অধ্যায় 2 স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিভৱ আৰু ধাৰকত্ব

2.1 পৰিচয় [45-47]#

অধ্যায় 6 আৰু 8 (শ্ৰেণী XI) ত, স্থিতি শক্তিৰ ধাৰণাটোৰ সৈতে পৰিচয় কৰা হৈছিল। যেতিয়া কোনো বাহ্যিক বলই এটা বিন্দুৰ পৰা আন এটা বিন্দুলৈ এটা দেহক স্প্ৰিং বল বা মহাকৰ্ষণীয় বলৰ দৰে বলৰ বিৰুদ্ধে লৈ যোৱাত কাম কৰে, সেই কামটো দেহটোৰ স্থিতি শক্তি হিচাপে সঞ্চিত হয়। যেতিয়া বাহ্যিক বলটো আঁতৰোৱা হয়, দেহটো গতি কৰে, গতি শক্তি লাভ কৰে আৰু সমান পৰিমাণৰ স্থিতি শক্তি হেৰুৱায়। গতিকে গতি শক্তি আৰু স্থিতি শক্তিৰ যোগফল সংৰক্ষিত হয়। এই ধৰণৰ বলবোৰক সংৰক্ষণশীল বল বোলে। স্প্ৰিং বল আৰু মহাকৰ্ষণীয় বল সংৰক্ষণশীল বলৰ উদাহৰণ।

দুটা (স্থিৰ) আধানৰ মাজৰ কুলম্ব বলটোও এটা সংৰক্ষণশীল বল। ই আচৰিত নহয়, কিয়নো দুয়োটাই দূৰত্বৰ ওপৰত ব্য়স্তানুপাতিক বৰ্গৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল আৰু প্ৰধানকৈ সমানুপাতিক ধ্ৰুৱকবোৰত পৃথক হয় – মহাকৰ্ষণৰ সূত্ৰটোৰ ভৰবোৰ কুলম্বৰ সূত্ৰত আধানৰ দ্বাৰা প্ৰতিষ্ঠাপিত হয়। গতিকে, মহাকৰ্ষণীয় ক্ষেত্ৰত ভৰ এটাৰ স্থিতি শক্তিৰ দৰে, আমি স্থিৰৱৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰত এটা আধানৰ স্থিৰৱৈদ্যুতিক স্থিতি শক্তিৰ সংজ্ঞা দিব পাৰো।

কিছু আধান বিন্যাসৰ বাবে এটা স্থিৰৱৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ $\mathbf{E}$ বিবেচনা কৰক। প্ৰথমে, সৰলতাৰ বাবে, মূলবিন্দুত স্থাপন কৰা আধান $Q$ ৰ বাবে ক্ষেত্ৰ $\mathbf{E}$ বিবেচনা কৰক। এতিয়া, কল্পনা কৰক যে আমি এটা পৰীক্ষামূলক আধান $q$ ক এটা বিন্দু $\mathrm{R}$ ৰ পৰা বিন্দু $\mathrm{P}$ লৈ আধান $Q$ ৰ বাবে ইয়াৰ ওপৰত বিকৰ্ষণী বলৰ বিৰুদ্ধে আনিছো। চিত্ৰ 2.1 ৰ সৈতে প্ৰসংগ কৰি, এইটো ঘটিব যদি $Q$ আৰু $q$ দুয়োটাই ধনাত্মক বা দুয়োটাই ঋণাত্মক। নিৰ্ধাৰিতভাৱে, $Q, q>0$ লওঁ আহক।

চিত্ৰ 2.1 এটা পৰীক্ষামূলক আধান $q(>0)$ ক বিন্দু $\mathrm{R}$ ৰ পৰা বিন্দু $\mathrm{P}$ লৈ মূলবিন্দুত স্থাপন কৰা আধান $Q(>0)$ ৰ দ্বাৰা ইয়াৰ ওপৰত বিকৰ্ষণী বলৰ বিৰুদ্ধে স্থানান্তৰিত কৰা হয়।

