যেখানে গণিতীয় যুক্তি পাওয়া যায়, তাতে অন্য কোনো উপায় ব্যবহার করা হলে তা একই ভাবে অনেক বৃথান্ত হয়, যেখানে আপনার হাতে চামচ আছে কিন্তু কোনো আলো ছাড়া কিছু খুঁজছেন। - জন আর্বাথনট

14.1 ঘটনা

আমরা একটি প্রয়োগের সাথে সম্পর্কিত একটি একক অঙ্কন এবং পর্যায়ের সম্পর্কে জেনে ফেলেছি। পর্যায়ের সাথে সম্পর্কিত প্রয়োগের সমস্ত প্রশ্নের জন্য পর্যায়ের সাপেক্ষে একটি বৈশ্বিক সেট হিসাবে কাজ করে।

একটি চুম্বক দুবার ফেলার প্রয়োগ বিবেচনা করুন। এর সাথে সম্পর্কিত একটি পর্যায় $S=\{HH, HT, TH, TT\}$।

এখন ধরুন আমরা শুধুমাত্র একটি মুঠো ঘটনার ঘটনার সম্পর্কে আগ্রহী। আমরা দেখতে পাই $HT$ এবং $TH$ এই ঘটনার ঘটনার সাথে সম্পর্কিত পর্যায়ের $S$ এর মধ্যে একমাত্র উপাদান। এই দুটি উপাদান সেট $E=\{HT, TH\}$ গঠন করে।

আমরা জানি যে সেট $E$ পর্যায়ের $S$ এর একটি উপসেট। একই ভাবে, আমরা পর্যায় এবং সেট S এর উপসেটের মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্ক খুঁজে পাই।

উপরের আলোচনা বলে দেয় যে পর্যায়ের একটি উপসেট একটি ঘটনার সাথে সম্পর্কিত এবং একটি ঘটনা পর্যায়ের একটি উপসেটের সাথে সম্পর্কিত। এই প্রসঙ্গে আমরা একটি ঘটনা নিম্নরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করি।

সংজ্ঞা পর্যায়ের $S$ এর যেকোনো উপসেট $E$ একটি ঘটনা বলে থাকে।

14.1.1 একটি ঘটনার ঘটনা

একটি ডায়ে ফেলার প্রয়োগ বিবেচনা করুন। $E$ ঘটনার প্রতিনিধিত্ব করে “ডায়েতে 4 এর কম একটি সংখ্যা আসে”। যদি সত্যিই ‘1’ ডায়েতে আসে তাহলে আমরা বলি ঘটনা $E$ ঘটেছে। বাস্তবে যদি ফলাফল 2 বা 3 হয়, তাহলে আমরা বলি ঘটনা $E$ ঘটেছে।

অতএব, একটি পর্যায়ের $S$ ঘটনা $E$ ঘটেছে বলে বলা হয় যদি প্রয়োগের $\omega$ ফলাফল হয় যাতে $\omega \in E$। যদি ফলাফল $\omega$ হয় যাতে $\omega \notin E$, তাহলে আমরা বলি ঘটনা $E$ ঘটেনি।

14.1.2 ঘটনার ধরন

ঘটনাগুলি তাদের উপাদানগুলির ভিত্তিতে বিভিন্ন ধরনে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে।

1. অসম্ভব এবং নিশ্চিত ঘটনা খালি সেট $\phi$ এবং পর্যায় $S$ ঘটনা বর্ণনা করে। বাস্তবে $\phi$ একটি অসম্ভব ঘটনা বলে থাকে এবং S, অর্থাৎ সম্পূর্ণ পর্যায় নিশ্চিত ঘটনা বলে থাকে।

এগুলি বোঝার জন্য আমরা একটি ডায়ে ফেলার প্রয়োগ বিবেচনা করি। সাথে সম্পর্কিত পর্যায় হল $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

$E$ ঘটনা বিবেচনা করুন “ডায়েতে আসা সংখ্যা 7 এর গুণফল”। আপনি কি ঘটনার $E$ সাথে সম্পর্কিত উপসেট লিখতে পারেন?

