প্রতিটি আবিষ্কারের কোনও অন্য কোনও পরামর্শ নেই কেনা যায় - ডারউইন

6.1 পরিচয়

ধরুন আপনার একটি স্যাকেট আছে যার একটি নম্বর লক। নম্বর লকের চারটি চাকা আছে যা 0 থেকে 9 এর মধ্যে দশটি অঙ্ক দিয়ে চিহ্নিত হয়েছে। লকটি খোলা যায় যদি চারটি নির্দিষ্ট অঙ্ক প্রত্যেকটি প্রতিটি অঙ্কের পুনরাবৃত্তি ছাড়াই একটি নির্দিষ্ট ক্রমে বসানো হয়। কিছুক্ষণ আগে আপনি এই নির্দিষ্ট ক্রমটি ভুলে গেছেন। আপনি মাত্র প্রথম অঙ্কটি মনে রাখেন যা 7। লকটি খুলতে হলে, আপনাকে কতগুলি তিন-অঙ্কের ক্রম যাচাই করতে হবে? এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আপনি সরাসরি শুরু করতে পারেন যা প্রথম অঙ্ক 7 এর পর বাকি 9টি অঙ্কের সব সম্ভাব্য ক্রম তিনটি সমাবেশে তালিকাভুক্ত করা। কিন্তু, এই পদ্ধতিটি কমবেশি কাজের হবে, কারণ সম্ভাব্য ক্রমের সংখ্যা বড় হতে পারে। এই অধ্যায়ে, আমরা কয়েকটি মৌলিক গণনা পদ্ধতি শিখব যা আমাদের এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য তিন-অঙ্কের ক্রম সত্যিই তালিকাভুক্ত না করেই সাহায্য করবে। বড়ই ভালো, এই পদ্ধতিগুলি বিভিন্ন বস্তু বসানো ও নির্বাচন করার বিভিন্ন উপায় নির্ধারণ করতে সাহায্য করবে যা সত্যিই তালিকাভুক্ত করা হবে না। প্রথম ধাপে, এই পদ্ধতিগুলি শেখার জন্য যে মৌলিক নীতিটি আমাদের দরকার তা আমরা পর্যালোচনা করব।

6.2 গণনার মৌলিক নীতি

নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করা যাক। মোহনের তিনটি প্যান্ট আর দুটি শার্ট আছে। তিনি কতগুলি ভিন্ন প্যান্ট ও শার্টের জোড়া পরিধান করতে পারবেন? প্যান্ট নির্বাচন করার জন্য তিনটি উপায় আছে, কারণ তিনটি প্যান্ট উপলব্ধ। একইভাবে, শার্ট নির্বাচন করার জন্য দুটি উপায় আছে। প্রতিটি প্যান্টের জন্য দুটি উপায়ের মধ্যে শার্ট নির্বাচন করা যায়। সুতরাং, প্যান্ট ও শার্টের তিনটি জোড়া আছে।

চারটি প্যান্টকে এইভাবে নাম দিয়েছি এবং দুটি শার্টকে এইভাবে নাম দিয়েছি। তাহলে, এই ছয়টি সম্ভাব্যতা চিত্র 6.1-এ প্রকাশ করা যেতে পারে।

একই ধরনের আরেকটি সমস্যা বিবেচনা করা যাক।

সাবনামের দুটি স্কুল ব্যাগ, তিনটি টিফিন বক্স আর দুটি জলবাহু আছে। এই সব বস্তুগুলি কতভাবে নেয়া যায় (একটি প্রতিটি নির্বাচন করা)।

একটি স্কুল ব্যাগ নির্বাচন করা যেতে পারে দুটি ভিন্ন উপায়ে। একটি স্কুল ব্যাগ নির্বাচন করার পর, একটি টিফিন বক্স নির্বাচন করা যেতে পারে তিনটি ভিন্ন উপায়ে। সুতরাং, স্কুল ব্যাগ ও একটি টিফিন বক্সের দুটি জোড়া আছে। এই প্রতিটি জোড়ার জন্য একটি জলবাহু নির্বাচন করা যেতে পারে দুটি ভিন্ন উপায়ে।

