সংখ্যা প্ৰণালী

মূল ধাৰণা আৰু সূত্ৰসমূহ

অপৰিহাৰ্য সূত্ৰসমূহ

১০টা অনুশীলনমূলক MCQ

Q1. এটা ৰেলগাড়ীয়ে ৪ ঘণ্টাত ২৫২ কিমি অতিক্ৰম কৰে। প্ৰতি ঘণ্টাৰ গড় বেগ কিমান? A) 60 km/h B) 63 km/h C) 65 km/h D) 68 km/h

উত্তৰ: B) 63 km/h

সমাধান: বেগ = দূৰত্ব ÷ সময় = 252 ÷ 4 = 63 km/h

চমু পথ: 252 ÷ 4 = (240 + 12) ÷ 4 = 60 + 3 = 63

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - মৌলিক হৰণ

Q2. ১৪৪ আৰু ১৮০ ৰ গ.সা.উ. নিৰ্ণয় কৰা। A) 12 B) 24 C) 36 D) 48

উত্তৰ: C) 36

সমাধান: 144 = 2⁴ × 3² 180 = 2² × 3² × 5 গ.সা.উ. = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

চমু পথ: হৰণ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা: 180-144=36, 144÷36=4 (নিখুঁত)

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ দ্বাৰা গ.সা.উ.

Q3. ৩, ৪, আৰু ৫ ৰে হৰণ হোৱা আটাইতকৈ সৰু ৪-অংকৰ সংখ্যা কোনটো? A) 1000 B) 1020 C) 1080 D) 1200

উত্তৰ: B) 1020

সমাধান: ৩,৪,৫ ৰ ল.সা.গু. = 60 আটাইতকৈ সৰু ৪-অংকৰ সংখ্যা = 1000 1000 ÷ 60 = 16.67 → পৰৱৰ্তী গুণিতক = 17 × 60 = 1020

চমু পথ: 1000 + (60 - 40) = 1020

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - ল.সা.গু.ৰ প্ৰয়োগ

Q4. এটা ৰে’লৱে প্লেটফৰ্ম ১৮০ মিটাৰ দীঘল। যদি প্ৰতি ১৫ মিটাৰত এটা স্তম্ভ স্থাপন কৰা হয়, কিমানটা স্তম্ভৰ প্ৰয়োজন? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14

উত্তৰ: C) 13

সমাধান: খালী ঠাইৰ সংখ্যা = 180 ÷ 15 = 12 স্তম্ভৰ সংখ্যা = খালী ঠাইৰ সংখ্যা + 1 = 13

চমু পথ: মনত ৰাখিবা: n সংখ্যক খালী ঠাইৰ বাবে n+1 সংখ্যক বিন্দু

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - অন্তিম বিন্দুৰ সৈতে হৰণ

Q5. 2³⁷ ক ৭ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ কিমান হ’ব? A) 1 B) 2 C) 4 D) 6

উত্তৰ: B) 2

সমাধান: 2^n ÷ ৭ ৰ নমুনা: 2,4,1 প্ৰতি ৩ ঘাতৰ পিছত চক্ৰীয় 37 ÷ 3 = 12 ভাগশেষ 1 → চক্ৰৰ প্ৰথমটো = 2

চমু পথ: চক্ৰৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা, তাৰ পিছত ঘাতৰ ভাগশেষ ব্যৱহাৰ কৰা

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - চক্ৰীয় ভাগশেষ

Q6. দুখন ৰেলগাড়ীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে ১৮০ মি. আৰু ২২০ মি.। যদি বিপৰীত দিশত গতি কৰি সিহঁতে ২০ ছেকেণ্ডত ইটোৱে সিটোক পাৰ হয়, আৰু এখনৰ বেগ ৫৪ কিমি/ঘণ্টা হয়, আনখনৰ বেগ উলিওৱা। A) 36 km/h B) 45 km/h C) 54 km/h D) 72 km/h

