নিৰ্দিষ্ট সমস্যা মনত নথকাকৈ যি ব্যক্তিয়ে পদ্ধতি বিচাৰে, তেওঁ বৃথা বিচাৰে বেছিভাগ সময়ত। - ডি. হিলবাৰ্ট

9.1 পৰিচয়

শ্ৰেণী XI আৰু বৰ্তমান কিতাপৰ অধ্যায় 5-ত, আমি এটা দিয়া ফাংচন $f$ক স্বাধীন চলকৰ সাপেক্ষে কেনেকৈ অন্তৰকলন কৰিব লাগে সেই বিষয়ে আলোচনা কৰিছিলো, অৰ্থাৎ, দিয়া ফাংচন $f$ৰ বাবে প্ৰতিটো $x$ত $f^{\prime}(x)$ কেনেকৈ উলিয়াব লাগে। তাৰোপৰি, সমাকলন কেলকুলাছৰ অধ্যায়ত, আমি কেনেকৈ এটা ফাংচন $f$ বিচাৰিব লাগে যাৰ অন্তৰকলিত ফলন হৈছে ফাংচন $g$, সেই বিষয়েও আলোচনা কৰিছিলো, যাক তলত দিয়া ধৰণেও গঠন কৰিব পাৰি:

দিয়া ফাংচন $g$ৰ বাবে, এটা ফাংচন $f$ এনেকুৱা বিচাৰিব লাগে যাতে

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

হেনৰী পইনকেয়াৰ $(1854-1912)$

(1) ধৰণৰ সমীকৰণটোক অন্তৰকলন সমীকৰণ বুলি জনা যায়। এটা আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা পাছত দিয়া হ’ব।

এই সমীকৰণবোৰ বিভিন্ন প্ৰয়োগত উদ্ভৱ হয়, ই পদাৰ্থ বিজ্ঞান, ৰসায়ন বিজ্ঞান, জীৱবিজ্ঞান, নৃতত্ত্ববিদ্যা, ভূতত্ত্ব, অৰ্থনীতি আদি যিকোনো ক্ষেত্ৰতেই হওক। সেয়েহে, অন্তৰকলন সমীকৰণৰ এক গভীৰ অধ্যয়নে আধুনিক বৈজ্ঞানিক গৱেষণাসমূহত মুখ্য গুৰুত্ব লাভ কৰিছে।

এই অধ্যায়ত, আমি অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সৈতে জড়িত কিছুমান মৌলিক ধাৰণা, অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সাধাৰণ আৰু বিশেষ সমাধান, অন্তৰকলন সমীকৰণৰ গঠন, প্ৰথম ক্ৰম - প্ৰথম মাত্ৰাৰ অন্তৰকলন সমীকৰণ সমাধান কৰাৰ কিছুমান পদ্ধতি আৰু অন্তৰকলন সমীকৰণৰ বিভিন্ন ক্ষেত্ৰত কিছুমান প্ৰয়োগৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিম।

9.2 মৌলিক ধাৰণাসমূহ

আমি ইতিমধ্যে তলত দিয়া ধৰণৰ সমীকৰণবোৰৰ সৈতে পৰিচিত:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

আকৌ, সমীকৰণটো বিবেচনা কৰোঁ আহক:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

আমি দেখো যে সমীকৰণ (1), (2) আৰু (3) ৰে কেৱল স্বাধীন আৰু/বা অধীন চলক (চলকসমূহ) জড়িত হৈ আছে কিন্তু সমীকৰণ (4) ৰে চলকৰ লগতে অধীন চলক $y$ৰ স্বাধীন চলক $x$ৰ সাপেক্ষে অন্তৰকলিত ফলনো জড়িত হৈ আছে। এনে সমীকৰণক অন্তৰকলন সমীকৰণ বোলে।

সাধাৰণতে, অধীন চলকৰ স্বাধীন চলক (চলকসমূহ)ৰ সাপেক্ষে অন্তৰকলিত ফলন (অন্তৰকলিত ফলনসমূহ) জড়িত হৈ থকা সমীকৰণক অন্তৰকলন সমীকৰণ বোলে।

