• প্রাচীন ও আধুনিক অধ্যয়নের মধ্যে মৃদু সংঘাতের দিনে, যে অধ্যয়নের পাঁচশ প্রতিষ্ঠা করা হয়নি এবং আইনস্টাইনের সময় শেষ হবে না; তাতে অবশ্যই কিছু বলা উচিত হবে যা পাইথাগোরাস থেকে শুরু হয়নি এবং আইনস্টাইনের সময় শেষ হবে না; কিন্তু এটি প্রাচীন এবং নবীন। - জি. এইচ. হার্ডি

1.1 পরিচিতি

সেটের ধারণা আজকের গণিতের একটি মৌলিক অংশ হিসাব করে নেওয়া হয়। আজ এই ধারণাটি গণিতের প্রায় প্রতিটি শাখায় ব্যবহৃত হচ্ছে। সংক্রান্তি এবং ফাংশনের ধারণাগুলি সেটগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। জ্যামিতি, ক্রম, সম্ভাবনা ইত্যাদি নিয়ে পর্যবেক্ষণ করার জন্য সেটগুলি জ্ঞানের প্রয়োজন।

জর্জ ক্যান্টর (1845-1918 খ্রিষ্টপূর্ব)

সেটের তত্ত্বটি জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (1845-1918) দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। তিনি প্রথম সেটগুলি ত্রিকোণমিতিক শিরিয়াসের “সমস্যাগুলি” নিয়ে কাজ করার সময় এর সাথে প্রথম পক্ষে পরিচয় পেয়েছিলেন। এই অধ্যায়ে, আমরা সেটগুলি নিয়ে কিছু মৌলিক সংজ্ঞা এবং সেটগুলির সংক্রান্ত কাজগুলি আলোচনা করব।

1.2 সেটসমূহ এবং তাদের প্রতিফলন

দৈনন্দিন জীবনে, আমরা প্রায়শই এমন বস্তুগুলির একটি সংগ্রহ সম্পর্কে কথা বলি যার একটি নির্দিষ্ট ধরনের বস্তু অন্তর্ভুক্ত, যেমন, একটি তাসির প্যাক, একটি জনগোষ্ঠী, একটি ক্রিকেট দল ইত্যাদি। গণিতেও, আমরা সংগ্রহের সাথে পরিচয় পাই, যেমন, প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যাগুলি, বিন্দুগুলি, সংখ্যার জোড়াগুলি, ইত্যাদি। আরও বিশেষভাবে, আমরা নিম্নলিখিত সংগ্রহগুলি পর্যালোচনা করি:

(i) 10 এর কম অযোগ্য প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যাগুলি, অর্থাৎ, 1, 3, 5, 7, 9

(ii) ভারতের নদীগুলি

(iii) ইংরেজি বর্ণমালার ভয়েলস, অর্থাৎ, $a, e, i, o, u$

(iv) বিভিন্ন ধরনের ত্রিভুজ

(v) 210 এর সংখ্যার জোড়া, অর্থাৎ, 2, 3, 5 এবং 7

(vi) সমীকরণের সমাধান: $x^{2}-5 x+6=0$, অর্থাৎ, 2 এবং 3।

আমরা দেখতে পাই যে উপরের প্রতিটি উদাহরণ একটি স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত বস্তুগুলির একটি সংগ্রহ হিসাবে যেন আমরা নিশ্চিতভাবে নির্ধারণ করতে পারি যে একটি নির্দিষ্ট বস্তু একটি নির্দিষ্ট সংগ্রহের অন্তর্ভুক্ত হয় কিনা। উদাহরণস্বরূপ, আমরা বলতে পারি যে নীলগিরি নদী ভারতের নদীগুলির সংগ্রহে অন্তর্ভুক্ত নয়। অন্যদিকে, গঙ্গা নদী এই সংগ্রহে অন্তর্ভুক্ত।

আমরা নিম্নলিখিত কিছু গণিতে ব্যবহৃত সেটের আরও উদাহরণ দেই:

$\mathbf{N}$: প্রতিটি প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যাগুলির সেট