স্পষ্টভাবে কোনো ফলাফল ঘটনার প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে না, অর্থাৎ পর্যায়ের কোনো উপাদান ঘটনা $E$ ঘটতে সাহায্য করে না। অতএব, আমরা বলি যে খালি সেটই ঘটনা $E$ এর সাথে সম্পর্কিত। অন্যভাবে বলা যায় যে ডায়ের উপরের মুখে 7 এর গুণফল থাকা অসম্ভব। অতএব, ঘটনা $E=\phi$ একটি অসম্ভব ঘটনা।

এখন আমরা অন্য একটি ঘটনা $F$ বিবেচনা করি “আসা সংখ্যা বিষম বা অবিষম”। স্পষ্টভাবে $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, অর্থাৎ প্রয়োগের সমস্ত ফলাফল ঘটনা $F$ ঘটতে সাহায্য করে। অতএব, ঘটনা $F=S$ একটি নিশ্চিত ঘটনা।

2. সিম্পল ঘটনা যদি একটি ঘটনা $E$ একটি পর্যায়ের শুধুমাত্র একটি পর্যায়ের বিন্দু থাকে, তাহলে এটি একটি সিম্পল (বা মূল) ঘটনা বলে থাকে। একটি পর্যায়ে $n$ বিভিন্ন উপাদান থাকলে, তাতে সম্পূর্ণ $n$ সিম্পল ঘটনা থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, দুটি চুম্বক ফেলার প্রয়োগে, একটি পর্যায় হল

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

এই পর্যায়ের সাথে সম্পর্কিত চারটি সিম্পল ঘটনা আছে। এগুলি হল

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

3. কম্পাউন্ড ঘটনা যদি একটি ঘটনা একাধিক পর্যায়ের বিন্দু থাকে, তাহলে এটি একটি কম্পাউন্ড ঘটনা বলে থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, “একটি চুম্বক তিনবার ফেলার” প্রয়োগে ঘটনা

E: ‘শুধুমাত্র একটি মুঠো আসে’

F: ‘কমপক্ষে একটি মুঠো আসে’

G: ‘সর্বাধিক একটি মুঠো আসে’ ইত্যাদি

সবগুলি কম্পাউন্ড ঘটনা। এই ঘটনাগুলির সাথে সম্পর্কিত $S$ এর উপসেটগুলি হল

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

উপরের প্রতিটি উপসেটে একাধিক পর্যায়ের বিন্দু থাকে, অতএব এগুলি সব কম্পাউন্ড ঘটনা।

14.1.3 ঘটনার বীজগণিত

সেটগুলি সম্পর্কে চ্যাপ্টারে, আমরা দুটি বা ততোধিক সেটগুলি কীভাবে যুক্ত করা হয় তা নিয়ে আলোচনা করেছি, যেমন, সেটের সমাপ্তি, সেটের পরিবর্তন, সেটের পূর্ণাঙ্গতা, সেটের পূর্ণাঙ্গতা ইত্যাদি। এখানে একই ভাবে আমরা সেটের সঙ্গে সমতুল্য সঙ্গে দুটি বা ততোধিক ঘটনা যুক্ত করতে পারি।

ধরুন A, B, C একটি প্রয়োগের সাথে সম্পর্কিত ঘটনা এবং তাদের পর্যায় হল S।

1. পূর্ণাঙ্গ ঘটনা প্রতিটি ঘটনা A এর সাথে অন্যটি ঘটনা $A^{\prime}$ হিসাবে ঘটনা ‘নট A’ বলে থাকে যা $A$ এর পূর্ণাঙ্গ ঘটনা বলে থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, তিনটি চুম্বক ফেলার ‘প্রয়োগ’ নিন। এর সাথে সম্পর্কিত একটি পর্যায় হল $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