অধীন চলকৰ অন্তৰকলিত ফলনসমূহ কেৱল এটা স্বাধীন চলকৰ সাপেক্ষে জড়িত হৈ থকা অন্তৰকলন সমীকৰণক সাধাৰণ অন্তৰকলন সমীকৰণ বোলে, যেনে,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ এটা সাধাৰণ অন্তৰকলন সমীকৰণ } $

অৱশ্যে, এনে অন্তৰকলন সমীকৰণো আছে যিবোৰত একাধিক স্বাধীন চলকৰ সাপেক্ষে অন্তৰকলিত ফলন জড়িত হৈ থাকে, তাক আংশিক অন্তৰকলন সমীকৰণ বোলে কিন্তু এই স্তৰত আমি কেৱল সাধাৰণ অন্তৰকলন সমীকৰণৰ অধ্যয়নলৈ নিজকে সীমাবদ্ধ ৰাখিম। এতিয়াৰ পৰা, আমি ‘সাধাৰণ অন্তৰকলন সমীকৰণ’ৰ বাবে ‘অন্তৰকলন সমীকৰণ’ শব্দটো ব্যৱহাৰ কৰিম।

টোকা

1. অন্তৰকলিত ফলনৰ বাবে আমি তলত দিয়া চিহ্নসমূহ ব্যৱহাৰ কৰাটো পছন্দ কৰিম:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. উচ্চ ক্ৰমৰ অন্তৰকলিত ফলনৰ বাবে, বহুতো ডেচ সুপাৰচাফিক্স হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰাটো অসুবিধাজনক হ’ব, সেয়েহে, আমি $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ ৰ বাবে $n$তম ক্ৰমৰ অন্তৰকলিত ফলন বুজাবলৈ $y_n$ চিহ্নটো ব্যৱহাৰ কৰো।

9.2.1 অন্তৰকলন সমীকৰণৰ ক্ৰম

দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণত জড়িত অধীন চলকৰ স্বাধীন চলকৰ সাপেক্ষে সৰ্বোচ্চ ক্ৰমৰ অন্তৰকলিত ফলনৰ ক্ৰমৰ দ্বাৰা অন্তৰকলন সমীকৰণৰ ক্ৰম সংজ্ঞায়িত কৰা হয়।

তলত দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণবোৰ বিবেচনা কৰা:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

সমীকৰণ (6), (7) আৰু (8) ৰে ক্ৰমে প্ৰথম, দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় ক্ৰমৰ সৰ্বোচ্চ অন্তৰকলিত ফলন জড়িত হৈ আছে। সেয়েহে, এই সমীকৰণবোৰৰ ক্ৰম ক্ৰমে 1,2 আৰু 3।

9.2.2 অন্তৰকলন সমীকৰণৰ মাত্ৰা

অন্তৰকলন সমীকৰণৰ মাত্ৰা অধ্যয়ন কৰিবলৈ, মূল কথাটো হ’ল যে অন্তৰকলন সমীকৰণটো অন্তৰকলিত ফলনসমূহত বহুপদী সমীকৰণ হ’ব লাগিব, অৰ্থাৎ, $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ আদি। তলত দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণবোৰ বিবেচনা কৰা:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

আমি লক্ষ্য কৰো যে সমীকৰণ (9) হৈছে $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ আৰু $y^{\prime}$ত বহুপদী সমীকৰণ, সমীকৰণ (10) হৈছে $y^{\prime}$ত বহুপদী সমীকৰণ ($y$ত বহুপদী নহ’লেও)। এনে অন্তৰকলন সমীকৰণৰ মাত্ৰা সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি। কিন্তু সমীকৰণ (11) হৈছে $y^{\prime}$ত বহুপদী সমীকৰণ নহয় আৰু এনে অন্তৰকলন সমীকৰণৰ মাত্ৰা সংজ্ঞায়িত কৰিব নোৱাৰি।

অন্তৰকলন সমীকৰণৰ মাত্ৰাৰ দ্বাৰা, যেতিয়া ই অন্তৰকলিত ফলনসমূহত বহুপদী সমীকৰণ হয়, আমি দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণত জড়িত সৰ্বোচ্চ ক্ৰমৰ অন্তৰকলিত ফলনৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত (ধনাত্মক পূৰ্ণাংক সূচক) বুজো।

