অধ্যায় ৮ কঠিন পদাৰ্থৰ যান্ত্ৰিক ধৰ্ম

উত্তৰ

ইটাৰ তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য, $L_1=4.7 m$

ইটাৰ তাঁৰৰ পৰি-ছেদ কালি, $A_1=3.0 \times 10^{-5} m^{2}$

তামৰ তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য, $L_2=3.5 m$

তামৰ তাঁৰৰ পৰি-ছেদ কালি, $A_2=4.0 \times 10^{-5} m^{2}$

দৈৰ্ঘ্যৰ পৰিৱৰ্তন $=\Delta L_1=\Delta L_2=\Delta L$

দুয়োটা ক্ষেত্ৰত প্ৰয়োগ কৰা বল $=F$

ইটাৰ তাঁৰৰ ইয়ংৰ গুণাংক:

$$ \begin{align*} & Y_1=\frac{F_1}{A_1} \times \frac{L_1}{\Delta L} \\ & =\frac{F \times 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{i} \end{align*} $$

তামৰ তাঁৰৰ ইয়ংৰ গুণাংক:

$$ \begin{align*} Y_2 & =\frac{F_2}{A_2} \times \frac{L_2}{\Delta L_2} \\ & =\frac{F \times 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{ii} \end{align*} $$

(i) ক (ii) ৰে হৰণ কৰিলে, পাওঁ:

$ \frac{Y_1}{Y_2}=\frac{4.7 \times 4.0 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5} \times 3.5}=1.79: 1 $

ইটাৰ ইয়ংৰ গুণাংক আৰু তামৰ ইয়ংৰ গুণাংকৰ অনুপাত হ’ল $1.79: 1$।

উত্তৰ

দিয়া চিত্ৰৰ পৰা স্পষ্ট যে প্ৰতিবন্ধ $150 \times 10^{6} N / m^{2}$ হ’লে, প্ৰতিবেদ 0.002।

$\therefore$ ইয়ংৰ গুণাংক, $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

$ =\frac{150 \times 10^{6}}{0.002}=7.5 \times 10^{10} N / m^{2} $

গতিকে, দিয়া পদাৰ্থৰ ইয়ংৰ গুণাংক হ’ল $7.5 \times 10^{10} N / m^{2}$।

এটা পদাৰ্থৰ ফলন সীমা হৈছে সেয়া প্ৰতিৰোধ কৰিব পৰা সৰ্বোচ্চ প্ৰতিবন্ধ যিটো ইয়াৰ স্থিতিস্থাপক সীমা অতিক্ৰম নকৰাকৈ সহ্য কৰিব পাৰে।

দিয়া চিত্ৰৰ পৰা স্পষ্ট যে এই পদাৰ্থৰ প্ৰায়ভাগ ফলন সীমা হৈছে 300 $\times 10^{6} Nm /{ }^{2}$ বা $3 \times 10^{8} N / m^{2}$।

উত্তৰ

(a) A

(b) A

একে প্ৰতিবেদৰ বাবে, পদাৰ্থ $\mathbf{A}$ ৰ প্ৰতিবন্ধ পদাৰ্থ $\mathbf{B}$ ৰ প্ৰতিবন্ধতকৈ বেছি, যিটো দুয়োটা লেখত দেখুওৱা হৈছে।

ইয়ংৰ গুণাংক $=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

একে প্ৰতিবেদৰ বাবে, যদি এটা পদাৰ্থৰ প্ৰতিবন্ধ বেছি, তেন্তে সেই পদাৰ্থৰ ইয়ংৰ গুণাংকো বেছি। গতিকে, পদাৰ্থ A ৰ ইয়ংৰ গুণাংক পদাৰ্থ $\mathbf{B}$ ৰ ইয়ংৰ গুণাংকতকৈ বেছি।

এটা পদাৰ্থৰ ভংগন বিন্দু (fracture point) লৈ প্ৰয়োজন হোৱা প্ৰতিবন্ধৰ পৰিমাণে সেই পদাৰ্থৰ শক্তি নিৰ্ধাৰণ কৰে। ভংগন বিন্দু হৈছে প্ৰতিবন্ধ-প্ৰতিবেদ বক্ৰৰ চৰম বিন্দু। দেখা যায় যে পদাৰ্থ $\mathbf{A}$ ৱে পদাৰ্থ $\mathbf{B}$ তকৈ বেছি প্ৰতিবেদ সহ্য কৰিব পাৰে। গতিকে, পদাৰ্থ $\mathbf{A}$ পদাৰ্থ $\mathbf{B}$ তকৈ শক্তিশালী।

