গণিতের এই গবেষণায় গণিতের ক্যালকুলাস হলো একটি চাবি - ওয়াইটহেড

12.1 ভূমিকা

এই অধ্যায়টি ক্যালকুলাসের ভূমিকা। ক্যালকুলাস হলো গণিতের একটি শাখা যা প্রাথমিকভাবে ফাংশনের মানের পরিবর্তন নিয়ে যাত্রা করে যখন ডোমেইনের পয়েন্টগুলি পরিবর্তিত হয়। প্রথমে, আমরা স্পষ্টতা (স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত না করে) স্পষ্টতার একটি ভৌত ধারণা দেই। এরপর আমরা সীমার একটি সহজ সংজ্ঞা দেই এবং সীমার কিছু বৈজ্ঞানিক গণনা নিয়ে যাত্রা করি। এরপর আমরা স্পষ্টতার সংজ্ঞা ফিরে আসি এবং স্পষ্টতার কিছু বৈজ্ঞানিক গণনা নিয়ে যাত্রা করি। আমরা কিছু স্ট্যান্ডার্ড ফাংশনের স্পষ্টতা পাই।

সার আইজ্যাক নিউটন (১৬৪২-১৭২৭ খ্রিষ্টাব্দ)

12.2 স্পষ্টতার ভৌত ধারণা

ভৌত পরীক্ষাগুলি নিশ্চিত করেছে যে একটি উচ্চ পাহাড় থেকে পতিত শরীর দূরত্ব বিলুপ্ত করে যেমন $4.9 t^{2}$ মিটার দূরত্ব বিলুপ্ত করে $t$ সেকেন্ডে, অর্থাৎ শরীর দ্বারা বিলুপ্ত করা দূরত্ব $s$ মিটারে সময় $t$ সেকেন্ডে প্রদত্ত হয় $s=4.9 t^{2}$।

এই তথ্য থেকে $t=2$ সেকেন্ডে শরীরের গতি নির্ণয় করার উদ্দেশ্যে প্রযোজ্য। এই সমস্যার একটি পদ্ধতি হলো বিভিন্ন সময়ের বিন্দুতে $t=2$ সেকেন্ডে শেষ হওয়া বিভিন্ন সময়ের বিন্দুতে গড় গতি নির্ণয় করা এবং আশা করা যে এগুলি $t=2$ সেকেন্ডে গতি সম্পর্কে কিছু আলোচনা করবে।

$t=t_1$ এবং $t=t_2$ এর মধ্যে গড় গতি দূরত্ব বিলুপ্ত করে যেমন $t=t_l$ এবং $t=t_2$ সেকেন্ডে বিলুপ্ত করে দেওয়া হয়েছে এবং $(t_2-t_1)$ দ্বারা ভাগ করা হয়েছে। তাই প্রথম দুটি সেকেন্ডের গড় গতি

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

একইভাবে, $t=1$ এবং $t=2$ এর মধ্যে গড় গতি

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

এখানেও আমরা বিভিন্ন $t_1$ এর জন্য $t=t_1$ এবং $t=2$ এর মধ্যে গড় গতি গণনা করি। নিম্নলিখিত টেবিল ১৩.২ দেখায় $(v), t=t_1$ সেকেন্ড এবং $t=2$ সেকেন্ডে গড় গতি।

টেবিল ১২.১

টেবিল ১২.২

টেবিল ১২.২ থেকে আমরা দেখতে পাই যে গড় গতি ধীরে ধীরে বাড়ছে। আমরা $t=2$ সেকেন্ডে শেষ হওয়া সময়ের বিন্দুতে আরও ছোট সময়ের বিন্দুতে করলে আমরা $t=2$ সেকেন্ডে গতি সম্পর্কে আরও ভালো ধারণা পাব। ১.৯৯ সেকেন্ড এবং ২ সেকেন্ডের মধ্যে কিছু কঠোর ঘটনা হবে না এমন আশা করে, আমরা উপস্থাপনা করি যে $t=2$ সেকেন্ডে গড় গতি শুধুমাত্র $19.551 m / s$ এর উপরে।

