গণিত হলো সব বিজ্ঞানের রাজা এবং কাজীবানী দুটি অংশ - ই.টি. বেল

11.1 ভূমিকা

আপনি ভুলে যাইনি যে একটি পয়েন্টকে একটি প্লেনে অবস্থান নির্ধারণ করতে আমাদের প্লেনে দুটি পয়েন্টার মধ্যে পারস্পরিক লম্ব এবং পাশাপাশি একটি করে লাইন প্রয়োজন। এই লাইনগুলিকে কোয়ার্ডিনেট এক্সেস বলা হয় এবং দুটি সংখ্যাগুলিকে এই এক্সেস অনুযায়ী পয়েন্টের কোয়ার্ডিনেট বলা হয়। বাস্তব জীবনে আমাদের শুধু প্লেনে অবস্থিত পয়েন্টগুলি নিয়ে কাজ করতে হয় না। উদাহরণস্বরূপ, একটি বল জায়গার বাইরে ছুঁয়া হলে এর অবস্থান বিভিন্ন সময়ে পরিবর্তিত হয় বা একটি বিমান এক জায়গা থেকে অন্য জায়গায় উড়তে থাকাকালীন বিভিন্ন সময়ে এর অবস্থান পরিবর্তিত হয়।

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_leonhard.png"">

একইভাবে, যদি আমরা একটি ঘরের ছাদ থেকে নিচে নামছে একটি ইলেক্ট্রিক ব্যাল্বের সর্বনিম্ন পিনের অবস্থান বা ঘরের ছাদ ফ্যানের কেন্দ্রীয় পিনের অবস্থান নির্ধারণ করতে চাই, তাহলে আমাদের ঘরের দুটি পারস্পরিক দেয়াল থেকে পয়েন্টটির লম্ব দূরত্ব নির্ধারণ করার পাশাপাশি ফ্লোর থেকে পয়েন্টটির উচ্চতার দূরত্বও প্রয়োজন। তাই আমাদের ঘরের ফ্লোর এবং দুটি পারস্পরিক দেয়াল নিয়ে গঠিত তিনটি পারস্পরিক প্লেন থেকে পয়েন্টটির লম্ব দূরত্ব নির্ধারণ করার তিনটি সংখ্যা প্রয়োজন। এই তিনটি দূরত্ব নির্দেশক তিনটি কোয়ার্ডিনেট প্লেন অনুযায়ী পয়েন্টের কোয়ার্ডিনেট বলা হয়। তাই একটি পয়েন্ট তিন আয়তনীয় জ্যামিতিতে তিনটি কোয়ার্ডিনেট প্রয়োজন। এই চ্যাপ্টারে আমরা তিন আয়তনীয় জ্যামিতির মৌলিক ধারণাগুলি নিয়ে আলোচনা করব।

11.2 তিন আয়তনীয় জ্যামিতিতে কোয়ার্ডিনেট এক্সেস এবং কোয়ার্ডিনেট প্লেন

একটি পয়েন্টে যেখানে তিনটি প্লেন একসাথে ছড়িয়ে থাকে যা পারস্পরিক হয় (আকৃতি 11.1)। এই তিনটি প্লেন লাইন $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ এবং $Z^{\prime} OZ$-এ ছড়িয়ে থাকে, যাকে ক্রমান্বয়ে $x, y$ এবং $z$-এক্সেস বলা হয়। এই লাইনগুলি পারস্পরিক হয়। এই লাইনগুলি একটি লম্ব কোয়ার্ডিনেট সিস্টেম গঠন করে। প্লেন XOY, YOZ এবং ZOX, যাকে ক্রমান্বয়ে XY-প্লেন, YZ-প্লেন এবং ZX-প্লেন বলা হয়, তিনটি কোয়ার্ডিনেট প্লেন বলা হয়। আমরা XOY প্লেনকে কাগজের প্লেন হিসেবে নিয়ে আসি এবং