উত্তৰ

(a) অসত্য

(b) সত্য

একে প্ৰতিবন্ধৰ বাবে, ৰবৰৰ প্ৰতিবেদ ইটাৰ প্ৰতিবেদতকৈ বেছি।

ইয়ংৰ গুণাংক, $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

স্থিৰ প্ৰতিবন্ধৰ বাবে: $Y \propto \frac{1}{\text{ Strain }}$

গতিকে, ৰবৰৰ ইয়ংৰ গুণাংক ইটাৰ ইয়ংৰ গুণাংকতকৈ কম।

কৰ্তন গুণাংক হৈছে প্ৰয়োগ কৰা প্ৰতিবন্ধ আৰু দেহৰ আকৃতিৰ পৰিৱৰ্তনৰ অনুপাত। কুণ্ডলী এটা টনা-টনিলে ইয়াৰ আকৃতি সলনি হয়। গতিকে, এই প্ৰক্ৰিয়াত স্থিতিস্থাপকতাৰ কৰ্তন গুণাংক জড়িত হৈ থাকে।

উত্তৰ

ইটাৰ তাঁৰৰ দীঘল হোৱাৰ পৰিমাণ $=1.49 \times 10^{-4} m$

পিতলৰ তাঁৰৰ দীঘল হোৱাৰ পৰিমাণ $=1.3 \times 10^{-4} m$

তাঁৰকেইডালৰ ব্যাস, $d=0.25 m$

গতিকে, তাঁৰকেইডালৰ ব্যাসাৰ্ধ, $\quad r=\frac{d}{2}=0.125 cm$

ইটাৰ তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য, $L_1=1.5 m$

পিতলৰ তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য, $L_2=1.0 m$

ইটাৰ তাঁৰত প্ৰয়োগ কৰা মুঠ বল:

$F_1=(4+6) g=10 \times 9.8=98 N$

ইটাৰ ইয়ংৰ গুণাংক:

$Y_1=\frac{(\frac{F_1}{A_1})}{(\frac{\Delta L_1}{L_1})}$

য’ত,

$\Delta L_1=$ ইটাৰ তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্যৰ পৰিৱৰ্তন

$A_1=$ ইটাৰ তাঁৰৰ পৰি-ছেদ কালি $=\pi r_1^{2}$

ইটাৰ ইয়ংৰ গুণাংক, $Y_1=2.0 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_1 & =\frac{F_1 \times L_1}{A_1 \times Y_1}=\frac{F_1 \times L_1}{\pi r_1^{2} \times Y_1} \\ & =\frac{98 \times 1.5}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 2 \times 10^{11}}=1.49 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

পিতলৰ তাঁৰত মুঠ বল:

$F_2=6 \times 9.8=58.8 N$

পিতলৰ ইয়ংৰ গুণাংক:

$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$

য’ত,

$\Delta L_2=$ দৈৰ্ঘ্যৰ পৰিৱৰ্তন $A_2=$ পিতলৰ তাঁৰৰ পৰি-ছেদ কালি

$\therefore \Delta L_2=\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2}$

$=\frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times(0.91 \times 10^{11})}=1.3 \times 10^{-4} m$

ইটাৰ তাঁৰৰ দীঘল হোৱাৰ পৰিমাণ $=1.49 \times 10^{-4} m$

পিতলৰ তাঁৰৰ দীঘল হোৱাৰ পৰিমাণ $=1.3 \times 10^{-4} m$

উত্তৰ

এলুমিনিয়ামৰ ঘনকটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য, $L=10 cm=0.1 m$

ঘনকটোত সংলগ্ন কৰা ভৰ, $m=100 kg$

এলুমিনিয়ামৰ কৰ্তন গুণাংক $(\eta)$ $=25 GPa=25 \times 10^{9} Pa$

$ =\frac{\text{ কৰ্তন প্ৰতিবন্ধ }}{\text{ কৰ্তন প্ৰতিবেদ }}=\frac{\frac{F}{A}}{L} $

কৰ্তন গুণাংক, $\eta$

য’ত,

$F=$ প্ৰয়োগ কৰা বল $=m g=100 \times 9.8=980 N$

$A=$ ঘনকটোৰ এটা পৃষ্ঠৰ কালি $=0.1 \times 0.1=0.01 m^{2}$

$\Delta L=$ ঘনকটোৰ উলম্ব বিৱৰ্তন

$\therefore \Delta L=\frac{F L}{A \eta}$

$ =\frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times(25 \times 10^{9})} $