সুতরাং, সাবনাম স্কলে এই বস্তুগুলি নেয়ার দুটি ভিন্ন উপায় আছে। যদি আমরা দুটি স্কুল ব্যাগকে এইভাবে, তিনটি টিফিন বক্সকে এইভাবে আর দুটি জলবাহুকে এইভাবে নাম দিই, তাহলে এই সম্ভাবনাগুলি চিত্র 6.2-এ প্রকাশ করা যেতে পারে।

বড়ই ভালো, উর্ধ্বতন ধরনের সমস্যাগুলি নিম্নলিখিত নীতি প্রয়োগ করে সমাধান করা হয় যা গণনার মৌলিক নীতি, অথবা সহজে গুণনা নীতি নামে পরিচিত, যা বলে:

“যদি একটি ঘটনা ঘটতে পারে এবং এর পরে আরেকটি ঘটনা ঘটতে পারে, তাহলে দেওয়া ক্রমে ঘটনাগুলির মোট সংখ্যা হবে।”

উর্ধ্বতন নীতিটি যেকোনো সীমাবদ্ধ সংখ্যক ঘটনার জন্য সাধারণাকরণ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি ঘটনার জন্য নীতি এমনঃ

“যদি একটি ঘটনা ঘটতে পারে, এর পরে আরেকটি ঘটনা ঘটতে পারে, এর পরে তৃতীয়টি ঘটনা ঘটতে পারে, তাহলে দেওয়া ক্রমে ঘটনাগুলির মোট সংখ্যা হবে।”

প্রথম সমস্যায়, প্যান্ট ও শার্ট পরিধান করার প্রয়োজনীয় সংখ্যা হলো নিম্নলিখিত ঘটনাগুলির ঘটনার বিভিন্ন উপায়ের সংখ্যা যা একটি ক্রমে ঘটে:

(ই) প্যান্ট নির্বাচনের ঘটনা

(ঈ) শার্ট নির্বাচনের ঘটনা।

দ্বিতীয় সমস্যায়, প্রয়োজনীয় সংখ্যা হলো নিম্নলিখিত ঘটনাগুলির ঘটনার বিভিন্ন উপায়ের সংখ্যা যা একটি ক্রমে ঘটে:

(ই) স্কুল ব্যাগ নির্বাচনের ঘটনা

(ঈ) টিফিন বক্স নির্বাচনের ঘটনা

(উ) জলবাহু নির্বাচনের ঘটনা।

এখানে, প্রতিটি সমস্যায় প্রতিটি ঘটনায় বিভিন্ন সম্ভাব্য ক্রম ঘটতে পারে। কিন্তু, আমাদের যেকোনো একটি সম্ভাব্য ক্রম নির্বাচন করা হবে এবং এই নির্বাচিত ক্রমে ঘটনাগুলির বিভিন্ন উপায়ে ঘটনা গণনা করা হবে।

উদাহরণ 1 শব্দ ROSE-এর অক্ষরগুলি ব্যবহার করে, যেখানে অক্ষরের পুনরাবৃত্তি না করে, কতগুলি 4-অক্ষরের শব্দ গঠন করা যেতে পারে যা অর্থ বা অর্থ ছাড়াই?

