আপনার শিক্ষার্থীদের জন্য জ্ঞানের বাস্তব জীবনের সম্পর্ক খুব স্পষ্টভাবে দেখান এবং তাদের বুঝিয়ে দিন কেন জ্ঞানের মাধ্যমে বিশ্বটি রূপান্তরিত করা যেতে পারে। - বার্ট্রান্ড রাসেল

10.1 পরিচিতি

পূর্ববর্তী অধ্যায় 10-এ আমরা সরলরেখার সমস্যার বিভিন্ন ধরনের সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করেছি। এই অধ্যায়ে আমরা সাধারণ ভাবে কোনও অন্যান্য সঙ্কেত নিয়ে আলোচনা করব, যেমন: বৃত্ত, শতকরা বৃত্ত, প্যারাবলা এবং অতিপ্যারাবলা। প্যারাবলা এবং অতিপ্যারাবলার নামগুলি আপোলোনিয়াস দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। এই সঙ্কেতগুলি বাস্তবে শীর্ষক খণ্ডশাস্ত্র বা সাধারণত শীর্ষকগুলি নামে পরিচিত কারণ এগুলি একটি দ্বৈত নামন্ত্রিত সমকোণী শীর্ষকের সাথে একটি স্থূলতলের সংঘাতের মাধ্যমে পাওয়া যায়। এই সঙ্কেতগুলি প্রায়শই প্রযুক্তিগত ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন: গ্রহগুলির গতি, টেলিস্কোপ এবং অ্যান্টেনা নির্মাণে, ফ্ল্যাশলাইট এবং গাড়ির হেডলাইটের প্রতিফলকগুলির নির্মাণে এবং অন্যান্য ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়।

আপোলোনিয়াস (২৬২ খ্রিষ্টপূর্ব - ১৯০ খ্রিষ্টপূর্ব)

এরপরের অধ্যায়ে আমরা দেখব কীভাবে একটি স্থূলতলের সাথে একটি দ্বৈত নামন্ত্রিত সমকোণী শীর্ষকের সংঘাত বিভিন্ন ধরনের সঙ্কেত তৈরি করে।

10.2 শীর্ষকের খণ্ড

ধরুন $l$ একটি স্থির উলম্ব রেখা এবং $m$ একটি অন্য রেখা যা $V$ নামে একটি স্থির বিন্দুতে এর সাথে সংঘাত করে এবং $\alpha$ অক্ষাংশের সাথে এটি একটি কোণে ঝুঁকেছে (আকৃতি 10.1)।

আকৃতি 10.1

ধরুন আমরা রেখা $m$ কে রেখা $l$ ভূমিকায় ঘুরিয়ে দেই যাতে কোণ $\alpha$ স্থির থাকে। তাহলে তৈরি হওয়া পৃষ্ঠ হল একটি দ্বৈত নামন্ত্রিত সমকোণী শীর্ষক যা পরে শীর্ষক নামে উল্লেখ করা হবে এবং এটি উভয় দিকেই অসীম দূরত্বে বিস্তৃত হয় (আকৃতি 10.2)।

আকৃতি 10.2

বিন্দু $V$ শীর্ষকের শীর্ষবিন্দু হিসেবে ডাকা হয়; রেখা $l$ হল শীর্ষকের অক্ষ। ঘূর্ণনকৃত রেখা $m$ হল শীর্ষকের জেনারেটর। শীর্ষবিন্দু শীর্ষককে দুটি অংশে বিভক্ত করে যাগুলি নামন্ত্রিত হয়।

যদি আমরা একটি স্থূলতলের সাথে একটি শীর্ষকের সংঘাত নেই, তাহলে পাওয়া সংঘাতটি শীর্ষক খণ্ড নামে ডাকা হয়। অতএব, শীর্ষক খণ্ডগুলি হল সঙ্কেতগুলি যা একটি সমকোণী শীর্ষকের সাথে একটি স্থূলতলের সংঘাতের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