ওপৰৰ সংজ্ঞাৰ আধাৰত, দেখা যায় যে অন্তৰকলন সমীকৰণ (6), (7), (8) আৰু (9) প্ৰতিটোৰ মাত্ৰা এক, সমীকৰণ (10) ৰ মাত্ৰা দুই আনহাতে অন্তৰকলন সমীকৰণ (11) ৰ মাত্ৰা সংজ্ঞায়িত নহয়।

টোকা অন্তৰকলন সমীকৰণৰ ক্ৰম আৰু মাত্ৰা (যদি সংজ্ঞায়িত) সদায় ধনাত্মক পূৰ্ণাংক হয়।

উদাহৰণ 1 তলত দিয়া প্ৰতিটো অন্তৰকলন সমীকৰণৰ ক্ৰম আৰু মাত্ৰা (যদি সংজ্ঞায়িত) উলিওৱা:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

সমাধান

(i) অন্তৰকলন সমীকৰণত উপস্থিত সৰ্বোচ্চ ক্ৰমৰ অন্তৰকলিত ফলন হৈছে $\frac{d y}{d x}$, গতিকে ইয়াৰ ক্ৰম এক। ই হৈছে $y^{\prime}$ত বহুপদী সমীকৰণ আৰু $\frac{d y}{d x}$ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত এক, গতিকে ইয়াৰ মাত্ৰা এক।

(ii) দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণত উপস্থিত সৰ্বোচ্চ ক্ৰমৰ অন্তৰকলিত ফলন হৈছে $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, গতিকে ইয়াৰ ক্ৰম দুই। ই হৈছে $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ আৰু $\frac{d y}{d x}$ত বহুপদী সমীকৰণ আৰু $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত এক, গতিকে ইয়াৰ মাত্ৰা এক।

(iii) অন্তৰকলন সমীকৰণত উপস্থিত সৰ্বোচ্চ ক্ৰমৰ অন্তৰকলিত ফলন হৈছে $y^{\prime \prime \prime}$, গতিকে ইয়াৰ ক্ৰম তিনিটা। দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণটো ইয়াৰ অন্তৰকলিত ফলনসমূহত বহুপদী সমীকৰণ নহয় আৰু সেয়েহে ইয়াৰ মাত্ৰা সংজ্ঞায়িত নহয়।

9.3 অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সাধাৰণ আৰু বিশেষ সমাধান

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি তলত দিয়া ধৰণৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰিছিলো:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

সমীকৰণ (1) আৰু (2) ৰ সমাধান হৈছে সংখ্যা, বাস্তৱ বা জটিল, যিয়ে দিয়া সমীকৰণটোক সন্তুষ্ট কৰিব, অৰ্থাৎ, যেতিয়া সেই সংখ্যাটো দিয়া সমীকৰণত অজ্ঞাত $x$ৰ সলনি কৰা হয়, তেতিয়া বাওঁপক্ষে সোঁপক্ষৰ সমান হয়।

এতিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণটো বিবেচনা কৰা

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

প্ৰথম দুটা সমীকৰণৰ বিপৰীতে, এই অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সমাধান হৈছে এটা ফাংচন $\phi$ যিয়ে ইয়াক সন্তুষ্ট কৰিব, অৰ্থাৎ, যেতিয়া ফাংচন $\phi$ক দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণত অজ্ঞাত $y$ (অধীন চলক)ৰ সলনি কৰা হয়, তেতিয়া বাওঁপক্ষে সোঁপক্ষৰ সমান হয়।

বক্ৰ $y=\phi(x)$ক দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সমাধান বক্ৰ (সমাকলন বক্ৰ) বোলে। তলত দিয়া ফাংচনটো বিবেচনা কৰা:

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

য’ত $a, b \in \mathbf{R}$। যেতিয়া এই ফাংচন আৰু ইয়াৰ অন্তৰকলিত ফলন সমীকৰণ (3)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়, বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ। গতিকে ই হৈছে অন্তৰকলন সমীকৰণ (3) ৰ এটা সমাধান।

ধৰা হওক $a$ আৰু $b$ক কিছুমান বিশেষ মান দিয়া হয় যেনে $a=2$ আৰু $b=\frac{\pi}{4}$, তেতিয়া আমি এটা ফাংচন পাম