ইয়াত দুটা মন্তব্য কৰিব পাৰি। প্ৰথমে, আমি ধৰি লওঁ যে পৰীক্ষামূলক আধান $q$ ইমান সৰু যে ইয়াই মূল বিন্যাসটো, অৰ্থাৎ মূলবিন্দুত থকা আধান $Q$ ক বিচলিত নকৰে (বা আনহাতে, আমি $Q$ ক কিছুমান অনিৰ্দিষ্ট বলৰ দ্বাৰা মূলবিন্দুত স্থিৰ ৰাখো)। দ্বিতীয়তে, আধান $q$ ক $\mathrm{R}$ ৰ পৰা $\mathrm{P}$ লৈ অনাত, আমি এটা বাহ্যিক বল $\mathbf{F_\text {ext }}$ প্ৰয়োগ কৰো যি বিকৰ্ষণী বৈদ্যুতিক বল $\mathbf{F_\mathrm{E}}$ ক প্ৰতি-ভাৰসাম্য কৰিবলৈ যথেষ্ট (অৰ্থাৎ, $\mathbf{F_\mathrm{ext}}=-\mathbf{F_\mathrm{E}}$)। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে আধান $q$ ৰ ওপৰত কোনো নিট বল বা ত্বৰণ নাই যেতিয়া ইয়াক $\mathrm{R}$ ৰ পৰা $\mathrm{P}$ লৈ অনা হয়, অৰ্থাৎ, ইয়াক অসীমভাৱে মন্থৰ ধ্ৰুৱক বেগেৰে অনা হয়। এই পৰিস্থিতিত, বাহ্যিক বলৰ দ্বাৰা কৰা কামটো বৈদ্যুতিক বলৰ দ্বাৰা কৰা কামৰ ঋণাত্মক, আৰু সম্পূৰ্ণৰূপে আধান $q$ ৰ স্থিতি শক্তিৰ ৰূপত সঞ্চিত হয়। যদি বাহ্যিক বলটো $P$ লৈ উপনীত হোৱাৰ পিছত আঁতৰোৱা হয়, বৈদ্যুতিক বলটোৱে আধানটোক $Q$ ৰ পৰা আঁতৰাই নিব – সঞ্চিত শক্তি (স্থিতি শক্তি) $\mathrm{P}$ ত আধান $q$ ক গতি শক্তি প্ৰদান কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয় যাতে গতি শক্তি আৰু স্থিতি শক্তিৰ যোগফল সংৰক্ষিত হয়।

গতিকে, আধান $q$ ক $\mathrm{R}$ ৰ পৰা $\mathrm{P}$ লৈ স্থানান্তৰিত কৰাত বাহ্যিক বলৰ দ্বাৰা কৰা কাম হৈছে

$$ \begin{align*} \mathrm{W_\mathrm{RP}} & =\int_{\mathrm{R^{\mathrm{P}}}} \mathbf{F_\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\ & =-\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \mathbf{F\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \tag{2.1} \end{align*} $$

এই কৰা কামটো স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিকৰ্ষণী বলৰ বিৰুদ্ধে আৰু স্থিতি শক্তি হিচাপে সঞ্চিত হয়।

বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ প্ৰতিটো বিন্দুত, আধান $q$ থকা কণা এটাই এক নিৰ্দিষ্ট স্থিৰৱৈদ্যুতিক স্থিতি শক্তি ধাৰণ কৰে, এই কৰা কামটোৱে ইয়াৰ স্থিতি শক্তি বিন্দু $\mathrm{R}$ আৰু $\mathrm{P}$ ৰ মাজৰ স্থিতি শক্তিৰ পাৰ্থক্যৰ সমান পৰিমাণে বৃদ্ধি কৰে।

গতিকে, স্থিতি শক্তিৰ পাৰ্থক্য

$$ \begin{equation*} \Delta U=U_{P}-U_{R}=W_{R P} \tag{2.2} \end{equation*} $$

(ইয়াত মন কৰক যে এই সৰণটো বৈদ্যুতিক বলৰ বিপৰীত দিশত আৰু গতিকে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ দ্বাৰা কৰা কামটো ঋণাত্মক, অৰ্থাৎ, $-W_{R P}$।)

সেইকাৰণে, আমি দুটা বিন্দুৰ মাজৰ বৈদ্যুতিক স্থিতি শক্তিৰ পাৰ্থক্যক যিকোনো স্বেচ্ছাচাৰী আধান বিন্যাসৰ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ বাবে আধান $q$ ক এটা বিন্দুৰ পৰা আন বিন্দুলৈ (ত্বৰণ নকৰাকৈ) স্থানান্তৰিত কৰাত বাহ্যিক বলৰ দ্বাৰা কৰিবলগীয়া কাম হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰো।

এই স্তৰত দুটা গুৰুত্বপূৰ্ণ মন্তব্য কৰিব পাৰি:

(i) সমীকৰণ (2.2) ৰ সোঁফালে কেৱল আধানটোৰ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে এটা আধানক এটা বিন্দুৰ পৰা আন বিন্দুলৈ স্থানান্তৰিত কৰাত স্থিৰৱৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ দ্বাৰা কৰা কামটো কেৱল আৰম্ভণি আৰু অন্তিম বিন্দুবোৰৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে আৰু এটা বিন্দুৰ পৰা আন বিন্দুলৈ যোৱা পথৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল নহয়। এইটো সংৰক্ষণশীল বলৰ মৌলিক বৈশিষ্ট্য। কামটো পথৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰিলে স্থিতি শক্তিৰ ধাৰণাটো অৰ্থপূৰ্ণ নহ’লহেঁতেন। স্থিৰৱৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ দ্বাৰা কৰা কামৰ পথ-স্বাধীনতা কুলম্বৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। আমি ইয়াত এই প্ৰমাণটো বাদ দিওঁ।