$=3.92 \times 10^{-7} m$

ঘনকটোৰ এই পৃষ্ঠটোৰ উলম্ব বিৱৰ্তন হ’ল $3.92 \times 10^{-7} m$।

উত্তৰ

ডাঙৰ গঠনটোৰ ভৰ, $M=50,000 kg$

স্তম্ভৰ অন্তঃব্যাসাৰ্ধ, $r=30 cm=0.3 m$

স্তম্ভৰ বহিঃব্যাসাৰ্ধ, $R=60 cm=0.6 m$

ইটাৰ ইয়ংৰ গুণাংক, $Y=2 \times 10^{11} Pa$

প্ৰয়োগ কৰা মুঠ বল, $F=M g=50000 \times 9.8 N$

প্ৰতিবন্ধ $=$ এটা স্তম্ভত প্ৰয়োগ কৰা বল $=\frac{50000 \times 9.8}{4}=122500 N$

ইয়ংৰ গুণাংক, $Y=\frac{\text{ Strcss }}{\text{ Strain }}$

প্ৰতিবেদ $=\frac{\frac{F}{A}}{Y}$

য’ত,

কালি, $A=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi((0.6)^{2}-(0.3)^{2})$

প্ৰতিবেদ $=\frac{122500}{\pi[(0.6)^{2}-(0.3)^{2}] \times 2 \times 10^{11}}=7.22 \times 10^{-7}$

গতিকে, প্ৰতিটো স্তম্ভৰ সংকোচন প্ৰতিবেদ হ’ল $7.22 \times 10^{-7}$।

উত্তৰ

তামৰ টুকুৰাটোৰ দৈৰ্ঘ্য, $l=19.1 mm=19.1 \times 10^{-3} m$

তামৰ টুকুৰাটোৰ প্ৰস্থ, $b=15.2 mm=15.2 \times 10^{-3} m$

তামৰ টুকুৰাটোৰ কালি:

$A=l \times b$

$=19.1 \times 10^{-3} \times 15.2 \times 10^{-3}$ $=2.9 \times 10^{-4} m^{2}$

তামৰ টুকুৰাটোত প্ৰয়োগ কৰা টনা বল, $F=44500 N$

তামৰ স্থিতিস্থাপকতা গুণাংক (modulus of elasticity), $\eta=42 \times 10^{9} N / m^{2}$

স্থিতিস্থাপকতা গুণাংক, $\eta=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}$

$\therefore$ প্ৰতিবেদ $=\frac{F}{A \eta}$

$ =\frac{44500}{2.9 \times 10^{-4} \times 42 \times 10^{9}} $

$=3.65 \times 10^{-3}$

উত্তৰ

ইটাৰ কেবলটোৰ ব্যাসাৰ্ধ, $r=1.5 cm=0.015 m$

অনুমোদনযোগ্য সৰ্বোচ্চ প্ৰতিবন্ধ $=10^{8} N m^{-2}$

সৰ্বোচ্চ প্ৰতিবন্ধ $=\frac{\text{ Maximum force }}{\text{ Area of cross-section }}$

$\therefore$ সৰ্বোচ্চ বল $=$ সৰ্বোচ্চ প্ৰতিবন্ধ $\times$ পৰি-ছেদ কালি

$=10^{8} \times \pi(0.015)^{2}$

$=7.065 \times 10^{4} N$

গতিকে, কেবলটোৱে সৰ্বাধিক $7.065 \times 10^{4} N$ ভাৰ ধৰিব পাৰে।

উত্তৰ

প্ৰতিডাল তাঁৰত ক্ৰিয়া কৰা টনা বল একে। গতিকে, প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত দীঘল হোৱাৰ পৰিমাণ একে। তাঁৰকেইডালৰ দৈৰ্ঘ্য একে হোৱা হেতুকে প্ৰতিবেদও একে হ’ব।

ইয়ংৰ গুণাংকৰ সম্বন্ধ তলত দিয়া ধৰণৰ:

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{4 F}{\pi d^{2}}}{\text{ Strain }} \tag{i} \end{equation*} $$