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

যেতিয়া এই ফাংচন আৰু ইয়াৰ অন্তৰকলিত ফলন সমীকৰণ (3)ত পুনৰ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়, বাওঁপক্ষ = সোঁপক্ষ। গতিকে $\phi_1$ও সমীকৰণ (3) ৰ এটা সমাধান।

ফাংচন $\phi$ত দুটা স্বেচ্ছাচাৰী ধ্ৰুৱক (পাৰামিটাৰ) $a, b$ থাকে আৰু ইয়াক দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান বোলে। আনহাতে ফাংচন $\phi_1$ত কোনো স্বেচ্ছাচাৰী ধ্ৰুৱক নাথাকে কিন্তু কেৱল পাৰামিটাৰ $a$ আৰু $b$ৰ বিশেষ মানহে থাকে আৰু সেয়েহে ইয়াক দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণৰ এটা বিশেষ সমাধান বোলে। যি সমাধানত স্বেচ্ছাচাৰী ধ্ৰুৱক থাকে তাক অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান (আদিম) বোলে।

স্বেচ্ছাচাৰী ধ্ৰুৱকমুক্ত সমাধান অৰ্থাৎ, সাধাৰণ সমাধানৰ পৰা স্বেচ্ছাচাৰী ধ্ৰুৱকবোৰক বিশেষ মান দি পোৱা সমাধানক অন্তৰকলন সমীকৰণৰ বিশেষ সমাধান বোলে।

উদাহৰণ 2 প্ৰমাণ কৰা যে ফাংচন $y=e^{-3 x}$ হৈছে অন্তৰকলন সমীকৰণ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ ৰ এটা সমাধান।

সমাধান দিয়া ফাংচন হৈছে $y=e^{-3 x}$। সমীকৰণৰ দুয়োপক্ষক $x$ৰ সাপেক্ষে অন্তৰকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

এতিয়া, (1)ক $x$ৰ সাপেক্ষে অন্তৰকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ আৰু $y$ৰ মান দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি পাওঁ

বাওঁপক্ষ $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ সোঁপক্ষ।

গতিকে, দিয়া ফাংচনটো দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণৰ এটা সমাধান।

উদাহৰণ 3 প্ৰমাণ কৰা যে ফাংচন $y=a \cos x+b \sin x$, য’ত, $a, b \in \mathbf{R}$ হৈছে অন্তৰকলন সমীকৰণ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ ৰ এটা সমাধান।

সমাধান দিয়া ফাংচন হৈছে

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (1)ৰ দুয়োপক্ষক $x$ৰ সাপেক্ষে ক্ৰমে অন্তৰকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ আৰু $y$ৰ মান দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি পাওঁ

বাওঁপক্ষ $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ সোঁপক্ষ।

গতিকে, দিয়া ফাংচনটো দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণৰ এটা সমাধান।

9.4 প্ৰথম ক্ৰম, প্ৰথম মাত্ৰাৰ অন্তৰকলন সমীকৰণ সমাধান কৰাৰ পদ্ধতিসমূহ

এই অংশত আমি প্ৰথম ক্ৰম প্ৰথম মাত্ৰাৰ অন্তৰকলন সমীকৰণ সমাধান কৰাৰ তিনিটা পদ্ধতি আলোচনা কৰিম।

9.4.1 চলক পৃথক কৰিব পৰা অন্তৰকলন সমীকৰণ

প্ৰথম ক্ৰম-প্ৰথম মাত্ৰাৰ অন্তৰকলন সমীকৰণ হৈছে তলত দিয়া ধৰণৰ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

যদি $F(x, y)$ক এটা গুণফল $g(x) h(y)$ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত, $g(x)$ হৈছে $x$ৰ ফাংচন আৰু $h(y)$ হৈছে $y$ৰ ফাংচন, তেন্তে অন্তৰকলন সমীকৰণ (1)ক চলক পৃথক কৰিব পৰা ধৰণৰ বুলি কোৱা হয়। অন্তৰকলন সমীকৰণ (1)ৰ তেতিয়া তলত দিয়া ধৰণ থাকে

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

যদি $h(y) \neq 0$, চলকবোৰ পৃথক কৰি, (2)ক এনেদৰে পুনৰ লিখিব পাৰি

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

সেয়েহে, (4)য়ে দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সমাধানসমূহ তলত দিয়া ধৰণে প্ৰদান কৰে