কাউণ্ট আলেছেণ্ড্ৰো ভল্টা

(১৭৪৫ – ১৮২৭) ইটালীয় পদাৰ্থবিজ্ঞানী, পাভিয়াৰ অধ্যাপক। ভল্টাই স্থাপন কৰিছিল যে লুইজি গেলভানি, ১৭৩৭–১৭৯৮, ৰ দ্বাৰা ভেকুলীৰ মাংসপেশী কলাৰ সৈতে পৰীক্ষাত লক্ষ্য কৰা প্ৰাণী বিদ্যুৎ, প্ৰাণী কলাৰ কোনো অসাধাৰণ ধৰ্মৰ বাবে নহয় কিন্তু যিকোনো ভিজা দেহক অসদৃশ ধাতুৰ মাজত চেণ্ডৱিচ কৰা হ’লেও সৃষ্টি হৈছিল। এইটোৱে তেওঁক প্ৰথম ভল্টাইক স্তূপ, বা বেটাৰী, বিকশিত কৰিবলৈ নেতৃত্ব দিলে, যিটো কাৰ্ডবৰ্ড (ইলেক্ট্ৰলাইট)ৰ ভিজা ডিস্কৰ ডাঙৰ স্তূপৰে গঠিত যাক ধাতুৰ ডিস্ক (ইলেক্ট্ৰড)ৰ মাজত চেণ্ডৱিচ কৰা হৈছিল।

(ii) সমীকৰণ (2.2) ৱে শাৰীৰিকভাৱে অৰ্থপূৰ্ণ পৰিমাণ কামৰ ভিত্তিত স্থিতি শক্তিৰ পাৰ্থক্যৰ সংজ্ঞা দিয়ে। স্পষ্টতেই, এইদৰে সংজ্ঞায়িত স্থিতি শক্তিটো এটা সংযোজনীয় ধ্ৰুৱকৰ সীমালৈ অনিৰ্ধাৰিত। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে স্থিতি শক্তিৰ প্ৰকৃত মান শাৰীৰিকভাৱে গুৰুত্বপূৰ্ণ নহয়; কেৱল স্থিতি শক্তিৰ পাৰ্থক্যইহে গুৰুত্বপূৰ্ণ। আমি স্থিতি শক্তিত প্ৰতিটো বিন্দুত এটা স্বেচ্ছাচাৰী ধ্ৰুৱক $\alpha$ যোগ কৰিব পাৰো, কিয়নো ই স্থিতি শক্তিৰ পাৰ্থক্য সলনি নকৰে:

$$ \left(U_{P}+\alpha\right)-\left(U_{R}+\alpha\right)=U_{P}-U_{R} $$

অন্য কথাত ক’বলৈ গ’লে, স্থিতি শক্তি শূন্য হোৱা বিন্দু বাছনি কৰাত এটা স্বাধীনতা আছে। এটা সুবিধাজনক বাছনি হৈছে স্থিৰৱৈদ্যুতিক স্থিতি শক্তি অসীমত শূন্য কৰা। এই বাছনিৰ সৈতে, যদি আমি বিন্দু $\mathrm{R}$ ক অসীমত লওঁ, আমি সমীকৰণ (2.2) ৰ পৰা পাওঁ

$$ \begin{equation*} W_{\infty P}=U_{P}-U_{\infty}=U_{P} \tag{2.3} \end{equation*} $$

যিহেতু বিন্দু $\mathrm{P}$ স্বেচ্ছাচাৰী, সমীকৰণ (2.3) ৱে যিকোনো বিন্দুত আধান $q$ ৰ স্থিতি শক্তিৰ সংজ্ঞা আমাক প্ৰদান কৰে। আধান $q$ ৰ স্থিতি শক্তি এটা বিন্দুত (যিকোনো আধান বিন্যাসৰ বাবে ক্ষেত্ৰৰ উপস্থিতিত) হৈছে বাহ্যিক বলৰ দ্বাৰা কৰা কাম (বৈদ্যুতিক বলৰ সমান আৰু বিপৰীত) আধান $q$ ক অসীমৰ পৰা সেই বিন্দুলৈ অনাত।

