প্রকৃতির সবচেয়ে অপরিহার্য সরঞ্জাম হল গণিত। - বার্থেলট

2.1 পরিচিতি

গণিতের অনেকটা হল প্যাটার্ন খোঁজা - পরিমাপযোগ্য পরিমাপের মাঝে একটি স্বচ্ছ সম্পর্ক। আমাদের দৈনন্দিন জীবনে, আমরা বহুল প্যাটার্ন দেখি যেমন ভাই ও বোন, পিতা ও পুত্র, শিক্ষক ও শিক্ষার্থী। গণিতেও, আমরা বহুল সম্পর্ক দেখি যেমন সংখ্যা $m$ সংখ্যা $n$ এর চেয়ে ছোট, রেখা $l$ রেখা $m$ এর সাথে সমান্তরাল, সেট $A$ সেট $B$ এর উপসেট। এই সবগুলোতে, আমরা দেখতে পাই যে একটি সম্পর্ক নির্দিষ্ট ক্রমে দুটি বস্তুর জোড়া নিয়ে আসে। এই অধ্যায়ে, আমরা দুটি সেট থেকে বস্তুর জোড়া কীভাবে সংযুক্ত করব তা শিখব এবং পরবর্তীতে দুটি বস্তুর মধ্যে দুটি বস্তুর মধ্যে সম্পর্ক পরিচিত হবে। অবশেষে, আমরা বিশেষ সম্পর্ক সম্পর্কে জানব যা ফাংশন হিসাবে গণ্য হবে।

G.W.Leibnitz (1646-1716 A.D.)

ফাংশনের ধারণা গণিতে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি একটি গণিতীয়ভাবে স্পষ্ট প্রতিপাদকতা ধারণ করে একটি পরিমাপের সাথে অন্যটির সাথে।

2.2 সেটগুলোর কার্টেসিয়ান পণ্ড

ধরুন A হল 2টি রঙের সেট এবং B হল 3টি বস্তুর সেট, অর্থাৎ,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

যেখানে $b, c$ এবং $s$ যথাক্রমে একটি ব্যক্তির একটি ব্যাগ, কেট এবং শার্ট নির্দেশ করে।

এই দুটি সেট থেকে কতগুলো রঙিন বস্তুর জোড়া তৈরি করা যায়?

একটি খুব নিয়মিত পদ্ধতিতে এগিয়ে যাওয়ার পর, আমরা দেখতে পাব যে 6টি বিভিন্ন জোড়া নিম্নে দেওয়া হয়েছে:

(লাল, $b$ ), (লাল, $c$ ), (লাল, $s$ ), (নীল, $b$ ), (নীল, $c$ ), (নীল, $s$ ).

অতএব, আমরা 6টি বিভিন্ন বস্তু পাব (আকৃতি 2.1)।

আকৃতি 2.1

আমরা আমাদের পূর্ববর্তী শ্রেণিগুলো থেকে মনে করি যে যে দুটি সেট $P$ এবং $Q$ থেকে বস্তুর একটি ক্রমিক জোড়া হল একটি বস্তুর জোড়া ছোট বন্ধনীতে লেখা এবং নির্দিষ্ট ক্রমে একত্রিত করা, অর্থাৎ $(p, q), p \in P$ এবং $q \in Q$। এটি নিম্নলিখিত সংজ্ঞার দিকে পরিচালিত করে:

সংজ্ঞা 1 দুটি অপারগ সেট $P$ এবং $Q$ দেওয়া হলে। কার্টেসিয়ান পণ্ড $P \times Q$ হল $P$ এবং $Q$ থেকে প্রাপ্ত সমস্ত ক্রমিক বস্তুর জোড়ার সেট, অর্থাৎ

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

যদি $P$ বা $Q$ শূন্য সেট হয়, তবে $P \times Q$ এও শূন্য সেট হবে, অর্থাৎ $P \times Q=\phi$

উপরের উদাহরণ থেকে আমরা দেখতে পাই যে

$A \times B=\{(red, b),($ লাল, $c),($ লাল, $s),($ নীল, $b),($ নীল, $c),($ নীল, $s)\}$।