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

ইয়াত, $H(y)$ আৰু $G(x)$ হৈছে ক্ৰমে $\frac{1}{h(y)}$ আৰু $g(x)$ৰ প্ৰতিসমাকলন আৰু $C$ হৈছে স্বেচ্ছাচাৰী ধ্ৰুৱক।

উদাহৰণ 4 অন্তৰকলন সমীকৰণ $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ ৰ সাধাৰণ সমাধান উলিওৱা।

সমাধান আমি পাওঁ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (1)ত চলকবোৰ পৃথক কৰি, আমি পাওঁ

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (2)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

যি হৈছে সমীকৰণ (1)ৰ সাধাৰণ সমাধান।

উদাহৰণ 5 অন্তৰকলন সমীকৰণ $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ ৰ সাধাৰণ সমাধান উলিওৱা।

সমাধান যিহেতু $1+y^{2} \neq 0$, গতিকে চলকবোৰ পৃথক কৰি, দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণক তলত দিয়া ধৰণে লিখিব পাৰি

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (1)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ or }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

যি হৈছে সমীকৰণ (1)ৰ সাধাৰণ সমাধান।

উদাহৰণ 6 অন্তৰকলন সমীকৰণ $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ ৰ বিশেষ সমাধান উলিওৱা, দিয়া আছে যে $y=1$, যেতিয়া $x=0$।

সমাধান যদি $y \neq 0$, দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণক তলত দিয়া ধৰণে লিখিব পাৰি

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (1)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ বা } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

$y=1$ আৰু $x=0$ক সমীকৰণ (2)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি পাওঁ, $C=-1$।

এতিয়া $C$ৰ মান সমীকৰণ (2)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণৰ বিশেষ সমাধানটো $y=\frac{1}{2 x^{2}+1}$ হিচাপে পাওঁ।

উদাহৰণ 7 বিন্দু $(1,1)$ৰ মাজেৰে পাৰ হোৱা বক্ৰৰ সমীকৰণ উলিওৱা যাৰ অন্তৰকলন সমীকৰণ হৈছে $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$।

সমাধান দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণক তলত দিয়া ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি

$\text{ or } \qquad dy $ $ =(\frac{2x^2+1}{x}) dx \\ dy =(2 x+\frac{1}{x}) d x $

সমীকৰণ (1)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x $$

$ \begin{equation*} \text{ বা }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $

সমীকৰণ (2)য়ে দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণৰ সমাধান বক্ৰৰ পৰিয়ালক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে কিন্তু আমি সেই পৰিয়ালৰ এটা বিশেষ সদস্যৰ সমীকৰণ বিচাৰিছো যি বিন্দু $(1,1)$ৰ মাজেৰে পাৰ হয়। সেয়েহে $x=1, y=1$ক সমীকৰণ (2)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি পাওঁ $C=0$।

এতিয়া $C$ৰ মান সমীকৰণ (2)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি প্ৰয়োজনীয় বক্ৰৰ সমীকৰণটো $y=x^{2}+\log |x|$ হিচাপে পাওঁ।

উদাহৰণ 8 বিন্দু $(-2,3)$ৰ মাজেৰে পাৰ হোৱা বক্ৰ এটাৰ সমীকৰণ উলিওৱা, দিয়া আছে যে বিন্দু $(x, y)$ত বক্ৰটোৰ স্পৰ্শকৰ ঢাল হৈছে $\frac{2 x}{y^{2}}$।

সমাধান আমি জানো যে বক্ৰ এটাৰ স্পৰ্শকৰ ঢাল $\frac{d y}{d x}$ৰ দ্বাৰা দিয়া হয়।

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

চলকবোৰ পৃথক কৰি, সমীকৰণ (1)ক তলত দিয়া ধৰণে লিখিব পাৰি

$$ \begin{equation*} y^{2} d y=2 x d x \tag{2} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (2)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \int y^{2} d y=\int 2 x d x $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\mathrm{C} \tag{3} \end{equation*} $$

$x=-2, y=3$ক সমীকৰণ (3)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি পাওঁ $C=5$।

$C$ৰ মান সমীকৰণ (3)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি প্ৰয়োজনীয় বক্ৰৰ সমীকৰণটো তলত দিয়া ধৰণে পাওঁ

$$ \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5 \quad \text{ or } \quad y=(3 x^{2}+15)^{\frac{1}{3}} $$

উদাহৰণ 9 এটা বেংকত, মূলধন অবিৰতভাৱে বছৰি 5% হাৰত বৃদ্ধি পায়। কিমান বছৰত 1000 টকাই নিজকে দুগুণ কৰিব?

