গণিত হলো অনেক কিছু অনেক ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে বলার কলার । - ম্যাক্সওয়েল

5.1 পরিচিতি

আগের শ্রেণীতে আমরা এক এবং দুটি চলকের সমীকরণ এবং কিছু বিবৃতির সমস্যা সমাধান করেছি যা সমীকরণের রূপে অনুবাদ করে সমাধান করা হয়েছিল। এখন একটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন উঠেছে: ‘কি সবসময় একটি বিবৃতির সমস্যা সমীকরণের রূপে অনুবাদ করা যায়? উদাহরণস্বরূপ, আপনার ক্লাসের সব শিক্ষার্থীদের উচ্চতা $160 cm$ এর কম। আপনার ক্লাসরুম সর্বাধিক 60টি টেবিল বা চেয়ার বা উভয়ই ব্যবহার করতে পারে। এখানে আমরা কিছু নির্দিষ্ট বিবৃতি পাই যা ’ $<$ ’ (কম থেকে), ‘>’ (বড় থেকে), ’ $\leq$ ’ (কম বা সমান থেকে) এবং $\geq$ (বড় বা সমান থেকে) চিহ্ন সহ এবং এগুলিকে অসমতা বলা হয়।

এই অধ্যায়ে আমরা এক এবং দুটি চলকের রৈখিক অসমতা নিয়ে আলোচনা করব। অসমতার অধ্যয়ন প্রযুক্তি, গণিত, পরিসংখ্যান, অর্থনীতি, মনোবিজ্ঞান ইত্যাদি ক্ষেত্রে সমস্যা সমাধানে অত্যন্ত কার্যকর।

5.2 অসমতা

আসুন নিম্নলিখিত পরিস্থিতিগুলি বিবেচনা করি:

(i) রবি মার্কেটে গেলেন ₹ 200 নিয়ে ধান কেনার জন্য যা $1 kg$ প্যাকেটে পাওয়া যায়। একটি প্যাকেট ধানের দাম ₹ 30। $x$ নামক চলক ধানের প্যাকেটের সংখ্যা যা তিনি কেনেন, তাহলে তিনি যে মোট টাকা খরচ করেন তা ₹ $30 x$। কারণ, তিনি শুধুমাত্র প্যাকেট হিসাবে ধান কেনতে পারেন এবং তাই তিনি ₹ 200 এর মোট টাকা খরচ করতে পারেন না। (কেন?) অতএব

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

অবশ্যই বিবৃতি (i) হলো সমীকরণ নয় কারণ এটি সমান চিহ্ন ব্যবহার করে না। (ii) রেশমা ₹ 120 নিয়ে কিছু রেজিস্ট্রেশন বই এবং কলম কেনতে চায়। একটি রেজিস্ট্রেশন বইয়ের দাম ₹ 40 এবং একটি কলমের দাম ₹ 20। এই ক্ষেত্রে, $x$ নামক চলক রেজিস্ট্রেশন বইয়ের সংখ্যা এবং $y$, কলমের সংখ্যা যা রেশমা কেনেন, তাহলে তারা যে মোট টাকা খরচ করেন তা ₹ $(40 x+20 y)$ এবং আমরা পাই

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

এই ক্ষেত্রে মোট টাকা সর্বাধিক ₹ 120 হতে পারে। বিবৃতি (2) এর দুটি বিবৃতি রয়েছে

$ \text{ এবং } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

বিবৃতি (3) হলো সমীকরণ নয়, অর্থাৎ এটি একটি অসমতা হয়ে থাকে যদিও বিবৃতি (4) হলো সমীকরণ।

সংজ্ঞা 1 যদি দুটি বাস্তব সংখ্যা বা দুটি বীজগণিতীয় প্রক্রিয়া চিহ্ন ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ বা ’ $\geq$ ’ দ্বারা সম্পর্কিত হয় তবে তা একটি অসমতা হয়।