আবার, দুটি সেট বিবেচনা করুন:

$A=\{DL, MP, KA\}$, যেখানে DL, MP, KA যথাক্রমে দিল্লি, মধ্যপ্রদেশ এবং কর্ণাটক নির্দেশ করে এবং B $=\{01,02, 03 \}$ দিল্লি, মধ্যপ্রদেশ এবং কর্ণাটক থেকে জারি করা যানবাহনের লাইসেন্স প্লেটের জন্য কোডগুলো নির্দেশ করে।

যদি তিনটি রাজ্য, দিল্লি, মধ্যপ্রদেশ এবং কর্ণাটক যানবাহনের লাইসেন্স প্লেটের জন্য কোড জারি করতে যায়, যেখানে সীমাবদ্ধতা থাকে যে কোড সেট $A$ থেকে একটি উপাদান দিয়ে শুরু হবে, তবে এই সেটগুলো থেকে কী জোড়া উপলব্ধ এবং এই জোড়াগুলো কতগুলো হবে (আকৃতি 2.2)?

আকৃতি 2.2

উপলব্ধ জোড়াগুলো হল: $(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ এবং সেট $A$ এবং সেট $B$ এর পণ্ড $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$

সহজেই দেখা যায় যে কার্টেসিয়ান পণ্ডে 9টি এই জোড়া থাকবে, কারণ সেট A এবং B এ প্রতিটি সেটে 3টি উপাদান আছে। এটি আমাদের 9টি সম্ভাব্য কোড দেয়। আবার মনে রাখবেন যে এই উপাদানগুলো কীভাবে জোড়া করা হয় তা গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, কোড (DL, 01) কোড $(01, DL)$ এর সমান হবে না।

অবশেষে, দুটি সেট $A=\{a_1, a_2\}$ এবং $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ বিবেচনা করুন (আকৃতি 2.3)।

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

এই আকৃতি থেকে তৈরি 8টি ক্রমিক জোড়া প্লেনে বিন্দুগুলোর অবস্থান প্রতিনিধিত্ব করতে পারে যদি A এবং B প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলোর সেটের উপসেট হয় এবং অনুপ্রাণিত হয় যে অবস্থান $(a_1, b_2)$ এবং অবস্থান $(b_2, a_1)$ এর মধ্যে বিন্দু আলাদা।

আকৃতি 2.3

মন্তব্য

(i) দুটি ক্রমিক জোড়া সমান হয়, শুধুমাত্র যখন সংশ্লিষ্ট প্রথম উপাদানগুলো সমান এবং দ্বিতীয় উপাদানগুলোও সমান।

(ii) যদি $p$ উপাদান $A$ এ থাকে এবং $q$ উপাদান $B$ এ থাকে, তবে $p q$ উপাদান $A \times B$ এ থাকবে, অর্থাৎ $n(A)=p$ এবং $n(B)=q$, তবে $n(A \times B)=p q$।

(iii) $A$ এবং $B$ অপারগ সেট এবং $A$ বা $B$ একটি অসীম সেট হলে, $A \times B$ ও অসীম।

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$। এখানে $(a, b, c)$ হল একটি ক্রমিক ত্রিভুজ।

উদাহরণ 1 $(x+1, y-2)=(3,1)$, $x$ এবং $y$ এর মান খুঁজুন।

সমাধান কারণ ক্রমিক জোড়া সমান, সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলো সমান।

অতএব

$ x+1=3 \text { এবং } y-2=1 \text {। } $

সমাধান করলে $\quad x=2$ এবং $y=3$ পাওয়া যায়।

উদাহরণ 2 $P=\{a, b, c\}$ এবং $Q=\{r\}$, সেটগুলো $P \times Q$ এবং $Q \times P$ গঠন করুন।

এই দুটি পণ্ড সমান কি না?