সমাধান ধৰা হওক $P$ হৈছে যিকোনো সময় $t$ত মূলধন। দিয়া সমস্যা অনুসৰি,

$$ \begin{align*} & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} \\ & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} \tag{1} \end{align*} $$

সমীকৰণ (1)ত চলকবোৰ পৃথক কৰি, আমি পাওঁ

$$ \begin{equation*} \frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} \tag{2} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (2)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \begin{aligned} \text{ or } \qquad \log P & =\frac{t}{20}+C_1 \\ P & =e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{C_1} \end{aligned} $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} \quad\left(\text { where } e^{\mathrm{C} _{1}}=\mathrm{C}\right) \tag{3} \end{equation*} $$

এতিয়া $\qquad \mathrm{P}=1000, \quad \text { when } t=0$

$P$ আৰু $t$ৰ মান (3)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি পাওঁ $C=1000$।

সেয়েহে, সমীকৰণ (3)য়ে দিয়ে

$$ P=1000 e^{\frac{t}{20}} $$

ধৰা হওক $t$ বছৰ হৈছে মূলধন দুগুণ কৰিবলৈ প্ৰয়োজনীয় সময়। তেতিয়া

$$ 2000=1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t=20 \log _{e} 2 $$

9.4.2 সমঘাতী অন্তৰকলন সমীকৰণ

$x$ আৰু $y$ত তলত দিয়া ফাংচনসমূহ বিবেচনা কৰা

$$ \begin{matrix} F_1(x, y)=y^{2}+2 x y, & F_2(x, y)=2 x-3 y, \\ F_3(x, y)=\cos (\frac{y}{x}), & F_4(x, y)=\sin x+\cos y \end{matrix} $$

যদি আমি ওপৰৰ ফাংচনসমূহত $x$ আৰু $y$ক ক্ৰমে $\lambda x$ আৰু $\lambda y$ৰ দ্বাৰা প্ৰতিস্থাপিত কৰো, যিকোনো অশূন্য ধ্ৰুৱক $\lambda$ৰ বাবে, আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} & F_1(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{2}(y^{2}+2 x y)=\lambda^{2} F_1(x, y) \\ & F_2(\lambda x, \lambda y)=\lambda(2 x-3 y)=\lambda F_2(x, y) \\ & F_3(\lambda x, \lambda y)=\cos (\frac{\lambda y}{\lambda x})=\cos (\frac{y}{x})=\lambda^{0} \quad F_3(x, y) \\ & F_4(\lambda x, \lambda y)=\sin \lambda x+\cos \lambda y \neq \lambda^{n} F_4(x, y), \text{ যিকোনো } n \in \mathbf{N} \text{ ৰ বাবে} \end{aligned} $

ইয়াত, আমি লক্ষ্য কৰো যে ফাংচন $F_1, F_2, F_3$ক $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ ধৰণত লিখিব পাৰি কিন্তু $F_4$ক এই ধৰণত লিখিব নোৱাৰি। ই তলত দিয়া সংজ্ঞালৈ লৈ যায়:

এটা ফাংচন $F(x, y)$ক $n$ মাত্ৰাৰ সমঘাতী ফাংচন বুলি কোৱা হয় যদি যিকোনো অশূন্য ধ্ৰুৱক $\lambda$ৰ বাবে $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$।

আমি লক্ষ্য কৰো যে ওপৰৰ উদাহৰণসমূহত, $F_1, F_2, F_3$ ক্ৰমে 2, 1, 0 মাত্ৰাৰ সমঘাতী ফাংচন কিন্তু $F_4$ সমঘাতী ফাংচন নহয়।