2.2 স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিভৱ [47-48]#

যিকোনো সাধাৰণ স্থিৰ আধান বিন্যাস বিবেচনা কৰক। আমি পৰীক্ষামূলক আধান $q$ ৰ স্থিতি শক্তিৰ সংজ্ঞা আধান $q$ ৰ ওপৰত কৰা কামৰ ভিত্তিত দিওঁ। এই কামটো স্পষ্টতেই $q$ ৰ সমানুপাতিক, কিয়নো যিকোনো বিন্দুত বলটো $q \mathbf{E}$, য’ত $\mathbf{E}$ হৈছে দিয়া আধান বিন্যাসৰ বাবে সেই বিন্দুত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ। গতিকে, কামটোক আধান $q$ ৰ পৰিমাণৰে হৰণ কৰাটো সুবিধাজনক, যাতে ফলত পৰিমাণটো $q$ ৰ পৰা স্বাধীন হয়। অন্য কথাত, প্ৰতি একক পৰীক্ষামূলক আধানত কৰা কাম হৈছে আধান বিন্যাসৰ সৈতে জড়িত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ বৈশিষ্ট্য। এইটোৱে দিয়া আধান বিন্যাসৰ বাবে স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিভৱ $V$ ৰ ধাৰণালৈ নিয়ে। সমীকৰণ (2.1) ৰ পৰা, আমি পাওঁ:

একক ধনাত্মক আধানক বিন্দু $\mathrm{R}$ ৰ পৰা $\mathrm{P}$ লৈ অনাত বাহ্যিক বলৰ দ্বাৰা কৰা কাম

$$ \begin{equation*} =V_{P}-V_{R} \quad=\frac{U_{P}-U_{R}}{q} \tag{2.4} \end{equation*} $$

য’ত $V_{P}$ আৰু $V_{R}$ হৈছে ক্ৰমে $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{R}$ ত স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিভৱ। মন কৰক, আগৰ দৰে, বিভৱৰ প্ৰকৃত মান নহয় কিন্তু বিভৱৰ পাৰ্থক্যইহে শাৰীৰিকভাৱে গুৰুত্বপূৰ্ণ। যদি, আগৰ দৰে, আমি বিভৱ অসীমত শূন্য বাছনি কৰো, সমীকৰণ (2.4) ৰ অৰ্থ হৈছে:

বিন্দু $=$ লৈ অসীমৰ পৰা একক ধনাত্মক আধান অনাত বাহ্যিক বলৰ দ্বাৰা কৰা কাম সেই বিন্দুত স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিভৱ $(V)$।

চিত্ৰ 2.2 যিকোনো দিয়া আধান বিন্যাসৰ বাবে স্থিৰৱৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ দ্বাৰা পৰীক্ষামূলক আধান $q$ ৰ ওপৰত কৰা কাম পথৰ পৰা স্বাধীন, আৰু কেৱল ইয়াৰ আৰম্ভণি আৰু অন্তিম অৱস্থানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে।

অন্য কথাত, স্থিৰৱৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ থকা অঞ্চলৰ যিকোনো বিন্দুত স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিভৱ $(V)$ হৈছে একক ধনাত্মক আধান (ত্বৰণ নোহোৱাকৈ) অসীমৰ পৰা সেই বিন্দুলৈ অনাত কৰা কাম।

স্থিতি শক্তিৰ বিষয়ে আগতে কৰা যোগ্যতা সম্পৰ্কীয় মন্তব্যসমূহ বিভৱৰ সংজ্ঞাৰ বাবেও প্ৰযোজ্য। প্ৰতি একক পৰীক্ষামূলক আধানত কৰা কাম পাবলৈ, আমি এটা অসীম সৰু পৰীক্ষামূলক আধান $\delta q$ ল’ব লাগিব, ইয়াক অসীমৰ পৰা বিন্দুলৈ অনাত কৰা কাম $\delta W$ পাব লাগিব আৰু অনুপাত $\delta W / \delta q$ নিৰ্ধাৰণ কৰিব লাগিব। লগতে, পথৰ প্ৰতিটো বিন্দুত বাহ্যিক বলটো সেই বিন্দুত পৰীক্ষামূলক আধানৰ ওপৰত স্থিৰৱৈদ্যুতিক বলৰ সমান আৰু বিপৰীত হ’ব লাগিব।

2.3 বিন্দু আধানৰ বাবে বিভৱ [48-49]#

মূলবিন্দুত (চিত্ৰ 2.3) এটা বিন্দু আধান $Q$ বিবেচনা কৰক। নিৰ্ধাৰিতভাৱে, $Q$ ক ধনাত্মক বুলি লওঁ আহক। আমি স্থান ভেক্টৰ $\mathbf{r}$ ৰ সৈতে যিকোনো বিন্দু $\mathrm{P}$ ত বিভৱ নিৰ্ধাৰণ কৰিব বিচাৰো। তাৰ বাবে আমি একক ধনাত্মক পৰীক্ষামূলক আধান অসীমৰ পৰা P বিন্দুলৈ অনাত কৰা কাম গণনা কৰিব লাগিব। $Q>0$ ৰ বাবে, পৰীক্ষামূলক আধানৰ ওপৰত বিকৰ্ষণী বলৰ বিৰুদ্ধে কৰা কামটো ধনাত্মক। যিহেতু কৰা কামটো পথৰ পৰা স্বাধীন, আমি এটা সুবিধাজনক পথ বাছনি কৰো – অসীমৰ পৰা বিন্দু $P$ লৈ অৰ্ধব্যাসীয় দিশত।