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_fig_11_1.png"">

আকৃতি 11.1 লাইন $Z^{\prime} OZ$ কাগজের প্লেন $XOY$ থেকে লম্ব হিসেবে নেওয়া হয়। যদি কাগজের প্লেনকে অনুভূমিক হিসেবে ধরা হয়, তাহলে লাইন $Z^{\prime} OZ$ উল্লম্ব হবে। XY-প্লেন থেকে $OZ$ দিকে উপরের দিকে মাপা দূরত্বগুলি ধনাত্মক হিসেবে নেওয়া হয় এবং $OZ^{\prime}$ দিকে নিচের দিকে মাপা দূরত্বগুলি ঋণাত্মক হিসেবে নেওয়া হয়। একইভাবে, $ZX$-প্লেনের ডান দিকে $OY$ দিকে মাপা দূরত্বগুলি ধনাত্মক হিসেবে নেওয়া হয়, ZX-প্লেনের বাম দিকে এবং $O Y^{\prime}$ দিকে ঋণাত্মক হিসেবে নেওয়া হয়, YZ-প্লেনের সামনে $O X$ দিকে মাপা দূরত্বগুলি ধনাত্মক হিসেবে নেওয়া হয় এবং এর পিছনে $OX^{\prime}$ দিকে ঋণাত্মক হিসেবে নেওয়া হয়। পয়েন্ট $O$ কোয়ার্ডিনেট সিস্টেমের উৎপত্তি বিন্দু বলা হয়। তিনটি কোয়ার্ডিনেট প্লেন জ্যামিতিক জায়গাটি আটটি অংশে বিভক্ত করে যাকে অক্ট্যান্ট বলা হয়। এই অক্ট্যান্টগুলিকে $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ এবং $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ হিসেবে নামকরণ করা হয় এবং I, II, III, …, VIII হিসেবে চিহ্নিত করা হয়।

11.3 জ্যামিতিক জায়গায় একটি পয়েন্টের কোয়ার্ডিনেট

জ্যামিতিক জায়গায় একটি নির্দিষ্ট কোয়ার্ডিনেট সিস্টেম নির্বাচন করা হয়, যাতে কোয়ার্ডিনেট এক্সেস, কোয়ার্ডিনেট প্লেন এবং উৎপত্তি বিন্দু অন্তর্ভুক্ত থাকে, এখন আমরা ব্যাখ্যা করব যে কোনো জ্যামিতিক জায়গায় একটি পয়েন্ট দেওয়া হলে তার সাথে তিনটি কোয়ার্ডিনেট $(x, y, z)$ যুক্ত করা হয় এবং বিপরীতভাবে, তিনটি সংখ্যার একটি ত্রিত্বক $(x, y, z)$ দেওয়া হলে জ্যামিতিক জায়গায় কোনো পয়েন্টটি নির্ধারণ করা হয়।

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_fig_11_2.png"">

আকৃতি 11.2

জ্যামিতিক জায়গায় একটি পয়েন্ট $P$ দেওয়া হলে, আমরা এই পয়েন্ট থেকে XY-প্লেনের উপরে একটি $\mathbf{X}$ লম্ব পয়েন্টটির উপরে নামাই দেই যার পাদ বিন্দু M (আকৃতি 11.2)। তারপর পয়েন্ট M থেকে $x$-এক্সেসের উপরে একটি লম্ব ML খুলি দেই যা এই এক্সেসের সাথে লম্ব হিসেবে মিলে যায় বিন্দু L-এ। OL হলো $x, LM$ এবং $y$ হলো $z$। তাহলে $x, y$ এবং $z$ হলো ক্রমান্বয়ে পয়েন্ট $P$ জ্যামিতিক জায়গায় $x, y$ এবং $z$ কোয়ার্ডিনেট। আকৃতি 11.2-এ দেখা যায় যে পয়েন্ট $P(x, y, z)$ অক্ট্যান্ট XOYZ-এ অবস্থিত এবং তাই $x, y$ এবং $z$ উভয়ই ধনাত্মক। যদি $P$ অন্য কোনো অক্ট্যান্টে থাকতো, তাহলে $x, y$ এবং $z$ এর চিহ্ন সংশোধিত হতো। এভাবে জ্যামিতিক জায়গায় প্রতিটি পয়েন্টের সাথে একটি ক্রমিক ত্রিত্বক $(x, y, z)$ বাস্তব সংখ্যার যুক্ত হয়।