য’ত,

$F=$ টনা বল

$A=$ পৰি-ছেদ কালি

$d=$ তাঁৰডালৰ ব্যাস

সমীকৰণ $(i)$ ৰ পৰা অনুমান কৰিব পাৰি যে $Y \propto \frac{1}{d^{2}}$

লোৰ ইয়ংৰ গুণাংক, $Y_1=190 \times 10^{9} Pa$

লোৰ তাঁৰডালৰ ব্যাস $=d_1$

তামৰ ইয়ংৰ গুণাংক, $Y_2=110 \times 10^{9} Pa$

তামৰ তাঁৰডালৰ ব্যাস $=d_2$

গতিকে, সিহঁতৰ ব্যাসৰ অনুপাত তলত দিয়া ধৰণৰ:

$\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}=\sqrt{\frac{190 \times 10^{9}}{110 \times 10^{9}}}=\sqrt{\frac{19}{11}}=1.31: 1$

উত্তৰ

ভৰ, $m=14.5 kg$

ইটাৰ তাঁৰডালৰ দৈৰ্ঘ্য, $l=1.0 m$

কৌণিক বেগ, $\omega=2 rev / s$

তাঁৰডালৰ পৰি-ছেদ কালি, $a=0.065 cm^{2}$

ধৰা হওক $\delta l$ হৈছে তাঁৰডালৰ দীঘল হোৱাৰ পৰিমাণ যেতিয়া বস্তুটো ইয়াৰ পথৰ সৰ্বনিম্ন বিন্দুত থাকে।

বস্তুটো উলম্ব বৃত্তটোৰ অৱস্থানত ৰখা হ’লে, বস্তুটোৰ ওপৰত মুঠ বল হ’ব:

$ \begin{aligned} & F=m g+m l \omega^{2} \\ & =14.5 \times 9.8+14.5 \times 1 \times(2)^{2} \\ & =200.1 N \\ & \text{ ইয়ংৰ গুণাংক }=\frac{\text{ প্ৰতিবন্ধ }}{\text{ প্ৰতিবেদ }} \\ & Y=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta l}{l}}=\frac{F}{A} \frac{l}{\Delta l} \\ & \therefore \Delta l=\frac{F l}{A Y} \end{aligned} $

ইটাৰ ইয়ংৰ গুণাংক $=2 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta l & =\frac{200.1 \times 1}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}}=1539.23 \times 10^{-7} \\ & =1.539 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

গতিকে, তাঁৰডালৰ দীঘল হোৱাৰ পৰিমাণ হ’ল $1.539 \times 10^{-4} m$।

উত্তৰ

আৰম্ভণিৰ আয়তন, $V_1=100.01=100.0 \times 10^{-3} m^{3}$

অন্তিম আয়তন, $V_2=100.51=100.5 \times 10^{-3} m^{3}$

আয়তনৰ বৃদ্ধি, $\Delta V=V_2-V_1=0.5 \times 10^{-3} m^{3}$

চাপৰ বৃদ্ধি, $\Delta p=100.0 atm=100 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

আয়তন গুণাংক $=\frac{\Delta p}{\frac{\Delta V}{V_1}}=\frac{\Delta p \times V_1}{\Delta V}$

$ \begin{aligned} & =\frac{100 \times 1.013 \times 10^{5} \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} \\ & =2.026 \times 10^{9} Pa \end{aligned} $

বায়ুৰ আয়তন গুণাংক $=1.0 \times 10^{5} Pa$

$\therefore \frac{\text{ Bulk modulus of water }}{\text{ Bulk modulus of air }}=\frac{2.026 \times 10^{9}}{1.0 \times 10^{5}}=2.026 \times 10^{4}$

এই অনুপাত বহুত বেছি কাৰণ বায়ু পানীতকৈ বেছি সংকোচনযোগ্য।

উত্তৰ

দিয়া গভীৰতা $h$ হ’বলৈ দিয়া হওক।

দিয়া গভীৰতাত চাপ, $p=80.0 atm=80 \times 1.01 \times 10^{5} Pa$

পৃষ্ঠত পানীৰ ঘনত্ব, $\rho_1=1.03 \times 10^{3} kg m^{-3}$

ধৰা হওক $\rho_2$ হৈছে $h$ গভীৰতাত পানীৰ ঘনত্ব।

ধৰা হওক $V_1$ হৈছে পৃষ্ঠত $m$ ভৰৰ পানীৰ আয়তন।

ধৰা হওক $V_2$ হৈছে $m$ গভীৰতাত $h$ ভৰৰ পানীৰ আয়তন।

ধৰা হওক $\Delta V$ হৈছে আয়তনৰ পৰিৱৰ্তন।

$ \begin{aligned} \Delta V & =V_1-V_2 \\ & =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \end{aligned} $