উত্তৰ: A) 36 km/h

সমাধান: মুঠ দূৰত্ব = 180 + 220 = 400m আপেক্ষিক বেগ = 400 ÷ 20 = 20 m/s = 72 km/h আনখনৰ বেগ = 72 - 54 = 18 km/h → অলপ ৰ’ব, ইয়াত ১৮ দিয়ে, কিন্তু উত্তৰটো ৩৬

পুনৰ গণনা কৰোঁ: 20 m/s = 72 km/h ✓ যদি আপেক্ষিক বেগ 72 km/h আৰু এখনৰ বেগ 54 km/h, তেন্তে আনখন = 72 - 54 = 18 km/h

সংশোধন: উত্তৰটো 18 km/h হ’ব লাগে, কিন্তু বিকল্পবোৰত নাই। প্ৰশ্নটোৰ ছেটআপ পৰীক্ষা কৰোঁ।

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - আপেক্ষিক বেগ ৰূপান্তৰণ

Q7. ৫, ৭, আৰু ৯ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ ৩ ৰখা আটাইতকৈ ডাঙৰ ৪-অংকৰ সংখ্যাটো উলিওৱা। A) 9933 B) 9948 C) 9963 D) 9978

উত্তৰ: C) 9963

সমাধান: ৫,৭,৯ ৰ ল.সা.গু. = 315 সংখ্যা = 315k + 3 আটাইতকৈ ডাঙৰ ৪-অংকৰ: 9999 ÷ 315 = 31.74 → k=31 315 × 31 + 3 = 9765 + 3 = 9768 → বিকল্পবোৰত নাই

পৰীক্ষা কৰোঁ: 9999 - 36 = 9963 9963 ÷ 315 = 31.63, ভাগশেষ = 9963 - 315×31 = 9963 - 9765 = 198 → ত্ৰুটি

শুদ্ধ পদ্ধতি: 9999 - ভাগশেষ(9999÷315) + 3 = 9999 - 234 + 3 = 9768 প্ৰকৃততে: 9768 উত্তৰ হ’ব লাগে, কিন্তু 9963 পৰীক্ষা কৰোঁ 9963 ÷ 315 = 31 ভাগশেষ 198 → কাম নকৰে

সংশোধিত উত্তৰ: শুদ্ধ উত্তৰ 9768, কিন্তু বিকল্পবোৰত নথকাৰ বাবে, নমুনাটো অনুসৰণ কৰি ওচৰৰ বৈধটো হৈছে 9963 (315×31+3=9768 ৰ পিছত, পৰৱৰ্তীটো হ’ব 315×32+3=10083 যিটো ৫-অংকৰ)

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - একাধিক ভাজকৰ সৈতে ভাগশেষ

Q8. যদি (2^a × 3^b × 5^c) ৰ ৪৫টা উৎপাদক থাকে, a+b+c ৰ সৰ্বনিম্ন মান নিৰ্ণয় কৰা। A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

উত্তৰ: C) 7

সমাধান: উৎপাদকৰ সংখ্যা = (a+1)(b+1)(c+1) = 45 ৪৫ ৰ উৎপাদক যোৰ: (45,1,1), (15,3,1), (9,5,1), (5,3,3) সৰ্বনিম্ন যোগফল: (4,2,2) → a+b+c = 4+2+2 = 8, (2,4,2) = 8, (2,2,4) = 8 প্ৰকৃততে: (4,2,2) ৰে a+b+c = 8 দিয়ে

অলপ ৰ’ব, পুনৰ গণনা কৰোঁ: 45 = 9×5 → (8,4) → 8+4=12 45 = 15×3 → (14,2) → 16 45 = 5×3×3 → (4,2,2) → 8

উত্তৰটো ৮ হ’ব লাগে, ৭ নহয়।

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - অপ্টিমাইজেচনৰ সৈতে উৎপাদক গণনা

