণিতৰ প্ৰাচীন কালৰ প্ৰারম্ভত পৰিণত হয় আৰু এটা পৰিমাণগত ক্ষেত্ৰফাঁকো, পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফাঁকো আৰু কণাসমূহৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰিবলৈ সমস্যাৰ সমাধানত প্ৰাচীন গ্ৰিক গণিতবিদসকলে বিকশিত কৰা শক্তিৰ পদ্ধতিৰ সৈতে সম্পৰ্কিত। এই পদ্ধতিত সমাকলনৰ এটা প্ৰারম্ভিক পদ্ধতি হিচাপে গণ্য কৰা হয়। প্ৰাচীন কালৰ সময়ত শক্তিৰ পদ্ধতিৰ সৰ্বোচ্চ বিকাশ Eudoxus (440 খৃঃ) আৰু Archimedes (300 খৃঃ)ৰ কাজত পাওনা পোৱা হয়।

গণিতৰ তত্ত্বৰ প্ৰণালীগত প্ৰবেশ 17শতিকাত হয়। 1665ত, নিউটন তাইকে পৰিমাণগত তত্ত্ব বুলি বিবৃত কৰা আৰু তাই তাইৰ তত্ত্বত আকৃতিৰ যেকোনো বিন্দুত টেণ্ডেণ্ট আৰু আকৃতিৰ বৃত্তৰ ব্যাস নিৰ্ণয় কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰিছিল। নিউটন টেণ্ডেণ্টৰ পৰীণত প্ৰতিফলিত কৰা ফাংশনৰ মৌলিক ধাৰণা প্ৰতিফলিত ফাংশন (অসীমিত সমাকলন) বা টেণ্ডেণ্টৰ পৰীণত প্ৰতিফলিত পদ্ধতি প্ৰতিফলিত কৰিছিল।

1684-86 মধ্যে, লিব্নিচ এটা প্ৰকাশনা প্ৰকাশ কৰিছিল যা তাই ‘Calculas summatorius’ বুলি কল্পনা কৰিছিল, কেননা তা এটা সংখ্যাৰ দ্বাৰা অসীমিত নখুব ক্ষেত্ৰফাঁকোসমূহৰ দ্বাৰা সম্পৰ্কিত হয়, যা তাই ’ ’ ’ চিম্বৰৰ দ্বাৰা নিৰ্দেশ কৰিছিল। 1696ত, তাই J. বাৰ্নোলিৰ কৰ্তব্য প্ৰতিফলন কৰিছিল আৰু এই প্ৰকাশনাটো লিব্নিচ কলপিত ‘Calculus integrali’ হিচাপে পৰিবৰ্তন কৰিছিল। এইটো নিউটনৰ টেণ্ডেণ্টৰ পৰীণত প্ৰতিফলিত পদ্ধতিৰ সৈতে সম্পৰ্কিত হয়।

নিউটন আৰু লিব্নিচ দুটা সম্পৰ্কীয় পদ্ধতি গ্ৰহণ কৰিছিল যা প্ৰত্যক্ষভাৱে ভিন্ন হয়। তথাপিওনে, তাইৰ তত্ত্বসমূহ প্ৰায় একেধৈক ফলাফল প্ৰতিফলন কৰিছিল। লিব্নিচ সীমিত সমাকলনৰ ধাৰণা ব্যৱহাৰ কৰিছিল আৰু যা নিশ্চিত হয় কেননা তাই প্ৰতিফলিত ফাংশন আৰু সীমিত সমাকলনৰ মাজৰ সম্পৰ্ক প্ৰথম স্পষ্টভাৱে পূৰ্ণ কৰিছিল।

সুস্পষ্টভাৱে, সমাকলন গণিতৰ মৌলিক ধাৰণা আৰু তত্ত্ব আৰু প্ৰধানতঃ তাৰ বিপৰীত গণিতৰ সৈতে সম্পৰ্ক প.de Fermat, I. নিউটন আৰু G. লিব্নিচৰ কাজত 17শতিকার অন্তিম সময়ত বিকশিত হয়। তথাপিওনে, এই সীমাৰ ধাৰণাৰ দ্বাৰা সমাধান কৰা কেৱল এটা প্ৰাচীন কালৰ প্ৰারম্ভত পৰিণত হয় যা অৰ্কিমিডিচসকলে প্ৰতিফলন কৰিছিল। শেষত, লিই সফিৰ দ্বাৰা নিম্নলিখিত উক্তি উল্লেখ কৰা যায়:

“কেৱল অৰ্কিমিডিচসকলে প্ৰতিফলন কৰিছিল যা তাৰ উৎপত্তি কেননা কেভেলাৰ, ডেকাৰ্টেচ, কেভেলাৰ, ফাৰ্মাচ আৰু ৱালিচৰ তপস্যাৰ দ্বাৰা প্ৰকাশ কৰা হয় আৰু বিপৰীত কাৰ্যক্রম নিউটন আৰু লিব্নিচৰ পৰিণতি হয়।”