সমাধান শব্দের সংখ্যাগুলি যেসব উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে তার সমান শব্দ আছে যা 4টি অক্ষর দ্বারা পূরণ করা যেতে পারে যা পুনরাবৃত্তি না করে। প্রথম অবস্থান প্রথম অক্ষর দ্বারা 4টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে। এর পরে, দ্বিতীয় অবস্থান বাকি 3টি অক্ষর দ্বারা 3টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে, এর পরে তৃতীয় অবস্থান 2টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে; এর পরে, চতুর্থ অবস্থান 1টি উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে। সুতরাং, 4টি অবস্থান পূরণ করার উপায়ের সংখ্যা হলো। সুতরাং, প্রয়োজনীয় শব্দের সংখ্যা 24।

নোট - যদি অক্ষরের পুনরাবৃত্তি অনুমতি দেওয়া হয়, তাহলে কতগুলি শব্দ গঠন করা যেতে পারে? একজন সহজেই বুঝতে পারে যে প্রতিটি 4টি খালি অবস্থান একটি ক্রমে 4টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে। সুতরাং, প্রয়োজনীয় শব্দের সংখ্যা।

উদাহরণ 2 চারটি ভিন্ন রঙের ঝিলিক দেওয়া আছে, যদি একটি সিগন্যালের জন্য দুটি ঝিলিক ব্যবহার করা হয় এবং একটি অধীনে অন্যটি থাকে, তাহলে কতগুলি ভিন্ন সিগন্যাল তৈরি করা যেতে পারে?

সমাধান সিগন্যালের সংখ্যা হলো যেসব উপায়ে চারটি ভিন্ন রঙের ঝিলিক দ্বারা 2টি খালি অবস্থান একটি ক্রমে পূরণ করা যেতে পারে। উপরের খালি অবস্থান চারটি ঝিলিক দ্বারা 4টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে; এর পরে, নিচের খালি অবস্থান বাকি 3টি ভিন্ন ঝিলিক দ্বারা 3টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে। সুতরাং, গুণনা নীতি অনুযায়ী, প্রয়োজনীয় সিগন্যালের সংখ্যা।

উদাহরণ 3 অঙ্ক পুনরাবৃত্তি করা যায়, তাহলে অঙ্ক থেকে কতগুলি 2-অঙ্কের জোড় সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?

সমাধান অঙ্ক পূরণ করার উপায়ের সমান হলো পাঁচটি দেওয়া অঙ্ক দ্বারা 2টি খালি অবস্থান একটি ক্রমে পূরণ করার উপায়ের সংখ্যা। এখানে, এই ক্ষেত্রে আমরা ইউনিটের অবস্থান পূরণ করা শুরু করি, কারণ এই অবস্থানের জন্য শুধুমাত্র 2 এবং 4 উপলব্ধ এবং এটি 2টি উপায়ে করা যেতে পারে; এর পরে দশটি অবস্থান অঙ্ক পুনরাবৃত্তি করা হলে 5টি অঙ্ক দ্বারা 5টি ভিন্ন উপায়ে পূরণ করা যেতে পারে। সুতরাং, গুণনা নীতি অনুযায়ী, প্রয়োজনীয় 2-অঙ্কের জোড় সংখ্যার সংখ্যা হলো, অর্থাৎ 10।

উদাহরণ 4 যদি পাঁচটি ভিন্ন ঝিলিক উপলব্ধ থাকে, তাহলে একটি উল্লম্ব স্ট্যাফে এক অধীনে অন্যটি দিয়ে কমপক্ষে 2টি ঝিলিক বসানোর মাধ্যমে কতগুলি ভিন্ন সিগন্যাল তৈরি করা যেতে পারে?

সমাধান একটি সিগন্যাল হতে পারে 2টি, 3টি, 4টি বা 5টি ঝিলিক দ্বারা। এখন, আমরা 2টি ঝিলিক, 3টি ঝিলিক, 4টি ঝিলিক এবং 5টি ঝিলিক দ্বারা গঠিত সম্ভাব্য সিগন্যালের সংখ্যা আলাদা আলাদা গণনা করে তারপর প্রত্যেকের সংখ্যা যোগ করব।

পাঁচটি ঝিলিক উপলব্ধ থাকলে 2টি ঝিলিকের সিগন্যালের সংখ্যা হলো যেসব উপায়ে পাঁচটি ঝিলিক দ্বারা 2টি খালি অবস্থান একটি ক্রমে পূরণ করা �