$A=\{HTH, HHT, THH\}$ ঘটনা বিবেচনা করুন ‘শুধুমাত্র একটি মুঠো আসে’। স্পষ্টভাবে ফলাফল HTT হলে, ঘটনা A ঘটেনি। কিন্তু আমরা বলতে পারি যে ‘নট A’ ঘটেছে। অতএব, প্রতিটি ফলাফল যা A এ নেই, তা হলে ‘নট A’ ঘটে।

অতএব, ঘটনা A এর পূর্ণাঙ্গ ঘটনা ‘নট A’ হল

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

অথবা $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ and } \omega \notin A\}=S-A . $

2. ঘটনা ‘A বা B’ আপনি যখন দুটি সেট A এবং B এর সমাপ্তি বুঝতে পান, তখন এটি এমন সমস্ত উপাদান ধারণ করে যা A বা B বা উভয়ের মধ্যে থাকে।

যখন $A$ এবং $B$ পর্যায়ের সাথে সম্পর্কিত দুটি ঘটনা, তখন ‘A $\cup B$ ’ হল ঘটনা ‘হচ্ছে $A$ বা $B$ বা উভয়’। এই ঘটনা ‘A $\cup B$ ’ হল ‘A বা B’ বলেও থাকে। অতএব

$ \begin{aligned} \text{ ঘটনা }^{\prime} A \text{ বা } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ বা } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. ঘটনা ‘A এবং B’ আমরা জানি যে দুটি সেটের $A \cap B$ হল এমন সমস্ত উপাদান যা A এবং B উভয়ের মধ্যে থাকে। অর্থাৎ, উভয় ‘A এবং B’ এ অন্তর্ভুক্ত।

$A$ এবং $B$ হল দুটি ঘটনা, তাহলে সেট $A \cap B$ ঘটনা ‘$A$ এবং $B$ ’ প্রতিনিধিত্ব করে।

অতএব, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

উদাহরণস্বরূপ, ‘একটি ডায়ে দুবার ফেলার’ প্রয়োগে। $A$ ঘটনা হল ‘প্রথম ফেলার ফলাফল ছয়’ এবং B হল ঘটনা ‘দুটি ফলাফলের যোগফল কমপক্ষে 11’। তাহলে

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ and } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

তাহলে $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

দ্রষ্টব্য যে সেট $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ ঘটনা ‘প্রথম ফেলার ফলাফল ছয় এবং ফলাফলের যোগফল কমপক্ষে 11’ প্রতিনিধিত্ব করে।

4. ঘটনা ‘A কিন্তু B নয়’ আমরা জানি A-B হল A এ থাকা সমস্ত উপাদান যা B এ নেই। অতএব, সেট A-B ঘটনা ‘A কিন্তু B নয়’ প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। আমরা জানি যে $ A-B=A \cap B^{\prime} $

উদাহরণ 1 একটি ডায়ে ফেলার প্রয়োগ বিবেচনা করুন। ঘটনা A হল ‘একটি প্রাইম সংখ্যা পাওয়া’, ঘটনা B হল ‘একটি বিষম সংখ্যা পাওয়া’। ঘটনাগুলি প্রতিনিধিত্ব করে সেটগুলি লিখুন (i) A বা B (ii) A এবং B (iii) A কিন্তু B নয় (iv) ‘নট A’।

সমাধান এখানে $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ এবং $B=\{1,3,5\}$

স্পষ্টভাবে

(i) ‘A বা $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ‘$A$ এবং $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$

(iii) ‘A কিন্তু $B$ ’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ‘নট $A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$

14.1.4 পারস্পরিকভাবে ব্যঞ্জক ঘটনা

একটি ডায়ে ফেলার প্রয়োগে, একটি পর্যায় হল $S=\{1,2,3,4,5,6\}$। ঘটনা বিবেচনা করুন, $A$ ‘একটি বিষম সংখ্যা আসে’ এবং $B$ ‘একটি অবিষম সংখ্যা আসে’

স্পষ্টভাবে ঘটনা A ঘটনা B কে �