চিত্ৰ 2.3 আধান $Q(Q>0)$ ৰ বিকৰ্ষণী বলৰ বিৰুদ্ধে অসীমৰ পৰা বিন্দু $\mathrm{P}$ লৈ একক ধনাত্মক পৰীক্ষামূলক আধান অনাত কৰা কাম হৈছে আধান $Q$ ৰ বাবে $\mathrm{P}$ ত বিভৱ।

পথৰ ওপৰত কিছুমান মধ্যৱৰ্তী বিন্দু $\mathrm{P}^{\prime}$ ত, একক ধনাত্মক আধানৰ ওপৰত স্থিৰৱৈদ্যুতিক বলটো $$ \begin{equation*} \frac{Q \times 1}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} \hat{\mathbf{r}}^{\prime} \tag{2.5} \end{equation*} $$

য’ত $\hat{\mathbf{r^\prime}}$ হৈছে $\mathrm{OP^\prime}$ ৰ বৰ্গ একক ভেক্টৰ। $\mathbf{r^\prime}$ ৰ পৰা $\mathbf{r^\prime}+\Delta \mathbf{r^\prime}$ লৈ এই বলৰ বিৰুদ্ধে কৰা কাম

$$ \begin{equation*} \Delta W=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{\prime 2}} \Delta r^{\prime} \tag{2.6} \end{equation*} $$

ঋণাত্মক চিহ্নটো দেখা যায় কিয়নো $\Delta r^{\prime}<0, \Delta W$ ৰ বাবে ধনাত্মক। বাহ্যিক বলৰ দ্বাৰা কৰা মুঠ কাম (W) সমীকৰণ (2.6) ক $r^{\prime}=\infty$ ৰ পৰা $r^{\prime}=r$ লৈ সংহত কৰি পোৱা যায়,

$$ \begin{equation*} W=-\int _{\infty}^{r} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} d r^{\prime}=\left.\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime}}\right| _{\infty} ^{r}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r} \tag{2.7} \end{equation*} $$

এইটো, সংজ্ঞামতে, আধান $Q$ ৰ বাবে $\mathrm{P}$ ত বিভৱ

$$ \begin{equation*} V(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{0} r} \tag{2.8} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (2.8) আধান $Q$ ৰ যিকোনো চিহ্নৰ বাবে সত্য, যদিও আমি ইয়াৰ উৎপত্তিত $Q>0$ বিবেচনা কৰিছিলো। $Q<0, V<0$ ৰ বাবে, অৰ্থাৎ, অসীমৰ পৰা বিন্দুলৈ ইয়াক অনাত প্ৰতি একক ধনাত্মক পৰীক্ষামূলক আধানত কৰা কাম (বাহ্যিক বলৰ দ্বাৰা) ঋণাত্মক। এইটো ক’বলৈ সমতুল্য যে বিন্দু $\mathrm{P}$ লৈ অসীমৰ পৰা একক ধনাত্মক আধান অনাত স্থিৰৱৈদ্যুতিক বলৰ দ্বাৰা কৰা কামটো ধনাত্মক। [এইটো যেনেকৈ হ’ব লাগে, কিয়নো $Q<0$ ৰ বাবে, একক ধনাত্মক পৰীক্ষামূলক আধানৰ ওপৰত বলটো আকৰ্ষণীয়, যাতে স্থিৰৱৈদ্যুতিক বল আৰু সৰণ (অসীমৰ পৰা P লৈ) একে দিশত থাকে।] শেষত, আমি লক্ষ্য কৰো যে সমীকৰণ (2.8) বিভৱ অসীমত শূন্য বাছনি কৰাৰ সৈতে সুসংগত।

চিত্ৰ 2.4 বিন্দু আধান $Q$ ৰ বাবে বিভৱ $V$ ৰ $r$ [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-1}$ ৰ এককত] (নীলা বক্ৰ) আৰু ক্ষেত্ৰৰ $r$ [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-2}$ ৰ এককত] (ক’লা বক্ৰ) সৈতে ভিন্নতা।

চিত্ৰ (2.4) ৱে দেখুৱায় কেনেকৈ স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিভৱ $(\propto 1 / r)$ আৰু স্থিৰৱৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ $\left(\propto 1 / r^{2}\right).$ $r$ ৰ সৈতে ভিন্ন হয়।

উদাহৰণ 2.1

(a) $\mathrm{P}$ দূৰত্বত অৱস্থিত $4 \times 10^{-7} \mathrm{C}$ আধানৰ বাবে বিন্দু P ত বিভৱ গণনা কৰক।

(b) সেয়েহে অসীমৰ পৰা P বিন্দুলৈ $2 \times 10^{-9} \mathrm{C}$ আধান অনাত কৰা কাম পাব। উত্তৰটো আধানটো অনা পথৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰেনে?