আমি ইয়াকো লক্ষ্য কৰো যে

$ \begin{aligned} & \qquad F_1(x, y)=x^{2}(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2 y}{x})=x^{2} h_1(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_1(x, y)=y^{2}(1+\frac{2 x}{y})=y^{2} h_2(\frac{x}{y}) \\ & \text{বা}\qquad F_2(x, y)=x^{1}(2-\frac{3 y}{x})=x^{1} h_3(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_2(x, y)=y^{1}(2 \frac{x}{y}-3)=y^{1} h_4(\frac{x}{y}) \\ & \qquad F_3(x, y)=x^{0} \cos (\frac{y}{x})=x^{0} h_5(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_4(x, y) \neq x^{n} h_6(\frac{y}{x}), \text{ যিকোনো } n \in \mathbf{N} \text{ ৰ বাবে} \\ & \qquad F_4(x, y) \neq y^{n} h_7(\frac{x}{y}), \text{ যিকোনো } n \in \mathbf{N} \text{ ৰ বাবে} \end{aligned} $

$$ \begin{aligned} & \text{or}\qquad\mathrm{F} _{4}(x, y) \neq x^{n} h _{6}\left(\frac{y}{x}\right), n \in \mathbf{N} \text { के किसी भी मान के लिए } \\ & \qquad \mathrm{F} _{4}(x, y) \neq y^{n} h _{7}\left(\frac{x}{y}\right), n \in \mathbf{N} \end{aligned} $$

সেয়েহে, এটা ফাংচন $F(x, y)$ হৈছে $n$ মাত্ৰাৰ সমঘাতী ফাংচন যদি $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ ধৰণৰ অন্তৰকলন সমীকৰণক সমঘাতী বুলি কোৱা হয় যদি $F(x, y)$ হৈছে শূন্য মাত্ৰাৰ সমঘাতী ফাংচন।

তলত দিয়া ধৰণৰ সমঘাতী অন্তৰকলন সমীকৰণ সমাধান কৰিবলৈ

$$ \mathrm{F}(x, y)=x^{n} g\left(\frac{y}{x}\right) \quad \text { or } \quad y^{n} h\left(\frac{x}{y}\right) $$

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y)=g\left(\frac{y}{x}\right) \tag{1} \end{equation*} $$

আমি প্ৰতিস্থাপন $\qquad y=v \cdot x \tag{2}$ ব্যৱহাৰ কৰো

সমীকৰণ (2)ক $x$ৰ সাপেক্ষে অন্তৰকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{3} $$

সমীকৰণ (3)ৰ পৰা $\frac{d y}{d x}$ৰ মান সমীকৰণ (1)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি পাওঁ বা

$$ v+x \frac{d v}{d x}=g(v) $$

$$ \begin{equation*} x \frac{d v}{d x}=g(v)-v \tag{4} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (4)ত চলকবোৰ পৃথক কৰি, আমি পাওঁ

$$ \frac{d v}{g(v)-v}=\frac{d x}{x} \tag{5} $$

সমীকৰণ (5)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \int \frac{d v}{g(v)-v}=\int \frac{1}{x} d x+C \tag{6} $$

সমীকৰণ (6)য়ে অন্তৰকলন সমীকৰণ (1)ৰ সাধাৰণ সমাধান (আদিম) দিয়ে যেতিয়া আমি $v$ক $\frac{y}{x}$ৰ দ্বাৰা প্ৰতিস্থাপিত কৰো।

টোকা যদি সমঘাতী অন্তৰকলন সমীকৰণটো $\frac{d x}{d y}=F(x, y)$ ধৰণত থাকে য’ত, $F(x, y)$ হৈছে শূন্য মাত্ৰাৰ সমঘাতী ফাংচন, তেন্তে আমি প্ৰতিস্থাপন $\frac{x}{y}=v$ ব্যৱহাৰ কৰো অৰ্থাৎ, $x=v y$ আৰু আমি ওপৰত আলোচনা কৰাৰ দৰে $\frac{d x}{d y}=F(x, y)=h(\frac{x}{y})$ লিখি সাধাৰণ সমাধান বিচাৰিবলৈ আগবাঢ়ো।

উদাহৰণ 10 দেখুওৱা যে অন্তৰকলন সমীকৰণ $(x-y) \frac{d y}{d x}=x+2 y$ হৈছে সমঘাতী আৰু ইয়াক সমাধান কৰা।

সমাধান দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণক তলত দিয়া ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{x-y} \tag{1} \end{equation*} $$