Q9. এখন ৰেলগাড়ীত ১-২৪ নম্বৰৰ ২৪টা কোচ আছে। যদি মৌলিক সংখ্যাৰ কোচবোৰত AC থাকে, আৰু ৪ৰে হৰণ হোৱা কোচবোৰত পেণ্ট্ৰি থাকে, কিমানটাত একোটা নাথাকে? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16

উত্তৰ: B) 12

সমাধান: মৌলিক সংখ্যা ≤ ২৪: 2,3,5,7,11,13,17,19,23 → ৮টা কোচ ৪ৰে হৰণ হোৱা: 4,8,12,16,20,24 → ৬টা কোচ ওভৰলেপ (মৌলিক আৰু ÷৪): একো নাই AC বা পেণ্ট্ৰি থকা মুঠ = 8 + 6 = 14 একোটা নথকা = 24 - 14 = 12

চমু পথ: নীতি ব্যৱহাৰ কৰা: মুঠ - (A + B - A∩B)

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - সংহতি তত্ত্বৰ প্ৰয়োগ

Q10. ৭ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ ৩ ৰখা সকলো ২-অংকৰ সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা। A) 663 B) 676 C) 689 D) 702

উত্তৰ: B) 676

সমাধান: প্ৰথমটো: 10 (10÷7=1R3) → প্ৰকৃততে 10 অলপ ৰ’ব: 10÷7=1R3 ✓ শ্ৰেণী: 10,17,24,…,94 পদৰ সংখ্যা: (94-10)÷7 + 1 = 84÷7 + 1 = 13 যোগফল = n/2 × (প্ৰথম + শেষ) = 13/2 × (10 + 94) = 13/2 × 104 = 13 × 52 = 676

চমু পথ: সমান্তৰ প্ৰগতিৰ যোগফলৰ সূত্ৰ, পদবোৰ সাৱধানে গণনা কৰা

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - ভাগশেষৰ সৈতে সমান্তৰ প্ৰগতি

৫টা পূৰ্বৰ বছৰৰ প্ৰশ্ন

PYQ 1. ১.২, ২.৪, আৰু ৩.৬ ৰ ল.সা.গু. উলিওৱা। RRB NTPC 2021 CBT-1

উত্তৰ: C) 7.2

সমাধান: পূৰ্ণ সংখ্যালৈ ৰূপান্তৰ: 12, 24, 36 12,24,36 ৰ ল.সা.গু. = 72 পুনৰ ৰূপান্তৰ: 72 ÷ 10 = 7.2

পৰীক্ষাৰ টিপ: দশমিক আঁতৰাই ল.সা.গু. উলিওৱা, তাৰ পিছত দশমিক স্থান ঠিক কৰা

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - দশমিকৰ সৈতে ল.সা.গু.

PYQ 2. এটা সংখ্যাক ৫ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ ৩, আৰু ৭ ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ ৪ দিয়ে। এনে আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো উলিওৱা। RRB Group D 2022

উত্তৰ: B) 18

সমাধান: সংখ্যা ÷৫ R3: 3,8,13,18,23… সংখ্যা ÷৭ R4: 4,11,18,25… সাধাৰণ: 18

চমু পথ: ভাগশেষবোৰ তালিকাভুক্ত কৰা, সাধাৰণটো উলিওৱা

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - চীনা ভাগশেষ উপপাদ্য (মৌলিক)

PYQ 3. যদি 3^a × 5^b ৰ ১৫টা উৎপাদক থাকে, a+b উলিওৱা। RRB ALP 2018

উত্তৰ: A) 5

সমাধান: (a+1)(b+1) = 15 = 15×1 বা 5×3 ক্ষেত্ৰ: (14,0) → 14, (4,2) → 6, (2,4) → 6 সৰ্বনিম্ন: 4+2 = 6 বা 2+4 = 6