আমরা শীর্ষকের সাথে সংঘাতকারী স্থূলতলের অবস্থান এবং এটির শীর্ষকের উলম্ব অক্ষের সাথে করা কোণ উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন ধরনের শীর্ষক খণ্ড পাই। ধরুন $\beta$ হল সংঘাতকারী স্থূলতলের শীর্ষকের উলম্ব অক্ষের সাথে করা কোণ (আকৃতি 10.3)।

আকৃতি 10.3

স্থূলতলের শীর্ষকের সংঘাত শীর্ষকের শীর্ষবিন্দুতে বা শীর্ষবিন্দুর নিচে বা উপরে নামন্ত্রিত অংশের যেকোনো অংশে ঘটতে পারে।

10.2.1 বৃত্ত, শতকরা বৃত্ত, প্যারাবলা এবং অতিপ্যারাবলা

যখন স্থূলতল শীর্ষকের শীর্ষবিন্দু ছাড়া নামন্ত্রিত অংশে ছেদ করে, তখন আমরা নিম্নলিখিত অবস্থাগুলি পাই:

(ক) যখন $\beta=90^{\circ}$, তখন ছেদটি একটি বৃত্ত (আকৃতি 10.4)।

আকৃতি 10.4

(খ) যখন $\alpha<\beta<90^{\circ}$, তখন ছেদটি একটি শতকরা বৃত্ত (আকৃতি 10.5)।

আকৃতি 10.5

(গ) যখন $\beta=\alpha$; তখন ছেদটি একটি প্যারাবলা (আকৃতি 10.6)।

আকৃতি 10.6

(উপরের তিনটি অবস্থায় প্রতিটিতে, স্থূলতল শীর্ষকের একটি নামন্ত্রিত অংশের সামগ্রিকভাবে ছেদ করে)।

(ঘ) যখন $0 \leq \beta<\alpha$; স্থূলতল উভয় নামন্ত্রিত অংশে ছেদ করে এবং ছেদের সঙ্কেত হল একটি অতিপ্যারাবলা (আকৃতি 10.7)।

আকৃতি 10.7

10.2.2 ডিগ্রেডেড শীর্ষক খণ্ড

যখন স্থূলতল শীর্ষকের শীর্ষবিন্দুতে ছেদ করে, তখন আমরা নিম্নলিখিত বিভিন্ন ক্ষেত্র পাই:

(ক) যখন $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$, তখন ছেদটি একটি বিন্দু (আকৃতি 10.8)।

আকৃতি 10.8

(খ) যখন $\beta=\alpha$, স্থূলতল শীর্ষকের একটি জেনারেটর ধারণ করে এবং ছেদটি একটি সরলরেখা (আকৃতি 10.9)।

আকৃতি 10.9

এটি একটি প্যারাবলার ডিগ্রেডেড ক্ষেত্র।

(গ) যখন $0 \leq \beta<\alpha$, তখন ছেদটি একটি ছেদশীর্ষকের সাথে সংঘাতকারী দুটি সরলরেখার জোড় (আকৃতি 10.10)। এটি একটি অতিপ্যারাবলার ডিগ্রেডেড ক্ষেত্র।

আকৃতি 10.8 (ক)

আকৃতি 10.8 (খ)

পরবর্তী অধ্যায়ে আমরা এই প্রতিটি শীর্ষক খণ্ডের স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের সমীকরণ প্রকাশ করব যা জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি উপর ভিত্তি করে সেট করা হবে।

10.3 বৃত্ত

সংজ্ঞা 1 একটি বৃত্ত হল এমন সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি যা একটি স্থূলতলে থাকে এবং সেই স্থূলতলের একটি স্থির বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত।

স্থির বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র হিসেবে ডাকা হয় এবং কেন্দ্র থেকে বৃত্তের একটি বিন্দুতে দূরত্বটি বৃত্তের ব্যাস হিসেবে ডাকা হয় (আকৃতি 10.11)।