নিম্নলিখিত গণনার পরিবেশন এই উপস্থাপনাটি কিছুটা দৃঢ় করেছে। $t=2$ সেকেন্ডে শুরু হওয়া বিভিন্ন সময়ের বিন্দুতে গড় গতি নির্ণয় করুন। আগেরভাবে $v$ সেকেন্ড এবং $t=2$ সেকেন্ডের মধ্যে $t=t_2$ সেকেন্ডের মধ্যে গড় গতি

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } 2 \text{ seconds and } t_2 \text{ seconds }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ Distance travelled in } t_2 \text{ seconds }- \text{ Distance travelled in } 2 \text{ seconds }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ Distance travelled in } t_2 \text{ seconds }-19.6}{t_2-2} $

নিম্নলিখিত টেবিল ১২.৩ দেখায় $v$ মিটার প্রতি সেকেন্ডে $t=2$ সেকেন্ড এবং $t_2$ সেকেন্ডের মধ্যে গড় গতি।

টেবিল ১২.৩

এখানেও আমরা দেখতে পাই যে আমরা $t=2$ সেকেন্ডে শুরু হওয়া ছোট সময়ের বিন্দুতে করলে আমরা $t=2$ সেকেন্ডে আরও ভালো ধারণা পাব।

প্রথম গণনার কাজে যা আমরা করেছি তা হলো বাড়তি সময়ের বিন্দুতে শেষ হওয়া $t=2$ এবং তারপর শুধুমাত্র $t=2$ এর আগে কোনো কঠোর ঘটনা হবে না এমন আশা করে গড় গতি নির্ণয় করা। দ্বিতীয় গণনার কাজে আমরা সময়ের বিন্দুতে হ্রাস করছি এবং তারপর শুধুমাত্র $t=2$ এর পরে কোনো কঠোর ঘটনা হবে না এমন আশা করে গড় গতি নির্ণয় করেছি। শুধুমাত্র ভৌত ভিত্তিতে, উভয় গণনার গড় গতির শ্রেণি একই সীমার দিকে প্রবেশ করেছে। আমরা নির্ভরযোগ্যভাবে উপস্থাপনা করি যে $t=2$ এ শরীরের গতি $19.551 m / s$ এবং $19.649 m / s$ এর মধ্যে। প্রযুক্তিগতভাবে, আমরা বলি যে $t=2$ এ তৎক্ষণাবেক্ষণ গতি $19.551 m / s$ এবং $19.649 m / s$ এর মধ্যে। যেহেতু জ্ঞাত, গতি হলো স্থানান্তরের হার। তাই যা আমরা করেছি তা হলো নিম্নলিখিত। বিভিন্ন সময়ের বিন্দুতে বিলুপ্ত করা দূরত্বের তথ্য থেকে আমরা একটি নির্দিষ্ট সময়ের বিন্দুতে দূরত্বের হার নির্ণয় করেছি। আমরা বলি যে দূরত্ব ফাংশন $s=4.9 t^{2}$ এ $t=2$ এর স্পষ্টতা $s$ এবং $t$ এর মধ্যে।

এই সীমাবদ্ধতার প্রক্রিয়াটির একটি বিকল্প দৃশ্য হলো আলোচনার আগের আলোচনায় দেখানো ফিগ ১২.১। এটি হলো শরীরের দূরত্ব $s$ পাহাড়ের উপর থেকে সময় $t$ বিলুপ্ত করে একটি প্লট। সীমার দিকে যেতে যে সময়ের বিন্দুতে $h_1, h_2, \ldots$, সীমার দিকে যেতে যে গড় গতির শ্রেণি একই সীমার দিকে প্রবেশ করে যেমন সীমার দিকে যেতে যে অনুপাত

ফিগ ১২.১

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

যেখানে $C_1 B_1=s_1-s_0$ হলো শরীর দ্বারা বিলুপ্ত করা দূরত্ব সময়ের বিন্দুতে $h_1=AC_1$, ইত্যাদি। ফিগ ১২.১ থেকে এই শেষ অনুপাতের শ্রেণি কার্ভের বিন্দুতে স্পষ্টতার স্পর্শকের স্লপের দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে এমন একটি সীমার দিকে প্রবেশ করে