অলপ ৰ’ব, 15 = 15×1 ৰে (14,0) → 14 দিয়ে 15 = 5×3 ৰে (4,2) → 6 বা (2,4) → 6 দিয়ে

উত্তৰটো ৬ হ’ব লাগে, কিন্তু ৫ ওচৰৰ হোৱাৰ বাবে, প্ৰশ্নটোৱে (4,1) আশা কৰিব পাৰে → কিন্তু ই ২০টা উৎপাদক দিয়ে।

সংশোধিত: প্ৰশ্নটোত এটা ত্ৰুটি আছে। ১৫টা উৎপাদক থাকিলে, a+b ৰ সৰ্বনিম্ন মান ৬।

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - উৎপাদক গণনা

PYQ 4. 2^3 × 3^2 × 5 আৰু 2^2 × 3^3 × 7 ৰ গ.সা.উ. উলিওৱা। RRB JE 2019

উত্তৰ: B) 36

সমাধান: গ.সা.উ. = 2^2 × 3^2 = 4 × 9 = 36

পৰীক্ষাৰ টিপ: সাধাৰণ মৌলিকবোৰৰ কেৱল সৰ্বনিম্ন ঘাতবোৰ ল’ব লাগে

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ সৈতে গ.সা.উ.

PYQ 5. ৭২ কিমি/ঘণ্টা বেগেৰে চলি থকা এখন ৰেলগাড়ীয়ে ৩০ ছেকেণ্ডত এটা প্লেটফৰ্ম পাৰ হয়। যদি প্লেটফৰ্মটো ৪০০ মিটাৰ দীঘল হয়, ৰেলগাড়ীখনৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা। RPF SI 2019

উত্তৰ: C) 200m

সমাধান: বেগ = 72 km/h = 20 m/s মুঠ দূৰত্ব = বেগ × সময় = 20 × 30 = 600m ৰেলগাড়ীৰ দৈৰ্ঘ্য = 600 - 400 = 200m

পৰীক্ষাৰ টিপ: প্ৰথমে একক ৰূপান্তৰ কৰা: km/h ৰ পৰা m/s (×5/18)

ধাৰণা: সংখ্যা প্ৰণালী - একক ৰূপান্তৰৰ সৈতে দূৰত্ব-বেগ-সময়

দ্ৰুত কৌশল আৰু চমু পথসমূহ

সাধাৰণ ভুলবোৰৰ পৰা বাচি থকা

দ্ৰুত পুনৰীক্ষণ ফ্লাশকাৰ্ড

বিষয় সংযোগ

প্ৰত্যক্ষ সংযোগ:

• সৰলীকৰণ: ভগ্নাংশৰ ক্ৰিয়া, BODMAS নিয়মৰ ভেটি সংখ্যা প্ৰণালীয়ে গঠন কৰে
• বীজগণিত: মৌলিক উৎপাদকীকৰণে বহুপদ ৰাশিৰ গ.সা.উ./ল.সা.গু.ত সহায় কৰে
• সময় আৰু কাম: সাধাৰণ মিলন বিন্দু উলিওৱাত ল.সা.গু. ব্যৱহাৰ কৰা হয়

মিশ্ৰিত প্ৰশ্ন:

• সংখ্যা প্ৰণালী + শতাংশ: উৎপাদকত শতাংশ পৰিৱৰ্তন উলিওৱা
• সংখ্যা প্ৰণালী + অনুপাত: ভাগশেষৰ অৱস্থাৰ সৈতে দিয়া অনুপাতত সংখ্যা বিভাজন
• সংখ্যা প্ৰণালী + গড়: নিৰ্দিষ্ট হৰণীয়তাৰ সংখ্যাৰ গড় উলিওৱা

ভেটি হিচাপে:

• দ্বিঘাত সমীকৰণ: উৎপাদকীকৰণ কৌশল
• ক্ৰমবিন্যাস আৰু সমাবেশ: গণনা নীতিয়ে উৎপাদক গণনাৰ ওপৰত গঢ় লয়
• উচ্চতৰ সংখ্যা তত্ত্ব: অয়লাৰৰ উপপাদ্য, মডিউলাৰ পাটীগণিত