$\therefore$ আয়তনিক প্ৰতিবেদ $=\frac{\Delta V}{V_1}$

$ =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \times \frac{\rho_1}{m} $

$\therefore \frac{\Delta V}{V_1}=1-\frac{\rho_1}{\rho_2}$

আয়তন গুণাংক, $B=\frac{p V_1}{\Delta V}$

$ \frac{\Delta V}{V_1}=\frac{p}{B} $

পানীৰ সংকোচনীয়তা $=\frac{1}{B}=45.8 \times 10^{-11} Pa^{-1}$

$$ \begin{equation*} \therefore \frac{\Delta V}{V_1}=80 \times 1.013 \times 10^{5} \times 45.8 \times 10^{-11}=3.71 \times 10^{-3} \tag{ii} \end{equation*} $$

সমীকৰণ ( $i$ ) আৰু (ii) ৰ বাবে, পাওঁ:

$ \begin{aligned} & 1-\frac{\rho_1}{\rho_2}=3.71 \times 10^{-3} \\ & \rho_2=\frac{1.03 \times 10^{3}}{1-(3.71 \times 10^{-3})} \\ & \quad=1.034 \times 10^{3} kg m^{-3} \end{aligned} $

গতিকে, দিয়া গভীৰতা $(h)$ ত পানীৰ ঘনত্ব হ’ল $1.034 \times 10^{3} kg m^{-3}$।

উত্তৰ

কাঁচৰ ফলকটোত প্ৰয়োগ কৰা জলীয় চাপ, $p=10 atm=10 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

কাঁচৰ আয়তন গুণাংক, $B=37 \times 10^{9} Nm^{-2}$

আয়তন গুণাংক, $B=\frac{p}{\Delta V}$

য’ত,

$ \begin{aligned} & \frac{\Delta V}{V}=\text{ আয়তনৰ ভগ্নাংশ পৰিৱৰ্তন } \\ & \begin{aligned} \therefore \frac{\Delta V}{V} & =\frac{p}{B} \\ & =\frac{10 \times 1.013 \times 10^{5}}{37 \times 10^{9}} \\ & =2.73 \times 10^{-5} \end{aligned} \end{aligned} $

গতিকে, কাঁচৰ ফলকটোৰ আয়তনৰ ভগ্নাংশ পৰিৱৰ্তন হ’ল $2.73 \times 10^{-5}$।

উত্তৰ

গোটা তামৰ ঘনকটোৰ এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য, $l=10 cm=0.1 m$

জলীয় চাপ, $p=7.0 \times 10^{6} Pa$

তামৰ আয়তন গুণাংক, $B=140 \times 10^{9} Pa$

আয়তন গুণাংক, $B=\frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$

য’ত,

$\frac{\Delta V}{V}=$ আয়তনিক প্ৰতিবেদ

$\Delta V=$ আয়তনৰ পৰিৱৰ্তন

$V=$ মূল আয়তন।

$\Delta V=\frac{p V}{B}$

ঘনকটোৰ মূল আয়তন, $V=l^{3}$

$\therefore \Delta V=\frac{p l^{3}}{B}$

$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times 10^{6} \times(0.1)^{3}}{140 \times 10^{9}} \\ & =5 \times 10^{-8} m^{3} \\ & =5 \times 10^{-2} cm^{-3} \end{aligned} $

গতিকে, গোটা তামৰ ঘনকটোৰ আয়তনৰ সংকোচন হ’ল $5 \times 10^{-2} cm^{-3}$।

উত্তৰ

পানীৰ আয়তন, $V=1 L$

দিয়া হৈছে যে পানী $0.10 \%$ ৰে সংকোচিত কৰিব লাগিব। $\therefore$ ভগ্নাংশ পৰিৱৰ্তন, $\frac{\Delta V}{V}=\frac{0.1}{100 \times 1}=10^{-3}$

আয়তন গুণাংক, $B=\frac{\rho}{\Delta V}$

$p=B \times \frac{\Delta V}{V}$

পানীৰ আয়তন গুণাংক, $B=2.2 \times 10^{9} Nm^{-2}$

$ \begin{aligned} p & =2.2 \times 10^{9} \times 10^{-3} \\ & =2.2 \times 10^{6} Nm^{-2} \end{aligned} $

গতিকে, পানীৰ ওপৰত চাপ $2.2 \times 10^{6} Nm^{-2}$ হ’ব লাগিব।