সমাধান

(a) $V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}=9 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{C}^{-2} \times \frac{4 \times 10^{-7} \mathrm{C}}{0.09 \mathrm{~m}}$

$$ =4 \times 10^{4} \mathrm{~V} $$

(b) $W=q V=2 \times 10^{-9} \mathrm{C} \times 4 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

$$ =8 \times 10^{-5} \mathrm{~J} $$

নহয়, কৰা কামটো পথ-স্বাধীন হ’ব। যিকোনো স্বেচ্ছাচাৰী অসীম সৰু পথক দুটা লম্ব সৰণত সমাধান কৰিব পাৰি: এটা $\mathbf{r}$ ৰ বৰ্গত আৰু আনটো $\mathbf{r}$ ৰ লম্ব। পিছৰটোৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট কৰা কামটো শূন্য হ’ব।

2.4 বৈদ্যুতিক দ্বি-মেৰুৰ বাবে বিভৱ [49-51]#

আমি যেনেকৈ শেষ অধ্যায়ত শিকিলো, এটা বৈদ্যুতিক দ্বি-মেৰুৱে দুটা আধান $q$ আৰু $-q$ (সৰু) দূৰত্ব $2 a$ ৰে পৃথক কৰে। ইয়াৰ মুঠ আধান শূন্য। ইয়াক দ্বি-মেৰু ভ্ৰামক ভেক্টৰ $\mathbf{p}$ ৰ দ্বাৰা চৰিত্ৰায়িত কৰা হয় যাৰ পৰিমাণ $q \times 2 a$ আৰু যি $-q$ ৰ পৰা $q$ (চিত্ৰ 2.5) লৈ দিশত নিৰ্দেশ কৰে। আমি ইয়াও দেখিলো যে স্থান ভেক্টৰ $\mathbf{r}$ ৰ সৈতে বিন্দুত দ্বি-মেৰু এটাৰ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰটো কেৱল পৰিমাণ $r$ ৰ ওপৰতেই নহয়, $\mathbf{r}$ আৰু $\mathbf{p}$ ৰ মাজৰ কোণৰ ওপৰতো নিৰ্ভৰ কৰে। অধিকন্তু, ক্ষেত্ৰটো বেছি দূৰত্বত, $1 / r^2$ (একক আধানৰ বাবে ক্ষেত্ৰৰ বৈশিষ্ট্য) হিচাপে নহয় কিন্তু $1 / r^3$ হিচাপে পৰে। আমি, এতিয়া, দ্বি-মেৰু এটাৰ বাবে বৈদ্যুতিক বিভৱ নিৰ্ধাৰণ কৰো আৰু ইয়াক একক আধানৰ বাবে বিভৱৰ সৈতে বিপৰীত কৰো।

আগৰ দৰে, আমি দ্বি-মেৰুৰ কেন্দ্ৰত মূলবিন্দু লওঁ। এতিয়া আমি জানো যে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰটোৱে সুপাৰপজিচন নীতি মানি চলে। যিহেতু বিভৱ ক্ষেত্ৰৰ দ্বাৰা কৰা কামৰ সৈতে সম্পৰ্কিত, স্থিৰৱৈদ্যুতিক বিভৱও সুপাৰপজিচন নীতি মানি চলে। গতিকে, দ্বি-মেৰুৰ বাবে বিভৱ হৈছে আধান $q$ আৰু $-q$ ৰ বাবে বিভৱৰ যোগফল

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon _{o}}\left(\frac{q}{r _{1}}-\frac{q}{r _{2}}\right) \tag{2.9} \end{equation*} $$

চিত্ৰ 2.5 দ্বি-মেৰু এটাৰ বাবে বিভৱ গণনা কৰাত জড়িত পৰিমাণসমূহ।

য’ত $r_1$ আৰু $r_2$ হৈছে ক্ৰমে $q$ আৰু $-q$ ৰ পৰা বিন্দু $\mathrm{P}$ ৰ দূৰত্ব।এতিয়া, জ্যামিতিৰ দ্বাৰা,

$$ \begin{align*} & r_{1}^{2}=r^{2}+a^{2}-2 a r \cos \theta \\ & r_{2}^{2}=r^{2}+a^{2}+2 a r \cos \theta \tag{2.10} \end{align*} $$

আমি $r$ ক $a(r»a)$ তকৈ বহুত বেছি লওঁ আৰু কেৱল $a / r$ ৰ প্ৰথম ক্ৰমলৈ পদবোৰ ৰাখো

$$ \begin{align*} & r_{1}^{2}=r^{2} \quad 1-\frac{2 a \cos \theta}{r}+\frac{a^{2}}{r^{2}} \\ & \cong r^{2} \quad 1-\frac{2 a \cos \theta}{r} \tag{2.11} \end{align*} $$