উপরের (1), (2) এবং (3) এর মতো বিবৃতিগুলি অসমতা।

$3<5 ; 7>5$ সংখ্যাগত অসমতার উদাহরণ হয় যদিও

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ কিছু অক্ষরগত অসমতার উদাহরণ। $3<5<7($ শব্দের অর্থ 5 হলো 3 এর চেয়ে বড় এবং 7 এর চেয়ে ছোট), $3 \leq x<5($ শব্দের অর্থ $x$ হলো 3 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 5 এর চেয়ে ছোট) এবং $2<y \leq 4$ হলো ডবল অসমতার উদাহরণ। অন্যান্য কিছু অসমতার উদাহরণ হলো:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

অসমতা (5), (6), (9), (10) এবং (14) হলো দৃঢ় অসমতা যদিও অসমতা (7), (8), (11), (12), এবং (13) হলো স্ল্যাক অসমতা। অসমতা (5) থেকে (8) পর্যন্ত হলো এক চলকের রৈখিক অসমতা $x$ যখন $a \neq 0$, অন্যদিকে অসমতা (9) থেকে (12) পর্যন্ত হলো দুটি চলকের রৈখিক অসমতা $x$ এবং $y$ যখন $a \neq 0, b \neq 0$। অসমতা (13) এবং (14) হলো রৈখিক নয় (বস্তুত, এগুলি হলো এক চলকের দ্বিতীয় ক্রমের অসমতা $x$ যখন $a \neq 0)$।

এই অধ্যায়ে আমরা শুধুমাত্র এক এবং দুটি চলকের রৈখিক অসমতা নিয়ে আলোচনা করব।

5.3 এক চলকের রৈখিক অসমতার বীজগণিতীয় সমাধান এবং তাদের গ্রাফিক্যাল প্রতিফলন

আসুন আমরা অধ্যায় 6.2 এর বিবৃতি (1) বিবেচনা করি, যাতে $30 x<200$ ধরা হয়। এখানে $x$ নামক চলক ধানের প্যাকেটের সংখ্যা নির্দেশ করে। অবশ্যই $x$ একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ হতে পারে না। এই অসমতার বাম পাশ (L.H.S.) হলো $30 x$ এবং ডান পাশ (RHS) হলো 200। অতএব, আমরা পাই

$ \begin{aligned} & \text{ যদি } x=0 \text{, তবে L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, যা সত্য। } \\ & \text{ যদি } x=1 \text{, তবে L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), যা সত্য। } \\ & \text{ যদি } x=2 \text{, তবে L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, যা সত্য। } \\ & \text{ যদি } x=3 \text{, তবে L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, যা সত্য। } \\ & \text{ যদি } x=4 \text{, তবে L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, যা সত্য। } \\ & \text{ যদি } x=5 \text{, তবে L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, যা সত্য। } \\ & \text{ যদি } x=6 \text{, তবে L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, যা সত্য। } \\ & \text{ যদি } x=7 \text{, তবে L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, যা মিথ্যা। } \end{aligned} $

উপরের পরিস্থিতিতে, আমরা দেখতে পাই যে $x$, $0,1,2,3,4,5,6$ এই অসমতাকে সত্য বিবৃতি করে। $x$ এর এই মানগুলি, যা উপরের অসমতাকে সত্য বিবৃতি করে, তাকে অসমতার সমাধান বলা হয় এবং ${0,1,2,3,4,5,6}$ নামক সেটটি তার সমাধানের সেট বলা হয়।

অতএব, এক চলকের একটি অসমতার কোনো সমাধান হলো চলকের মান যা এটিকে একটি সত্য বিবৃতি করে।

আমরা উপরের অসমতার সমাধান পরীক্ষা ও ভুল পদ্ধতিতে পেয়েছি যা অত্যন্ত কার্যকর নয়। অবশ্যই এই পদ্ধতি সময়সাপেক্ষ এবং কখনো কখনো বাস্তবায়নযোগ্য নয়। আমাদের অসমতা সমাধানের জন্য কিছু ভালো বা ব্যাপক পদ্ধতি থাকা উচিত। এর আগে আমাদের সংখ্যাগত অসমতার কিছু আরও গুণগত বৈশিষ্ট্য এবং এগুলি অসমতা সমাধানের সময় তাদের মতো নিয়ম হিসাবে অনুসরণ করা উচিত।

আপনি যা মনে রাখবেন তা হলো রৈখিক সমীকরণ সমাধানের সময় আমরা নিম্নলিখিত নিয়মগুলি অনুসরণ করেছি:

নিয়ম 1 সমীকরণের উভয় পাশে সমান সংখ্যা যোগ করা (বা বিয়োগ করা) যোগ্য।

নিয়ম 2 সমীকরণের উভয় পাশ একই শূন্য বহুল সংখ্যায় গুণ (বা ভাগ) করা যায়।

অসমতা সমাধানের ক্ষেত্রে, আমরা আবারো এই নিয়মগুলি অনুসরণ করি কিন্তু একটি পার্থক্য রয়েছে যে নিয়ম 2 এ, অসমতার চিহ্ন বিপরীত হয় (অর্থাৎ ‘<’ ‘>’ হয়ে যায়, $\leq$ ’ হয়ে যায় ’ $\geq$ ’ এবং এমনকি) যখন আমরা অসমতার উভয় পাশ একই ঋণাত্মক সংখ্যায় গুণ (বা ভাগ) করি। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ যদিও }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ যদিও }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ অর্থাৎ } 16>14। \end{aligned} $

অতএব, আমরা অসমতা সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত নিয়মগুলি উপস্থাপন করি:

নিয়ম 1 অসমতার উভয় পাশে সমান সংখ্যা যোগ করা (বা বিয়োগ করা) অসমতার চিহ্ন প্রভাবিত করে না।

নিয়ম 2 অসমতার উভয় পাশ একই ধনাত্মক সংখ্যায় গুণ (বা ভাগ) করা যায়। কিন্তু যখন উভয় পাশ একই ঋণাত্মক সংখ্যায় গুণ বা ভাগ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্ন বিপরীত হয়।

এখন, আসুন কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ 1 $30 x<200$ সমাধান করুন যখন (i) $x$ একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, (ii) $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা।

সমাধান আমরা $30 x<200$ পেয়েছি

অথবা $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (নিয়ম 2), অর্থাৎ $x<20 / 3$।

(i) $x$ একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা হলে, এই ক্ষেত্রে $x$ এর নিম্নলিখিত মানগুলি বিবৃতিকে সত্য করে।

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

অসমতার সমাধানের সেট হলো $\{1,2,3,4,5,6\}$।

(ii) $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা হলে, দেওয়া অসমতার সমাধানগুলি হলো

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

অসমতার সমাধানের সেট হলো $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $

উদাহরণ 2 $5 x-3<3 x+1$ সমাধান করুন যখন (i) $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা, (ii) $x$ একটি বাস্তব সংখ্যা।

সমাধান আমরা, $5 x-3<3 x+1$

অথবা $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (নিয়ম 1)

অথবা $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

অথবা $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (নিয়ম 2)

অথবা $\quad \quad$ $2 x<4$

অথবা $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (নিয়ম 3)

(i) $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা হলে, দেওয়া অসমতার সমাধানগুলি হলো

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) $x$ একটি বাস্তব সংখ্যা হলে, অসমতার সমাধানগুলি $x<2$ দ্বারা প্রদত্ত হয়, অর্থাৎ সব বাস্তব সংখ্যা $x$ যারা 2 এর চেয়ে ছোট। অতএব, অসমতার সমাধানের সেট হলো $x \in(-\infty, 2)$।

আমরা অসমতার সমাধান প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির সেট, পূর্ণসংখ্যাগুলির সেট এবং বাস্তব সংখ্যাগুলির সেটে বিবেচনা করেছি। এরপর, যদি কোনো বিশেষ বলা না হয়, তবে আমরা এই অধ্যায়ে অসমতা সমাধান বাস্তব সংখ্যাগুলির সেটে করব।

উদাহরণ 3 $4 x+3<6 x+7$ সমাধান করুন।

সমাধান আমরা, $\quad 4 x+3<6 x+7$

অথবা $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

অথবা $\quad-2 x<4 \quad$ অথবা $x>-2$

অর্থাৎ দেওয়া অসমতার সমাধান হলো সব বাস্তব সংখ্যাগুলি যারা -2 এর চেয়ে বড়। অতএব, সমাধানের সেট হলো $(-2, \infty)$।