$\mathbf{Z}$: প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাগুলির সেট

$\mathbf{Q}$: প্রতিটি ভগ্নাংশসংখ্যাগুলির সেট

$\mathbf{R}$: প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যাগুলির সেট

$\mathbf{Z^{+}} $: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলির সেট

$\mathbf{Q^{+}} $: ধনাত্মক ভগ্নাংশসংখ্যাগুলির সেট, এবং

$\mathbf{R^{+}} $: ধনাত্মক প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যাগুলির সেট।

উপরে উল্লিখিত বিশেষ সেটগুলির চিহ্নগুলি এই পাঠ্যের সমগ্রে উল্লেখ করা হবে।

আবার, বিশ্বের পাঁচটি সবচেয়ে জনপ্রিয় গণিতবিদদের সংগ্রহ একটি স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত সংগ্রহ নয়, কারণ একজন গণিতবিদকে সবচেয়ে জনপ্রিয় বলে ধর্মার্পণ করার মানোন্নয়ন ব্যক্তি থেকে ব্যক্তি পর্যবেক্ষণ করে পরিবর্তিত হতে পারে। তাই, এটি একটি স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত সংগ্রহ নয়।

আমরা বলব যে একটি সেট হল এমন একটি স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত বস্তুগুলির সংগ্রহ।

নিম্নলিখিত বিষয়গুলি লক্ষ্য রাখা যেতে পারে:

(i) সেটের বস্তু, উপাদান এবং সেটের সদস্যগুলি একই অর্থ নিয়ে আসে।

(ii) সেটগুলি সাধারণত বড় হাতের অক্ষর A, B, C, X, Y, Z ইত্যাদি দ্বারা প্রতিনির্দেশিত হয়।

(iii) সেটের উপাদানগুলি সাধারণত ছোট হাতের অক্ষর $a, b, c, x, y, z$ ইত্যাদি দ্বারা প্রতিনির্দেশিত হয়।

$a$ একটি সেট A এর একটি উপাদান হলে, আমরা বলি “$a$ A এর অন্তর্ভুক্ত”। এই বাক্য ‘অন্তর্ভুক্ত’ বোঝার জন্য গ্রিক চিহ্ন $\in$ (এপসিলন) ব্যবহৃত হয়। এভাবে, আমরা $a \in A$ লিখি। $b$ ‘একটি সেট $A$ এর উপাদান নয় হলে, আমরা $b \notin A$ লিখি এবং “$b$ A এর অন্তর্ভুক্ত নয়” পড়া হয়।

এভাবে, ইংরেজি বর্ণমালার ভয়েলসের সেট $V$ এ, $a \in V$ কিন্তু $b \notin V$। $P$ এর সংখ্যার জোড়ার সেট $30,3 \in P$ কিন্তু $15 \notin P$।

একটি সেট প্রতিফলন করার দুটি পদ্ধতি রয়েছে:

(i) রস্টার বা ট্যাবুলার বিন্যাস

(ii) সেট-বিল্ডার বিন্যাস।

(i) রস্টার বিন্যাসে, সেটের প্রতিটি উপাদান তালিকাভুক্ত করা হয়, উপাদানগুলি কমা দ্বারা আলাদা করা হয় এবং বন্ধনী { } দ্বারা আবদ্ধ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 7 এর কম প্রতিটি জোড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলির সেটটি রস্টার বিন্যাসে বর্ণনা করা হয় $\{2,4,6\}$। সেটটি রস্টার বিন্যাসে প্রতিফলন করার আরও কিছু উদাহরণ নিম্নে দেওয়া হল:

(a) 42 কে বিভাজ্য করে প্রতিটি প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যাগুলির সেট $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$।

দ্রষ্টব্য - রস্টার বিন্যাসে, উপাদানগুলি যে ক্রমে তালিকাভুক্ত করা হয় তা অপরিবর্তনীয়। তাই, উপরের সেটটি আবারও $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ হিসাবে প্রতিনির্দেশিত করা যেতে পারে।