ধৰা হওক $$ \mathrm{F}(x, y)=\frac{x+2 y}{x-y} $$

এতিয়া $$ F(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda(x+2 y)}{\lambda(x-y)}=\lambda^{0} \cdot f(x, y) $$

সেয়েহে, $F(x, y)$ হৈছে শূন্য মাত্ৰাৰ সমঘাতী ফাংচন। গতিকে, দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণটো এটা সমঘাতী অন্তৰকলন সমীকৰণ।

বিকল্পভাৱে,

$$ \frac{d y}{d x}=(\frac{1+\frac{2 y}{x}}{1-\frac{y}{x}})=g(\frac{y}{x}) \tag{2} $$

অন্তৰকলন সমীকৰণ (2)ৰ সোঁপক্ষ হৈছে $g(\frac{y}{x})$ ধৰণৰ আৰু সেয়েহে ই হৈছে শূন্য মাত্ৰাৰ সমঘাতী ফাংচন। সেয়েহে, সমীকৰণ (1) হৈছে এটা সমঘাতী অন্তৰকলন সমীকৰণ। ইয়াক সমাধান কৰিবলৈ আমি প্ৰতিস্থাপন ব্যৱহাৰ কৰো

$$ y=v x \tag{3} $$

সমীকৰণ (3)ক, $x$ৰ সাপেক্ষে অন্তৰকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{4} $$

$y$ আৰু $\frac{d y}{d x}$ৰ মান সমীকৰণ (1)ত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰি, আমি পাওঁ

$$ v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+2 v}{1-v} $$

$\text{ বা }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{1+2 v}{1-v}-v $

$\text{ বা }\qquad x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}+v+1}{1-v} $

$\text{ বা }\qquad \frac{v-1}{v^{2}+v+1} d v=\frac{-d x}{x} $

সমীকৰণ (5)ৰ দুয়োপক্ষ সমাকলন কৰি, আমি পাওঁ

$$ \int \frac{v-1}{v^{2}+v+1} d v=-\int \frac{d x}{x} $$

$$\text{ or }\qquad \frac{1}{2} \int \frac{2 v+1-3}{v^{2}+v+1} d v=-\log |x|+C_1 $$

$$\text{ or }\qquad \frac{1}{2} \int \frac{2 v+1}{v^{2}+v+1} d v-\frac{3}{2} \int \frac{1}{v^{2}+v+1} d v=-\log |x|+C_1 $$

$$ \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|-\frac{3}{2} \int \frac{1}{(v+\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} d v=-\log |x|+C_1 $$

বা $ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|-\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}(\frac{2 v+1}{\sqrt{3}})=-\log |x|+C_1 \\ & \frac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|+\frac{1}{2} \log x^{2}=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 v+1}{\sqrt{3}})+C_1 \end{aligned} $

$v$ক $\frac{y}{x}$ৰ দ্বাৰা প্ৰতিস্থাপিত কৰি, আমি পাওঁ

বা $$ \frac{1}{2} \log |\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}+1|+\frac{1}{2} \log x^{2}=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+C_1 $$

$$ \frac{1}{2} \log |(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{y}{x}+1) x^{2}|=\sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+C_1 $$

বা $$ \log |(y^{2}+x y+x^{2})|=2 \sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{2 y+x}{\sqrt{3} x})+2 C_1 $$

$$ \log |(x^{2}+x y+y^{2})|=2 \sqrt{3} \tan ^{-1}(\frac{x+2 y}{\sqrt{3} x})+C $$

যি হৈছে অন্তৰকলন সমীকৰণ (1)ৰ সাধাৰণ সমাধান।

উদাহৰণ 11 দেখুওৱা যে অন্তৰকলন সমীকৰণ $x \cos (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x}=y \cos (\frac{y}{x})+x$ হৈছে সমঘাতী আৰু ইয়াক সমাধান কৰা।

সমাধান দিয়া অন্তৰকলন সমীকৰণক তলত দিয়া ধৰণে লিখিব পাৰি

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{y \cos (\frac{y}{x})+x}{x \cos (\frac{y}{x})} \tag{1} $$

ই হৈছে $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ ধৰণৰ অন্তৰকলন সমীকৰণ।

ইয়াত $ F(x, y)=\frac{y \cos