উদাহরণ 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ সমাধান করুন।

সমাধান আমরা $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

অথবা $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

অথবা $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

অথবা $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

অতএব, দেওয়া অসমতার সমাধান হলো সব বাস্তব সংখ্যাগুলি $x$ যারা 8 এর চেয়ে বড় বা সমান, অর্থাৎ $x \in[8, \infty)$।

উদাহরণ 5 $7 x+3<5 x+9$ সমাধান করুন। সমাধানগুলির সংখ্যারেখায় প্রতিফলন দিন।

সমাধান আমরা $7 x+3<5 x+9$ অথবা $2 x<6$ অথবা $x<3$

সমাধানগুলির গ্রাফিক্যাল প্রতিফলন নিম্নে দেওয়া হলো চিত্র 5.1 এ।

চিত্র 5.1

উদাহরণ 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ সমাধান করুন। সমাধানগুলির সংখ্যারেখায় প্রতিফলন দিন।

সমাধান আমরা $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

অথবা $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

অথবা $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

অথবা $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

সমাধানগুলির গ্রাফিক্যাল প্রতিফলন নিম্নে দেওয়া হলো চিত্র 5.2 এ।

চিত্র 5.2

উদাহরণ 7 ক্লাস XI এর একটি ছাত্রের প্রথম এবং দ্বিতীয় টার্ম পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর হলো 62 এবং 48। তিনি প্রাপ্ত গড় নম্বর কমপক্ষে 60 হতে চায়। বার্ষিক পরীক্ষায় তিনি কত নম্বর প্রাপ্ত করবেন তা নির্ণয় করুন।

সমাধান $x$ হলো ছাত্রের বার্ষিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর। তогда

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

অথবা $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

অথবা $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

অতএব, ছাত্রকে গড় কমপক্ষে 60 নম্বর প্রাপ্ত করতে 70 নম্বর প্রাপ্ত করতে হবে।

উদাহরণ 8 প্রতিবার বিরল প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির জন্য সব জোড় যেগুলি 10 এর চেয়ে বড় এবং তাদের যোগফল 40 এর কম হবে তা নির্ণয় করুন।

সমাধান $x$ হলো দুটি প্রতিবার বিরল প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির ছোটটি, যাহার অন্যটি $x+2$। তогда, আমাদের প্রয়োজন হবে

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) সমাধান করলে, আমরা পাই

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

অর্থাৎ $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) এবং (3) থেকে, আমরা পাই

$$ 10<x<19 $$

কারণ $x$ একটি বিরল সংখ্যা, $x$ এর মান 11,13,15, এবং 17 হতে পারে। অতএব, প্রয়োজনীয় সম্ভাব্য জোড়গুলি হবে $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$

বিভিন্ন উদাহরণ

উদাহরণ 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ সমাধান করুন।

সমাধান এই ক্ষেত্রে, আমাদের দুটি অসমতা রয়েছে, $-8 \leq 5 x-3$ এবং $5 x-3<7$, যা আমরা একসাথে সমাধান করব। আমরা $-8 \leq 5 x-3<7$

অথবা $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ অথবা } \quad-1 \leq x<2 $

উদাহরণ 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ সমাধান করুন।

সমাধান আমরা $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

অথবা $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ অথবা $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

অথবা $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

যা $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ হিসাবে লেখা যেতে পারে

উদাহরণ 11 অসমতাগুলির সিস্টেম সমাধান করুন:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

এবং সংখ্যারেখায় সমাধানগুলি প্রতিফলন করুন।

সমাধান অসমতা (1) থেকে, আমরা পাই

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

অথবা $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

এছাড়াও, অসমতা (2) থেকে, আমরা পাই

$$ 11-5 x \leq 1 $$

অথবা $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

যদি আমরা সংখ্যারেখায় অসমতাগুলির (3) এবং (4) গ্রাফ আঁকি, তবে আমরা দেখতে পাই যে $x$ এর যে মানগুলি উভয়ের জন্য সাধারণ তা চিত্র 5.3 এ বোল্ড রেখায় দেখানো হয়েছে।

অতএব, সিস্টেমের সমাধান হলো বাস্তব সংখ্যা $x$ যারা 2 এবং 6 এর মধ্যে 2 সহ অবস্থান করে, অর্থাৎ $2 \leq x<6$

উদাহরণ 12 একটি পরীক্ষায়, হাইড্রক্লরিক অ্যাসিডের একটি সমলেন্দু হবে $30^{\circ}$ এবং $35^{\circ}$ সেলসিয়াসের মধ্যে। পরিবর্তন ফর্মুলা $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ দেওয়া হয়েছে, যেখানে $C$ এবং $F$ হলো সেলসিয়াস এবং ফ্যারেনহাইটের তাপমাত্রা যখন পরিমাপ করা হয়, তখন ফ্যারেনহাইটে তাপমাত্রার পরিসর কত?