আকৃতি 10.11

বৃত্তের সমীকরণটি সবচেয়ে সহজ হয় যখন বৃত্তের কেন্দ্র শূন্যবিন্দুতে অবস্থিত। তবে আমরা নিম্নে একটি দেওয়া কেন্দ্র এবং ব্যাসের সাথে বৃত্তের সমীকরণ প্রকাশ করব।

আকৃতি 10.12

ধরুন $C(h, k)$ হল বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ হল বৃত্তের ব্যাস। ধরুন $P(x, y)$ হল বৃত্তের যেকোনো একটি বিন্দু (আকৃতি 10.12)। তাহলে, সংজ্ঞার অনুযায়ী, $|CP|=r$। দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই

অর্থাৎ,

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}=r \ & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

এটি হল কেন্দ্র $(h, k)$ এবং ব্যাস $r$ সম্পন্ন বৃত্তের প্রয়োজনীয় সমীকরণ।

উদাহরণ 1 কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাস $r$ সম্পন্ন বৃত্তের একটি সমীকরণ খুঁজুন।

সমাধান এখানে $h=k=0$। অতএব, বৃত্তের সমীকরণটি $x^{2}+y^{2}=r^{2}$।

উদাহরণ 2 কেন্দ্র $(-3,2)$ এবং ব্যাস 4 সম্পন্ন বৃত্তের সমীকরণ খুঁজুন।

সমাধান এখানে $h=-3, k=2$ এবং $r=4$। অতএব, প্রয়োজনীয় বৃত্তের সমীকরণটি হল

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

উদাহরণ 3 বৃত্ত $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$ এর কেন্দ্র এবং ব্যাস খুঁজুন।

সমাধান প্রদত্ত সমীকরণটি হল

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

এখন, প্যারেন্থেসিসের মধ্যে বর্গমূল পূরণ করে, আমরা পাই

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

অর্থাৎ,

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

অর্থাৎ,

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

অতএব, প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র $(-4,-5)$ এবং ব্যাস 7 এর।

উদাহরণ 4 বিন্দুগুলি $(2,-2)$, $(3,4)$ এবং যার কেন্দ্র রেখা $x+y=2$ উপর অবস্থিত একটি বৃত্তের সমীকরণ খুঁজুন।

সমাধান বৃত্তের সমীকরণটি $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ হতে পারে।

যদিও বৃত্ত বিন্দুগুলি $(2,-2)$ এবং $(3,4)$ উপর অবস্থিত, তবে আমরা পাই

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

এবং $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

আবার, কেন্দ্র রেখা $x+y=2$ উপর অবস্থিত, তাই আমরা পাই

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

সমীকরণ (1), (2) এবং (3) সমাধান করে, আমরা পাই

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ এবং } r^{2}=12.58 $

অতএব, প্রয়োজনীয় বৃত্তের সমীকরণটি হল

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

10.4 প্যারাবলা

সংজ্ঞা 2 একটি প্যারাবলা হল এমন সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি যা একটি স্থূলতলে থাকে এবং একটি স্থির রেখা এবং সেই রেখা ছাড়া স্থূলতলে একটি স্থির বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত।

স্থির রেখাটি প্যারাবলার সরাসরিক হিসেবে ডাকা হয় এবং স্থির বিন্দু $F$ হল ফোকাস হিসেবে ডাকা হয় (আকৃতি 10.13)। (‘Para’ অর্থ ‘প্রসারিত’ এবং ‘bola’ অর্থ ‘ছুঁয়া’, অর্থাৎ, আপনি যখন একটি বল বায়ুমধ্যে ছুঁয়েন তখন তৈরি হওয়া আকৃতি)।

আকৃতি 10.13

দ্রষ্টব্য - যদি স্থির বিন্দু স্থির রেখার উপর অবস্থিত হয়, তবে স্থূলতলের যে বিন্দুগুলি স্থির বিন্দু এবং স্থির রেখা