বিপরীতভাবে, যদি কোনো ত্রিত্বক $(x, y, z)$ দেওয়া হয়, তাহলে আমরা প্রথমে $x$-এক্সেসে পয়েন্ট $L$ নির্ধারণ করি যার $x$ এর সাথে সংশ্লিষ্ট হয়। তারপর আমরা XY-প্লেনে পয়েন্ট $M$ নির্ধারণ করি যার $(x, y)$ হলো পয়েন্ট M এর XY-প্লেনের কোয়ার্ডিনেট। লক্ষ্য করুন যে LM $x$-এক্সেসের উপরে লম্ব হয় বা $y$-এক্সেসের সাথে সমান্তরাল থাকে। পয়েন্ট M-এ পৌঁছানোর পর, আমরা XY-প্লেনের উপরে একটি লম্ব MP খুলি দেই এবং এতে $z$ এর সাথে সংশ্লিষ্ট পয়েন্ট $P$ নির্ধারণ করি। এভাবে পাওয়া যায় পয়েন্ট $P$ যার কোয়ার্ডিনেট $(x, y, z)$। এভাবে জ্যামিতিক জায়গায় পয়েন্টগুলি এবং বাস্তব সংখ্যার ত্রিত্বক $(x, y, z)$ এর মধ্যে এক-এক সংশ্লিষ্টতা থাকে।

বিকল্পভাবে, জ্যামিতিক জায়গায় একটি পয়েন্ট $P$ থেকে আমরা তিনটি প্লেন খুলি দেই যা কোয়ার্ডিনেট প্লেনের সাথে সমান্তরাল হয়, এবং এই প্লেনগুলি $x$-এক্সেস, $y$-এক্সেস এবং $z$-এক্সেসের সাথে ক্রমান্বয়ে বিন্দু $A, B$ এবং $C$-এ ছড়িয়ে থাকে (আকৃতি 11.3)। $OA=x, OB=y$ এবং $OC=z$ হলো $P$ পয়েন্টের কোয়ার্ডিনেট $x, y$ এবং $z$ এবং আমরা $P(x, y, z)$ লিখি। বিপরীতভাবে, $x, y$ এবং $z$ দেওয়া হলে আমরা তিনটি কোয়ার্ডিনেট এক্সেসে পয়েন্ট $A, B$ এবং $C$ নির্ধারণ করি। পয়েন্ট $A, B$ এবং $C$ থেকে আমরা প্লেন খুলি দেই যা YZ-প্লেন, ZX-প্লেন এবং XY-প্লেনের সাথে সমান্তরাল হয়,

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_fig_11_3.png"">

আকৃতি 11.3

ক্রমান্বয়ে। এই তিনটি প্লেনের মধ্যে যে বিন্দু ছড়িয়ে থাকে, তা হলো অবশ্যই পয়েন্ট $P$, যা ক্রমিক ত্রিত্বক $(x, y, z)$ এর সাথে সংশ্লিষ্ট। আমরা দেখতে পাই যে $P(x, y, z)$ যেকোনো জ্যামিতিক জায়গায় থাকলে, $x, y$ এবং $z$ হলো YZ, ZX এবং XY-প্লেন থেকে লম্ব দূরত্ব।