একেদৰে,

$$ \begin{equation*} r_{2}^{2} \cong r^{2} \quad 1+\frac{2 a \cos \theta}{r} \tag{2.12} \end{equation*} $$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি আৰু $a / r$ ৰ প্ৰথম ক্ৰমলৈ পদবোৰ ৰাখি, আমি পাওঁ,

$\frac{1}{r_{1}} \cong \frac{1}{r}^{r} 1-\frac{2 a \cos \theta}{-1 / 2}^{\frac{1}{r}} 1+\frac{a}{r} \cos \theta$

$\frac{1}{r_{2}} \cong \frac{1}{r} 1+\frac{2 a \cos \theta}{r}^{-1 / 2} \cong \frac{1}{r} 1-\frac{a}{r} \cos \theta$

সমীকৰণ (2.9) আৰু (2.13) আৰু $p=2 q a$ ব্যৱহাৰ কৰি, আমি পাওঁ

$V=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 a \cos \theta}{r^{2}}=\frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$

এতিয়া, $p \cos \theta=\mathbf{p} . \hat{\mathbf{r}}$ য’ত $\hat{\mathbf{r}}$ হৈছে স্থান ভেক্টৰ $\mathbf{O P}$ ৰ বৰ্গ একক ভেক্টৰ।

বৈদ্যুতিক দ্বি-মেৰু এটাৰ বৈদ্যুতিক বিভৱ তেতিয়া দিয়া হয়

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} ; \quad(r»a) \tag{2.15} \end{equation*} $$

সমীকৰণ (2.15), যেনেকৈ সূচিত কৰা হৈছে, কেৱল দ্বি-মেৰুৰ আকাৰতকৈ বেছি দূৰত্বৰ বাবে প্ৰায় সত্য, যাতে $a / r$ ৰ উচ্চ ক্ৰমৰ পদবোৰ নগণ্য। বিন্দু দ্বি-মেৰু $\mathbf{p}$ ৰ বাবে মূলবিন্দুত, সমীকৰণ (2.15), অৱশ্যে, সঠিক।

সমীকৰণ (2.15) ৰ পৰা, দ্বি-মেৰু অক্ষ $(\theta=0, \pi)$ ত বিভৱ দিয়া হয়

$$ \begin{equation*} V= \pm \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p}{r^{2}} \tag{2.16} \end{equation*} $$

($\theta=0$ ৰ বাবে ধনাত্মক চিহ্ন, $\theta=\pi$ ৰ বাবে ঋণাত্মক চিহ্ন।) বিষুৱীয় সমতলত বিভৱ $(\theta=\pi / 2)$ শূন্য।

একক আধানৰ পৰা দ্বি-মেৰু এটাৰ বৈদ্যুতিক বিভৱৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ বিপৰীত বৈশিষ্ট্যসমূহ সমীকৰণ (2.8) আৰু (2.15) ৰ পৰা স্পষ্ট:

(i) দ্বি-মেৰু এটাৰ বাবে বিভৱ কেৱল $r$ ৰ ওপৰতেই নহয় কিন্তু স্থান ভেক্টৰ $\mathbf{r}$ আৰু দ্বি-মেৰু ভ্ৰামক ভেক্টৰ $\mathbf{p}$ ৰ মাজৰ কোণৰ ওপৰতো নিৰ্ভৰ কৰে। (ই, অৱশ্যে, $\mathbf{p}$ ৰ সাপেক্ষে অক্ষীয় সমমিত। অৰ্থাৎ, যদি আপুনি স্থান ভেক্টৰ $\mathbf{r}$ ক $\mathbf{p}$ ৰ চাৰিওফালে ঘূৰায়, $\theta$ ক স্থিৰ ৰাখি, $\mathrm{P}$ ৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট বিন্দুবোৰে এইদৰে উৎপন্ন শংকুত P ত থকাৰ দৰে একে বিভৱ থাকিব।)

(ii) বৈদ্যুতিক দ্বি-মেৰু বিভৱ, বেছি দূৰত্বত, $1 / r^{2}$ হিচাপে পৰে, $1 / r$ নহয়, একক আধানৰ বাবে বিভৱৰ বৈশিষ্ট্য। (আপুনি $1 / r^{2}$ বনাম $\mathrm{r}$ আৰু $1 / r$ বনাম $r$ ৰ লেখৰ বাবে চিত্ৰ 2.5 চাব পাৰে, যাক তাত আন প্ৰসংগত অংকন কৰা হৈছে।)