সমাধান কার্টেসিয়ান পণ্ডের সংজ্ঞার কারণে,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

কারণ, ক্রমিক জোড়ার সমানতার সংজ্ঞার কারণে, জোড়া $(a, r)$ জোড়া $(r, a)$ এর সমান নয়, আমরা সিদ্ধান্ত নিচ্ছি $P \times Q \neq Q \times P$।

তবে, প্রতিটি সেটের উপাদানের সংখ্যা একই হবে।

উদাহরণ 3 $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ এবং $C=\{4,5,6\}$ দেওয়া হল। নিম্নলিখিত খুঁজুন

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

সমাধান (i) দুটি সেটের ছড়ায় সংজ্ঞার কারণে, $(B \cap C)=\{4\}$।

অতএব, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$।

(ii) এখন $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ এবং $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

অতএব, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$।

(iii) কারণ, $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

আমরা $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$।

(iv) উপরের অংশ (ii) থেকে সেটগুলো $A \times B$ এবং $A \times C$ ব্যবহার করে, আমরা $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$ পাই।

উদাহরণ 4 $P=\{1,2\}$, সেট $P \times P \times P$ গঠন করুন।

সমাধান আমাদের আছে, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $।

উদাহরণ 5 $\mathbf{R}$ হল সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট, কার্টেসিয়ান পণ্ড $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ এবং $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ কী প্রতিনিধিত্ব করে?

সমাধান কার্টেসিয়ান পণ্ড $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ সেট $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ প্রতিনিধিত্ব করে যা দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রে সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলো প্রতিনিধিত্ব করে এবং কার্টেসিয়ান পণ্ড $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ সেট $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ প্রতিনিধিত্ব করে যা ত্রিতীয় আয়তক্ষেত্রে সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলো প্রতিনিধিত্ব করে।

উদাহরণ 6 $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$, $A$ এবং $B$ খুঁজুন।

সমাধান

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 সম্পর্ক

দুটি সেট $P=\{a, b, c\}$ এবং $Q=\{$ বিবেচনা করুন Ali, Bhanu, Binoy, Chandra, Divya $\}$।

$P$ এবং $Q$ এর কার্টেসিয়ান পণ্ডে 15টি ক্রমিক জোড়া থাকে যা $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, Bhanu), (a, Binoy), …, (c, Divya) $\}$ হিসাবে তালিকাভুক্ত করা যেতে পারে।

আকৃতি 2.4

এখন আমরা $P \times Q$ এর একটি উপসেট $R$ দ্বারা প্রাপ্ত করতে পারি যেখানে প্রতিটি ক্রমিক জোড়া $(x, y)$ এর প্রথম উপাদান $x$ এবং দ্বিতীয় উপাদান $y$ এর মধ্যে একটি সম্পর্ক উপস্থাপন করা হয়

$R=\{(x, y): x$ হল $y, x \in P, y \in Q\}$ নামের প্রথম অক্ষর।

তবে $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, Chandra $)\}$

এই সম্পর্ক $R$ এর একটি ভিজ্যুয়াল প্রতিফলন (যা একটি তীর আকৃতি বলা হয়) আকৃতি 2.4 এ দেখানো হয়েছে।

সংজ্ঞা 2 একটি সম্পর্ক $R$ অপারগ সেট $A$ থেকে অপারগ সেট $B$ পর্যন্ত হল কার্টেসিয়ান পণ্ড $A \times B$ এর একটি উপসেট। উপসেটটি $A \times B$ এর ক্রমিক জোড়াগুলোতে প্রথম উপাদান এবং দ্বিতীয় উপাদানের মধ্যে একটি সম্পর্ক বর্ণনা করে প্রাপ্ত হয়। দ্বিতীয় উপাদানটি প্রথম উপাদানের ছক্কর বলা হয়।

সংজ্ঞা 3 একটি সম্পর্ক $R$ থেকে সেট A থেকে সেট $B$ পর্যন্ত একটি সম্পর্ক হল একটি সম্পর্কের ক্রমিক জোড়াগুলোর প্রথম সমস্ত উপাদানের সেট যা সম্পর্ক $R$ এর ডোমেইন বলা হয়।

সংজ্ঞা 4 একটি সম্পর্ক $R$ থেকে সেট $A$ থেকে সেট $B$ পর্যন্ত একটি সম্পর্ক হল একটি সম্পর্কের ক্রমিক জোড়াগুলোর দ্বিতীয় সমস্ত উপাদানের সেট যা