সমাধান এটি দেওয়া হয়েছে $30<C<35$।

প্রতিস্থাপন করলে $ C=\frac{5}{9}(F-32), \text{ আমরা পাই } $ $ 30<\frac{5}{9}(F-32)<35 $

অথবা $\quad\quad\quad$ $ \frac{9}{5} \times(30)<(F-32)<\frac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ অথবা } & 54<(F-32)<63 \\ \text{ অথবা } & 86<F<95। \end{matrix} $

অতএব, প্রয়োজনীয় তাপমাত্রার পরিসর হলো $86^{\circ} F$ এবং $95^{\circ} F$ এর মধ্যে।

উদাহরণ 13 একটি প্রযুক্তিক প্রকৌশলী একটি $12\%$ অ্যাসিডের একটি 600 লিটার সমলেন্দু রাখেন। এটির উপর কত লিটার একটি $30 \%$ অ্যাসিডের সমলেন্দু যোগ করা উচিত যাতে ফলাফলের সমলেন্দুতে অ্যাসিডের পরিমাণ হবে $15 \%$ এর বেশি কিন্তু $18 \%$ এর কম?

সমাধান $x$ লিটার $30 \%$ অ্যাসিডের সমলেন্দু যোগ করা উচিত ধরা হয়েছে। তогда মোট সমলেন্দু $=(x+600)$ লিটার

অতএব $30 \% x+12 \%$ এর $600>15 \%$ এর $(x+600)$

এবং $\quad \quad \quad 30 \% x+12 \%$ এর $600<18 \%$ এর $(x+600)$

$ \begin{array}{ll} \text{অথবা} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{এবং} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{অথবা}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{এবং} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{অথবা} & 15 x>1800 \text{ এবং } 12 x<3600 \\ \text{অথবা} & x>120 \text{ এবং } x<300, \\ \text{অর্থাৎ} & 120<x<300 \end{array} $

অতএব, $30 %$ অ্যাসিডের সমলেন্দুর লিটার সংখ্যা 120 লিটারের বেশি কিন্তু 300 লিটারের কম হতে হবে।

সারাংশ

যদি দুটি বাস্তব সংখ্যা বা দুটি বীজগণিতীয় প্রক্রিয়া চিহ্ন $<,>, \leq$ বা $\geq$ দ্বারা সম্পর্কিত হয় তবে তা একটি অসমতা হয়।

অসমতার উভয় পাশে সমান সংখ্যা যোগ করা (বা বিয়োগ করা) যোগ্য।

অসমতার উভয় পাশ একই ধনাত্মক সংখ্যায় গুণ (বা ভাগ) করা যায়। কিন্তু যখন উভয় পাশ একই ঋণাত্মক সংখ্যায় গুণ বা ভাগ করা হয়, তখন অসমতা বিপরীত হয়।

$x$ এর মানগুলি, যা একটি অসমতাকে একটি সত্য বিবৃতি করে, তাকে অসমতার সমাধান বলা হয়।

একটি সংখ্যারেখায় $x<a$ (বা $x>a$ ) প্রতিফলন করতে, সংখ্যা $a$ এ একটি বুক্তি রাখুন এবং সংখ্যা $a$ এর বাম (বা ডান) দিকে গাঢ় রেখা দিন।

একটি সংখ্যারেখায় $x \leq a$ ( বা $x \geq a$ ) প্রতিফলন করতে, সংখ্যা $a$ এ একটি গাঢ় বুক্তি রাখুন এবং সংখ্যা $x$ এর বাম (বা ডান) দিকে গাঢ় রেখা দিন।