নোট - উৎপত্তি বিন্দু $O$ এর কোয়ার্ডিনেট $(0,0,0)$। $x$-এক্সেসে যেকোনো পয়েন্টের কোয়ার্ডিনেট $(x, 0,0)$ হবে এবং YZ-প্লেনে যেকোনো পয়েন্টের কোয়ার্ডিনেট $(0, y, z)$ হবে।

মন্তব্য একটি পয়েন্টের কোয়ার্ডিনেটের চিহ্ন দেখে পয়েন্টটি কোন অক্ট্যান্টে অবস্থিত তা নির্ধারণ করা যায়। নিম্নলিখিত টেবিল আটটি অক্ট্যান্টে কোয়ার্ডিনেটের চিহ্ন দেখায়।

টেবিল 11.1

উদাহরণ 1 আকৃতি 11.3-এ, $P$ হলো $(2,4,5)$, $F$ এর কোয়ার্ডিনেট নির্ণয় করুন।

সমাধান পয়েন্ট $F$ এর জন্য OY এক্সেসে মাপা দূরত্ব শূন্য। তাই $F$ এর কোয়ার্ডিনেট $(2,0,5)$।

উদাহরণ 2 পয়েন্ট $(-3,1,2)$ এবং $(-3,1,-2)$ কোন অক্ট্যান্টে অবস্থিত?

সমাধান টেবিল 11.1 থেকে দেখা যায় যে পয়েন্ট $(-3,1,2)$ দ্বিতীয় অক্ট্যান্টে এবং পয়েন্ট $(-3,1,-2)$ অক্ট্যান্ট VI-এ অবস্থিত।

11.4 দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব

আমরা দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করার বিষয়টি দ্বিআয়তনীয় কোয়ার্ডিনেট সিস্টেমে নিয়ে আলোচনা করেছি। এখন আমরা এই আলোচনাটি তিন আয়তনীয় সিস্টেমে বিস্তারিত করে দেখব।

$P(x_1, y_1, z_1)$ এবং $Q(x_2, y_2, z_2)$ হলো দুটি পয়েন্ট যা একটি লম্ব কোয়ার্ডিনেট এক্সেস $OX, OY$ এবং $OZ$ অনুযায়ী নির্দেশিত হয়। পয়েন্ট $P$ এবং $Q$ থেকে কোয়ার্ডিনেট প্লেনের সাথে সমান্তরাল প্লেন খুলি দেওয়া হয় যাতে একটি লম্ব প্যারালেলেপিপেড গঠিত হয় যার একটি ডায়াগনাল PQ (আকৃতি 11.4)।

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_fig_11_4.png"">

আকৃতি 11.4

এখন $\angle PAQ$ হলো একটি লম্ব $\quad \mathbf{X}$ কোণ, তাই ত্রিকোণ PAQ-এ,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

এছাড়াও, ত্রিকোণ ANQ হলো একটি লম্ব কোণ ত্রিকোণ $\angle ANQ$ হলো একটি লম্ব কোণ।

তাই $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) এবং (2) থেকে আমরা পাই

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

এখন $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ এবং $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

তাই $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

তাই $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

এভাবে আমরা দুটি পয়েন্ট $(x_1, y_1, z_1)$ এবং $(x_2, y_2, z_2)$ এর মধ্যে দূরত্ব পাই।

বিশেষত, $x_1=y_1=z_1=0$, অর্থাৎ পয়েন্ট $P$ হলো উৎপত্তি $O$, তাহলে $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, যা উৎপত্তি $O$ এবং যেকোনো পয়েন্ট $Q(x_2, y_2, z_2)$ এর মধ্যে দূরত্ব দেখায়।

উদাহরণ 3 পয়েন্ট $P(1,-3,4)$ এবং $Q(-4,1,2)$ এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করুন।

সমাধান পয়েন্ট $P(1,-3,4)$ এবং $Q(-4,1,2)$ এর মধ্যে দূরত্ব PQ হলো

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ ইউনিট } \end{aligned} $

উদাহরণ 4 পয়েন্ট $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ এবং $R(7,0,-1)$ সমলিপ্রস্থ কি না তা দেখান।