2.5 আধানৰ এটা ব্যৱস্থাৰ বাবে বিভৱ [51-53]#

কিছু মূলবিন্দুৰ সাপেক্ষে স্থান ভেক্টৰ $\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, \ldots$, $\mathbf{r_\mathrm{n}}$ ৰ সৈতে আধানৰ এটা ব্যৱস্থা $q_1, q_2, \ldots, q_{\mathrm{n}}$ বিবেচনা কৰক (চিত্ৰ 2.6)। আধান $q_1$ ৰ বাবে $\mathrm{P}$ ত বিভৱ $V_1$

$$ V_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{1 \mathrm{P}}} $$

য’ত $r_{1 \mathrm{P}}$ হৈছে $q_{1}$ আৰু $\mathrm{P}$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব। একেদৰে, $q_{2}$ ৰ বাবে $\mathrm{P}$ ত বিভৱ $V_{2}$ আৰু $q_{3}$ ৰ বাবে $V_{3}$ দিয়া হয়

$$ V_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r_{2 \mathrm{P}}}, V_{3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{3}}{r_{3 \mathrm{P}}} $$

য’ত $r_{2 \mathrm{P}}$ আৰু $r_{3 \mathrm{P}}$ হৈছে ক্ৰমে আধান $q_{2}$ আৰু $q_{3}$ ৰ পৰা $\mathrm{P}$ ৰ দূৰত্ব; আৰু আন আধানবোৰৰ বাবে বিভৱৰ বাবে এনেকৈয়ে। সুপাৰপজিচন নীতিৰ দ্বাৰা, মুঠ আধান বিন্যাসৰ বাবে $\mathrm{P}$ ত বিভৱ $V$ হৈছে পৃথক আধানবোৰৰ বাবে বিভৱৰ বীজগণিতীয় যোগফল

$$ \begin{equation*} \stackrel{V}{V}=V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{\mathrm{n}} \tag{2.17} \end{equation*} $$

চিত্ৰ 2.6 আধানৰ এটা ব্যৱস্থাৰ বাবে বিন্দু এটাৰ বিভৱ হৈছে পৃথক আধানবোৰৰ বাবে বিভৱৰ যোগফল।

$$ =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_{1 \mathrm{P}}}+\frac{q_2}{r_{2 \mathrm{P}}}+\ldots \ldots+\frac{q_n}{r_{n \mathrm{P}}}\right)\tag{18} $$

যদি আমি আধান ঘনত্ব $\rho(\mathbf{r})$ ৰ দ্বাৰা চৰিত্ৰায়িত এটা অবিৰত আধান বিতৰণ থাকে, আমি ইয়াক, আগৰ দৰে, প্ৰতিটো আকাৰ $\Delta v$ আৰু আধান $\rho \Delta v$ বহন কৰা সৰু আয়তন উপাদানত বিভক্ত কৰো। আমি তেতিয়া প্ৰতিটো আয়তন উপাদানৰ বাবে বিভৱ নিৰ্ধাৰণ কৰো আৰু সকলো এনে অৱদানৰ ওপৰত যোগফল (কঠোৰভাৱে ক’বলৈ গ’লে, সংহত) কৰো, আৰু এইদৰে সমগ্ৰ বিতৰণৰ বাবে বিভৱ নিৰ্ধাৰণ কৰো।

আমি অধ্যায় 1 ত দেখিছিলো যে সমভাৱে আহিত গোলাকাৰ খোলা এটাৰ বাবে, খোলাৰ বাহিৰৰ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ যেন সমগ্ৰ আধান কেন্দ্ৰত কেন্দ্ৰীভূত হৈছে। গতিকে, খোলাৰ বাহিৰৰ বিভৱ দিয়া হয়

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r} \quad(r \geq R) \tag{19a} \end{equation*} $$

য’ত $q$ হৈছে খোলাৰ ওপৰত মুঠ আধান আৰু $R$ ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ। খোলাৰ ভিতৰত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ শূন্য। ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে (বিভাগ 2.6) যে বিভৱ খোলাৰ ভিতৰত ধ্ৰুৱক (কিয়নো খোলাৰ ভিতৰত আধান স্থানান্তৰিত কৰাত কোনো কাম কৰা নহয়), আৰু সেয়েহে, ইয়াৰ পৃষ্ঠত ইয়াৰ মানৰ সৈতে সমান, যিটো হৈছে

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{R} \tag{19b} \end{equation*} $$

উদাহৰণ 2.2 দুটা আধান $3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$ আৰু $-2 \times 10^{-8} \mathrm{C}$ $15 \mathrm{~cm}$ দূৰত্বত অৱস্থিত। দুয়োটা আধান সংযোগ কৰা ৰেখাত কোন বিন্দুত বৈদ্যুতিক বিভৱ শূন্য? অসীমত বিভৱ শূন্য বুলি লওঁ আহক।

সমাধান ধনাত্মক আধানৰ অৱস্থানত মূলবিন্দু $\mathrm{O}$ লওঁ আহক। দুয়োটা আধান সংযোগ কৰা ৰেখাটো $x$-অক্ষ হিচাপে লোৱা হয়; ঋণাত্মক আধানটো মূলবিন্দুৰ সোঁফালে লোৱা হয় (চিত্ৰ 2.7)।

চিত্ৰ 2.7

$\mathrm{P}$ ক $x$-অক্ষত প্ৰয়োজনীয় বিন্দ