(b) ইংরেজি বর্ণমালার প্রতিটি ভয়েলসের সেট $\{a, e, i, o, u\}$।

(c) অযোগ্য প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যাগুলির সেট $\{1,3,5, \ldots\}$ দ্বারা প্রতিনির্দেশিত হয়। ডটগুলি আমাদের বলে দেয় যে অযোগ্য সংখ্যাগুলির তালিকা অসীমভাবে চালিয়ে যায়।

দ্রষ্টব্য - রস্টার বিন্যাসে একটি সেট লেখার সময় একটি উপাদান সাধারণত পুনরাবৃত্তি করা হয় না, অর্থাৎ, প্রতিটি উপাদান আলাদা হিসাব করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ‘SCHOOL’ শব্দের অক্ষরগুলির সেট $\{S, C, H, O, L\}$ বা $\{H, O, L, C, S\}$। এখানে, উপাদানগুলি তালিকাভুক্ত করার ক্রমের গুরুত্ব নেই।

(ii) সেট-বিল্ডার বিন্যাসে, সেটের প্রতিটি উপাদানের একটি একক সাধারণ গুণমান রয়েছে যা সেটের বাইরের কোনো উপাদানে অনুপস্থিত। উদাহরণস্বরূপ, সেট $\{a, e, i, o, u\}$ এ, প্রতিটি উপাদানের একটি সাধারণ গুণমান রয়েছে, অর্থাৎ, এগুলি প্রতিটি ইংরেজি বর্ণমালার ভয়েলস। এবং অন্য কোনো অক্ষরে এই গুণমান অনুপস্থিত। এই সেটটি $V$ দ্বারা প্রতিনির্দেশিত করা হলে, আমরা লিখি

$V=\{x: x$ ইংরেজি বর্ণমালার একটি ভয়েলস $\}$

উপরের সেট $V$ এর বর্ণনাটি “ইংরেজি বর্ণমালার প্রতিটি ভয়েলস $x$ যারা $x$” পড়া হয়। এই বর্ণনায়, বন্ধনীগুলি “প্রতিটি উপাদানের সেট” বোঝায়, কালো বিন্দু বোঝায় “যেমন”। উদাহরণস্বরূপ, সেট

$A=\{x: x$ একটি প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যা এবং $3<x<10\}$ পড়া হয় “ইংরেজি বর্ণমালার প্রতিটি ভয়েলস $x$ যারা $x$ একটি প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যা এবং $x$ 3 এবং 10 এর মধ্যে অবস্থিত।” তাই, 4, 5, 6, 7, 8 এবং 9 সেট $A$ এর উপাদান।

$(a),(b)$ এবং $(c)$ উপরে বর্ণিত সেটগুলি রস্টার বিন্যাসে $A, B$, $C$ দ্বারা প্রতিনির্দেশিত হলে, $A, B, C$ আবারও নিম্নলিখিত ভাবে সেট-বিল্ডার বিন্যাসে প্রতিফলিত করা যেতে পারে:

$A=\{x: x$ একটি প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যা যা 42 কে বিভাজ্য করে $\}$

$B=\{y: y$ ইংরেজি বর্ণমালার একটি ভয়েলস $\}$

$C=\{z: z$ একটি অযোগ্য প্রাণবিশিষ্ট সংখ্যা $\}$

উদাহরণ 1 সমীকরণ $x^{2}+x-2=0$ এর সমাধান সেটটি রস্টার বিন্যাসে লিখুন।

সমাধান প্রদত্ত সমীকরণটি লিখতে পারি

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

তাই, প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান সেটটি রস্টার বিন্যাসে লিখতে পারি $\{1,-2\}$।

উদাহরণ 2 সেট $\{x: x$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $x^{2}<40\}$ রস্টার বিন্যাসে লিখুন।

সমাধান প্রয়োজনীয় সংখ্যাগুলি $1,2,3,4,5,6$। তাই, প্রদত্ত সেটটি রস্টার বিন্যাসে লিখতে পারি $\{1,2,3,4,5,6\}$।

উদাহরণ 3 সেট $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ সেট-বিল্ডার বিন্যাসে লিখুন।

সমাধান আমরা সেট A কে লিখতে পারি

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

বিকল্পভাবে, আমরা লিখতে পারি

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

উদাহরণ 4 সেট $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ সে