সমাধান আমরা জানি যে পয়েন্টগুলি সমলিপ্রস্থ বলা হয় যদি এগুলি একটি লাইনে অবস্থিত হয়।

এখন,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

এবং

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

এভাবে, $PQ+QR=PR$। তাই, $P, Q$ এবং $R$ সমলিপ্রস্থ।

উদাহরণ 5 ত্রিকোণের তিনটি শীর্ষবিন্দু A $(3,6,9), B(10,20,30)$ এবং C $(25,-41,5)$ হলে এটি একটি লম্ব কোণ ত্রিকোণ কি না?

সমাধান দূরত্ব সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

আমরা দেখতে পাই $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$।

তাই, ত্রিকোণ $ABC$ একটি লম্ব কোণ ত্রিকোণ নয়।

উদাহরণ 6 পয়েন্ট $P$ এর সেটের সমীকরণ নির্ণয় করুন যার $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, $A$ এবং $B$ হলো পয়েন্ট $(3,4,5)$ এবং $(-1,3,-7)$।

সমাধান $P$ পয়েন্টের কোয়ার্ডিনেট $(x, y, z)$ হবে।

এখানে

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

প্রদত্ত শর্ত $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ অনুযায়ী, আমরা পাই

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ অর্থাৎ, } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

বিভিন্ন উদাহরণ

উদাহরণ 7 পয়েন্ট A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) এবং $D(4,7,6)$ হলে এটি একটি প্যারালেলগ্রাম $ABCD$ এর শীর্ষবিন্দু কি না তা দেখান, কিন্তু এটি একটি আয়তক্ষেত্র নয়।

সমাধান যেন ABCD একটি প্যারালেলগ্রাম হয়, তার জন্য আমাদের দুটি বিপরীত পাশের দূরত্ব সমান হতে হবে দেখতে হবে। দেখা যায়

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

কারণ $A B=C D$ এবং $B C=A D, A B C D$ তাই এটি একটি প্যারালেলগ্রাম।

এখন, $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র নয় তা প্রমাণ করতে হবে। এর জন্য আমরা দেখব যে ত্রিবাহ $AC$ এবং $BD$ সমান নয়। আমরা পাই

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

কারণ $A C \neq B D, A B C D$ তাই এটি একটি আয়তক্ষেত্র নয়।

নোট - আমরা প্যারালেলগ্রাম $ABCD$ হিসেবে দেখাতে পারি, যেখানে ত্রিবাহ $AC$ এবং $BD$ এর মাঝখানে অর্ধেক হয়ে থাকে।

উদাহরণ 8 পয়েন্ট $P$ এর সেটের সমীকরণ নির্ণয় করুন যার দূরত্ব পয়েন্ট $A(3,4,-5)$ এবং $B(-2,1,4)$ থেকে সমান।

সমাধান $P(x, y, z)$ হলো যেকোনো পয়েন্ট যার $PA=PB$।

এখন $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

অথবা $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

অথবা $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$।

উদাহরণ 9 একটি ত্রিকোণ $ABC$ এর কেন্দ্রবিন্দু পয়েন্ট $(1,1,1)$-এ অবস্থিত। $A$ এবং $B$ এর কোয়ার্ডিনেট ক্রমান্বয়ে $(3,-5,7)$ এবং $(-1,7,-6)$, $C$ এর কোয়ার্ডিনেট নির্ণয় করুন।

সমাধান $C$ এর কোয়ার্ডিনেট $(x, y, z)$ হবে এবং কেন্দ্রবিন্দু $G$ এর কোয়ার্ডিনেট $(1,1,1)$ হবে। তাহলে

তাই $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$, অথবা $x=1$
$ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { অথবা } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { অথবা } z=2 . \end{array} $

তাই, $C$ এর কোয়ার্ডিনেট $(1,1,2)$।

সারাংশ

তিন আয়তনীয় জ্যামিতিতে, একটি লম্ব কার্টিজিয়ান কোয়ার্ডিনেট সিস্টেমের কোয়ার্ডিনেট এক্সেস হলো তিনটি পারস্পরিক লাইন। এই এক্সেসগুলিকে ক্রমান্বয়ে $x$, $y$ এবং $z$-এক্সেস বলা হয়।

এক্সেসের দুটি জোড়া দ্বারা নির্ধারিত তিনটি প্লেন হলো কোয়ার্ডিনেট প্লেন, যাকে XY, YZ এবং ZX-প্লেন বলা হয়।

তিনটি কোয়ার্ডিনেট প্লেন জ্যামিতিক জায়গাটি আটটি অংশে বিভক্ত করে যাকে অক্ট্যান্ট বলা হয়। তিন আয়তনীয় জ্যামিতিতে একটি পয়েন্ট $P$ এর কোয়ার্ডিনেট সর্বদা $(x, y, z)$ এর মতো একটি ত্রিত্বকে লিখা হয়। এখানে $x, y$ এবং $z$ হলো YZ, ZX এবং XY-প্লেন থেকে লম্ব দূরত্ব।

(i) $x$-এক্সেসে যেকোনো পয়েন্ট $(x, 0,0)$ এর ধারণায় হবে

(ii) $y$-এক্সেসে যেকোনো পয়েন্ট $(0, y, 0)$ এর ধারণায় হবে

(iii) $z$-এক্সেসে যেকোনো পয়েন্ট $(0,0, z)$ এর ধারণায় হবে।

দুটি পয়েন্ট $P(x_1, y_1, z_1)$ এবং $Q(x_2, y_2, z_2)$ এর মধ্যে দূরত্ব দেওয়া হলো

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ঐতিহাসিক নোট

রেনে ডেকার্টেস (1596-1650), বিশেষত 1637 সালে একক জ্যামিতি নিয়ে আলোচনা করেন। একইভাবে এর সহ-সৃষ্টিকারী পিয়ের ফার্মাত (1601-1665) এবং লা হাইর (1640-1718) এর কাজেও একই বিষয়। তাদের কাজে তিন আয়তনীয় কোয়ার্ডিনেট জ্যামিতির প্রস্তাব পাওয়া যায় কিন্তু কোনো বিস্তারিত বিবরণ নেই। ডেকার্টেস তিন আয়তনীয় জ্যামিতিতে কোয়ার্ডিনেটের ধারণা পেয়েছিলেন কিন্তু এটি বিকাশ দিয়েছিলেন না। জ.বার্নুলি (1667-1748) 1715 সালে লিবনিজের কাছে একটি চিঠিতে আজ আমরা ব্যবহার করি এমন তিনটি কোয়ার্ডিনেট প্লেন প্রবর্তন করেছিলেন। অ্যান্টোয়ন প্যারেন্ট (1666-1716) ছিলেন যিনি 1700 সালে ফরাসি অ্যাকাডেমিতে উপস্থাপন করেন একটি পেপারে প্রথম বার বিশ্লেষণী দুর্বল জ্যামিতির সিস্টেমটি বিকাশ দিয়েছিলেন।

ল.ইউলার (1707-1783) 1748 সালে তার “জ্যামিতির ভূমিকা” এর দ্বিতীয় ভার্সনের অ্যাপেন্ডিক্সের চ্যাপ্টার 5-এ তিন আয়তনীয় কোয়ার্ডিনেট জ্যামিতি নিয়ে সিস্টেমটি বিকাশ দিয়েছিলেন।

জ্যামিতিক জায়গা তিনটির বেশি আয়তনে বিস্তার করা হয়েছে মধ্যযুগের মাঝামাঝি সময়ে, যার বিখ্যাত প্রয়োজন হলো আইনসাইন থিওরি অব রিলাটিভিটির স্পেস-টাইম কন্টিনিয়ামে।